1、小學(xué)畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料（二）小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法小學(xué)數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)中不僅包括了大量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且在學(xué)習(xí)和運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，還以潛移默化的方式滲透了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。本講義從較高的視點(diǎn)出發(fā)，對(duì)已有的關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法零散而模糊的感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)行科學(xué)地、系統(tǒng)地概括，結(jié)合一些經(jīng)過(guò)精選的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目，進(jìn)行深入細(xì)致的講解，并且安排了必要的和適量的練習(xí)，力求通過(guò)學(xué)習(xí)，對(duì)一些常用的數(shù)學(xué)思想方法和技巧能夠明確認(rèn)識(shí)，融會(huì)貫通，以提高數(shù)學(xué)思維能力和解題能力，為更好地為適應(yīng)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。第一講 從簡(jiǎn)單情況找規(guī)律當(dāng)一個(gè)問(wèn)題非常復(fù)雜時(shí)，首先就要想到，其中是否隱藏著某種規(guī)律，如果

2、能找到這種規(guī)律，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。探索規(guī)律，往往要利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從簡(jiǎn)單的、熟悉的地方開始，從粗略的估計(jì)開始，同時(shí)注意極端的情況，如最大、最小等。例11995個(gè)7連乘，積的個(gè)位數(shù)字是多少？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：717，個(gè)位數(shù)字是7；7249，積的個(gè)位數(shù)字是9；73343，積的個(gè)位數(shù)字是3；742401，積的個(gè)位數(shù)字是1；7516807，積的個(gè)位數(shù)字是7。觀察發(fā)現(xiàn)，隨著因數(shù)的增加，積的個(gè)位數(shù)字按“7、9、3、1”四個(gè)數(shù)字循環(huán)。1995÷4余3，所以積的個(gè)位數(shù)字是第三個(gè)數(shù)字3。例2按一定規(guī)律排列著一串?dāng)?shù)：,，。這些數(shù)的總和是多少？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：把這些

3、數(shù)分成100組分別求和。第1組：；第2組：；第3組：；第4組：。觀察發(fā)現(xiàn)，第n組的和是。于是這串?dāng)?shù)的總和是×100505025252575。例31×12×21996×19961997×1997的個(gè)位數(shù)字是幾？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：每10個(gè)連續(xù)平方數(shù)的和的個(gè)位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字，是5，從而原式的個(gè)位數(shù)字與5×1991×12×23×34×45×56×67×71135的個(gè)位數(shù)字相同，是5。例4長(zhǎng)方形內(nèi)共有1996個(gè)點(diǎn)，連同長(zhǎng)方形的4個(gè)頂點(diǎn)

4、在內(nèi)，共有2000個(gè)點(diǎn)。在這2000個(gè)點(diǎn)中，任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上。以這2000個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)互不重疊的三角形？(“小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：試畫發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長(zhǎng)方形內(nèi)加上第一個(gè)點(diǎn)以后，會(huì)形成4個(gè)三角形。此后，每增加1個(gè)點(diǎn)，就會(huì)增加2個(gè)三角形。所以，長(zhǎng)方形內(nèi)的2000個(gè)點(diǎn)，總共可以形成42×(19961)3994(個(gè))三角形。練習(xí)一1把化成小數(shù)后是一個(gè)無(wú)限小數(shù)，這個(gè)無(wú)限小數(shù)從小數(shù)點(diǎn)后面第1位到第1995位，數(shù)字6共出現(xiàn)多少次？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)2如果11！1×22！1×2×33！1×2×3×

5、5;99×100100！那么1！2！3！100！的個(gè)位數(shù)字是幾？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)3緊接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù)。例如8×972，在9后面寫2；得到一串?dāng)?shù)字：1,9,8,9,2,8,6，這串?dāng)?shù)字從1開始向右數(shù)，第1989個(gè)數(shù)字是幾？(“從小愛數(shù)學(xué)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)4在一串分?jǐn)?shù)：,，,中，(1)是第幾個(gè)分?jǐn)?shù)？(2)第400個(gè)分?jǐn)?shù)是幾分之幾？(“從小愛數(shù)學(xué)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)5將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫多少條直線？ (“華杯賽”試題)6A、B、C、D四個(gè)盒子中依次放有6

6、，4，5，3個(gè)球。第一個(gè)小朋友找到放球最少的盒子，從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；然后第二個(gè)小朋友找到放球最少的盒子，從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子，如此進(jìn)行下去。當(dāng)34位小朋友放完后，B盒子中有多少個(gè)球？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7有一個(gè)著名的數(shù)列叫“菲波納契數(shù)列”，它的前兩個(gè)數(shù)是1,1，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)的和。那么在這個(gè)數(shù)列中，第2007個(gè)數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)？8有一串?dāng)?shù)：1,2,4,8,16,32,64，這串?dāng)?shù)中，第2008個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)是多少？9把自然數(shù)中奇數(shù)：1,3,5,7，依次排成5列(如下面所示)，把最左邊的一列叫第一列，從左到右依次編號(hào)：第1列第2列第3

7、列第4列第5列 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 這樣，第2007個(gè)數(shù)出現(xiàn)在第幾列？10在一張足夠長(zhǎng)的紙條上從左向右依次寫上1,2,3,形成一個(gè)“大數(shù)”，這個(gè)數(shù)從左數(shù)第200位上的數(shù)字是幾？11將一個(gè)長(zhǎng)40cm、寬1cm的長(zhǎng)方形紙條連續(xù)對(duì)折3次，然后從它的一端開始，每隔1cm剪一刀，最后，可以得到邊長(zhǎng)為1cm的小正方形多少塊？長(zhǎng)2cm、寬1cm的小長(zhǎng)方形多少塊？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)12下面是按規(guī)律排列的三角形數(shù)陣：11112113311464115101051那么第100行左起第三個(gè)數(shù)是多少？第二講從整體上看問(wèn)題解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)

8、辯證的思維過(guò)程，有時(shí)需要從局部的、簡(jiǎn)單的情況入手，以發(fā)現(xiàn)整體的規(guī)律；有時(shí)需要從整體入手，以避免局部細(xì)節(jié)的干擾。例1用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中的數(shù)字不同，求所有這樣的四位數(shù)的和。(“華杯賽”試題)解：千位數(shù)字是1的四位數(shù)有4×3×224(個(gè))(因?yàn)榘傥粩?shù)字有4種可能，十位數(shù)字有3種可能，個(gè)位數(shù)字有2種可能)。同理，千位數(shù)字是2、3、4的也各有24個(gè)。百位數(shù)字是1的四位數(shù)有3×3×218(個(gè))(因?yàn)榍粩?shù)字不能是0，只有3種可能，十位數(shù)字可以是0，有3種可能，個(gè)位數(shù)字有2種可能)。同理，百位數(shù)字是2、3、4的也各有18個(gè)。十位數(shù)字、

9、個(gè)位數(shù)字是1、2、3、4的也各有18個(gè)。因此，所求的總和是1000×(1234)×24(100101)×(1234)×18259980。例2計(jì)算：1。(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)解：從算式的整體上看，所有分?jǐn)?shù)的分子都等于分母中兩個(gè)因數(shù)的差，于是，原式1(1)()()1(1)。例3用大小相等的無(wú)色透明玻璃小正方體和紅色玻璃小正方體拼成一個(gè)大正方體ABCDA1B1C1D1，大正方體內(nèi)的對(duì)角線AC1、BD1、CA1、DB1所穿過(guò)的小正方體都是紅色玻璃小正方體，其他部分都是無(wú)色透明玻璃小正方體，小紅正方體共用了401個(gè)，問(wèn)：無(wú)色透明玻璃小正方體用了多少個(gè)？(“華杯

10、賽”試題)解：AC1、BD1、CA1、DB1四條對(duì)角線都穿過(guò)位于正方體中心的那個(gè)小正方體，此外，任何兩條對(duì)角線都沒有穿過(guò)相同的小正方體，所以每條對(duì)角線穿過(guò)(4011)÷41101(個(gè))小正方體，這表明大正方體的棱是由101個(gè)小正方體組成的。所以總共用了無(wú)色透明玻璃小正方體10134011029900(個(gè))。例4右面是一個(gè)乘法算式，每個(gè)內(nèi)填一個(gè)數(shù)字，這個(gè)算式中的乘積應(yīng)該是多少？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題) 1 × 5 8解：算式的被乘數(shù)是10幾，乘數(shù)是兩位數(shù)，積只能是1800多，而18×9917821800，所以被乘數(shù)是19。因?yàn)?9×8916911800，

11、所以乘數(shù)是90多。被乘數(shù)是19，被乘數(shù)與乘數(shù)個(gè)位數(shù)的積只能是150幾，而150÷197.8所以乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字是8，19×8152。算式的乘積是19×981862。練習(xí)二1計(jì)算：。(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)2計(jì)算：123420。(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)3有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別是6m、3m、2m。把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4cm。如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，那么大水池的水面將升高多少厘米？(“華杯賽”試題)4一個(gè)圓形水池，小明和小紅分別從直徑AB兩端同時(shí)出發(fā)，沿池邊步行，小明順時(shí)針而行，

12、小紅逆時(shí)針而行，在距A點(diǎn)10處兩人第一次相遇，相遇后繼續(xù)行走，第二次相遇正好在B點(diǎn)，那么水池的周長(zhǎng)是多少米？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)5在圖中，已知矩形GHCD的面積是矩形ABCD面積的，矩形MHCF的面積是矩形ABCD的，矩形BCFE的面積等于3m2。矩形AEMG的面積是多少平方米？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題) DF CGM H AE B 6右上方是一個(gè)殘缺的乘法算式，只知道其中一個(gè)數(shù)字“8”，請(qǐng)你補(bǔ)全。這個(gè)算式的乘積是多少？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題) × 8 7計(jì)算：19961997×1997199619961996×19971997？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽

13、題)8如果圖1是常見的一副七巧板的圖，圖2是用這副七巧板拼成的小房子圖。那么，第2塊板的面積等于整幅圖的面積是幾分之幾？第4塊板的面積等于整幅圖的面積是幾分之幾？第7塊板的面積等于整幅圖的面積是幾分之幾？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 76 52 3 1 4 (圖1)(圖2)9如果10個(gè)互不相同的兩位單數(shù)之和等于898，那么這10個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是多少？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)10把自然數(shù)1,2,3,998,999分成三組，如果每一組數(shù)的平均數(shù)恰好相等，那么這三組平均數(shù)的和是多少？（學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題）11黑板上寫有從1開始的若干個(gè)連續(xù)的單數(shù)：1、3、5、7、9、11、13、，擦去其中一個(gè)

14、單數(shù)以后，剩下的所有單數(shù)之和為1998，擦去的單數(shù)是多少？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)12有兩組正方形(如圖)，它們的面積已標(biāo)在圖中(單位：cm2)。問(wèn)：哪一組兩個(gè)正方形的面積大？(“華杯賽”試題)第一組：1996219932第二組：1997219922第三講倒過(guò)來(lái)想分析問(wèn)題的方式多種多樣，可以從條件出發(fā)向問(wèn)題推進(jìn)，也可以從問(wèn)題出發(fā)向條件回溯，也就是倒過(guò)來(lái)想。例1有一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分母加上2，得到；如果將它的分母加上3，就得到。那么原來(lái)這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？(“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：顯然這兩個(gè)分?jǐn)?shù)是經(jīng)過(guò)約分的，在未約分以前，分子應(yīng)該相等，于是把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)：,，原來(lái)的分?jǐn)?shù)是。例

15、2甲、乙、丙三堆棋子共98枚。先從甲堆中分棋子給另外兩堆，使兩堆的棋子數(shù)各增加一倍，再把乙堆棋子照這樣分配一次，最后把丙堆棋子也這樣分配，結(jié)果甲堆棋子數(shù)是丙堆棋子數(shù)的，乙堆棋子數(shù)是丙堆棋子數(shù)的1。求三堆中原來(lái)最多一堆的棋子是多少個(gè)？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：用列表法可得原來(lái)最多的一堆是甲堆，有52枚棋子。甲乙丙最后30×24 30×144 98÷(11)30丙分配前24÷212 44÷222 30122264乙分配前12÷26 226326064÷232甲分配前630165260÷230 32÷2

16、16例3一個(gè)正方形(如圖)，被分成四個(gè)長(zhǎng)方形，它們的面積分別是m2、m2、m2、m2。圖中陰影部分是一個(gè)正方形，那么，它的面積是多少平方米？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克賽試題) 解：要知道陰影正方形的面積，就要知道它的邊長(zhǎng),而這個(gè)邊長(zhǎng)可以看成是面積為m2的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，減去面積為m2的長(zhǎng)方形的寬，所得的差。因?yàn)橄旅鎯蓚€(gè)長(zhǎng)方形有相同的寬，所以這兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的比等于21，于是面積為m2的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，等于原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)×。同理，上面兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬的比等于34，于是面積為m2的長(zhǎng)方形的寬，等于原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)×。原來(lái)正方形的面積是1(m2)，邊長(zhǎng)是1m，因此，陰影正方形的邊長(zhǎng)是1×

17、;1×(m)，面積是×(m2)。例4小明的儲(chǔ)蓄罐里有1角硬幣若干個(gè)。他每天取出一部分買早點(diǎn)。第一天取出，以后8天分別取出當(dāng)時(shí)所有硬幣的，9天后還剩下10個(gè)硬幣。原來(lái)罐內(nèi)共有硬幣多少個(gè)？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：原來(lái)罐內(nèi)有硬幣10÷(1)÷(1)÷÷(1)100(個(gè))。練習(xí)三112加上24，減20，再加上24，再減20，如此下去，要經(jīng)過(guò)多少次運(yùn)算才能得100？（南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）2A、B、C三個(gè)油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C兩桶，使B、C兩桶內(nèi)的油增加到原來(lái)的2倍；第二次從B桶把油倒入C、A兩桶，

18、使C、A兩桶內(nèi)的油分別增加到第二次倒入之前桶內(nèi)油的2倍；第三次從C桶把油倒入A、B兩桶，使A、B兩桶內(nèi)的油分別增加到第三次倒入之前桶內(nèi)油的2倍。這樣，各桶的油都為16kg。問(wèn)A、B、C三個(gè)油桶原來(lái)各有油多少千克？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)3有11個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，第10個(gè)數(shù)是第2個(gè)數(shù)的1倍，那么這11個(gè)數(shù)的和是多少？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)4將八個(gè)數(shù)從左到右排成一行，從第3個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都恰好等于前面兩個(gè)數(shù)的和。如果第7個(gè)數(shù)和與第8個(gè)數(shù)分別是81和131，那么第1個(gè)數(shù)是多少？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)5一個(gè)長(zhǎng)方體高和寬相等，把長(zhǎng)去掉2.5cm，就成為表面積是150cm2的正方體，長(zhǎng)方體的

19、長(zhǎng)是寬的幾倍？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)6把一堆鉛筆分裝在四個(gè)盒子里，其中放入甲盒，放入乙盒，放入丙盒的正好是甲、乙兩盒鉛筆數(shù)量差的3倍，丁盒放入10枝，這堆鉛筆共有多少支？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7下圖中左邊的A、B、C、D表示四個(gè)開關(guān)，右下角是一個(gè)馬達(dá)。這四個(gè)開關(guān)哪個(gè)能啟動(dòng)馬達(dá)？ABCD8一架天平原來(lái)有1g、2g、4g、8g的砝碼各一個(gè)，后來(lái)不慎丟了一個(gè)，以至于在砝碼放在天平的一邊，物體放在天平的另一邊，只能稱一次的情況下，無(wú)法稱出12g和7g的重量。問(wèn)丟的那個(gè)砝碼是幾克重的？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)9用托盤天平稱量物體的重量，砝碼只能放在一個(gè)托盤中，在1g、2g、4g和8

20、g這四個(gè)砝碼中，不慎丟了一個(gè)砝碼，結(jié)果最多只能稱13g的重量，那么丟失的砝碼是多少克的？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)10一盒棋子，第一次取出一半多3枚，第二次取出所剩棋子的一半多3枚，第三次取出所剩棋子的一半多3枚，第四次取出所剩棋子的一半多3枚，還剩3枚。這盒棋子原來(lái)有多少枚？11這是一個(gè)圍棋盤。還有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個(gè)正方陣時(shí)，還余12枚棋子。如果要將這個(gè)正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則還差9枚棋子才能擺滿。問(wèn)：這堆棋子原來(lái)有多少枚？(“華杯賽”試題)12有1992粒鈕扣，兩個(gè)人輪流從中取幾粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，誰(shuí)取到最后一粒，就算誰(shuí)輸。

21、問(wèn)：保證一定獲勝的策略是什么？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)第四講從問(wèn)題的反面考慮分析問(wèn)題的方式多種多樣，可以從問(wèn)題的正面考慮，也可以從問(wèn)題的反面考慮。例1從1到1999這1999個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：先考慮與5678相加時(shí)，一次進(jìn)位也沒有發(fā)生過(guò)的數(shù)。這些數(shù)的個(gè)位上只能是0或1；十位上只能是0、1或2；百位上只能是0、1、2或3；千位上只能是0、1。共有2×3×4×248(個(gè))，減去多算的“0000”這個(gè)數(shù)，實(shí)際上這樣的數(shù)只有47個(gè)。所以在與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位的數(shù)共有1999471952(

22、個(gè))。例2有一個(gè)算式：11×21×2×31×2×3×41×2×3×4×51×2×3××8×9。這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方？(“華杯賽”試題)解：平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0、1、4、5、6、9，而這個(gè)算式前4項(xiàng)的得數(shù)是1262433，后面各項(xiàng)得數(shù)的個(gè)位數(shù)都是0，于是算式得數(shù)的個(gè)位數(shù)是3，所以，算式的得數(shù)不可能是某個(gè)數(shù)的平方。例3黑色、黃色、白色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子。問(wèn)至少要取多少根才能保證達(dá)到

23、要求？(“華杯賽”試題)解：從最不利的情況考慮，可能取了8根都是同一種顏色，實(shí)際上只取出了一雙同一種顏色的筷子。這時(shí)還剩下另外兩種顏色的筷子，當(dāng)再取3根時(shí)，無(wú)論如何總會(huì)取出2根顏色相同的筷子。所以，至少要取8311(根)才能保證達(dá)到要求。例4一次測(cè)驗(yàn)共有10道問(wèn)答題，每題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：回答完全正確，得5分；回答不完全正確得3分；回答完全錯(cuò)誤或不回答，得0分。共有300人參加測(cè)驗(yàn)，至少有多少人的分?jǐn)?shù)相同？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)可知，最高得分為50分。試算得出，在0分到50分之間，1分、2分、4分、7分、47分、49分這6種分?jǐn)?shù)不可能出現(xiàn)，所以得分只有51645(種)。300&

24、#247;45630，因此，至少有617(人)的得分相同。練習(xí)四1在11999這1999個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)與4567相加時(shí)，至少在一個(gè)數(shù)位上發(fā)生過(guò)進(jìn)位？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)2已知A×15×1B×÷×15C×15.2÷D×14.8×。A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大的是哪個(gè)？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)3在1到100之間，與77互質(zhì)的所有奇數(shù)的和是多少？(“華杯賽”試題)4志強(qiáng)小學(xué)國(guó)慶節(jié)舉辦三項(xiàng)游藝活動(dòng)，每個(gè)學(xué)生至多參加兩項(xiàng)，至少參加一項(xiàng)，那么只要有多少個(gè)學(xué)生，就能保證至少有兩人參加的活動(dòng)完全相同？(北京

25、市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)511×21×2×31×2×3×41×2×3×4×51×2×3×4×5×6這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方？(“華杯賽”式題)6在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它分別能被2、3、5、11整除，這個(gè)七位數(shù)最小是多少？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7設(shè)X、Y是選自前50個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)。求的最大值。(美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)8一個(gè)自然數(shù)，各個(gè)上數(shù)字之和是1995，這個(gè)自然數(shù)最小是多少？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)

26、競(jìng)賽題)9布袋里有5種不同顏色的球，每種都有20個(gè)，最少取出多少個(gè)，才能保證其中一定有3個(gè)顏色相同的球？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)10從1、2、3、99、100中，至少取出多少個(gè)不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)能被5整除？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)11現(xiàn)在有64個(gè)乒乓球、18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子最多可以放6個(gè)乒乓球，如果把這些乒乓球全部裝入盒內(nèi)，不許有空盒，那么至少有多少個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)12能否在8行8列的方格表(如圖)的每一個(gè)空格中分別填上1、2、3這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)數(shù)，使得每行、每列及對(duì)角線AC、BD上各個(gè)數(shù)的和互不相同？(北京市“迎春

27、杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) AB DC第五講分類和對(duì)應(yīng)分類就是把需要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，按照一定標(biāo)準(zhǔn)分成幾部分(即幾類)，然后通過(guò)對(duì)這幾部分問(wèn)題的解答，得到原問(wèn)題的解。分類時(shí)要注意：1分類要有明確的標(biāo)準(zhǔn)，并且分類后所形成的問(wèn)題要比原問(wèn)題簡(jiǎn)單；2要確保分類的完整性和互斥性，即要做到既不遺漏也不重復(fù)；3分類時(shí)要始終按照所確定的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。例1在11999這1999個(gè)自然數(shù)中，所有數(shù)字的和是多少？(北京市 “迎春杯” 數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 解：從0999這1000個(gè)自然數(shù)可以分成(0999)、(1,998)、(2,997)、(499,500)共500組，每組兩個(gè)數(shù)的數(shù)字和都是27，因此，這1000個(gè)數(shù)的數(shù)字和是27&#

28、215;50013500。10001999與0999相比，只是在千位上多了1000個(gè)1，所以10001999這1000個(gè)數(shù)的數(shù)字和是13500100014500。因此，11999所有的數(shù)的數(shù)字和是135001450028000。例2有黑白兩種棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的與有3枚黑子的堆數(shù)相等。那么在全部棋子中，白子共有多少枚？(北京市 “迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：按每堆所含白子的枚數(shù)分成四類：(1)只有1枚白子的：共27堆；(2)有0枚白子的：“有2枚或3枚黑子的共42堆”，等于說(shuō)“有1枚白子的和有0枚白子的共有42

29、堆”，所以，有0枚白子的有422715(堆)；(3)有3枚白子的：“有3枚白子的與有3枚黑子的堆數(shù)相等”，等于說(shuō)“有3枚白子的與有0枚白子的堆數(shù)相等”，也是15堆；(4)有2枚白子的：有10027151543(堆)。所以共有白子1×273×152×43158(枚)。對(duì)應(yīng)是一種應(yīng)用非常普遍的數(shù)學(xué)思想方法，如“式”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)，“量”與“率”的對(duì)應(yīng)等等。數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見的“定義新運(yùn)算”，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)應(yīng)。例3設(shè)a*b表示a的3倍減去b的2倍，即a*b3a2b。例如，當(dāng)a6，b5時(shí)，6*53×62×58。(1)計(jì)算：(*)*；(2)已知：x*(4*1)

30、7，求：x。( “從小愛數(shù)學(xué)” 數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 解：(1)*×3×2，*×3×28。(2)4*14×31×210，x*107，即3x10×27，所以x(10×27)÷3，x9。例4對(duì)于任意的整數(shù)x與y定義新運(yùn)算“”：xy(其中m是一個(gè)確定的整數(shù))。如果122，那么29？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：已知122，根據(jù)定義得122，于是有2×(m4)12，解出m2。所以，294。練習(xí)五1從1985到4891的整數(shù)中，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的有多少個(gè)？(北京市 “迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)2數(shù)一數(shù)，左下圖

31、中共有多少條線段？(南京市 “興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) C F G H I A E D B3右上圖中(單位：cm)共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？所有這些長(zhǎng)方形的面積的和是多少？( “從小愛數(shù)字”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)4設(shè)aba×a2b，那么，(1)56？(2)(52)3？(小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)5規(guī)定：2×3×4；3×4×5；4×5×6；9×10×11；如果×，那么方框里應(yīng)填的數(shù)是多少？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)6小明來(lái)到紅毛族探險(xiǎn)，看到下面幾個(gè)紅毛族的算式：8×88, 9×9×95, 9&

32、#215;33，(938)×7837。老師告訴他，紅毛族算式中所用的符號(hào)“、×、÷、()、”與我們算術(shù)中的意義相同，進(jìn)位也是十進(jìn)制，只是每個(gè)數(shù)字雖然與我們寫法相同，但代表的數(shù)卻不同。請(qǐng)你按紅毛族的算式規(guī)則，計(jì)算出89×57？(“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7如果兩個(gè)三位數(shù)的和是525，就說(shuō)明這兩個(gè)三位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么，這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)8把印在卡片紙上的數(shù)碼倒過(guò)來(lái)看，顯然數(shù)碼0、1、8不變；6與9互換，而其余數(shù)碼沒有意義。某工廠制作了從001到999的號(hào)碼牌，由于制作的號(hào)碼牌上下一樣，所以有些號(hào)碼牌倒著看仍保持不變(例如8

33、08倒看還是808)。試問(wèn)：這個(gè)工廠制作的999個(gè)號(hào)碼牌中，有多少個(gè)號(hào)碼牌倒著看仍保持不變？( “祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)9光明機(jī)械廠共有青年工人207人，分成每3人一組參加植樹勞動(dòng)。在這69個(gè)小組中，只有1名男青年的共15個(gè)小組，至少有2名女青年的共36個(gè)小組，3名男青年的小組與3名女青年的小組同樣多。這207名青年工人中有男青年多少人？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)10設(shè)aba×a2b，那么，(1)56？(2)(52)3？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)11表一、表二是按同一規(guī)律排列的兩個(gè)方格數(shù)表，那么表二空白方格中應(yīng)填的數(shù)是多少？(“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)24 4 6 15 3 5 6 2

34、 4 5 2 4 2 2 3 1 2表一表二12下圖是一個(gè)運(yùn)算器的示意圖，A、B是輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)，C是輸出的結(jié)果。右下表是輸入A、B數(shù)據(jù)后，運(yùn)算器輸出C的對(duì)應(yīng)值。請(qǐng)你據(jù)此判斷，當(dāng)輸入A值是1999，輸入B值是9時(shí)，運(yùn)算器輸出的C值是多少？(“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)第六講類比當(dāng)一個(gè)比較陌生或復(fù)雜的問(wèn)題與一個(gè)比較熟悉或簡(jiǎn)單的問(wèn)題之間具有某種相似性的時(shí)候，可以把解決前者所用的方法加以推廣應(yīng)用到后者，這種思想方法叫做類比。類比是一種非常有用的思想方法，不過(guò)因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)相似的對(duì)象之間總會(huì)有一定的差異，不恰當(dāng)?shù)念惐纫部赡墚a(chǎn)生錯(cuò)誤，因此在使用類比方法時(shí)要注意避免發(fā)生這種情況。例1一個(gè)正方形可以分成4個(gè)小正方

35、形。能否把一個(gè)正方形分成6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)以至更多的小正方形(大小不一定相同)？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：用類比的方法容易想到，可以先把一個(gè)正方形分成9個(gè)小正方形，再反其道而行之，把其中4個(gè)小正方形合并成1個(gè)較大的正方形，就能得到6個(gè)正方形(圖1)。進(jìn)而想到分成7個(gè)小正方形的方法(圖2)。再與分成6個(gè)正方形的方法類比，就能想到分成8個(gè)小正方形的方法(圖3)。要得到10個(gè)小正方形，只要先分成7個(gè)小正方形，再把其中的1個(gè)小正方形分成4個(gè)更小的正方形就可以了。照這樣，分成再多的小正方形都是可以做到的。圖1 圖2圖3例2一段樓梯有10個(gè)臺(tái)階，如果規(guī)定每一步只能登上一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，那么，要登上第1

36、0個(gè)臺(tái)階，有多少種不同的走法？(“新苗杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：登上第1個(gè)臺(tái)階只有1種走法，而登上第2個(gè)臺(tái)階就有2種走法。此后，登上第n個(gè)臺(tái)階的走法an，就與登上第n1個(gè)臺(tái)階的走法an-1和登上第n2個(gè)臺(tái)階的走法an-2有關(guān)，即anan-1an-2。由于a11，a22，所以，登上各個(gè)臺(tái)階的走法數(shù)依次為1, 2，3, 5，8, 13, 21, 34, 55, 89。所以，登上第10個(gè)臺(tái)階有89種不同的走法。例3用兩個(gè)點(diǎn)把一個(gè)圓周分成兩段半圓弧，在這兩個(gè)分點(diǎn)上寫上1；然后把兩段半圓弧二等分，在兩個(gè)分點(diǎn)上寫上相鄰兩點(diǎn)上的數(shù)的和；再把4段圓弧二等分，在分點(diǎn)上寫上相鄰兩點(diǎn)上的數(shù)的和。如此繼續(xù)下去，問(wèn)第6步操作

37、后，圓周上所有點(diǎn)上的數(shù)的和是多少？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：每次操作后，因?yàn)樗黾拥拿總€(gè)數(shù)都是原來(lái)相鄰兩個(gè)數(shù)的和，在求和時(shí)原來(lái)的每個(gè)數(shù)都用了兩次，所以每次增加的數(shù)的和，等于這次操作前圓周上所有的數(shù)的和的2倍，也就是說(shuō)，每操作一次，圓周上所有的數(shù)的和等于這次操作前圓周上所有的數(shù)的和的3倍。于是，如果把第n次操作后圓周上所有的數(shù)的和記作an，把這次操作前圓周上所有的數(shù)的和記作an-1，就得到an3an-1。所以a6a1×3×3×3×3×3，因?yàn)閍12，于是a62×3×3×3×3×3486。例4如

38、圖，象棋盤上一個(gè)兵過(guò)河后，沿最短路線走到對(duì)方的“將”處，有多少種不同的走法？(“從小愛數(shù)學(xué)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：“兵”過(guò)河后到“將”處的最短路線如下圖所示，圖中交點(diǎn)處的數(shù)表示“兵”到這里的走法總數(shù)(后面交點(diǎn)處的數(shù)等于到此處來(lái)的兩個(gè)交點(diǎn)處的數(shù)的和)。所以“兵”過(guò)河后到“將”處共有15種不同的走法。 1 1 1 3 2 1 6 3 1 10 4 1 15 5 1練習(xí)六1把同一個(gè)三角形的三條邊分別5等分、7等分(如圖1、圖2)，然后適當(dāng)連接這些等分點(diǎn)，便得到了若干個(gè)面積相等的小三角形。已知圖1中陰影部分的面積是294dm2，那么圖2中陰影部分的面積是多少平方分米？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)2按照?qǐng)D中所指

39、的方向，從A點(diǎn)到J點(diǎn)有多少條不同的路線？(“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)3在桌面上，用6個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形(如圖)，如果在桌面上要拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正六邊形，那么需要邊長(zhǎng)為1的正三角形多少個(gè)？(北京市“迎春杯” 數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)4一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面半徑為5cm，深20cm。今將一個(gè)底面半徑為2cm，高為17cm的鐵圓柱垂直放入容器中。求這時(shí)容器的水深是多少厘米？(“華杯賽”試題)5把一個(gè)正方形剪成9個(gè)大小不完全相同的正方形，請(qǐng)畫圖表示。(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)6把一個(gè)正六邊形分成3個(gè)形狀、大小都完全相同的正五邊形。(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7把一個(gè)正方

40、形剪成11個(gè)大小不完全相同的正方形，請(qǐng)用圖表示。(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)8一座美術(shù)館有7個(gè)展廳(如圖)，相鄰的展廳都是連通的。如果觀眾在參觀時(shí)只允許從編號(hào)比較小的展廳到編號(hào)比較大的展廳，如，從“3”號(hào)展廳只能到“4”號(hào)展廳或者“5”號(hào)展廳，不能到“2”號(hào)展廳或者“1”號(hào)展廳。那么，從“1”號(hào)展廳到“7”號(hào)展廳一共有多少種不同的走法？2 4 6 1 3 5 79一個(gè)盛有水的圓柱形容器，底面半徑5cm，深20cm，水深15cm。把一個(gè)底面半徑2cm、高17cm的鐵圓柱垂直放入容器中。求這時(shí)容器內(nèi)的水深是多少厘米？10把下面的正方形分割成三種面積不同的小正方形，并且小正方形的個(gè)數(shù)是8。(北京市

41、“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)11如圖，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是60cm，點(diǎn)M到各邊的距離都是4.5cm。這個(gè)四邊形的面積是多少平方厘米？12如圖，三角形ABC的底BC8cm，高AD6cm，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)。那么，三角形EBF的面積是多少平方厘米？第七講轉(zhuǎn)化通常，當(dāng)我們要處理一個(gè)陌生的或復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，總是先設(shè)法把它變成比較熟悉的或者比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這種數(shù)學(xué)思想方法叫做轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化是一種最常用的數(shù)學(xué)思想方法。例1四十一位數(shù)555999(其中5和9各有20個(gè))，能被7整除，那么，方格內(nèi)的數(shù)字是幾？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)解：試算發(fā)現(xiàn)555555、999999能被7整除，而20÷6余2，

42、所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為5599能被7整除，而55994900098601，問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為601能被7整除，而6011001500，問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為500能被7整除，最終得出方格內(nèi)的數(shù)字應(yīng)該是6。例2一批工人到甲、乙兩個(gè)工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的1倍。上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，下午這批工人中有的人去甲工地，其余工人到乙工地。到傍晚時(shí)，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天，那么這批工人有多少人？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克賽題)解：上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，即上午去甲工地的占總?cè)藬?shù)的，去乙工地的占總?cè)藬?shù)的。下午去甲工地的占總?cè)藬?shù)的，即下午去乙工地的占總?cè)藬?shù)的。

43、到傍晚時(shí)甲工地的工作已做完，即如果半天完成工作，甲工地需要總?cè)藬?shù)的1，乙工地需要總?cè)藬?shù)的1÷1，還缺總?cè)藬?shù)的。乙工地還需4名工人再做1天，即乙工地還需4×28(人)做半天。所以這批工人有8÷36(人)。例3圖(a)是一個(gè)直徑3cm的半圓，AB是直徑。讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°角，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，見圖(b)，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克賽題)解：陰影部分的面積，等于全部圖形的面積減去一個(gè)直徑為3cm的半圓的面積，即陰影部分的面積等于半徑為3cm的60°的扇形面積，是×3.14×324.

44、71(cm2)。例4左下圖中，已知AEAC，CDBC，BFAB，那么DEF的面積是ABC的面積的幾分之幾？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：連結(jié)AD、BE、CF如右上圖。因?yàn)镃DBC，所以SACDSABC。因?yàn)锳EAC，所以SCDESACD×SABCSABC；同理，SBDFSABD×SABCSABC；SAEFSACF×SABCSABC。所以，DEF的面積是ABC的面積的1。練習(xí)七1計(jì)算：19199199919999？(“華杯賽”試題)1999個(gè)92和3333333333333333的末三位數(shù)字是哪幾個(gè)數(shù)字？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)1995個(gè)33六年級(jí)的人數(shù)在

45、80110之間，如果每8人組成一組，那么有一個(gè)小組多5人；如果每12人組成一組，那么有3個(gè)小組各少1人。六年級(jí)共有學(xué)生多少人？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)4已知一個(gè)四邊形的兩條邊的長(zhǎng)度和三個(gè)角，如左下圖所示，那么這個(gè)四邊形的面積是多少？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)5上中圖是由正方形和半圓組成的，其中P點(diǎn)為半圓周的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為正方形一邊的中點(diǎn)，那么陰影部分的是多少？(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)6右上圖三角形ABC的面積是1cm2，且BE2EC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)。那么陰影部分的面積是多少平方厘米？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 7計(jì)算11192199319994199995所得的和的數(shù)字和是多少？(“華杯

46、賽”試題)8已知15個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均值是15，求前5個(gè)數(shù)的平均數(shù)。(美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)9計(jì)算：1000999998997996995994993108107106105104103102101。(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)10計(jì)算：99198297396495594693792891990？(小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)11下圖是一塊正方形的藍(lán)白格子布，邊長(zhǎng)60cm。每條藍(lán)色條紋(陰影部分)寬5cm。白色部分的面積是多少平方厘米？12下面的數(shù)的總和是多少？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)0 1 2 49 1 2 3 50 48 49 50 97 49 50 51 98第八講枚舉法枚舉法

47、是將問(wèn)題所涉及的所有情況全部列舉出來(lái)，一一加以討論，從而解決問(wèn)題的一種方法。當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)的情況是有限種，而且這些情況又無(wú)法統(tǒng)一處理時(shí)，就可以用枚舉法來(lái)解決。例1設(shè)n200×209×218××2000，那么n的末尾有多少個(gè)連續(xù)的0？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：在200,209,218，2000中，5的倍數(shù)有141(個(gè))；25的倍數(shù)有19(個(gè))；125的倍數(shù)有12(個(gè))。于是，在n的質(zhì)因數(shù)分解式中，便有419252(個(gè))5。而在n的質(zhì)因數(shù)分解式中2的個(gè)數(shù)顯然多于5的個(gè)數(shù)，因此，n的末尾有52個(gè)連續(xù)的0。例2在射擊運(yùn)動(dòng)中，每射一箭得到的的環(huán)數(shù)或者是“0”，

48、或者是不超過(guò)10的自然數(shù)。甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙的總環(huán)數(shù)。(“華杯賽”試題)解：因?yàn)槊考渲械沫h(huán)數(shù)都是1764的因子，而17642×2×3×3×7×7，并且環(huán)數(shù)是不超過(guò)10的自然數(shù)，所以必有兩箭是7環(huán)，其它3箭的環(huán)數(shù)是2×2×3×3的因子。因此，兩人射箭的環(huán)數(shù)有5種可能：7, 7，1, 4，9，和是28；7, 7，1, 6，6，和是27；7, 7，2, 2，9，和是27；7, 7，2, 3，6，和是25；7, 7，3, 3，4，和是24。因

49、為甲的環(huán)數(shù)比乙少4，所以甲的總環(huán)數(shù)是24，乙的總環(huán)數(shù)是28。例3有三個(gè)棱長(zhǎng)分別是3cm、4cm、5cm的相同的長(zhǎng)方體，把它們的某些面染上紅色，使得有1個(gè)長(zhǎng)方體只有一個(gè)面是紅色的，有1個(gè)長(zhǎng)方體恰有兩個(gè)面是紅色的，有1個(gè)長(zhǎng)方體恰有三個(gè)面是紅色的。染色后把所有的長(zhǎng)方體分割成棱長(zhǎng)為1cm的小正方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最少有多少個(gè)？(日本小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)解：一個(gè)面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將3×4的面染成紅色，這時(shí)產(chǎn)生12個(gè)一面紅的小正方體，個(gè)數(shù)最少。兩個(gè)面染紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)將3×4、3×5兩個(gè)長(zhǎng)方形染紅，產(chǎn)生3×(41)3×(51)2

50、1(個(gè))一面紅的小正方體，其它染法產(chǎn)生的一面紅的小正方體均超過(guò)21個(gè)。三個(gè)面染紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)將有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三個(gè)面染紅，這時(shí)產(chǎn)生(31)×(41)(41)×(51)(51)×(31)26(個(gè))一面紅的小正方體，其它染法產(chǎn)生的一面紅的小正方體均超過(guò)26個(gè)。所以，一面紅的小正方體最少有12212659(個(gè))。例4設(shè)a與b是兩個(gè)不相同的自然數(shù)，如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么a與b之和可以有多少種不同的值？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：a與b的最小公倍數(shù)722×2×2×3×3，有12個(gè)約數(shù)：1, 2，3, 4，6, 8，9,

51、 12, 18, 24, 36, 72。不妨設(shè)ab。(1)當(dāng)a72時(shí)，b可取小于72的11種約數(shù)，ab的值為73、74、75、76、78、80、81、84、90、96、108，共11個(gè)；(2)當(dāng)a36時(shí)，b必須取8或24，ab的值為44或60，共2個(gè)；(3)當(dāng)a24時(shí)，b必須取9或18，ab的值為33或42，共2個(gè)；(4)當(dāng)a18時(shí)，b必須取8，ab的值只有1個(gè)26；(5)當(dāng)a12時(shí)，b無(wú)解；(6)當(dāng)a9時(shí)，b必須取8，ab的值只有1個(gè)17。所以ab可以有11221117種不同的值。練習(xí)八1連乘積11×12×13××54×55×56的

52、末尾共有多少個(gè)連續(xù)的0？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)2一本書有500頁(yè)，編上頁(yè)碼1，2，3，。問(wèn)數(shù)字1在頁(yè)碼中出現(xiàn)多少次？(美國(guó)長(zhǎng)島小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)3如圖，24塊邊長(zhǎng)為10cm的正方體瓷磚，排成如下黑白相間的長(zhǎng)方形。一只螞蟻沿著瓷磚的邊爬行，爬行中它的左邊總有一塊黑的瓷磚。這只螞蟻從左上角到右下角，至少爬了多少厘米？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)4用1，2，3，4，5，6，7七個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)一位數(shù)(其中一個(gè)已知是714)，使得這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，(“華杯賽”試題)5三年級(jí)小朋友做投球游戲，把紅、黃兩種顏色的球投到5m外的小鐵筐里，每投進(jìn)一個(gè)紅球得7分，投進(jìn)一個(gè)黃球得5分。馬小勤一共得了58分，他投進(jìn)了幾個(gè)紅球？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)6有一類小于200的自然數(shù)，每一個(gè)數(shù)的數(shù)字和是奇數(shù)，而且都是