1、第六章第六章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 寬平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 寬平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 寬平穩(wěn)過(guò)程寬平穩(wěn)過(guò)程正態(tài)過(guò)程正態(tài)過(guò)程二階矩存在二階矩存在6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念0)sin()cos( )sin()cos()()(EZtEYttZtYEtEXtmX )()(),(tXsXEtsRX)sin()cos()(sin

2、()cos(tZtYsZsYE 6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 )cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin( )(sin)cos()cos()()sin()sin( )()(sin)()cos()cos()sin()sin( )(sin)cos()cos(2222222 sttstsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYtsE所以所以X(t)，t T 為寬平穩(wěn)過(guò)程。為寬平穩(wěn)過(guò)程。6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念2000Xnn,R (n,n)E X X,6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)

3、程的概念0)2sin()()2(sin)2sin()(10dtdfttEtXE6.1 6.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 所以所以X(t) 是平穩(wěn)過(guò)程。是平穩(wěn)過(guò)程。0,00,21)2(2cos)2cos(21)(2sin)2sin()()(),(1010 dtdtttXtXEttRX6.2 結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程6.2 6.2 結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程)()()()()()()()()( )()()()()()()()( )()()()()()()()()()( WYYXXYXRRRRRtYtYEtXtYEtYtXEtXtXEtYtYtXtYtYtXtXtXEtYt

4、XtYtXEtWtWE6.2 6.2 結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)間增量時(shí)間平移正交增量過(guò)程 EX2EX=0，EX2寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程維納過(guò)程泊凇過(guò)程高斯過(guò)程增量服從正態(tài)分布增量服從泊凇分布有限維聯(lián)合變量服從正態(tài)分布馬爾可夫過(guò)程時(shí)間記憶6.2 6.2 結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程6.2 6.2 結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程)()cos(21)22cos( )cos(21220 XYRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtBtAEtYtXEttRXY6.2 6.2 結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)

5、程)()cos(21)22cos( )cos(21220 YXRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtAtBEtXtYEttRYX所以所以X(t)和和Y(t)是結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。是結(jié)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 將微積分中普通函數(shù)的極限、延續(xù)、將微積分中普通函數(shù)的極限、延續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等概念推行到隨機(jī)過(guò)程上，導(dǎo)數(shù)和積分等概念推行到隨機(jī)過(guò)程上，產(chǎn)生隨機(jī)分析。產(chǎn)生隨機(jī)分析。6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介一、隨機(jī)序列的極限一、隨機(jī)序列的極限定義定義6.2 設(shè)有二階矩隨機(jī)序列設(shè)有二階矩隨機(jī)序列Xn(e)以概以概率率1收斂于

6、二階矩隨機(jī)變量收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e) ，假設(shè)，假設(shè)使使 成立的成立的e組成的集合的概率為組成的集合的概率為1，即，即 或稱(chēng)或稱(chēng)Xn幾乎處處收斂于幾乎處處收斂于X (e) ，記作，記作lim( )( )nnXeX ea a. .e enXX | lim( )( )1nnP eXeX e6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介定義定義6.3 設(shè)有二階矩隨機(jī)序列設(shè)有二階矩隨機(jī)序列Xn(e)依概依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量率收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e) ，假設(shè)對(duì)，假設(shè)對(duì)于恣意的于恣意的 有有 記作記作P PnXX lim |( )( ) |0nnP eXeX e06.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分

7、析簡(jiǎn)介定義定義6.4 設(shè)有二階矩隨機(jī)序列設(shè)有二階矩隨機(jī)序列Xn和二階和二階矩隨機(jī)變量矩隨機(jī)變量X，假設(shè)有，假設(shè)有 成立，那么稱(chēng)成立，那么稱(chēng)Xn均方收斂于均方收斂于X。記作。記作 或或0|lim2XXEnnXXnnl.i.mXXnm.s(mean square) (limit in mean) 6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介定義定義6.5 設(shè)有二階矩隨機(jī)序列設(shè)有二階矩隨機(jī)序列Xn依概率依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量收斂于二階矩隨機(jī)變量X ，假設(shè)，假設(shè)Xn相相應(yīng)的分布函數(shù)列應(yīng)的分布函數(shù)列Fn(x),在在X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)的每一個(gè)延續(xù)點(diǎn)處有的每一個(gè)延續(xù)點(diǎn)處有 記作記作d dnXX

8、lim( )( )nnF xF x6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介依分布收斂依分布收斂隨隨機(jī)機(jī)序序列列依概率收斂依概率收斂幾乎處幾乎處處收斂處收斂均方均方收斂收斂6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介0|lim2,mnmnXXE6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介,l.i.mXXnn,l.i.mYYnn,l.i.mZZnnccnnlimcccnnnnliml.i.mUUnl.i.mcUUcnnl.i.m6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介(4)(5)(6)bYaXbYaXnnnl.i.mnnnnXEEXEXl.i.mlimnnnnnnnYXEXYEYXEl.i.ml.i.ml

9、im222l.i.mlimnnnnXEXEXE6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介,limnmn mE X X6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介二、均方延續(xù)二、均方延續(xù)定義定義6.6 設(shè)有二階矩過(guò)程設(shè)有二階矩過(guò)程X(t), tT，假設(shè)，假設(shè)對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè)tT ，有，有 那么稱(chēng)那么稱(chēng)X(t)在在t點(diǎn)均方延續(xù)，記作點(diǎn)均方延續(xù)，記作 假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì)T中的一切點(diǎn)都均方延續(xù)，那么稱(chēng)中的一切點(diǎn)都均方延續(xù)，那么稱(chēng)X(t)在在T上均方延續(xù)。上均方延續(xù)。0| )()(|lim20tXhtXEh)()(l.i.m0tXhtXh6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.4均方延續(xù)準(zhǔn)那么均方延續(xù)

10、準(zhǔn)那么 二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程X(t), tT，在，在t點(diǎn)均方延續(xù)點(diǎn)均方延續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在點(diǎn)在點(diǎn)(t,t)處延續(xù)。處延續(xù)。 推論推論 假設(shè)相關(guān)函數(shù)假設(shè)相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在在(t,t)，tT上延續(xù)，那么它在上延續(xù)，那么它在TT上延續(xù)。上延續(xù)。),(),(),( ),(| )()(|2ttRthtRhttRhthtRtXhtXEXXXX6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介三、均方導(dǎo)數(shù)三、均方導(dǎo)數(shù)定義定義6.7 二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程X(t),tT，假設(shè)存，假設(shè)存在隨機(jī)過(guò)程在隨機(jī)過(guò)程X(t)，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足 那么稱(chēng)那么稱(chēng)X(t)在在t點(diǎn)均方可微，記作

11、點(diǎn)均方可微，記作 并稱(chēng)并稱(chēng)X(t)為為X(t)在在t點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)。點(diǎn)的均方導(dǎo)數(shù)。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXdttdXtXh)()(l.i.m)()(06.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介假設(shè)假設(shè)X(t)在在T上每一點(diǎn)均方可微，那么稱(chēng)上每一點(diǎn)均方可微，那么稱(chēng)X(t)在在T上均方可微。上均方可微。類(lèi)似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù)類(lèi)似地可定義二階均方導(dǎo)數(shù)相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為的廣義二階導(dǎo)數(shù)定義為htXhtXdttXdtXh)()(l.i.m)()(0 21212212121122110021212),(),( ),(),(lim),(21hh

12、ttRhttRhhthtRhthtRttttRXXXXhhX6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 )()(),(),()4()()()()(),()3()()()()(),()2()()()() 1 (),(,),(,),(,)(211221221212211212212112112121212221121tXtXEttttRttttRtXtXEttXtXEtttRtXtXEttXtXEtttRtXEdttdEXdttdmTTttttRtttRtttRTdttdmXXXXXXXXX上上存存在在，并并且且有有在在上上在在6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)

13、分析簡(jiǎn)介四、均方積分四、均方積分 設(shè)設(shè)X(t), tT為二階矩過(guò)程，為二階矩過(guò)程，f(t)為普通為普通函數(shù)，其中函數(shù)，其中T=a,b，用一組分點(diǎn)將，用一組分點(diǎn)將T劃劃分如下：分如下：a=t0t1tn=b，), 2 , 1(, )()(,max11111nittttttXtfSttiiiniiiiinniini其其中中作作和和式式記記6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介0|lim20SSEnn)()(l.i.m )()(110iiiniibatttXtfdttXtfSn6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 babaXdtdtttRtftf212121),()()(6.3 6.3 隨機(jī)分析

14、簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 定理定理6.7 設(shè)設(shè) f(t)X(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上均方可上均方可積，那么有積，那么有 (1) (2)babababadttEXdttXEdttEXtfdttXtfE)()()()()()(特特別別地地有有 babaXbababaXbabadtdtttRdttXEdtdtttRtftfdttXtfdttXtfE21212212121222111),()(),()()()()()()(特特別別地地有有6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介)( ,)()(btadXtYta batadXaXbXdXaXtX )()()()()()( 特別地有特別地有6.3 6.3 隨機(jī)分

15、析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介)()()()(tmtXEdttdEXdttdmXX),()()(),(2tsRtXsXEtstsRXX6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介 tstsBtmsmtsRtsdttdmdssdmtstsRtmsmtsRtmsmtXsXEtmtXsmsXEtsBXXXXXXXXXXXXXXX),()()(),()()(),()()(),()()()()()()()()(),(222所以所以6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介2( )exp(|)XRa22exp()0( )exp()0XaRa( )XR6.3 6.3 隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)分析簡(jiǎn)介又相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：又相關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

16、： 在在0處不延續(xù)，從而相關(guān)函數(shù)在此點(diǎn)處不延續(xù)，從而相關(guān)函數(shù)在此點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在，由定理二階導(dǎo)數(shù)不存在，由定理6.5知隨機(jī)過(guò)程知隨機(jī)過(guò)程不可微。不可微。22exp()0( )exp()0XaaRaa6.4 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性dttXTtXTTT)(21l.i.m)(dttXtXTtXtXTTT)()(21l.i.m)()( 6.4 6.4 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性.1( )( )2l.i.ml.i.ma sTXTTX t dtE X tmT.1( )()( )2l.i.ml.i.ma sTXTTX t X tdtRT6.4 6.4 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性021)

17、cos()(20 dtatXE6.4 6.4 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性 .1( )l.i.mcos()2sin()sin()l.i.m02( )( )0,TTTa sTa sX tatdtTaTTTX tE X t 從而有故均值遍歷)()cos(2)cos()cos(2)cos()cos(),(2202 XXRadttatataEttR6.4 6.4 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性 2222.( )()1cos() cos()21cos()cos(22 )22cos()2sin(22 )sin(22 )22cos()2l l. .i i. .m ml l. .i i. .m m l l. .i i. .m mTTTTTTTa sX t X tatatdtTatdtTaaTTTa 6.4 6.4 平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性.( )()( ),a sXX t X tR 從而有故相關(guān)函數(shù)遍歷所以隨機(jī)相位過(guò)程是遍歷的。22XXR (t,t)EY DY