1、西南交通大學峨眉校區2016年全國大學生數學建模競賽第二次預選賽試題題目（A題 自動倒車策略）姓名吳佩倫何青霞學號20141207712014121382專業14級機電14級鐵道運輸聯系電話QQ792160313546452637自動倒車策略摘要本文針對自動泊車系統的研究，參考生活中人工入庫的實際情況，對整個倒車過程車輛運動規律進行深入分析之后，運用了幾何學相關知識求出了車輛在各段泊車的位置，列出了相關不等式并采用數形結合的方法，求解出了泊車起始點范圍，并根據車輛在泊車點附近安全行駛的區域范圍及泊車最終停靠位置的合理性，列出約束條件，通過構建多目標非線性規劃模型，很好的解決了安全倒車入庫的起始

2、點位置問題和最佳泊車策略問題，最后運用了Matlab軟件對模型進行求解。問題一中，題目要求尋找能夠安全倒車入庫的起始點位置所在的區域范圍，首先我們要明確的是影響汽車安全入庫的因素就是車庫周圍物體的阻礙，然后我們將汽車倒車入庫的過程劃分為三個階段，仔細分析汽車倒車入庫的過程之后我們考慮這三段過程中可能會發生的接觸車庫警戒線，列出約束條件，建立數學模型，并采用數形結合的方法對模型進行求解，最終求出汽車能夠安全入庫的起始點位置范圍為下列曲線所包絡的不規則區域。問題二中，題目要求設計出從任意倒車入庫起始點開始的最佳泊車策略，并求出采用最佳策略時的前輪轉角和后輪行駛距離。我們應該在汽車能夠安全倒車入庫并

3、停在最恰當位置的前提下尋求滿足前輪轉角之和最小和后輪行駛距離最短的最佳泊車策略，先針對設任意起始點分析，對問題一中所構建的模型稍加改動，增加了對最終停車位置的約束條件，并針對前輪轉角和后輪行駛距離構建雙目標函數，由幾何問題轉化為多目標非線性規劃問題，因為非具體值，無法通過軟件直接求解，通過任意選取多個具體的值，運用Matlab軟件的fgoalattain函數對該雙目標非線性規劃問題求解，得到多個起始點的最佳泊車策略，并進行了比較分析。關鍵詞：數形結合，Matlab，多目標函數非線性規劃一、問題提出若考慮系統控制容易性，參考人工倒車入庫，當車輛位于與車位垂直的任意位置時，先通過前行或后退到達倒車

4、入庫起始點后，再確定前進轉角或后退轉角，使車身與車位在同一直線上后，直接倒車完成入庫，即“一進二退”。這種兩段式倒車模式提高了泊車過程中車輛行駛的緊湊性，同時減少了泊車行駛空間。考慮某型汽車，假定其長3550mm，寬1495mm，軸距2340mm，前輪距1280mm，后輪距1280mm，目標車庫為小型汽車庫標準大小長6m，寬2.8m，車庫周圍情況如圖，圖中a=400mm，b=8000mm，c=300mm。建立模型給出泊車策略，最終實現汽車自動、安全的停車入庫。（1）假定汽車轉彎時固定按照36度的轉向角前進和后退，建立數學模型，尋找能夠安全倒車入庫的起始點位置所在的區域范圍。（2）建立模型，給出

5、從任意倒車入庫起始點開始的最佳泊車策略，包括前輪轉角、后輪行駛距離。二、基本假設1、假設汽車在自動泊車過程中不存在車輪打滑的情況。2、假設汽車在自動泊車入庫的過程中沒有其他正在行駛的汽車及行人干擾其倒車入庫。3、假設在汽車自動泊車入庫的過程中每一段泊車車車輪轉角都為定值。4、假設汽車在自動泊車過程中車的行駛速度都為7km/h以下的自動泊車安全速度。三、符號說明符號意義單位備注與之間的夾角rad汽車后輪軸中點到車頭頂點連線與汽車中心軸之間的夾角rad汽車在第一段倒車過程中的前輪轉角rad汽車在第二段倒車過程中的前輪轉角rad汽車車身的寬度mt汽車的后輪距m汽車的長度m汽車的軸距m車位的長度m車位

6、的寬度m已經停放好的汽車車身左側與車位左側邊界線之間的距離m表示與之間的距離m已經停放好的汽車車身前沿與車位上邊界線之間的距離md車身與車位在同一條直線上之后，車直線行駛到最終泊車點的距離m汽車第一段行駛軌跡的半徑m汽車第二段行駛軌跡的半徑m四、問題分析4.1 問題背景隨著人們生活水平的逐步提高以及汽車產業及科技的高速發展，很多人都擁有自己的汽車，停車問題成為了很多新司機的困擾，而自動泊車系統就可以解決停車這一難題。自動泊車是一項非常具有挑戰性和實用性的技術。自動泊車系統可通過各類傳感器獲取車位相對汽車的距離，通過控制汽車前輪轉角和瞬時速度控制車輛行駛。 分析影響最佳泊車策略的因素對倒車入庫過

7、程的分析4.2 問題分析 停車位置的優化 車庫周圍障礙物的限制前輪轉角及后輪行駛距離的限制 建立問題一數學模型建立問題二的非線性規劃模型 從日常經驗可知，以自行車為例，如果前輪有一定轉角，在維持轉角不變狀態和無軸向移動前提下自行車走過的路徑將會以某個圓點為中心旋轉，同樣的狀態也會出現在汽車上。其走過路徑如下圖。 根據阿曼克數學模型，從幾何關系及運動學公式可知，在如上圖后輪軸心的運動軌跡可以描述為以半徑的圓周運動。兩個后輪的軌跡分別為和的圓,為該車前輪轉角，推導詳見參考文獻5。 在問題一中，首先明確問題，題目要求尋找汽車能夠安全入庫的起始點位置的區域范圍；然后，我們結合題目信息以及實際生活中的倒

8、車過程，分析了制約汽車安全入庫的影響因素，主要是受到車庫周圍事物的影響；我們將汽車倒車入庫的過程分為三段，前兩段軌跡為圓弧，其中第一段圓弧與第二段圓弧相切，第三段軌跡為直線運動；最后根據車庫周圍障礙物的制約構建不等式，并采用數形結合的方法得到區域范圍，求出區域邊界方程，最后得出滿足汽車安全入庫的起始點位置的區域。 在問題二中，題目要求根據前輪轉角和后輪行駛距離設計出從任意入庫起始點開始的最佳泊車策略，即在問題一汽車安全入庫的基礎上尋求倒車優化方案，從而建立優化模型。為了使得汽車出庫和入庫時行駛方便，參考上圖中車位旁邊的兩輛汽車的停放位置，要使停車位置最佳，則需要在滿足問題一中約束條件的的前提下

9、增加對停車位置的約束，并構建有關汽車行駛距離和兩段泊車轉角的多目標函數非線性規劃，將任意點看做取多個具體點，最后運用Matlab軟件進行求解，得到每個具體起始點的最優泊車策略。五、模型的建立與求解5.1 問題一模型建立與求解5.1.1 問題一的分析問題一中，我們參考了生活中倒車實際情況的同時，結合題目信息，將倒車的過程分為三段。如圖所示，從汽車位于與車位垂直的任意位置時起，至汽車按照題目已知的轉向角36度前進到某一合適的地點止，為第一段，第一段路程的軌跡是一段半徑為圓心角為的圓弧；汽車從第一段行程的終點按照相同的轉向角36度后退到車身與車位在同一條直線上止為第二段，由如圖1幾何關系知第二段路程

10、的軌跡是一段半徑為圓心角為的圓弧；最后汽車沿直線行駛距離后直接后退到車位的合適位置停車，為第三段。那么，為保證汽車能夠安全倒車入庫，影響其倒車起始點位置所在區域范圍的約束條件有四個：第一，汽車位于第一段路程的起始點與車位垂直時，車身不能越過和；第二，汽車在第一段路程的終點處不能越過上邊界線；第三，汽車在倒車的第二段過程中，車身（輪廓線在地面的投影）不能越過D點；第四，汽車在倒車的第三段過程終點停車時，車身左側不能越過FG，右側不能越過DE。5.1.2 問題一模型的建立通過對原問題的分析，我們以汽車兩后輪連線中心點的軌跡代替汽車的運行軌跡，可以建立如下的數學模型. 首先明確變量：如圖，以車位的左

11、下角頂點F為坐標原點，設汽車位于初始點位置時，兩后輪連線中心點坐標為,汽車位于第一段路程的 終點處時，兩后輪連線中心點坐標為，汽車位于第二段路程的終點處時，兩后輪連線中心點坐標為，汽車在第三段路程的終點處停車時，兩后輪中心點坐標為，汽車在第一段和第二段過程中兩后輪連線中心點軌跡為圓弧，設第一段軌跡圓心為，半徑為,第二段軌跡圓心為，半徑為，。 圖1Step1：取F點坐標為（0,0）用不等式表示出約束條件1，即汽車位于第一段路程的起始點與車位垂直時，車身不能越過。 （1-1）式中：n表示車位的長度 b表示之間的距離 W表示汽車的寬度Step2:用不等式表示出約束條件2，即汽車在第一段路程的終點處不

12、能越過上邊界線。 汽車從運動到過程中，軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧，為汽車沿圓弧前進時的前輪轉角，則的坐標用表示為 ， ，由勾股定理得 ，則A點的縱坐標為，由圖像易得由此可得 （1-2）式中：W表示汽車的寬度 S表示汽車的長度 L表示汽車的軸距Step3:用不等式表示出約束條件3，即汽車在倒車的第二段過程中，車身（輪廓線在地面的投影）不能越過D點。在第二段過程中，當汽車運行到車身與線段垂直時，汽車兩后輪連線中點為，此時汽車剛好以全部的車身長度側對,車身離車位邊角點的距離最小，所以需滿足。在直角三角形中,點橫坐標為,點的縱坐標為，D點坐標為（m，n）,則由兩點間的距離公式得。當且時需滿足,即當且

13、 時， （1-3） 式中：m表示車位的寬度Step4: 用不等式表示出約束條件4，即汽車在倒車的第三段過程終點停車時，車身左側不能越過FG，右側不能越過DE。如圖所示，兩后輪連線中點點的橫坐標為,則，由此可得 （1-4） （1-5）另外兩后輪連線中心點的縱坐標為，則， 在問題一中，題目假定汽車轉彎時固定按照36度的轉向角前進和后退，即，綜上所述，由1-1到1-5知問題一的模型為5.1.3 問題一模型的求解算法步驟與結果。如果模型求解比較困難，可以采取簡化方法或者啟發式算法或者暴力索或者計算機模擬等方法求解搜。對于問題一，我們采用了數形結合的方法求解，求解結果為下列曲線 所包絡的不規則區域。 S

14、tep1:分析模型的解法首先我們先將題目已知的數據代入模型一建立的不等式中，得由模型知必須滿足且當時，必須有,設，其中由 化簡得先將看作常量，在坐標系內畫滿足上述不等式的可行域注意到圓心的橫縱坐標由上述圓的參數方程得點的軌跡為以為圓心，6.44為半徑的1/4圓，設，為與y軸的夾角。因為，所以。則如下圖所示每一個角都可以對應一個如上圖所示的一個范圍，在該范圍內的起始點坐標均滿足約束條件，則當在變化時，只要落在每個對應的范圍掃過的區域之內則表示對于該點至少存在一個使滿足以上不等式所有約束條件。 則上述黑粗實線包絡區域則為滿足上述不等式的的區域范圍，而又因為，所以必須要滿足不等式，則由數形結合方法進

15、一步縮小包絡區域。Step2：求區域邊界的方程對于最上邊界，由圖知最頂端邊界為。對于左上邊界，由模型式2：知左上端的的曲線方程為，而, ，帶入得曲線軌跡方程為。對于左邊界，由圖知左邊界垂線為。對于最下端邊界，由圖知對于右下中部邊界。某個對應區域范圍距離圓心的距離最短時的點即為下部邊界上一點，設當時，對應區域最低點P離N點的距離為該區域距離N的最短距離，則連線剛好與區域最下端點相交，此時，所以當時，則每個對應范圍最低點P為該范圍距離N最短的點，則右下中部邊界為P點掃過的軌跡，P點相對于M點的坐標為帶入M點軌跡方程得P點的軌跡方程即為右下中部邊界軌跡方程。當。對于右下邊界，右下端為以為圓心2.47

16、為半徑的軌跡圓，軌跡方程為。對于右邊界滿足。綜上所述，求得問題一的結果為下列曲線方程所包絡的不規則區域。用幾何畫板在相應范圍內作出上述各邊界的軌跡曲線，并同時作出車庫各邊界，得到滿足汽車安全倒車入庫的起始點范圍如下圖。 圖a5.1.4 問題一結果的分析及驗證由模型一求解得知求解出區域為七條曲線所包絡的范圍，由該區域知若行駛的車輛在到達起始點過程中若太靠近停車場左端，曲線所包絡起始點區域較少，則以36°車輪轉角自動泊車很難實現，若希望車輛自動泊車更順利，有更多起始點，則應在停車場行駛到泊車起始點過程中應盡量靠右端行駛。在圖a網格圖中在包絡區域左下角任取起始點，帶入問題一模型式1,2,3

17、,4,5得取，帶入不等式成立，即滿足模型成立。同理，在圖a網格圖中在包絡區域中上部分任取起始點，帶入問題一模型式1,2,3,4,5，取成立，滿足模型成立。右下部分取一點，帶入模型，取成立，此點也滿足模型。現在圖a網格圖中取區域外一點，帶入模型中得不等式解為空集，所以不成立。繼續取區域邊界外靠近邊界一點（5，5），帶入模型得不等式解集也為空集。由大致取點驗證知，模型一模型求解正確。5.2 問題二模型建立與求解5.2.1 問題二的分析 在問題二中，題目要求根據前輪轉角和后輪行駛距離設計出從任意入庫起始點開始的最佳泊車策略，即在問題一汽車安全入庫的基礎上尋求停車位置的優化方案。為了使得汽車出庫和入庫

18、時行駛方便，參考上圖中車位旁邊的兩輛汽車的停放位置，要使停車位置最佳，則需要在滿足問題一中約束條件的的前提下滿足如下約束條件：第一，汽車停車過程結束時，車身左側與車位左側邊界線之間的距離應大于a，車身右側與車位右側邊界線之間的距離也應大于a；第二，汽車停車過程結束時，車身前沿與車位上邊界線之間的距離應大于c，車身后沿與車位下邊界線之間的距離也應大于c。根據互聯網相關資料，因為汽車自動泊車借助傳感器雷達等電子設備感應周圍障礙物，通過計算機來控制方向盤轉角，轉角越大，計算機則需要通過控制汽車動力系統提供更多動能以供更大的轉矩，不便于計算機控制，以及長時間會損耗動力系統。所以為了使得泊車策略最佳，停

19、車更方便快捷，則需滿足汽車在第一段倒車過程中的前輪轉角與第二段倒車過程中的前輪轉角之和較小（前輪轉角即汽車轉向角，經查閱資料知，一般汽車的轉向角在30度到40度之間），并且，汽車在整個倒車入庫過程中后輪的行駛距離也應盡可能的小使得汽車能耗小。則有約束條件建立了一個多目標非線性規劃模型因為起始點為任意點，無法編程運行，則可取多個滿足模型條件的具體分別求每個點最優泊車策略，用matlab求解完成5.2.2 問題二模型的建立Step1:用不等式表示出約束條件一，即汽車停車過程結束時，車身左側與車位左側邊界線之間的距離應大于a，車身右側與車位右側邊界線之間的距離也應大于a； 設任意一起始點坐標為因為汽

20、車在停車終點處時，兩后輪連線中心點橫坐標為，則，即 （2-1） （2-2） 式中：表示汽車車身的寬度 表示車位的寬度 表示圖中已經停放好的汽車車身左側與車位左側邊界線之間的距離Step2:用不等式表示出約束條件二，即汽車停車過程結束時，車身前沿與車位上邊界線之間的距離應大于c，車身后沿與車位下邊界線之間的距離也應大于c。 因為汽車在停車終點處時，兩后輪連線中心點的縱坐標為，則，即 （2-3） （2-4） 式中：表示汽車在第三段停車過程中直線行駛的距離 表示汽車的長度 表示汽車的軸距 表示車位的長度 表示圖中已經停放好的汽車車身前沿與車位上邊界線之間的距離Step3:建立目標函數。因為在第一段倒

21、車過程中后輪行駛距離，第二段倒車過程中后輪行駛距離為,第三段倒車過程中后輪行駛距離為d。則 式中：表示汽車在第一段倒車過程中的前輪轉角 表示汽車在第二段倒車過程中的前輪轉角 表示汽車在第三段倒車過程中后輪行駛的直線距離 綜上所述： 目標函數為5.2.3 問題二模型的求解該模型為多目標非線性規劃模型，求解該優化問題程序主要應用了matlab的fgoalattain函數來實現對多目標規劃的求解，在求解程序中分別另，由于是求解任意下的最優解，若不設為具體數值的話無法用程序運行出結果，則本題解法主要采用將取為若干具體值，分別求解在若干下的最優解（程序見附錄）。程序的功能為一運行則彈出可自行輸入的值的框

22、,實現此功能部分程序為prompt='輸入x0的取值：','輸入y0的取值：'name='參數設定'numlines=1;answer=inputdlg(prompt,name,numlines);x0=str2double(answer(1);y0=str2double(answer(2);自行輸入具體滿足模型的的數值后，在命令窗口中輸入x則運行出在輸入的值下該多目標規劃模型盡可能滿足行駛路程最小和兩次轉角之和最小的最優解的值，輸入fval則得到倆目標函數的值。以下為輸入的7組的值，及滿足約束條件目標目標函數最優的x:（附錄中由上到下）的值及目

23、標函數fval:（附錄中由上到下）的值（完整程序數據結果見附錄）(-2,10)(-1,9)(0,7)(1,8)(2,9)（-1,10）（1,7）0.74290.71820.52360.5236 0.52360.70220.52360.47880.50360.58000.69810.69810.5195 0.6981 0.68100.78301.07130.93310.59150.91881.00579.75435.57633.61784.11703.6016 4.96343.33371.15981.28661.65131.63121.28961.43841.703813.68809.05295

24、.97976.87138.18837.94125.82605.2.4 問題二結果的分析及驗證 任意取了五組起始點坐標，根據最優解數據情況可知，當。及起始點未越過車庫口時，要滿足最佳泊車策略普遍需要滿足泊車前進轉角大于后退轉角，當起始點越過車庫口時，要滿足最佳泊車策略普遍需要滿足泊車前進轉角小于后退轉角，該規律滿足自動泊車轉角的普遍規律，結論正確。六、模型的評價與推廣6.1 模型的評價對于我們所建立的模型，是從生活中垂直倒車入庫的實際情況出發研究的，能夠較好的反映實際情況，客觀合理。在問題一所建立的模型中，盡管約束條件很多，不等式較為復雜，但是我們克服了數據冗雜不易求解的缺點，采用數形結合的方法

25、，把變動的角度掃過的范圍的軌跡方程求出，并根據列出的不等式約束條件確立了區域的范圍，處理方法較為精細，所求出的區域邊界方程和所繪制的曲線能夠直觀清晰的反映出倒車入庫起始點范圍，簡潔明了，一目了然。最后針對問題一的結果做出了科學合理的分析及驗證。但在求解過程中由于數值表達式中無限不循環小數較多，為了作圖方便，通常僅保留了兩位小數，所求解出范圍與實際情況可能有微小偏差。在問題二中模型建立較為復雜，為多目標非線性規劃，matlab編程求解過程中又并未涉及智能算法，可能精確度會受到影響，起始點位置為任意點，我們在求解過程中，僅選取選取了部分點以程序求出了在這些點的最優解及對應各個未知參數，這種以點代面

26、的處理方法較為粗糙，并且選取的數據組數不多，不易比較，但該模型建立上與第一問相似，通過程序完成了全部求解過程，并且程序易于操作，簡潔明了，便于理解，具有很強的實用性。6.2 模型的推廣本文在第二問中所建立的多目標函數非線性規劃模型，很清晰的反映了現在自動垂直泊車在現實生活中的真實最佳策略，所用的求解程序易于操作理解，可一定程度在實際生活中利用借鑒，在車輛工程的科技研究，軌跡分析等方面具有一定的實效性。但是模型的結果存在一定的誤差，不夠全面。在時間充裕的條件下，應該綜合多項指標，探求多方因素影響下、更具實際意義的模型，尋找更為簡單準確的求解方法。7、 參考文獻1高航.自動垂直泊車方法研究.北京.

27、中國科學技術大學出版社.2011年5月2 姜啟源等.數學模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2003年8月3 司守奎，孫璽箐.數學建模算法與應用.北京：國防工業出版社，2012.4 數學建模-側位泊車問題5 何峰.自動泊車系統的研究及實現,2009八、附錄8.1 附錄清單附錄1：求解問題二的matlab程序附錄2：問題二的完整數據結果8.2 附錄正文附錄1：求解問題二的matlab程序適應性M定義初始數據文件begin_dataclear,clcn=6;W=1.495;L=2.34;b=8;S=3.55;a=0.4;m=2.8;c=0.3;bt=atan(W/(S+L);save('

28、information.mat');適應性M文件fun.mfunction f=fun(x)load information.mat;f=x(2)+x(3);x(1)*L*cos(x(2)+(pi/2-x(1)*L*cot(x(3)+x(4);End適應性M文件mycon2.mload information.mat;g= y0+L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)+sqrt(S+L)/2)2+(W/2)2)*sin(x(1)+bt)-n-b;. sqrt(m-x0-(L*cot(x(2)+L*cot(x(3)*sin(x(1)2+(n-y0+(L*cot(x(2)+L*cot

29、(x(3)*cos(x(1)-L*cot(x(2)2)-L*cot(x(3)+W/2;. -x0-L*cot(x(2)*sin(x(1)+L*cot(x(3)*(1-sin(x(1)+W/2+a;. x0+L*cot(x(2)*sin(x(1)-L*cot(x(3)*(1-sin(x(1)+W/2+a-m;. y0+L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)-x(4)-L*cot(x(3)*cos(x(1)+(S+L)/2-n+c;. -y0-L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)+x(4)+L*cot(x(3)*cos(x(1)+(S-L)/2+c;ceq=;end主程序clear,clc%x=aef st1 st2 d x0 y0load information.mat;prompt='輸入x