1、人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）第15講圓的有關(guān)性質(zhì)第一部分知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：圓的相關(guān)概念1、圓的定義在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A隨之旋轉(zhuǎn)所 形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示：以點(diǎn)。為圓心的圓記作 O',讀作 圓O'3、圓的對(duì)稱性：（1）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑所在的直線。（2）圓是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。（3）圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。知識(shí)點(diǎn)二：弦、弧與圓的相關(guān)定義；1、弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的 AB）2、直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直

2、徑。（如途中的 CD）直徑等于半徑的2倍。3、半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。4、弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做 圓弧，簡(jiǎn)稱弧。弧用符號(hào) 落”表示，以A, B為端點(diǎn)的弧記作 箱”,讀作 圓弧AB'大于半圓的弧叫做優(yōu)弧（多用三個(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做 劣弧（多用兩個(gè)字母 表小）等弧：在同一個(gè)圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧。知識(shí)點(diǎn)三：垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1: （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦

3、所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為；過圓心、垂直于弦直徑 1 平分弦卜知二推三平分拓所時(shí)的優(yōu)弧J平分弦所對(duì)的劣瓠，知識(shí)點(diǎn)四：內(nèi)接四邊形 定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角第二部分考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、圓的認(rèn)識(shí)例1、生活中處處有數(shù)學(xué)，下列原理運(yùn)用錯(cuò)誤的是（A. 建筑工人砌墻時(shí)拉的參照線是運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短”的原理B. 修理損壞的椅子腿時(shí)斜釘?shù)哪緱l是運(yùn)用 三角形穩(wěn)定性”的原理C. 測(cè)量跳遠(yuǎn)的成績(jī)是運(yùn)用 垂線段最短”的原理D. 將車輪設(shè)計(jì)為圓形是運(yùn)用了 圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”原理例2、如圖，小明順著大半圓從

4、A地到B地，小紅順著兩個(gè)小半圓從 A地到B地，設(shè)小明、小紅走過的路程分別為 a、b,則a與b的大小關(guān)系是（A、a=bB、a< bC、a> b7 / 56例3、到點(diǎn)。的距離等于8的點(diǎn)的集合是 例4、如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上，CDXAB ,垂足為D,已知CD=4, OD=3, 求AB的長是.例5、如圖，。的弦AB、半徑OC延長交于點(diǎn)D, BD=OA,若/AOC=10 5 ,求/D的度數(shù).例6、如圖，AB、CD為。中兩條直徑，點(diǎn)E、F在直徑CD上，且CE=DF.求證:AF=BE.舉一反三：1、有下列四個(gè)說法：半徑確定了，圓就確定了； 直徑是弦；弦是直徑；半圓是弧，但弧不一定是

5、半圓.其中錯(cuò)誤說法的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、42、如圖，一枚半徑為r的硬幣沿著直線滾動(dòng)一圈，圓心經(jīng)過的距離是（）A. 4兀 rB. 2兀 rC.兀 rD. 2rocron3、如圖所示，三圓同心于 O, AB=4cm, CDXAB于O,則圖中陰影部分的面積2為 cm .4、如圖，點(diǎn)A、B在。上，且AB=BO . / ABO的平分線與AO相交于點(diǎn)C,若AC=3 , 則。的周長為.（結(jié)果保留任）5、已知AB為。O的直徑，弦ED與AB的延長線交于。外一點(diǎn)C,且AB=2CD , /C=25 ,求/AOE的度數(shù).考點(diǎn)2、弧、弦、圓心角的關(guān)系例1、如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）A.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦

6、相等B.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等C.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等D.以上說法都不對(duì)例2、若。O的弦AB等于半徑，則AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)是（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°例3、在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間，如果有一組量相等,那么，它們所對(duì)應(yīng)的其它量也相等.如圖， AB、CD是。的兩條弦若 AB=CD, WJ有=, =若弧AB=MCD,則有=, =若/AOB=/COD,則有=, =.cm.例4、如圖，已知 AB是。的直徑，BC為弦，/ABC=30 .過圓心。作ODLBC交 弧BC于點(diǎn)D,連接DC,則/DCB

7、=.例5、如圖，C為弧AB的中點(diǎn)，CNLOB于N,CD，OA于M,CN=4cm,則CD=例6、已知：如圖，C, D是以AB為直徑的。上的兩點(diǎn)，且OD/ BC.求證：AD=DC .舉一反三：1、下列語句中，正確的有（）A.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.平分弦的直徑垂直于弦C.長度相等的兩條弧相等D.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸 2、如圖，在。中，若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，/A=50° ,則/BOC=（A. 400 B. 450 C. 500 D. 60°3、如圖，。0中，已知弧AB=M BC,且弧AB：弧AmC=3 ： 4,則/AOC=度.B4、在半徑

8、為1的圓中，長度等于門的弦所對(duì)的圓心角是 度.OC, OD分別與5、已知：如圖，。的兩條半徑OALOB, C, D是AB的三等分點(diǎn),AB相交于點(diǎn)E, F.求證：CD=AE=BF.考點(diǎn)3、圓周角的應(yīng)用例1、如圖，正方形 ABCD內(nèi)接于圓。，點(diǎn)P在傘上.則/BPC=（A. 35°B. 400C. 450D. 50°例2、如圖，AB是。的直徑，CD是。O的弦，連接AC、AD ,若/ CAB=35，則/ADC 的度數(shù)為（）A. 350B. 450C. 550D. 65°C例3、如圖，4ABC是。的內(nèi)接三角形，AD是。直徑，若/ABC = 50°,則/CAD0例4

9、、AB為半圓。的直徑，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點(diǎn) P在半圓上,斜邊過點(diǎn)B, 一條直角邊交該半圓于點(diǎn) Q.若AB=2,則線段BQ的長為例5、已知。的直徑為10,點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C在。上，/CAB的平分線交。于點(diǎn)D.(1)如圖，若BC為。的直徑，AB=6,求AC, BD, CD的長;(2)如圖，若/CAB=60 ,求BD的長.人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)(有答案)9 / 56例6、已知：如圖，在半徑為 2的半圓。中，半徑OA 別在弦AB、AC上滑動(dòng)并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、(1)求四邊形AEOF的面積.(2)設(shè)AE=x, S；A0EF=y,寫出y與

10、x之間的函數(shù)關(guān)系式垂直于直徑BC,點(diǎn)E與點(diǎn)F分 C重合，點(diǎn)E不與A、B重合.；,求x取值范圍.上B0C舉一反三:1、如圖，BC是。的弦，OABC, /AOB=70 ,則/ADC的度數(shù)是(A. 700B. 350C. 450D.2、如圖，A、D是。上的兩個(gè)點(diǎn)，BC是直徑，若/D=35° ,則/ OAC等于A. 65°B. 350C. 70°D. 5503、如圖，AB 為。的直徑，BC=2cm, / CAB=30 ,貝U AB二人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）4、如圖，以。的半徑OA為直徑作。O1,。的弦AD交。O1于C,則:(1

11、) OC與AD的位置關(guān)系是;(2) OC與BD的位置關(guān)系是:(3)若 OC=2cm,貝U BD=cm.5、如圖，BC是圓O的直徑，AD垂直BC于D,弧BA等于弧AF, BF與AD交于E, 求證：(1) /BAD=/ACB; (2) AE=BE.考點(diǎn)4、圓內(nèi)接四邊形例1、四邊形ABCD內(nèi)接于圓，/A、/B、/C、/D的度數(shù)比可能是(A. 1: 3: 2: 4B. 7: 5: 10: 8C. 13: 1: 5: 17D. 1: 2: 3: 4A. 60°B. 50°C. 80°D. 700例3、如圖，OC過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A、點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0, 2

12、）,M是劣弧OB上一點(diǎn)，/BMO=120 ,則。C的半徑長為（A. 4B. 3C. 2D. 2版15 / 56例4、如圖，已知圓心角/BOC=80 ,那么圓周角/BAC=度.例5、如圖，ABCD是圓內(nèi)接四邊形,E為DA延長線上的一點(diǎn)，若/C=45 , AB=,則/ BAD=，點(diǎn)B到AE的距離為例6、如圖，OC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A與點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4） , M 是圓上一點(diǎn)，/BMO=120 .（1）求證：AB為。C直徑；（2）求。C的半徑及圓心C的坐標(biāo).舉一反三：1、一條弦把圓周分成1: 4兩部分，則這條弦所對(duì)的圓周角為（）A. 36°B. 144°

13、;C. 150°D. 36°或 144°2、如圖，A, B, C三點(diǎn)都在。上，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，/AOC=140 , / CBD 的度數(shù)是（）A. 400B. 500C. 700D. 110°3、如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)C, D在。上,/BAC=30 ,則/ADC=4、如圖，在。中，直徑AB垂直弦CD, E為弧BC上一點(diǎn)，下列結(jié)論：/ 1 = /2；/ 3=2/4；/ 3+/5=180°.其中正確的是 （填序號(hào)）D5、如圖，已知 AB=AC , /BAC=120 ,在BC上取一點(diǎn)O,以O(shè)為圓心OB為半徑作 圓，且。過A點(diǎn)，過A作AD /

14、BC交。于D,求證：（1） AC是。O的切線；（2）四邊形BOAD是菱形.B考點(diǎn)5、垂徑定理例1、在圓中，下列命題中正確的是（）A.垂直于弦的直線平分這條弦B.平分弧的直線垂直于弧所對(duì)的弦C.平分弦的直徑垂直于這條弦D.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平分這條弦例2、如圖，AB是。的弦，C是AB的三等分點(diǎn)，連接OC并延長交。于點(diǎn)D.若OC=3, CD=2,則圓心。到弦AB的距離是（）A. 6也B. 9C.后 D. 253石例3、如圖，。0中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)E, /AEC=45 , OFXCD,垂足為F,OF=2, DE=3, WJ DC=人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有

15、關(guān)性質(zhì)(有答案)例4、已知。內(nèi)有一點(diǎn)M,過點(diǎn)M作圓的弦，在所有的弦中，最長的弦的長度為10cm, 最短的弦的長度為8cm,則點(diǎn)M與圓心。的距離為 cm.例5、已知：如圖，點(diǎn)P是。外的一點(diǎn)，PB與。相交于點(diǎn)A、B, PD與。相交 于 C、D, AB=CD . 求證：(1)PO¥/BPD; (2) PA=PC.例6、如圖所示，已知點(diǎn)0是/EPF的平分線上的點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心的圓與角的兩邊分別交于A, B和C, D.求證：AB=CD .(1)若角的頂點(diǎn)P在圓上，如圖所示，上述結(jié)論成立嗎？請(qǐng)加以說明；(2)若角的頂點(diǎn)P在圓內(nèi)，如圖所示，上述結(jié)論成立嗎？請(qǐng)加以說明.舉一反三：1、如圖，將半徑為8

16、的。沿AB折疊，弧AB恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB長為(A.邛B. 4。C. 8。D. 82、如圖，兩個(gè)圓都以。為圓心，則下面等式一定成立的是()A. AB=CD B. AB=BCC. BC=CDD. AD=2BC3、如圖：已知/ACB=90 , AB、CD的交點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，若 AB=10, CD=8,則AP的值為.B(1) (2)(3)4、如圖，M是。O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過點(diǎn)O,若CD=4, EM=6 ,則。O的半徑 為.5、如圖，OO中，弦AB, CD相交于P,且四邊形OEPF是正方形，連接OP.若。O 的半徑為5cm, 0P=3向而，求AB的長.考點(diǎn)6、垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例1、如圖

17、，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某臺(tái)風(fēng)中心位于A市正東方向300km的點(diǎn)。處，正以20km/h 17 / 56人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）的速度向北偏西600方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心250km范圍內(nèi)都會(huì)受到影響，若臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度和方向不變，則A市受臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)的時(shí)間是（）A. 10hB. 20hC. 30h23 / 56例2、如圖，直徑為20cm,截面為圓的水槽。中有一些水，此時(shí)水面寬 AB=12cm, 后來水面上升了一定距離，但仍沒有超過圓心，此時(shí)水面寬AB=16cm,則水面上升了 cm.例3、如圖所示，已知B、C兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)相距25千米，有一個(gè)自然保護(hù)區(qū) A與B相距15

18、 千米，與C相距20千米，以點(diǎn)A為圓心，10千米為半徑是自然保護(hù)區(qū)的范圍，現(xiàn)在要 在B、C兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)之間修一條筆直的公路，請(qǐng)問：這條公路是否會(huì)穿過自然保護(hù)區(qū)？試通過計(jì)算加以說明.例4、高致病性禽流感是一種傳染性極強(qiáng)的傳染病.（1）養(yǎng)殖場(chǎng)有4萬只雞.假設(shè)有一只雞得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第天將新增病雞10只，到第三天又將新增病雞100只，以后每天新增病雞數(shù)依此類推， 請(qǐng)問到第四天，共有多少只雞得了禽流感？到第幾天，所有的雞都會(huì)感染禽流感？（2）為防止禽流感蔓延，防疫部門規(guī)定，離疫點(diǎn) 3千米范圍內(nèi)為捕殺區(qū).所有的禽類 全部捕殺.離疫點(diǎn)35千米范圍內(nèi)為免疫區(qū)，所有的禽類強(qiáng)制免疫；同時(shí)對(duì)捕殺區(qū)

19、和 免疫區(qū)的村莊，道路實(shí)行全封閉管理.現(xiàn)有一條筆直的公路AB通過禽流感病區(qū).如圖所示，。為疫點(diǎn)，到公路AB的最短距離為1千米，問這條公路在該免疫區(qū)內(nèi)有多少千 米？（結(jié)果保留根號(hào)）舉一反三:1、當(dāng)寬為2cm的刻度尺的一邊與圓相切時(shí)，另一邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)如圖所示（單位：cm）,那么該圓的半徑為（）A. 3cm2、某施工隊(duì)在修建高鐵時(shí)，需修建隨，如圖是高鐵隧道的橫截面，若它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，路面AB=10米，凈高CD=7米，則此圓的半徑OA的長為.3、臺(tái)風(fēng)罪特”來襲，寧波余姚被雨水 圍攻”，如圖，當(dāng)?shù)赜幸还皹驗(yàn)閳A弧形，跨度AB=60 米，拱高PM=18米，當(dāng)洪水泛濫，水面跨度縮

20、小到 30米時(shí)要采取緊急措施，當(dāng)時(shí)測(cè)量 人員測(cè)得水面AiBi到拱頂距離只有4米，問是否要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由.04、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交會(huì)，且/QPN=30 .點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m, 一輛拖拉機(jī)從P沿公路MN前行，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪聲影響， 那么該所中學(xué)是否會(huì)受到噪聲影響，請(qǐng)說明理由，若受影響已知拖拉機(jī)的速度為18km/h, 那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多長？.V第三部分課堂小測(cè)1、下列說法錯(cuò)誤的是（A、直徑是圓中最長的弦B、長度相等的兩條弧是等弧C、面積相等的兩個(gè)圓是等圓D、半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧2、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O, AC平分/

21、BAD,則下列結(jié)論正確的是（A . AB=ADB. BC=CDC .D . zBCA=zDCA3、如圖,A. 4B. 6C. 8D. 12ABC 內(nèi)接于。O, /BAC=120°, AB=AC = 4, BD 為。的直徑，則 BD等于（）4、在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，則該弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是（D. 60 °或 120A. 300B. 30°或 150°C. 605、圓材埋壁”是我國古代九章算術(shù)中的一個(gè)問題，今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言表示是： 如圖，CD為。O的直徑，弦ABXCD,垂

22、足為E, CE=1寸，AB=10寸，求直徑CD的長”.依 題意，CD長為（）A. 12.5 寸B. 13 寸C. 25 寸6、如圖，在半彳全為5的。中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且AB=CD=8 ,則OP的長為（A. 3B. 4C. 342D. 4石7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)是（10, 0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8, 0）, 點(diǎn)C、D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形.則點(diǎn) C的坐標(biāo)是（）A. (1, 2)B. (1,3)C. (2, 3)D. (2, 4)8、在半徑為5的圓中，弧所對(duì)的圓心角為90°,則弧所對(duì)的弦長是 .9、已知圓中一弦將

23、圓分為1: 2的兩條弧，則這條弦所對(duì)的圓心角為 度.10、如圖，圓心角/AOB=100 ,則圓周角/ACB=度.11、如圖，等邊三角形 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在©O±, D是個(gè)上任一點(diǎn)（不與A、C重合），則/ADC的度數(shù)是 度.12、如圖，在。中，弦 AB/CD,若/ABC=40 , WJ / BOD=13、如圖，A, B, C三點(diǎn)在。上，且AB是。的直徑，半徑 ODLAC,垂足為F,BC=若/A=30° , OF=3, WJ OA=, AC=14、如圖，半圓O的直徑AB=8 ,半徑OCAB, D為弧AC上一點(diǎn)，DELOC, DFXOA, 垂足分別為E、F,求EF的長

24、.15、如圖，點(diǎn)A, B, C, D在。上，。點(diǎn)在/D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊 形，求/OAD+/OCD的度數(shù).16、如圖，在破殘的圓形殘片上，弦 AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C,交弦AB于點(diǎn)D,已知 AB=8cm , CD=2cm.（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求出（1）中所作圓的半徑.17、如圖，在。中，C、D是直徑AB上兩點(diǎn)，且AC=BD, MCXAB, ND LAB, M、N在。上.(1 )求證：AM =BN ；(2 )若J D分別為OA% OB中點(diǎn).則Rvi=成立嗎？18、如圖，P是。外一點(diǎn)，PAB, PCD分別與。相交于A, B, C, D.(1

25、) PO平分/BPD； (2) AB=CD； (3) OEXCD, OF,AB； (4) OE=OF.從中選出兩個(gè)作為條件，另兩個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并加以證明.第四部分提高訓(xùn)練1、如圖，MN是。的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是劣弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn).若 MN= 2<2 ,則PA+PB的最小值是。人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）B2、如圖，C是以點(diǎn)。為圓心，AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，且 COXAB,在OC兩側(cè)分別 作矩形OGHI和正方形ODEF,且點(diǎn)I, F在OC上，點(diǎn)H, E在半圓上，可證：IG=FD .小 云發(fā)現(xiàn)連接圖中已

26、知點(diǎn)得到兩條線段，便可證明 IG=FD.請(qǐng)回答：小云所作的兩條線段分別是 OH和OE；證明IG=FD的依據(jù)是矩形的對(duì)角線相等，同圓的半徑相等和等量代換.3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) M (0, J3)為圓心，以2/3長為半徑作。M交 x軸于A, B兩點(diǎn)，交y軸于C, D兩點(diǎn)，連接AM并延長交OM于P點(diǎn)，連接PC交 x軸于E.(1)求出CP所在直線的解析式；(2)連接AC,請(qǐng)求4ACP的面積.4、如圖，AB 為。的直徑，弦 CDLAB 于 E, /CDB=15 , OE= 2內(nèi).(1)求。的半徑；(2)將AOBD繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使弦BD的一個(gè)端點(diǎn)與弦AC的一個(gè)端點(diǎn)重合，則弦BD 與弦AC的夾角

27、為.第五部分課后作業(yè)1、中央電視臺(tái) 開心辭典”欄目曾有這么一道題：圓的半徑增加了一倍，那么圓的面積增加了（）A. 一倍B.二倍C.三倍D.四倍2、下列語句中，正確的有（）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；平分弦的直徑垂直于弦；長度相等的兩條弧是等弧；經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸.A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)3、。0中，M為|翁的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. AB>2AMB. AB=2AMC. AB <2AMD. AB與2AM的大小不能確定4、如圖，。是4ABC的外接圓，已知/ABO=30 ,則/ACB的大小為（）A. 60°B. 300C. 45°

28、D. 50°5、下列說法錯(cuò)誤的是（）A,圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)B,圓內(nèi)接四邊形的鄰角互補(bǔ)C.圓內(nèi)接平行四邊形是矩形D.圓內(nèi)接梯形是等腰梯形6、如圖所示，AB是。的直徑，AC為弦，0DLAC于點(diǎn)D,且0D=1cm,則BC的長 為（）A. 3 cmB. 2 cmC. 1.5 cmD. 4 cmC7、四邊形ABCD內(nèi)接于。O, E在BC延長線上，/ DCE=70 ,則/ BOD等于（A. 100°B, 110°C. 140°D. 70°8、如圖，AB為。的直徑，OC與。內(nèi)切于點(diǎn)A,且經(jīng)過點(diǎn)O,。的弦AE交。C于D,則下列關(guān)系不成立的是（）A. ODX

29、AEB. OD=-BE C. OD/BE D. / B=60°227 / 569、如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在城正西方向 300千米的B處，并以每小時(shí)10r千 米的速度沿北偏東60。的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200千米的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，則A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為（A,”小時(shí)3B. 10小時(shí)C. 5小時(shí)10、如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C、D在。O上,/ BOC=110 , AD / OC,則/ AOD=11、如圖，在4ABC中，/C=90°, /B=28°,以C為圓心，CA為半徑的圓交 AB于點(diǎn) D,交BC于點(diǎn)E,則弧AD的度

30、數(shù)為。人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)(有答案)12、一種花邊是由如圖的弓形組成的，弧 ACB的半徑為5,弦AB=8,則弓形高CD 為13、已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,/A： /B： /C=2： 5： 7,則/D=29 / 5614、圓心到圓的兩條平行弦的距離分別為 2和5,則這兩條平行弦間的距離為15、如圖：A、B、C是。上的三點(diǎn)，/AOB=50 , / OBC=40 ,求/OAC的度數(shù).16、如圖，在。中，C為逅的中點(diǎn)，連接AC并延長至D,使CD=CA,連接DB并延長DB交。于E,連AE.(1)求證：AE是。O的直徑；(2)求證：AE=DE.17、如圖，等

31、腰三角形ABC中，BA=BC,以AB為直徑作圓，交BC于點(diǎn)E,圓心為O.在EB上截取ED=EC,連接AD并延長，交。于點(diǎn)F,連接OE、EF.(1)試判斷4ACD的形狀，并說明理由；(2)求證：/ADE=/OEF.18、有一石拱橋的橋拱是圓弧形，當(dāng)水面到拱頂?shù)木嚯x小于3.5米時(shí)，需要采取緊急措施.如圖所示，正常水位下水面寬 AB=60米，水面到拱頂?shù)木嚯x18米.求圓弧所在圓的半徑.當(dāng)洪水泛濫，水面寬MN=32米時(shí)，是否需要采取緊急措施？計(jì)算說明理由. . f . .A4rixN*>Jj'I»AB19、已知：如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)C、D為圓上兩點(diǎn)，且弧 CB=M CD,

32、CFXAB 于點(diǎn)F, CEXAD的延長線于點(diǎn)E.(1)試說明：DE=BF;(2)若/DAB=60 , AB=6,求 4ACD 的面積.人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）20、如圖，AB、CD是半徑為5的。的兩條弦，AB=8, CD=6, MN是直徑，AB ±MN 于點(diǎn)E, CDXMN于點(diǎn)F, P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為多少？33 / 56第15講圓的有關(guān)性質(zhì)第二部分考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、圓的認(rèn)識(shí)例1、A例2、A例3、解：到點(diǎn)。的距離等于8的點(diǎn)的集合是：以點(diǎn)。為圓心，以8為半徑的圓.故答案是：以點(diǎn)。為圓心，以8為半徑的圓.例4、連接

33、CD-4 t 0D-3 ,在RteDg r，。二。炭+仃炭二產(chǎn)+盧目故答案為：10 .例5、解答:'/BD=OA f OA=OB所以AOB和BOD為等腰三角形f設(shè)上D=x度f則上。BA=2x"因?yàn)椤=OA ,所以上A=2x"在AACE中 f 2x+2x+ ( 105-x ) =180 ,解得¥=25 f即上D=25L人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)(有答案)例6、解寫.解：CD為。中兩條直徑:aOA=OB , 0C二。D ,vCE=DF,aOE=OF,在ZSOF和BOE中，(QA-OB(乙4d尸=上BOE tOFOEaAAOF

34、ABOE ( SAS ),/.AF=BE .舉一反三：1、B2、B3、 解：陰影部分的面積應(yīng)等于圓£ n ( 4-2 ) 2=ncm24、1-'OA = OB , AB = BO ,/.OA=OB=AB ,即OAB是等邊三角形,YBC平分/AB。，OA=2AC=6,e 0的周長為2nOA=2nx6=12n .故答案為12tt.# / 56人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）解答：解：連結(jié)OD ,如圖， b/figAB=2CD ,/.OD=CD.1.ZDOC=ZC=25C ,.1.zEDO = zDOC + zC=50", /OD-O

35、E, .1.zE=zEDO=50" , . .zAOE=ZE+ZC=75a .考點(diǎn)2、弧、弦、圓心角的關(guān)系例1、D例2、B 例3、 辭管：率 /若AB=8 , J&4S =CD t 上AOB=CO口=CD t 貝I有 AB=CD,上AOBzCOD ；若上AOB=COD ,貝ij有意=冷 ，AB=CD .例4、解答：解：AB是。的直徑，OD±BC , zABC=30° .zBOD=90°-zABC = 60a , /.zDCB=izBOD = 30° .2乂為弧AB的中點(diǎn)r 工弧AO弧BC , lAOC=qBOJ vCNiOB,CD

36、77;OA , CN=4cm f /-CM=：CN=4cm ,<M±OA ,即。M，CD , 由垂徑定理得：CD=2CM=8cm f 故答案為：8 .例6、試題癬折：連結(jié)0C ,如國，,ODllBC , r z2=z3X /OB=OC r .zB=z3 t .zl=z2 , .AD=DC -舉一反三：41 / 56zOCD=i8oy二75" ./ OEF=/OCD,CD / AB , ./AEC=/OCD, ./ACO=/AEC. 故 AC=AE, 同理，BF=BD .又.AC=CD=BD . CD=AE=BF .考點(diǎn)3、圓周角的應(yīng)用例1、C例2、C例3、貝!)ZAD

37、C=ZABC=5O。 AD是0。的直徑, AiACD=90B,1CAD+zADC=90e,1CAD=900-zADC=900-500=40° .例4、/.BQ=V2 .故答案為：V2 .解：連接AQr BQj,ZP=45 ，、ZAQB=90，妊Q是等腰直角三角形.,AB=2,/.2BQM,例5、試題解析：（D如圖，圖:耽是00的直徑,.Zcae=Zedc=90° .'在直角ACAB中'BC=10, AB=6j .由勾股定理得到：=BC AB = W0：=6H = 8"AD 平分/CAB.CD = SD，1CD=BD.如圖，連接OB, 0D.仙平分/

38、CAB,且NCABWO*.'.ZDAB=- ZCAB=3Oe , 上，/DOB=2NdAB=600 .例6、在直角BM中，BC-10 > CD2+BDBCS，易求BD=CD=;.Zdae=- Zcae=3Oc , J.Zdob=2Zdab=60° .又 OE=OD,，。日得等邊三角形.BD=OB=OD.70。的直徑為16則OB=5,.BD=5.解答:解：(1 ) iBC為半圓。的直徑,OA為半徑,且。A匚 /.zB=zOAF=45° f OA=OB ,又tAE=CF,AB=AC ,-BE=AF, .ABOE=AAOF，S四娜aeof二smob= OB*OA=2

39、 .(2 )BC為半圓。的直徑， .BAC=90"且AB =AC=2, y=SAOEF=S四翊AEOF-5叢EF=2-； AEAF=21x ( 20=x ) 二y" x2-0x+2 ( 0 <x< m).1、B 2、D 3、AB為。的直徑，BC=2cm f 上CAB=30°工上,/.AB=2BC=2>2=4cm .4、解：（1）二.以。O的半徑OA為直徑作。O1,。0的弦AD交。O1于C, ./ACO=/ADB=90 ,OCXAC,即 OCXAD；OC與AD的位置關(guān)系是：垂直；（2） . /ACO=/ADB=90 ,OC/ BD;OC與BD的位置

40、關(guān)系是：平行；（3） v OA=OB , OC/BD, . AC=CD ,BD=2OC=2 2=4 （cm）.故答案為：（1）垂直，（2）平行，（3）4.5、解笞：證明：(1 )應(yīng)是圓。的直徑, zBAC 二 9。1,JBAD+上 CAD=901又 AD1BJ,上ACB+上CAD=90* ,az.BAD=ACB ；(2 ) yMBA等于弧AF ,.z.ACB = z.ABF t上BAD=上ACB ,iABF=zBAD,*AE= BE .考點(diǎn)4、圓內(nèi)接四邊形例1、C例2、D例3、C例4、如圖；在優(yōu)弧BC上取一點(diǎn)D ,連接BD、CD 由圓周角定理，得：上zBOC=40a ； 四邊形ABDC內(nèi)接于。

41、， AzBAC+iBDC=180° ； ;.zBAC=180°-iBDC=140° .過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)F ；ABCD為園內(nèi)接四邊形f若上C=45" 二上DAR十上C=180*,zEAB+xBAD = 180° .zBAD=135° .AzEAB-zC=45°r.AF=BFiAB=© rz.BF=1，點(diǎn)B到AE的2璃為1 .例6、人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）(1 ) TOC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),/,zAOB=90° ,，AB是日C的直徑.(2 )四妍AOMB是圓內(nèi)接四妍

42、，上BMO=120*, 箱據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到上QAB=601,二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4) r aOA=4 r,.AB=2OA=8 r在第二象限, C點(diǎn)橫坐標(biāo)小于。，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,v) ffi¥SAC=OC=4 r WcETECT "c-yCHED)2 i則/、' =x1、D 2、C 1AB是。的直徑,JyACB 901azB=1800-zACB-zCAB=18(o-90"-30o=60o fvxB+xD=180a , AzD=180s-60120fl .故答案為120* . X4-v)2 =4 ,解得V=2,x=-2后或x=2(舍去)故0 c的

43、半徑及園X的坐標(biāo)分別為：4 , (-24，2 )舉一反三：47 / 56根據(jù)圓周角定理,得q2BA J因?yàn)镺A=OC f所以JzBAJ所以一32 ,正確；由垂徑定理，得上4=上BA J因?yàn)樯?是的外角,所以，3=z8AC+z1=2BAC=24 r 正確；因?yàn)樗倪呅蜠BEC為圓內(nèi)接四邊形，所以工2+上5=180與前吳.故正確的是5、(1 )證明：vAB=AC , zBAC=120° r qAEC="" ( 1800-xBAC ) =30"vOA=OB t工上ABO=上BAO=30°， AzOAC=1200-30o=90° f BPOA1

44、AC f,;0A為。的半徑F，AC是。0的切線.(2 )證明：§連接AEz AOB C+上OAC =期+90°=1201.由圓周角定理得：上AEB=；上AOB=60” ：*D、B、E、A四點(diǎn)共圓 ZD+AEB = 18O ,lADE=120,1/ADIIBC , azDAO+zBOA=180° r azDAO=60° ,.zDB0=360a-600-120o-120a=60ft , 即上D二±BQA ,-DBO二二DAO f，四邊形BOAD是平行四邊形r '.'OA=OB f二平行四邊形BOAD是菱形.考點(diǎn)5、垂徑定理例1、D例

45、2、C例3、丁在00中，弦8與直徑AB相交于點(diǎn)E , 0F_LCD ,aDF=FC 垂徑定理）；VzAEC=45° , 0F±CD ,EF0為等腰直角三角形t0F=2 ,aEF=2 ；vDE=3 faDF=DE+EF=3+2=5 ；aCD=2DF=10 .故答案是：10 .例4、C ,一直徑CD，弦 ABf pl A .'.AM=1 x8=4cm .jy J在直角 AOAM中10M=a OA-AAr=3cm故答案是：3cm .D例5、證明：（1 ）過點(diǎn)。作OE，AB f 0F1CD f垂足分別為E、FvAB=CD,，OE=OF , P0平分上BPD ；(2 )在 R

46、SPOE 與 RtAPOF 中 t:OP=OP r OE=OF f/.RtAPOEsRtAPOF,1,PE=PF,AB=CD f OE±AB r OF±CD , E、F分別為垂足二AE亭E ,cfJcd ,/.AE=CF ,'.PE-AE=PF-CF r 即PA=PC .例6、圖圖圖證明：過點(diǎn)0|乍。G±AB于點(diǎn)G，作OHKD于點(diǎn)H ,._0P平分上EPF,/.OG=OH f/.AB=CD . 1 成立.理由：過點(diǎn)CM乍OGLAR于點(diǎn)G J乍。H，CD于點(diǎn)H ,1.0P平分上EPF ,/.OG=OH raAB=CD .(2)成立.理由：過點(diǎn)。I乍。GAE于

47、點(diǎn)G ,作0H工CD于點(diǎn)H , vOP平分上EPF，OG=OH r aAB=CD .舉一反三：1、C2、A3、4、連接0C "CB=90" 二AB是直徑 'CP=DP=4 aAB±CD aOP=3 aAP=2 .iSoc,vM是。中弦CD的中點(diǎn).EM經(jīng)過點(diǎn)。.CD=4aEMiCD,CM4 CD=2 ,設(shè)0=,則0M=6-f ,在RLiOCM中,IQOM2+M2=OC2,即（6-）f 解得=7 .5、故答案為：y.®SOAf,:四邊形OEPF是正方形 .OE_LAB且平分AB ,即AE=EB .-OPcm T. QE2+P%OP2 r 即2OE2=

48、（30）2 解得,0E=3cm11.-0A=5cm.'.AE2=OA2-OE2 . KAE2=5a-32 t 解得 t AE=4cm .1, AB=2AE , /.AB=8cm . 故答案為：8cm ,考點(diǎn)6、垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例1、B例2、aOA=OAi = W 'OE-AB f AB=12cm ,?.AE=6; iOE= OA2-O£p 1 r-62 =8 ( cm ).vAiB-|16cm ,?. AD/n 0 D = Q4= P-gJ =6( cm )aDE=OE-OD=8-6=2 (cm) .工水面上升了2cm .故答案為："例3、vABACa=1

49、52+2O£=252=CB2 , 二ABC為直角三角形, 作ADLBC于D點(diǎn)f,11“ C.,5叢BC- AB*AC=j BC*AD , 即：15x20=25-AD , 解得AD=12 f v12> 110 , ,不會(huì)穿過.例4、(1 )第四天 < 共有1+10+100+1000=1111只雞得了禽流感； 第五天,共有1111+10000=11111只雞得了禽流感,那么到了第六天將會(huì)有十多萬只雞會(huì)W禽流感，而養(yǎng)殖場(chǎng)有4萬只雞 所以到第六天，所有的雞都會(huì)感染禽流感；人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)(有答案)49 / 56(2 )如圖，過O乍OE_

50、lAB于E f0A匚5千米t OC=37米f 0E=1千米T由作法得f CE=DE AE=BE f在RSOCE中,CE"32_p =2z-CD=2CE=4j2 ,在RSOAE中，A£=J52T2 =2亞，/.AB-2AE=4j6 ,，AB=CD=4 (其不)千米.答：這條公路在該免疫區(qū)內(nèi)有4 (4-)千米.舉一反三：1、C2、CD1AB,由垂徑定理得AD=5米, 設(shè)圓的半徑為,則結(jié)合勾股定理得od'adMoaZ 即(7-r )。5建九解得罵米.故答案為：5米.3、連接OA、0A,如下圖所示: P0由®得：AB=60m,PM=18m f PN=4m f OA

51、=OAj=OP=ROP1AB f OP1A1B1由垂徑定理可得：AM=MB=30m人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)（有答案）在RtAAMO中.由勾股定理可得：aoi=am2+mo2即日曲（R-18） ?解得R=34mvPN-4m f OP=R=34m,1,ON=30m在RSONA1中t由勾股定理可得:AiM=AiC?-oM可得A#二16m故A B-=32rn > 30m故不用采取緊急措施.過點(diǎn)A作ABMN于B ./zQPN=30° f AP=160m ra AB =7 AP=I x 160=80 ( m ),v80 <100 r,該所中學(xué)會(huì)受到

52、噪聲影響；以A為圓心,100m為半徑作圓，交MN于點(diǎn)C與D .®AC=AD=100m , 在RSABC中，在二1c21/ =60 ( m ) f '. AC=AD , AB±MN ,，ED二BC=60e tACD=BC+BD=120m , .18km/h=5m/s f ，學(xué)校受影響的時(shí)間為：120:5二24 (秒).第三部分課堂小測(cè)1、B2、B3、C4、B6、C7、B8、解答:解”弧所對(duì)的圓心角為90° ,所得三角形是等腰直角三角形 又半徑5二弧所對(duì)的弦長.9、 解答,毋：根據(jù)題意畫出圖形為：弦AB把。心成1 : 2兩部分， ，窈的度數(shù)為：薊。£

53、 =120" 又念所對(duì)的圓心角力上AOE f /AOB=120° .10、故答案為：120在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D （不與A、B重合），連接AD、BC 貝加ADBZAOB=1 x100°=50Q ；二四邊形ADBC內(nèi)接于。，二上 ACE = 180°-zADB=18（a-50o=130o11、ABC是等邊三角形 zR=6(TAzADC=180=-605 = 120°12、解答解：ABKD , AzC=ABC=40° f jBOD=2G8Cr . 故答案為.51 / 56人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章圓講義 第15講 圓的有關(guān)性質(zhì)(有答案)/ODXAC f 上.OF=3 f ZAFO=90" 1;OA=2OF=2x3=6 ,，AB=20A=2x6=12 ,