1、第四節第四節 連續型隨機變量及其概率密度連續型隨機變量及其概率密度教學重點教學重點 1 連續型隨機變量的概率密度連續型隨機變量的概率密度 2 正態分布正態分布要求：要求：1 1、連續型隨機變量的密度函數的定義和性質，、連續型隨機變量的密度函數的定義和性質， 2 2、均勻均勻分布分布、指數分布指數分布的的定義及性質；定義及性質；4 4、正態正態分布分布的定義、性質、密度函數及幾何性質；的定義、性質、密度函數及幾何性質；5 5、一般正態分布函數與標準正態分布函數的關系；、一般正態分布函數與標準正態分布函數的關系；6 6、會利用正態分布密度函數的性質求積分、會利用正態分布密度函數的性質求積分一一 連

2、續型隨機變量連續型隨機變量 1 定義定義( )( )xF xf t dt ,XFxfxx設隨機變量的分布函數為，若存在一個非負函數使對于任意 ，恒有 xXfxX連續型隨機變量分布成立，則稱X為，F稱為的，稱為函數概率密度函數的，簡稱密度函數由定義知道：由定義知道：連續型隨機變量的分布函數是連續函數連續型隨機變量的分布函數是連續函數2 概率密度的性質概率密度的性質 1 非負性非負性( )0f x ( )1f x dx2 規范性規范性這兩個性質是判這兩個性質是判斷一個函數是否斷一個函數是否為一個連續型為一個連續型r.v.X的概率密度的概率密度的充要條件的充要條件 f (x)xo分布曲分布曲線線面積

3、為面積為121121221, ()()()( )xxx xp xXxF xF xf x dx3 對利用概率密度可確利用概率密度可確定隨機點落在某個定隨機點落在某個范圍內的概率范圍內的概率4( )( )( )f xxF xf x 若在點 處連續，則有0( )limxxxxxf t dt 若若x是是 f(x)的連續點，則：的連續點，則：xxxXxPx )(lim0=f(x) 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點的值，恰好是這一點的值，恰好是X落在區間落在區間 上的概率與區間長度上的概率與區間長度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質量，這里，如果把概率理解為質量， f (x

4、)相當于線密度相當于線密度.x ,(xxx (1) 連續型連續型r.v.取任一指定實數值取任一指定實數值a 的概率均為的概率均為0. 即即這是因為這是因為請注意請注意: xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 當當 時時得到得到 0 .P Xa由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S由由P(A)=0, 不能推出不能推出A 00(3): 0.,0,p XxXx注 ： 由 可 知故 一 個 事 件的 概 率 為 只 表 示 這 事 件 發 生 的 可 能 性 很 小但 這 事 件并 不 一 定 是 不 可 能 事 件 。)()(bXaPbXaP)(bXaP 對連續型對連續型 r.

5、v. X,有有)(bXaP 取取值值的的概概率率為為，也也可可以以是是無無窮窮區區間間）上上間間；可可以以是是有有限限區區間間，閉閉區區間間，或或半半開開半半閉閉區區也也可可以以是是可可以以是是開開區區間間（在在任任意意區區間間則則，的的密密度度函函數數為為已已知知連連續續型型隨隨機機變變量量若若,GGXxfX說說 明明: :由上述性質可知，對于連續型隨機變量，我們由上述性質可知，對于連續型隨機變量，我們關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關心的是它在我們所關心的是它在某一區間某一區間上取值的問題上取值的問題 GdxxfGXP(此公式非常重要此

6、公式非常重要) 要注意的是，密度函數要注意的是，密度函數 f (x)在某點處在某點處a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這但是，這個高度越大，則個高度越大，則X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度映了概率集中在該點附近的程度. f (x)xo若不計高階無窮小，有：若不計高階無窮小，有： 它表示隨機變量它表示隨機變量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在連續型在連續型r.v理論中所起的作用與理論中所起的作用與kkpx

7、XP)(在離散型在離散型r.v理論中所起的理論中所起的作用相類似作用相類似.( )P xXxxf xx例題選講例題選講例題例題1 設隨機變量設隨機變量X具有隨機密度函數具有隨機密度函數2( )1cf xx(3) 01PX試求試求 (1) c (2) X的分布函數；的分布函數； 22 |1( )10 |11(2113).22XAxfxxxAX例題設隨機變量的概率密度為 試求 ( )系數 ； ) 隨機變量的分布函數； （ ） 隨機變量落在區間（-， 2713)(2;1, 043,2230,)(1XPxFXkxxxkxxfX）求）求（；的分布函數的分布函數）求）求（）確定常數）確定常數（其它其它具有

8、概率密度具有概率密度設隨機變量設隨機變量例例 其它其它解解, 043,2230,)(xxxkxxf611)()1( kdxxf得得由由0 x34 4, 143,22630,60, 0)()2(3300 xxdxxdxxxdxxxxFxx分布函數分布函數0 x34 xx x x ,xF xf t dtx 4, 143,42330,120, 0)(22xxxxxxxxF即分布函數即分布函數 48411272713 FFXP）（的的分分布布函函數數為為設設連連續續型型隨隨機機變變量量例例X3 xarctgxxF 121的的密密度度函函數數試試求求 X ，則則的的密密度度函函數數為為設設解解：xfX

9、xxxFxf2111 1. 均勻分布均勻分布則稱則稱X在區間在區間( a, b)上服從均勻分布上服從均勻分布，X U(a, b)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf三、三種重要的連續型隨機變量三、三種重要的連續型隨機變量若若 r .v X的概率密度為：的概率密度為：記作記作 abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc 1,),(.1),(有有為的區間為的區間對于長度對于長度若若與c無關子子區區間間的的位位置置無無關關的的長長度度成成正正比比，而而與與該該取取值值的的概概率率與與該該子子區區間間上上的的任任意意一一個個子子區區間間上上，在在區區間間則則隨隨機機變變量量上上的的

10、均均勻勻分分布布，區區間間服服從從如如果果隨隨機機變變量量baXbaXXabll0Xx 公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形均勻分布常見于下列情形： 如在數值計算中，由于四舍五如在數值計算中，由于四舍五 入，小數點后某入，小數點后某一位小數引入的誤差一位小數引入的誤差； bxbxaabaxaxxXPxFX1, 0)(.2的分布函數為：的分布函數為： 例例2 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班分鐘來一班車，即車，即 7:00，7:15，7:

11、30, 7:45 等時刻有汽車到達此等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間站，如果乘客到達此站時間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的均勻隨機變量均勻隨機變量, 試求他候車時間少于試求他候車時間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為為起點起點0，以分為單位，以分為單位其它, 0300,301)(xxf 為使候車時間為使候車時間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達車站之間到達車站.所求概率為所求概率為：313013013025151

12、0dxdx即乘客候車時間少于即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達汽車站，等時刻有汽車到達汽車站，10152530PXPX有實根的概率試求方程上的均勻分布，服從區間設隨機變量例02446362xx的的密密度度函函數數為為解解：隨隨機機變變量量 其它其它06391xxf 有實根有實根方程方程設：設：02442 xxA 024442 PAP則則32949291916213 dxdx 021 P返回目錄 21 或或P則稱則稱 X 服從參數為服從參數為 的指數分布的指數分布.

13、 指數分布常用于可靠性統計研究指數分布常用于可靠性統計研究中，如元件的壽命中，如元件的壽命.若若 r.v X具有概率密度具有概率密度0001)(xxexfx0常簡記為常簡記為 XE( ) .2 指數分布指數分布 其它其它, 00,1)(/xexXPxFx 若若X 服從參數為服從參數為 的的指數分布指數分布, 則其則其分布函數分布函數為為事實上事實上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 當當 時時,0 x 當當 時時, xF xf t dt 00dt 01txedt ,0s tP Xst XsP Xt 對于任意有：PXstXsP Xst XsP Xs

14、PXstP Xs注意 1）無記憶性；s ttseeeP X t 11F stF s 2）電子元件的使用壽命和各種隨機系統的）電子元件的使用壽命和各種隨機系統的服務時間在一般情形認為其服從指數分布；服務時間在一般情形認為其服從指數分布； 3）指數分布在可靠性理論和排隊論的應用）指數分布在可靠性理論和排隊論的應用比較廣泛。比較廣泛。3. 正態分布正態分布 若連續型若連續型 r .v X 的的概率密度為概率密度為 xexfx,21)(222)( 記作記作其中其中 和和 ( 0 )都是常數都是常數, 則稱則稱X服從參數為服從參數為 和和 的的正態分布正態分布或或高斯分布高斯分布. ),(2NX :具有

15、下述性質具有下述性質xf ;12 dxxf ;01 xf1曲線曲線 關于關于 軸對稱；軸對稱； fx 3 P hX P Xh 0h 函數函數 在在 上單調增加上單調增加, ,在在 上上 4單調減少單調減少, ,在在 取得最大值；取得最大值； 22()23,2x xfxex x = 為為 f (x) 的兩個拐點的橫坐標；的兩個拐點的橫坐標； 5 22()2223(),2x xfxex fx,x當當x 時，時，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 軸為漸近線軸為漸近線 6 根據對密度函數的分析，也可初步畫出正態分布根據對密度函數的分析，也可初步畫出正態分布的概率

16、密度曲線圖的概率密度曲線圖. . 正態分布正態分布 的圖形特點的圖形特點),(2N 正態分布的密度曲線是一條關于正態分布的密度曲線是一條關于 對對稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. .特點是特點是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”. .稱為位置參數 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態分布正態分布 的圖形特點的圖形特點),(2N 設設 X ,),(2NX 的分布函數的分布函數是是正態分布正態分布 的分布函數的分布函數),(2N 2 22()21,2txF xedtx dtexxt2221)(4 4 標準正態分布標準

17、正態分布1, 0的正態分布稱為標準正態分布的正態分布稱為標準正態分布. .xexx,21)(22其密度函數和分布函數常用其密度函數和分布函數常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 的性質的性質 : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事實上事實上 , 221()2txxedtx 22112uxedu x 12212uxutedu 它的依據是下面的定理：它的依據是下面的定理： 標準正態分布的重要性在于，標準正態分布的重要性在于，任何一個任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為一般的正態分布都可以通過線性變換轉

18、化為標準正態分布標準正態分布. . 根據定理根據定理1,1,只要將標準正態分布的分布只要將標準正態分布的分布函數制成表，就可以解決一般正態分布的概函數制成表，就可以解決一般正態分布的概率計算問題率計算問題. .定理定理 1)1 , 0(),(2NXZNX則若 .1 ,0,2NXZNX 則則若若證證Z Z 的分布函數為的分布函數為 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令則有則有 duexZPxu 2221 x .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是 書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態分布的概率計

19、算查表以解決一般正態分布的概率計算查表. .正態分布表正態分布表)(1)(xxdtexxt2221)(當當 x 0 時時, (x)的值的值.4),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab由標準正態分布的查表計算可以求得，由標準正態分布的查表計算可以求得，這說明，這說明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區間區間內，超出這個范圍的可能性僅占不到內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%. .當當XN(0,1)(0,1)時，時，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.99745 3 5 3 準則準則將上述結論推廣到一般的正態分布將上述結論推廣到一般的正態分布, ,),(2NY時，時，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|Y