1、第3課時函數性質的綜合問題明考向，a擊考例考法總聚度前洞考點函數的奇偶性與單調性(師生共研)例n 已知函數y=f(x)是R上的偶函數，對任意xi, X2C (0, 十°°),都有(xi X2)f(xi)f(X2)<0.設 a= ln；, b = (ln 3)2, c= lny3,則()3B. f(b)>f(a)>f(c)A. f(a)>f(b)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(c)>f(b)>f(a)【解析】由題意易知f(x)在(0, + 8)上是減函數，又因為 |a|=ln 3>1 , b=(

2、ln 3)2>|a|, 0<c=ln23<|a|, 所以 f(c)>f(|a|)>f(b).又由題意知f(a) = f(|a|),所以 f(c)>f(a)>f(b).故選 C.函數的單調性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值問題應充分利用奇函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相同 的單調性，偶函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相反的單調性.(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成f(xi)>f(x2)或f(xi)<f(x2)的形式，再根據函數的奇偶性與單調性，列出不等式(組)，要注意函數定義域對參數的影

3、響.已知定義域為(一1, 1)的奇函數f(x)是減函數，且f(a3)+f(9 a2)<0,則實數a的取值范圍是B. (3, Vi0)D. (-2, 3)A. (2頗，3)C. (22, 4)解析：選 A.由 f(a3)+f(9a2)<0 得 f(a3)< f(9a2).又由奇函數性質得 f(a3)<f(a2-1<a- 3<1,-9).因為f(x)是定義域為(一1, 1)的減函數，所以 一1<a29<1,解得272<a<3.a 3>a2 9，考點口函數的奇偶性與周期性(典例遷移)例旦(一題多解)(2020河南調研考試)已知f(x)

4、是定義域為R的奇函數，且函數 y=f(x51)為偶函數，當 0WxWl 時，f(x)=x3,則 f 2 =.【解析】 法一：因為f(x)是R上的奇函數，y=f(x 1)為偶函數，所以f(x1) = f(x-1) = - f(x+1),所以 f(x+2) = -f(x), f(x+ 4)=f(x),即 f(x)的周期 T= 4,因為 0WxW1 時,355 ,33f(x) = x3,所以 f 2 = f 2-4 = f 2 = - f -法二：因為f(x)是R上的奇函數，y=f(x1)為偶函數，所以f(x 1)= f(x1) = f(x+ 1),所以 f(x+2)= f(x),由題意知，當一1W

5、x<0 時，f(x) = x3,故當一1WxW 1 時，f(x)= x3,當 1<xW3 時，一1<x2W1, f(x)=(x 2)3,所以 f5= 12 =-1. 228【遷移探究】(變條件)本例變為：已知f(x)是定義域為 R的偶函數，且函數y=f(x +51)為奇函數，當0Wx<1時，f(x)=x2,則f 2 =解析：因為f(x)是R上的偶函數，y=f(x+ 1)為奇函數，所以 f(x+ 1)=- f(-x+1) = -f(x-1),所以 f(x+ 2)=- f(x), f(x+4) = f(x),即 f(x)的周期 T=4,因為 0Wx<1 時，f(x)=

6、x2,所, 3,11=f 2 =f 1+2 =- f 214.周期性與奇偶性結合,此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換， 將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的定義域內求解.電邙(2020廣東六校第一次聯考)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=f(2x)及1,、f(x) = f( x),且在0 , 1上有 f(x) = x2,則 f 2 0192=()A.4B.；D.C.解析：選D.函數f(x)的定義域是 R, f(x)= - f(-x),所以函數f(x)是奇函數.又f(x) = f(2x),所以 f(-x) = f(2 + x) = -f(x),所以 f(4+x)= f(2

7、 + x) = f(x),故函數 f(x)是以 4 為周期1-1 一 1 一 1的奇函數，所以 f 2 0192= f2 020-2= f - 2=-f 2.1 1 2 1因為在0, 1上有f(x) = x2,所以f 2 = 2 =4,11故 f 2 0192 =- 4,故選 D.老占O函數的綜合性應用(師生共研)例區(1)(2020石家莊市模擬(一)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x)=f(2 x),當 xC0, 1時，f(x)=4x1,則在(1, 3)上，f(x)< 1 的解集是()3 5B3 2D. 2, 3)C. |，3(2)(2020陜西榆林一中模擬)已知偶函數f(

8、x)滿足f(x) + f(2 x)=0,現給出下列命題： 函數f(x)是以2為周期的周期函數；函數 f(x)是以4為周期的周期函數；函數 f(x 1)為 奇函數；函數f(x3)為偶函數，其中真命題的個數是 ()A. 1B. 2C. 3D. 4(1)因為 0WxW1 時，f(x) = 4x-1,所以f(x)在區間0, 1上是增函數，又函數f(x)是奇函數，所以函數f(x)在區間1, 1上是增函數，因為f(x) = f(2 x),所以函數f(x)1 一 3的圖象關于直線x= 1對稱，所以函數f(x)在區間(1, 3)上是減函數，又f 2 = 1,所以f 2 =.31,所以在區間(1, 3)上不等式

9、f(x)< 1的解集為2, 3 ,故選C.(2)偶函數 f(x)滿足 f(x)+f(2-x)=0,所以 f(-x)=f(x) = -f(2-x), f(x+2)=f(x),f(x + 4) = -f(x+ 2)=f(x),可得f(x)的最小正周期為4,故錯誤，正確;由 f(x+ 2)=f(x),可得 f(x+ 1) = - f(x-1).又 f( x 1)=f(x+1),所以 f(-x- 1)=-f(x-1),故 f(x1)為奇函數，正確;若 f(x 3)為偶函數，則 f(x3) = f(x 3),又 f( x 3)=f(x+3),所以f(x+ 3)=f(x-3),即f(x+6) = f

10、(x),可得6為f(x)的周期，這與4為最小正周期矛盾，故錯誤，故選B.(2)B求解函數的綜合性應用的策略函數的奇偶性、對稱性、周期性，知二斷一.特別注意“奇函數若在 x=0處有定義, 則一定有f(0) = 0;偶函數一定有f(|x|)=f(x)”在解題中的應用.(2)解決周期性、奇偶性與單調性結合的問題，通常先利用周期性轉化自變量所在的區 間，再利用奇偶性和單調性求解.1 .函數f(x)是定義在R上的偶函數，且則 f(x)()A.在區間2, 1上是增函數，在區間B.在區間2, 1上是增函數，在區間C.在區間2, 1上是減函數，在區間D.在區間-2, 1上是減函數，在區間f(x)=f(2-x)

11、.若f(x)在區間1 , 2上是減函數,3, 4上是增函數3, 4上是減函數3, 4上是增函數3, 4上是減函數解析：選B.由f(x) = f(2 x)得f(x)的圖象關于直線 x= 1對稱.又f(x)是偶函數，故函數 f(x)的周期是2, f(x)在區間2, 1上是增函數，在區間3, 4上是減函數.2. (2020甘肅甘谷一中第一次質檢)已知定義在R上的函數f(x)滿足條件：對任意的 xCR,都有 f(x+4) = f(x);對任意的 x1, x2C0, 2且 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2)；函數 f(x + 2)的圖象關于y軸對稱，則下列結論正確的是 ()A. f(7

12、)<f(6.5)<f(4.5)B. f<f(4.5)<f(6.5)C. f(4.5)<f(7)<f(6.5)D. f(4.5)<f(6.5)<f(7)解析：選C.因為對任意的xC R,都有f(x+4) = f(x),所以函數是以4為周期的周期函因為函數f(x + 2)的圖象關于y軸對稱，所以函數f(x)的圖象關于x=2對稱，因為 x1, x2 0 , 2且 x1 <x2 ,都有 f(x1)<f(x2).所以函數f(x)在0, 2上為增函數，所以函數f(x)在2, 4上為減函數.易知 f(7) = f(3) , f(6.5) = f(2

13、.5) , f(4.5) = f(0.5) = f(3.5),則 f(3.5)<f(3)<f(2.5),即 f(4.5)<f(7)<f(6.5).齒功素養,助砥培優核心素養系列4數學抽象活用函數性質中“三個二級”結論函數的奇偶性、周期性、對稱性及單調性，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題.一、奇函數的最值性質已知函數f(x)是定義在區間 D上的奇函數，則對任意的xC D,都有f(x)+f( x) = 0.特別 地，若奇函數f(x)在D上有最值，則f(x)max+f

14、(x)min = 0,且若0CD,則f(0)=0.(x+ 1) 2+ sin x例H 設函數f(x) =2;的取大值為 M,取小值為 m,則M+m=.x 1【解析】函數f(x)的定義域為 R,f(x) =(x+1) 2+sin xx2+ 12x+sin xx2+ 12x+ sin x設 g(x) = -2,則 g(x) = g(x),x2+ 1所以g(x)為奇函數，由奇函數圖象的對稱性知g(x)max+ g(x) min = 0 ,所以 M + m=g(x)+ 1max+g(x)+1min = 2 + g(x)max+ g(x)min = 2.【答案】2二、抽象函數的周期性(1)如果f(x+a

15、) = f(x)(aw0),那么f(x)是周期函數，其中的一個周期 T=2a.,-1(2)如果f(x+a) = 7T(aw0),那么f(x)是周期函數，其中的一個周期T=2a.f(3)如果f(x+a) + f(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函數，其中的一個周期T= 2a.例2 已知定義在 R上的函數f(x),對任意實數x有f(x+ 4)=-f(x)+2V2,若函數f(x1)的圖象關于直線 x= 1對稱，f(1)=2,則f(17)=.【解析】由函數y=f(x1)的圖象關于直線x= 1對稱可知，函數f(x)的圖象關于y軸 對稱，故f(x)為偶函數.由 f(x+ 4)=- f(x)+272,

16、得 f(x+ 4+4)=f(x+4) + 2j2 = f(x),所以 f(x)是最小正周期為 8 的偶函數,所以 f(17) = f(1 + 2X8)=f(1) = 2.【答案】2三、抽象函數的對稱性已知函數f(x)是定義在R上的函數.a+ b ,(1)若f(a + x)=f(b x)恒成立，則y=f(x)的圖象關于直線 x= 2對稱，特另J地，右f(a+ x) = f(a x)恒成立，則y= f(x)的圖象關于直線 x= a對稱.(2)若函數 y=f(x)滿足 f(a+x) + f(a x) = 0,即 f(x)= f(2a x),則 f(x)的圖象關于點(a, 0)對稱.例叵(2020黑龍

17、江牡丹江一中期末)設f(x)是(一8, +oo )上的奇函數，且 f(x+2) = f(x),下面關于f(x)的判定，其中正確命題的個數為() f(4) = 0;f(x)是以4為周期的函數；f(x)的圖象關于x=1對稱；f(x)的圖象關于x = 2對稱.A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】因為f(x)是(一8,十8)上的奇函數，所以f(x)= f(x), f(0) = 0,因為 f(x+ 2)=- f(x),所以 f(x+4) = f(x+2) = f(x),即f(x)是以4為周期的周期函數，f(4) = f(0) = 0,因為 f(x+ 2)=f(x),所以 f(x+1)+1 = f(-

18、x),令 t=x+1,則 f(t+1)=f(1t),所以 f(x+ 1) = f(1 -x),所以f(x)的圖象關于x= 1對稱，而f(2+ x)= f(2 x)顯然不成立.故正確的命題是，故選C.【答案】 C1 .對于函數f(x) = asin x+bx+c(其中a, bC R, cCZ),選取a, b, c的一組值計算 f(1)和f(1),所得出的正確結果一定不可能是()8. 3 和 1C. 2 和 4D. 1 和 2解析：選D.設g(x)=asin x+bx,則f(x)= g(x) + c,且函數g(x)為奇函數.注意到 cC Z,所以f(1) + f(1)=2c為偶數.故選 D.2,若

19、偶函數f(x)滿足f(x)=x3-8(x>0),則f(x2)>0的條件為 .解析：由f(x)=x38(x0),知f(x)在0, +oo)上是增加的，且f(2)=0.所以，由已知條件可知 f(x 2)>0? f(|x-2|)>f(2).所以 |x2|>2,解得 x<0 或 x>4.答案：x|x<0 或 x>43fc蚯h題朵破百分版葡.基礎題組練1.已知 f(x)在 R 上是奇函數，且滿足 f(x+4) = f(x),當 xC (0, 2)時，f(x)=2x2,則 f(2 019)=()A. 2B. 2C. - 98D. 98解析：選 A.由

20、f(x+4)=f(x)知，f(x)是周期為 4 的周期函數，f(2 019)=f(504X4+3)=f(3)= f(-1).由 f(1)=2X 12=2 得 f(1) = f(1) = 2,所以 f(2 019) = 2.故選 A.2.已知偶函數f(x)在區間0, +8)上是增加的，則滿足f(2x-1)<f 1的x的取值范圍3是()1 2A. 3? 31 2BY'D. 2,解析：選A.因為f(x)是偶函數，所以其圖像關于y軸對稱,1又 f(x)在0, +8)上是增加的，f(2x- 1)<f -,3所以 |2x1|<3,所以 1Vx<2.3333.若f(x)是定義

21、在( 8, +°° )上的偶函數，對任意的x1 , x2 0 , +8)(x1Wx2),有f (x2) f (x1)x2 x1A. f(3)<f(1)<f(2)B. f(1)<f(2)<f(3)C. f(2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f( 2)<f(1)f (x2) f ( x1)解析：選D.因為對任意的 x1，x2 0 , +8)(x#x2),有<0,所以當x> 0x2 x1時，函數f(x)為減函數，因為f(x)是定義在(8, +8)上的偶函數，所以f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)

22、<f(2)<f(1).4. (2020江西景德鎮二模)已知函數f(x)是偶函數，定義域為R,增區間為0, +8),且 f(1)= 0,則(x- 1)f(x- 1)< 0 的解集為()A. -2, 0B, -1, 1C.(巴 0 U 1 , 2D.(巴 1U0, 1解析：選C.由題意可知，函數f(x)在(8, 0上是減少的，且f(1)=0,令 x1 = t，則 tf(t)W0,當 t>0 時，f(t)W0,解得 0WtW1;當 t<0 時，f(t)>0,解得 tw-1,所以 0Wx1W1 或 x1w 1,所以 x< 0 或 1w xw 2.故選 C.5.

23、 (2020河南洛陽一模)函數y=f(x)在0, 2上是增加的，且函數f(x+2)是偶函數，則下列結論成立的是()57A. f(1)<f 2 <f 2512f<7一2fo<甲 < 7- 25- 257D. f 2 <f<f 2解析：選C.函數f(x+2)是偶函數，則其圖像關于y軸對稱，所以函數y=f(x)的圖像關537113于x=2對稱，則f 2=f 2，f 2=f 2，函數y = f(x)在0,2上是增加的，則有f 2<f(1)<f 2，75所以 f 2 <f(1)<f 2 .故選 C.6 .偶函數y=f(x)的圖象關于直線

24、x=2對稱，f(3)=3,則f(-1) =解析：因為f(x)為偶函數，所以f(1)=f(1).又f(x)的圖象關于直線 x= 2對稱，所以 f(1) = f(3).所以 f( 1)=3.答案：37 .設奇函數f(x)在(0, +8)上為增函數，且 f(1)=0,則不等式f(X)JX)<0的 x解集為.解析：因為f(x)為奇函數，且在(0, +8)上是增函數，f(1) = 0,所以f(-1)=-f(1)=0,且在(8, 0)上也是增函數.口、f (x) - f ( - x)f (x)xx 'x>0,x<0,即或f (x) <0 f (x) >0,解得 x (

25、-1 , 0)U (0, 1).答案：(1, 0)U(0, 1),一， x2+x+ 1H 、2 一 、8 .已知函數 f(x)= x2+1 ,右 f(a)=3，則 f(- a) =.x2+x+1x 一x解析：根據題意，f(x)= 1 + ,而h(x) = 是奇函數，故f( a)=1 +x2+1x2+1x2+1h(-a) = 1 -h(a)=2-1 +h(a)= 2-f(a)=2-2= 4. 3 34答案：439 .已知函數 f(x)對任意 xCR 滿足 f(x)+f(-x)=0, f(x- 1) = f(x+1),若當 xC0, 1)時,31f(x) = ax+b(a>0 且 aw1),

26、且 f 2 =5.(1)求實數a, b的值；(2)求函數f(x)的值域.解：(1)因為 f(x)+f(-x)=0,所以f( x)= f(x),即f(x)是奇函數.因為 f(x- 1)=f(x+1),所以 f(x+2)=f(x),即函數f(x)是周期為2的周期函數，所以 f(0) = 0,即 b=- 1.3.11又 f 2 = f _2 =_f 2 =1_Qa=2，一 1解得a=4.,一V13 c(2)當 xC0, 1)時，f(x)=ax+b= 4 1C 4,。，由f(x)為奇函數知，、一一一一3當 xe( 1, 0)時，f(x)e 0, 4 ,又因為f(x)是周期為2的周期函數，一 .3 3所

27、以當 x C R 時，f(x) £4 .10 . (2020江西贛州五校協作體聯考)已知函數f(x)是定義在 R上的偶函數，且當 x<0時，f(x)=x2+2x.現已畫出函數f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示.畫出函數f(x)在y軸右側的圖象，并寫出函數f(x)(xC R)的解析式;(2)若函數 g(x) = f(x)-2ax+2(x 1 , 2),當 a>1 時，求函數 g(x)的最小值.解：(1)f(x)在y軸右側的圖象如圖所示.若x>0,則x<0,又函數f(x)是定義在 R上的偶函數，且當x<0時，f(x) = x2 + 2x,所以 f(x) =

28、f(-x)=(-x)2+2X (-x)=x2-2x(x>0),x2+ 2x (x< 0),所以f(x) =x2- 2x (x>0).(2)由(1)知g(x) = x2 2x2ax+2,其圖像的對稱軸方程為 x=a+1, 當 a>1 時，a+1>2, g(x)=x2-2x- 2ax+ 2 在1 , 2上是減少的，則g(x)在1, 2上的最小值為 g(2) = 2-4a.綜合題組練1.已知f(x)是定義在2b, 1 b上的偶函數，且在2b, 0上為增函數，則 f(x 1)wf(2x) 的解集為()A. - 1 , |B. - 1 ,；33C. -1, 1D. 1, 1

29、3解析：選B.因為f(x)是定義在2b, 1 b上的偶函數，所以2b+1 b= 0,所以b= 1,因為f(x)在2b, 0上為增函數，即函數f(x)在2, 0上為增函數，故函數f(x)在(0, 2上為減函數，則由f(x1盧f(2x),可得|x1除|2x|,即(x 1)2>4x2 ,1 2Wx 12, 1WxW3)解得一1WxW；.又因為定義域為 2, 2,所以解得3-2<2x<2,- 1<x<1.綜上，所求不等式的解集為1 , 3 .故選B.32 . (2020遼寧沈陽東北育才學校聯考(二)函數f(x)是定義在 R上的奇函數，且 f(1)=0,若對任意x，x2C( oo 0),且xwx2,都有x"(x"x2f(x2)<0成立 則不等式x1 x2f(x)<0的解集為()A. ( 8,1)U(1,+8)B.(1, 0) U (0, 1)C.(巴1)U(0,1)D.(-1, 0) U (1 , +8)解析：選 C.令 F(x) = xf(x),因為函數f(x)是定義在 R上的奇函數，所以 F(-x) = - xf(-x)=xf(x)= F(x),所以F(x)是偶函數，因為 f(1)=0,所以 F(1)=0,則 F(1) = 0,x1f ( x1 ) x2f ( x2)因為對任意 x1 , x2C(8, 0),且 xW