1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流高中數學巧學巧解大全.精品文檔.高中數學活題巧解方法 一、代入法1二、直接法2三、定義法3四、向量坐標法4五、查字典法5六、擋板模型法6七、等差中項法7八、逆向化法7九、極限化法8十、整體化法9十一、參數法10十二、交軌法11十三、幾何法13十四、弦中點軌跡法14十五、比較法15十六、基本不等式法17十七、綜合法18十八、分析法18十九、放縮法19二十、反證法21二十一、換元法22第十一章 不等式24高中數學活題巧解方法一、代入法若動點依賴于另一動點而運動，而點的軌跡方程已知（也可能易于求得）且可建立關系式，于是將這個點的坐標表達式代入已知（

2、或求得）曲線的方程，化簡后即得點的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉移法或相關點法。【例1】（2009年高考廣東卷）已知曲線：與直線：交于兩點和，且，記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區域（含邊界）為D.設點是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合.若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程；【巧解】聯立與得，則中點，設線段 的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，中點的軌跡方程為（）.【例2】（2008年，江西卷）設 在直線上，過點作雙曲線的兩條切線、，切點為、，定點M。 過點A作直線的垂線，垂足為N，試求

3、的重心G所在的曲線方程。【巧解】設，由已知得到，且，（1）垂線的方程為：，由得垂足，設重心所以 解得 由 可得 即為重心所在曲線方程巧練一：（2005年，江西卷）如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.，求APB的重心G的軌跡方程.巧練二：（2006年，全國I卷）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量，求點M的軌跡方程二、直接法直接從題設的條件出發，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則通過準確的運算、嚴

4、謹的推理、合理的驗證得出正確的結論，從而確定選擇支的方法叫直接法。從近幾年全國各地的高考數學試題來看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。但解題時也要“盯住選項特點”靈活做題，一邊計算，一邊對選項進行分析、驗證，或在選項中取值帶入題設計算，驗證、篩選而迅速確定答案。【例1】（2009年高考全國II卷）已知雙曲線的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點。若，則C的離心率為（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】設，由，得，設過點斜率為的直線方程為，由消去得：， ， 將 代入得化簡得化簡得：，即。故本題選（A）【例2】（2008年，四川卷）設定義在上的函數滿足，若，則（ ）（A）13（B）2（

5、C）（D）【巧解】，函數為周期函數，且，故選（C）巧練一：（2008年，湖北卷）若上是減函數，則b的取值范圍是（ ）ABCD巧練二：（2008年，湖南卷）長方體ABCDA1B1C1D1的8個頂點在同一個球面上，且AB=2，AD=AA1=1，則頂點A、B間的球面距離是（ ）ABCD三、定義法所謂定義法，就是直接用數學定義解題。選擇題的命題側重于對圓錐曲線徑、準線、離心定義的考查，凡題目中涉及焦半徑、通率及離心率的取值范圍等問題，用圓錐曲線的第一和第二定義解題，是一種重要的解題策略。【例1】（2009年高考福建卷，理13）過拋物線的焦點F作傾斜角為450的直線交拋物線于A、B兩點，線段AB的長為8

6、，則 【巧解】依題意直線的方程為，由消去得：，設，根據拋物線的定義。故本題應填2。【例2】（2008年，山東卷，理10）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26. 若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由題意橢圓的半焦距為，雙曲線上的點滿足點的軌跡是雙曲線，其中，故雙曲線方程為，選（A）巧練一：（2008年，陜西卷）雙曲線的左、右焦點分別是F1，F2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD巧練二：（2008年，遼寧卷）已知點P是拋物

7、線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ ）（A）（B）3（C）（D）四、向量坐標法向量坐標法是一種重要的數學思想方法，通過坐標化，把長度之間的關系轉化成坐標之間的關系，使問題易于解決，并從一定程度上揭示了問題的數學本質。在解題實踐中若能做到多用、巧用和活用，則可源源不斷地開發出自己的解題智慧，必能收到事半功倍的效果。【例1】（2008年，廣東卷）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 若=a，=b，則=（ ）AxyOBDCEAa +b Ba +b Ca +b Da +b【巧解】如圖所示，選取邊長為

8、2的正方形則，直線的方程為，聯立得，設，則解之得，故本題選B【例2】已知點為內一點，且0，則、的面積之比等于（ ）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1D1：2：3ABCxyO【巧解】不妨設為等腰三角形，建立如圖所示的直角坐標系，則點，設，0，即解之得，即，又直線的方程為，則點到直線的距離，因此，故選C巧練一：（2008年，湖南卷）設D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且（ ）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直巧練二：設是內部一點，且，則與面積之比是 .五、查字典法查字典是大家比較熟悉的，我們用類似“查字典”的方法來解決數字排列問題中數字比較大小的問題，避免了用

9、分類討論法時容易犯的重復和遺漏的錯誤，給人以“神來之法”的味道。利用“查字典法”解決數字比較大小的排列問題的思路是“按位逐步討論法”（從最高位到個位），查首位時只考慮首位應滿足題目條件的情況；查前“2”位時只考慮前“”位中第“2”個數應滿足條件的情況；依次逐步討論，但解題中既要注意數字不能重復，又要有充分的理論準備，如奇、偶問題，3的倍數和5的倍數的特征，0的特性等等。以免考慮不全而出錯。【例1】（2007年，四川卷）用數字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數字，并且比20000大的五位偶數共有（ ）（A）288個（B）240個（C）144個（D）126個【巧解】本題只需查首位，可分3種情

10、況， 個位為0，即 型，首位是2，3，4，5中的任一個，此時個數為； 個位為2，即， 此種情況考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排3，4，5，所以個數為；個位為4， 型，此種特點考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排2，3，5，所以個數為；故共有個。故選（B）【例2】（2004年全國II卷）在由數字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復數字的5位數中，大于23145且小于43521的數共有（ ）A56個B57個C58個D60個【巧解】（1）查首位：只考慮首位大于2小于4的數，僅有1種情況：即型，此特點只需其它數進行全排列即可。有種，（2）查前位：只考慮前“”位中比既大又小的數，有4種情況：，型，而每種

11、情況均有種滿足條件，故共有種。（3）查前位：只考慮前“3”位中既比大又小于5的數，有4種情況：，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。（3）查前4位：只考慮前“4”位中既比4大又小于2的數，此種情況只有 23154和43512兩種情況滿足條件。故共有個，故選C 巧練一：用數字可以組成沒有重復數字，并且不大于4310的四位偶數共有（ ）A110種B109種C108種D107種巧練二：（2007年，四川卷）用數字1,2,3,4,5可以組成沒有重復數字,并且比20000大的五位偶數共有（ ）（A）48個（B）36個（C）24個（D）18個六、擋板模型法擋板模型法是在解決排列組合應用問題中，對一些不

12、易理解且復雜的排列組合問題，當元素相同時，可以通過設計一個擋板模型巧妙解決，否則，如果分類討論，往往費時費力，同時也難以解決問題。【例1】體育老師把9個相同的足球放入編號為1，2，3的三個箱中，要求每個箱子放球的個數不少于其編號，則不同的放球方法有（ ）A8種B10種C12種D16種【巧解】先在2號盒子里放1個小球，在3號盒子里放2個小球，余下的6個小球排成一排為：，只需在6個小球的5個空位之間插入2塊擋板，如：，每一種插法對應著一種放法，故共有不同的放法為種. 故選B【例2】兩個實數集，若從A到B的映射使得B中每個元素都有原象，且，則這樣的映射共有（ ）個ABCD【巧解】不妨設兩個集合中的數

13、都是從小到大排列，將集合的50個數視為50個相同的小球排成一排為：，然后在50個小球的49個空位中插入24塊木板，每一種插法對應著一種滿足條件對應方法，故共有不同映射共有種. 故選B巧練一：兩個實數集合A=a1, a2, a3, a15與B=b1, b2, b3, b10，若從A到B的是映射f使B中的每一個元素都有原象，且f(a1)f(a2) f(a10)<f(a11)<<f(a15), 則這樣的映射共有（ ）A個B個C1015個D巧練二：10個完全相同的小球放在標有1、2、3、4號的四個不同盒子里，使每個盒子都不空的放法有（ ）種A24B84C120D96七、等差中項法等差

14、中項法是根據題目的題設條件（或隱含）的特征，聯想到等差數列中的等差中項，構造等差中項，從而可使問題得到快速解決，從而使解題過程變得簡捷流暢，令人賞心悅目。【例1】（2008年，浙江卷）已知，則（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】根據特征，可得成等差數列，為與的等差中項。可設，其中；則，又，故，由選項知應選（C）【例2】（2008年，重慶卷）已知函數的最大值為M,最小值為m,則的值為（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由可得，為與的等差中項，令，其中，則，即，又，則，故，解之得，即，故選（C）巧練：（2008年，江蘇卷）的最小值 .八、逆向化法逆向化法是在解選擇題時, 四個選項以及四個選項中

15、只有一個是符合題目要求的都是解題重要的信息。 逆向化策略是把四個選項作為首先考慮的信息，解題時，要“盯住選項”，著重通過對選項的分析，考查，驗證，推斷進行否定或肯定，或者根據選項之間的關系進行邏輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項。【例1】（2008年，湖北卷）函數的定義域為（ ）ABC D【巧解】觀察四個選項取端點值代入計算即可，取，出現函數的真數為0，不滿足，排含有1的答案C，取代入計算解析式有意義，排不含有的答案B，取出現二次根式被開方數為負，不滿足，排含有2的答案A，故選D評析：求函數的定義域只需使函數解析式有意義，凡是考查具體函數的定義域問題都可用特值法代入驗證快速確定選

16、項。【例2】（2008年，江西卷）已知函數，若對于任一實數與的值至少有一個為正數，則實數的取值范圍是（ ）A（0，2）B（0，8）C（2，8）D（，0）【巧解】觀察四個選項中有三個答案不含2，那么就取代入驗證是否符合題意即可，取，則有 ，這個二次函數的函數值 對且恒成立，現只需考慮當時函數值是否為正數即可。這顯然為正數。故符合題意，排除不含的選項A、C、D。所以選B巧練一：（2007年，湖北卷）函數（x<0）的反函數是（ ）A.（x<1）B. （x>1）C.（x<1）D. （x>1）巧練二：（2004年，重慶卷）不等式的解集是（ ） A B C D九、極限化法極限

17、化法是在解選擇題時,有一些任意選取或者變化的元素,我們對這些元素的變化趨勢進行研究,分析它們的極限情況或者極端位置,并進行估算,以此來判斷選擇的結果.這種通過動態變化,或對極端取值來解選擇題的方法是一種極限化法.【例1】正三棱錐中，在棱上，在棱上，使，設為異面直線與所成的角，為異面直線與所成的角，則的值是 （ ） A BCD【巧解】當時，且，從而。因為，排除選擇支故選D（或時的情況，同樣可排除），所以選D【例2】若，當1時，的大小關系是（ ）A B C D【巧解】當時，故，所以選B巧練一：若的大小關系（ ）ABCD與x的取值有關巧練二：對于任意的銳角，下列不等關系式中正確的是（ ）（A） （B

18、）（C） （D） 十、整體化法整體化法是在解選擇題時,有時并不需要把題目精解出來,而是從題目的整體去觀察,分析和把握,通過整體反映的性質或者對整體情況的估算,確定具體問題的結果,例如,對函數問題,有時只需要研究它的定義域,值域,而不一定關心它的解析示式,對函數圖象,有時可以從它的整體變化趨勢去觀察,而不一定思考具體的對應關系,或者對4個選項進行比較以得出結論,或者從整體,從全局進行估算,而忽略具體的細節等等,都可以縮短解題過程,這是一種從整體出發進行解題的方法.【例1】已知是銳角，那么下列各值中，可能取到的值是（ ）A BCD【巧解】，又是銳角，即，故選B【例2】(2002年,全國卷)據200

19、2年3月5日九屆人大五次會議政府工作報告指出“2001年國內生產總值達到95933億元,比上一年增長7.3%.”如果“十·五”期間(2001-2005年)每年的國內生產總值按此年增長率增長,那么,到“十·五”末,我國國內生產總值約為（ ）20080523（A）115000億元 (B)120000億元 (C) 127000億元 (D)135000億元【巧解】 注意到已知條件給出的數據非常精確, 2001年國內生產總值達到億元,精確到億元,而四個選項提供的數據都是近似值, 精確到千億元,即后三位都是0,因此,可以從整體上看問題,忽略一些局部的細節.把億元近似地視為億元,又把近似

20、地視為,這樣一來,就有20080523 Oxy2巧練一： 如圖所示為三角函數，（的圖象的一部分，則此函數的周期可能是（ ）A BCD巧練二：（全國卷）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（ ）（A） （B）5 （C）6 （D）十一、參數法在解題過程中，適當引入一個或幾個新變量代替原式中的某些量，使得原式中僅含有這些新變量，以此作為媒介，在進行分析和綜合，然后對新變量求出結果，從而解決問題的方法叫參數法。【例1】（2008年，安徽卷）設橢圓過點，且左焦點為（）求橢圓的方程；（）當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點

21、時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上。【巧解】(1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2) 由得：設點Q、A、B的坐標分別為。由題設知均不為零，記,則且，又A，P，B，Q四點共線，從而，于是 ， ， ， 從而 ， ，又點A、B在橢圓C上，即 并結合，得,即點總在定直線上。【例2】（2004年，遼寧卷）設橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程；【巧解】直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為記、由題設可得點A、B的坐標、是方程組 的解.將代入并化簡得，所以于是設點P的坐標為則消去參數k得

22、 當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程，所以點P的軌跡方程為巧練一：（2008年，全國I卷）直線通過點，則有（ ）AB C D 巧練二： 如圖，已知直線l與拋物線相切于點P(2，1)，且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）. （I）若動點M滿足，求點M的軌跡C； （II）若過點B的直線l（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求OBE與OBF面積之比的取值范圍.十二、交軌法如果所求軌跡是兩條動曲線（包括直線）的交點所得，其一般方法是恰當地引進一個參數，寫出兩條動曲線的方程，消去參數，即得所求的軌跡方程，所以交軌法是參數法

23、的一種特殊情況。【例1】已知橢圓C： ,短軸一個端點到右焦點的距離為. （）求橢圓C的方程； （）設直線經過橢圓的焦點F交橢圓C交于A、B兩點,分別過A、B作橢圓的兩條切線，A、B為切點，求兩條切線的交點的軌跡方程。【巧解】（）設橢圓的半焦距為，依題意解之得，所求橢圓方程為（）由（I）知，設，對橢圓求導：，即，則過A點的切線方程為 整理得 同理過B點的切線方程為 ，又在兩切線、上，因此，兩點在均在直線上，又在直線上，即為交點的軌跡方程【例2】過拋物線C：上兩點M，N的直線交y軸于點P（0，b）. （）若MON是鈍角（O為坐標原點），求實數b的取值范圍； （）若b=2，曲線C在點M，N處的切線的

24、交點為Q.證明：點Q必在一條定直線上運動.【巧解】（）設點M，N坐標分別為由題意可設直線方程為y=kx+b,（）當b=2時，由（）知函數y=x2的導數y=2x，拋物線在兩點處切線的斜率分別為在點M，N處的切線方程分別為巧練一：已知定點A（1，0）和定直線上的兩個動點E、F，滿足，動點P滿足（其中O為坐標原點）. （）求動點P的軌跡C的方程； （）設直線經過點與軌跡C交于A、B兩點,分別過A、B作軌跡C的兩條切線，A、B為切點，求兩條切線的交點的軌跡方程。巧練二：如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，ODAB，P是半圓弧上一點，POB=30°. 曲線C是滿足|MA|M

25、B|為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P. （）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程； （）設過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F. 分別過E、F.作軌跡C的兩條切線，E、F.為切點，求兩條切線的交點的軌跡方程。十三、幾何法利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質，發現動點運動規律，然后得出題目結論的方法叫做幾何法。OxyC【例1】(2008年，浙江卷)已知、是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足 的最大值是（ ）（A）1（B）2（C）（D）【巧解】不妨設以、所在直線為軸，軸，且，由已知得，整理得即，所以向量的坐標是以為圓心，為半徑的一個圓且過原點，故的最大值即為圓的直徑為，故

26、本題選（C）【例2】（2008年，江蘇卷）若AB=2，AC=的最大值 .【巧解】建立如圖平面直角坐標系，設，由B(2,0)Axy即，化簡得配方得，所以點軌跡是以為圓心，為半徑的一個圓（除去與軸的兩個交點），所以當點縱坐標絕對值為，即時，有最大值為，所以答案為巧練一：已知，其中，則的最小值為 .巧練二：已知實數、滿足，則的最大值等于 .十四、弦中點軌跡法有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦重點軌跡。“點差法”解決有關弦中點問題較方便，要點是巧代斜率。【例1】（2009年高考海南、寧夏卷）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為，直線與拋物線C相交于A

27、，B兩點，若AB的中點為（2，2），則直線的方程為 .【巧解】由知拋物線C的方程為，設，代入拋物線方程則有：，兩式相減有，即，又，即。故：，即，本題應填【例2】橢圓與直線交于、兩點，若過原點與線段中點的直線的傾斜角為，則的值為 （ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】設的中點為，則，又，兩式相減，得即，又，故選（B）巧練一：若橢圓與直線交于、兩點，過原點與線段中點的直線的斜率為，則的值為 .巧練二：若橢圓的弦被點平分，則此弦所在直線的斜率是為 .十五、比較法現實世界的同類量之間，有相等關系，也有不等關系。兩個可以比較大小的量和，若，則它們分別表示，我們把根據兩個量的差的正、負或零判斷兩個量不等或

28、相等的方法叫做差式比較法；當兩個量均為正值時，有時我們又可以根據，或來判斷，這個方法叫做商式比較法。這兩種方法在數列與函數、不等式交匯問題中應用廣泛。比較法之一（作差法0步驟：作差變形定號結論（1）作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。（2）變形：常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“積”。（3）定號：就是確定是大于，還是等于，還是小于，最后下結論。概括為“三步，一結論”，這里的“定號”是目的，“變形”是關鍵。注意：若兩個正數作差比較有困難，可以把式子靈活變形，通過作商或將它們的平方差來比較大小。【例1】已知數列中，且點在直線上 （1）求的通項公式； （2）若函數，求函數的最小值

29、.【巧解】（1）點在直線上，即且數列是以為首項，為公差的等差數列（2），是單調遞增的，故的最小值是【例2】（）已知函數是數列的前n項和，點（n，Sn）（nN*），在曲線上，求an.（）在（）的條件下，若，且Tn是數列cn的前n項和.試問Tn是否存在最大值？若存在，請求出Tn的最大值，若不存在，請說明理由.【巧解】（）點（n，Sn）在曲線上，所以當n=1時，a1= S1=3，當n2時，an= Sn- Sn-1=9-6n，利用錯位相減法， 存在最大值 巧練一：（2005年，全國卷）若，則（ ）Aa<b<c Bc<b<a Cc<a<b Db<a<c巧練

30、二：已知函數的圖象過點（）求函數的反函數的解析式；（）記，是否存在正數k，使得均成立.若存在，求出k的最大值；若不存在，請說明理由. 十六、基本不等式法借助基本不等式證明不等式或求某些函數最值的方法叫基本不等式。常用的基本不等式有下面幾種形式：若、，則，（當且僅當時取等號），反之也成立，若、，則，（當且僅當時取等號），反之也成立。若、都是正數，則，（當且僅當時取等號），反之也成立。若、都是正數，則，（當且僅當時取等號），反之也成立。對于公式及公式的理解，應注意以下幾點：兩個公式成立的條件是不同的，前者只要求、是實數，而后者強調、必須是正數。要對兩個公式的等號及“當且僅當時取等號”的含義要有透徹

31、的理解并會在函數、三角函數、解析幾何等知識中靈活應用。解題功能及技巧是：二、三元不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能。在創設應用不等式的使用條件時，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧。“和定積最大，積定和最小”，即個正數的和為定值，則可求積的最大值，積為定值，則可求和的最小值。應用此結論求某些函數最值要注意三個條件：就是“一正各項都是正數；二定積或和是定值；三等等號能否取到”，求最值時，若忽略了上述三個條件，就會出現錯誤，導致解題失敗。必要時要做適當的變形或換元，以滿足上述條件。【例1】（2008年，重慶卷）函數f（x）=（0x2）的值域是（ ）（A）（B）

32、（C）（D）【巧解】，令，當且僅當，即時取等號，此時，即或，因而，故的值域為【例2】（2008年，遼寧卷）設則函數的最小值為 .【巧解】由二倍角公式及同角三角函數的基本關系得：，利用均值定理，當且僅當時取“=”，所以應填.巧練一：函數的最小值是 。巧練二：求函數的最大值。十七、綜合法利用某些已知證明過的不等式和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法。【例1】已知是正數，且，求證：【巧證】左右，當且僅當，即時，取“”號，故。【例2】已知是正數，且，求證：【巧證】，當且僅當時取“”號。巧練一：已知函數設，求證：巧練二：已知都是實數，且，求證：十八、分析法證明不等式時，有時可以從

33、求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法通常叫分析法。注意：分析法是“執果索因”，步步尋求不等式成立的充分條件，可以簡單寫成，分析法與綜合法是對立統一的兩種方法。綜合法是“由因導果”；分析法論證“若則”這個命題的證明模式（步驟）是：欲證明命題成立，只須證明命題成立，從而有，只須證明命題成立，從而又有，只須證明命題成立，而已知成立，故必成立。用分析法證明問題時，一定要恰當用好“要證”，“只須證”，“即證”，“也即證”等詞語。【例1】求證【巧證】，要證，只須證，即證也即證

34、，顯然成立，原不等式成立。【例2】設，且，證明【巧證】要證只須證，即證兩邊平方得：，也即證，且顯然成立，原不等式成立。巧練一：求證巧練二：已知，試證明：十九、放縮法欲證，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得，。或，。，在利用傳遞性，達到欲證的目的，這種方法叫放縮法。放縮法的實質是非等價轉化，放縮沒有一定的準則和程序，需按題意適當放縮否則是達不到目的，此方法在數列與函數、不等式綜合問題中證明大小關系是常用方法。放縮法的方法有：（1）添加或舍去一些項，如：；（2）將分子或分母放大（或縮小）（3）利用基本不等式，如：（4）利用常用結論：；（程度大）（程度小）【例1】已知數列（1）求的通項

35、公式；（2）設【巧解】由即 （2）當n=1時，又【例2】已知數列的各項均為正數， （）求數列的通項公式； （）設數列的前n項和為Tn，且，求證：對任意正整數n，總有【巧解】（）解： ，得 即數列是等比數列. （）證明：對任意正整數n，總有 巧練一：已知數列的通項為，前項和為，且是與2的等差中項；數列中，點P（，）在直線上，（）求數列、的通項公式，；（）設的前項和為，試比較與2的大小；巧練二：已知數列，且對任意，都有上. （1）求數列的通項公式； （2）求證：二十、反證法從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、公理、定理、法則或已經證

36、明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明的證明方法叫反證法。基本證明模式是：要證明，先假設，由已知及性質推出矛盾，從而肯定，適用范圍：否定性命題；唯一性命題；含有“至多”、“至少”問題。根據問題條件和結論，情況復雜難于入手，可考慮試用反證法。 反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：否定結論推導出矛盾肯定結論成立，應用反證法證明的主要三步是：第一步，反設作出與求證結論相反的假設；第二步歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步肯定結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。【例1】若證明 ，不能

37、同時大于【巧證】假設，那么；同理，上述三式相加得，矛盾，故假設不成立，原命題成立【例2】求證：不是周期函數【巧證】假設函數是周期函數，是它的一個周期，即對任意都有成立，令，得即，分兩種情況討論：（1）若，則對任意都成立，取，有，即，而，不是該函數的周期。（2）若，則有對任意都成立，取，有有，即，而，不是該函數的周期。由（1）和（2）說明不是該函數的周期。故假設不成立，從而命題得證。巧練一：設，求證、之中至少有一個不小于巧練二：若下列方程：，至少有一個方程有實根。試求實數的取值范圍。二十一、換元法解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元法又稱輔

38、助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元的方法有：（1）局部換元，局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形

39、才能發現。例如解不等式，先變形為設，而變為熟悉的一元二次不等式求解和指數方程的問題。（2）三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數的值域時，易發現設，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發現值域的聯系，又有去根號的需要。如：已知 ，可設，已知 ，可設，已知，可設，已知，可設，（3）均值換元，如遇到形式時，設 等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。【例1】（2008年，江西卷）若函數

40、的值域是，則函數 的值域是（ ）ABCD 【巧解】令，問題轉化為求函數在的值域，于是由函數在上為減函數，在上為增函數，得，故本題選B【例2】（2008年，重慶卷）函數的值域是（）20080807（A）（B）1,0（C）（D）【巧解】 ，當時，原式，令，即，即，其中，又，即，解之得，當時，綜上知的值域為，故本題選B巧練一：函數的值域是（ ）ABCD巧練二：(2005年，福建卷)設的最小值是（ ）ABC3D第十一章 不等式難點巧學一、活用倒數法則 巧作不等變換不等式的性質和應用不等式的性質和運算法則有許多,如對稱性,傳遞性,可加性等.但靈活運用倒數法則對解題,尤其是不等變換有很大的優越性.倒數法則

41、：若ab>0,則a>b與<等價。此法則在證明或解不等式中有著十分重要的作用。如：（1998年高考題改編）解不等式loga(1-)>1.分析：當a>1時，原不等式等價于：1->a,即 <1-a ,a>1,1-a<0, <0,從而1-a, 同號，由倒數法則，得x> 當0<a<1時，原不等式等價于 0<1- <a,1-a<<1, 0<a<1， 1-a>0, >0, 從而1-a, 同號，由倒數法則，得1<x<綜上所述，當a>1時,x(,+)；當0<a&l

42、t;1時，x(1,).注：有關不等式性質的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。二、小小等號也有大作為絕對值不等式的應用絕對值不等式：|a|-|b|a±b|a|+|b|。這里a,b既可以表示向量，也可以表示實數。當a,b表示向量時，不等式等號成立的條件是：向量a與b共線；當a,b表示實數時，有兩種情形：（1）當ab0時，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=|a|-|b|;(2)當ab0時，|a+b|=|a|-|b|, |a-b|=|a|+|b|.簡單地說就是當a,b同號或異號時，不等式就可轉化為等式（部分地轉化），這為解決有關問題提供了十分有效的解題工具。如：若

43、1<<,則下列結論中不正確的是（ ）A、logab>logba B、| logab+logba|>2 C、(logba)2<1 D、|logab|+|logba|>|logab+logba|分析：由已知，得0<b<a<1,a,b同號，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，D錯。答案 D注：絕對值不等式是一個十分重要的不等式，其本身的應用價值很廣泛，但在高考或其他試題中常設計成在等號成立時的特殊情況下的討論，因此利用等號成立的條件（a,b同號或異號）是解決這一類問題的一個巧解。三、“抓兩頭 看中間”，巧解“雙或不等式”

44、不等式的解法（1）解不等式（組）的本質就是對不等式（組）作同解變形、等價變換。（2）多個不等式組成的不等式組解集的合成先同向再異向不等式組的解法最關鍵的是最后對幾個不等式交集的確定。常用畫數軸的方法來確定,但畢竟要畫數軸.能否不畫數軸直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再異向”的原則來確定，即先將同向不等式“合并”（求交集），此時“小于小的，大于大的”；最后余下的兩個異向不等式，要么為空集，要么為兩者之間。如解不等式組:,先由(同>)得x>0(大于大的);再由(同<)得x<1(小于小的);再將x>0與x<1分別與作交集,由x>0與得0

45、<x<2;由x<1與得-1<x<1.這樣所得的不等式的解集為(0,1).（3）雙或不等式組的解集合成 形如的不等式組稱為“雙或”型不等式組（實際上包括多個“或”型不等式組成的不等式組也在此列），這是解不等式組中的一個難點。解決這類不等式組時常借用數軸來確定，但學生在求解時總會出現一些錯誤。這里介紹一種不通過數軸的直接方法：“抓兩頭 看中間”！如：,先比較a,b,c,d四個數的大小，如a<b<c<d,則其解集中必含有x<a或x>d（即抓兩頭）；再看x>b與x<c的交集，若有公共部分，則b<x<c;若無公共部分，則

46、此時為空集（看中間），最后將“抓兩頭”和“看中間”的結果作并集即為所求的解集。四、巧用均值不等式的變形式解證不等式均值不等式是指：a2+b22ab(a,bR) ；a+b2( a,bR+) .均值不等式是高考的重點考查內容，但其基本公式只有兩個，在實際解題時不是很方便。若能對均值不等式進行適當變形，那么在解題時就能達到事半功倍的效果。下面的一些變形式在解題時就很有用，不妨一試。當然你也可以根據需要推導一些公式。如：(1) a22ab-b2 ; 是將含一個變量的式子，通過縮小變為含兩個變量的式子，體現增元之功效，當然反過來即是減元；(2) 2a-b ; (a,b>0)是將分式化為整式，體現分

47、式的整式化作用;試試下面兩個問題如何解:求證：（1）a2+b2+c2ab+bc+ac;(2) +a+b+c. (a,b,c>0)（析：（1）由a22ab-b2得b22bc-c2 ,c22ac-a2,三式相加整理即得；（2）2a-b同樣可得另兩式，再將三式相加整理即得）。(3)ab()2 ;利用不等關系實現兩數和與兩數積的互化； (4) ;(a,b>0)利用不等關系實現兩數和、兩數的平方和及兩數積之間的轉化；注：涉及兩數和、兩數的平方和及兩數積的問題是一個十分常見的問題，利用、兩式可以使其中的關系一目了然。從解題分析上看，對解題有很好的導向作用。(5)若a,bR+，則+(當且僅當=時

48、取等號); 此式在解題中的主要作用表現在：從左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多項為一項，項數多了總不是好事；從右向左看，是“分解”或“拆項”，實現“一分為二”的變形策略。這在解不等式相關問題中就很有作為！請看下例：例：已知-1<a<1,-1<b<1,求證：+.分析：由上不等式，立即得到 +=。式還可推廣到三個或更多字母的情形，即+(a,b,c>0); +(a1,a2,an>0)(6) ax+by.(柯西不等式)此不等式將和(差)式與平方和式之間實現了溝通,靈活應用此式可以很方便地解決許多問題.如下例:例: 使關于x的不等式+k有解的實數k的

49、取值范圍是【 】A - B C + D 分析:所求k的范圍可以轉化為求不等式左邊的最大值即可,由柯西不等式得 +=.k,k的最大值是.填D.五、不等式中解題方法的類比應用1、三種基本方法：比較法、分析法、綜合法。其中比較法可分為作差比較法和作商比較法，不僅在不等式的證明和大小比較中有廣泛的應用，同時在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一種重要的思維方法，在數學的其他章節中也有廣泛的應用。2、放縮法：是不等式證明中一種十分常用的方法，它所涉及的理論簡單，思維簡單，應用靈活，因而在解題時有著十分重要的應用。如果能靈活應用放縮法，就可以達到以簡馭繁的效果。活題巧解例1若1<<,則下列結

50、論中不正確的是【 】 A logab>logba B | logab+logba |>2 C (logba)2<1 D |logab|+|logba|>|logab+logba|【巧解】特例法、排除法由已知，可令a=，b=，則logab=log23>1,0<logba=log32<1,于是A、B、C均正確，而D兩邊相等，故選D。答案 D。例2 不等式組的解集為【 】 (A) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)。【巧解】 排除法令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合題，舍D，選C。答案 C。例3 已知y=f(x)是定義在R上

51、的單調函數，實數x1x2，-1=,=，若|f(x1)-f(x2)|<|f()-f()|，則【 】A<0 B=0 C. 0<<1 D1【巧解】 等價轉化法顯然0,=, 、分別是以x1,x2為橫坐標的點所確定的線段以和為定比的兩個分點的橫坐標.由題意知，分點應在線段兩端的延長線上，所以<0,故選A。【答案】A。例4 0<a<1，下列不等式一定成立的是【 】.（A）|log(1+a)(1-a) |+| log(1-a)(1+a)|>2 （B）| log(1+a)(1-a)|<| log(1-a)(1+a) |（C）| log(1+a)(1-a)+

52、log(1-a)(1+a)|<| log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)|（D）| log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>| log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)|【巧解】換元法、綜合法由于四個選項中只涉及兩個式子log(1+a)(1-a) 和log(1-a)(1+a)，為了簡化運算看清問題的本質，不妨設x= log(1+a)(1-a),y= log(1-a)(1+a),由0<a<1知，x<0,y<0且xy,于是四個選項便為：A |x|+|y|>2 B |x|<|y| C |x+y|&

53、lt; |x|+|y| D |x-y|< |x|-|y|這樣選A就是極自然的事了。ab1Oyx ()x()x答案 A。例5已知實數 a，b滿足等式()a=()b，下列五個關系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；a=b.其中不可能成立的關系式有【 】.（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個【巧解】數形結合法在同一坐標系內同時畫出兩個函數圖象：y1=()x,y2=()x,(如圖)作直線y=m(m>0圖中平行于x軸的三條虛線),由圖象可以看到：當0<m<1時,0<b<a;當m=1時,a=b;當m>1時,a<b<0.所以不可能成立的有兩個，選B。12oyx答案 B。例6 如果數列an是各項都大于0的等差數列，且公差d0，則【 】.（A）a1+a8<a4+a5 （B）a1+a8=a4+a5 （C）a1+a8>a4+a5 （D）a1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取an=n,則