1、第二章第二章 激光工作物質及基本原理激光工作物質及基本原理黑體輻射普朗克公式11833KThvvvechvnE一、黑體輻射普朗克公式一、黑體輻射普朗克公式K: 玻爾茲曼常數 1.38062 x 10-23J/0Ch:普朗克常數:6.626 068 96(33) x 10-34 J s 單位體積內頻率處于v附件單位頻率間隔中的電磁輻射能量為（單位 Jm-3.s)黑體空腔中單位體積頻率在vv+dv間隔的光波模式數nv為3238vPvnVdvc( ) 082.998 10cm s能級與躍遷o能級: Atomic system (atoms, ions, molecules) can exist on

2、ly in discrete energy states.o能級差（單位cm-1)cE1( )()()(/ )E JE cmJ sc cm s11()()cmE cm1101(/ )()3 10()EHz sE cmcE cm 2121EEE E2E1transitions346.626 10hJSPlancks constant即：1cm-1帶寬相當于31010Hz/s的頻率間隔Ev Interaction of Radiation with MatteroBoltzmann Statistics 玻爾茲曼統計分布 Boltzmann ratio When nRoom temperature

3、nFor visible (0.40.7um) on NIR (0.8um a few ums) 2121EEkTNeNN1 , g1N2 , g2 B21B12A21E2E12121EEhkT20N 126 1050kTHzum50210umumNeN0.69m503220.69110NeN2122221111EEkTNgNgeNgg N200TN二、光與物質的作用，愛因斯坦關系光和物質的三種相互作用自發輻射受激輻射受激吸收自發輻射1E2E21A22211)(ndtdnAspsA121s1E2E自發輻射躍遷幾率可證得 為自發輻射壽命 的倒數，即12EEhv2212dnA n dt 21220

4、( )A tn tn e/220( )stn tn e為愛因斯坦自發輻射躍遷系數 只與原子本身興致有關21A1E2E12EEhv受激吸收受激吸收躍遷幾率112121)(ndtdnWstvBW1212為愛因斯坦受激吸收躍遷系數W12不僅與原子性質有關，還有輻射場成正比12Bv為輻射場12EEhv2E12EEhv12EEhv1E受激輻射受激輻射躍遷幾率vstBWndtdnW2121221211)(為受激輻射躍遷愛因斯坦系數21Bv為輻射場21A12B21B221221112vvn An Bn B系數 、 、 都是原子本身的屬性，與原子系統中原子數密度按能級的分布狀況無關。 熱平衡條件下，E1，E2

5、能級上的總粒子數密度不變，有212112spststdndndndtdtdt或21112212vAnBBn211122EEKTngeng321121321212118hvhvKTKTBB gceehvAB g1212123213218vB gB gAhvn hvBc因為o當統計權重g1=g2時，有o介質中自發輻射，受激輻射過程的光強之比可以表示為：1221BB1221WW221211212212121211hvhvspKTKTstvvIn A hvAB geeIn BhvBB g要產生激光必須受激輻射占優，即： 所謂：粒子數反轉2211gnng自發輻射、受激輻射和受激吸收小結1mmkmdNAd

6、tN Nk , gkNm , gm AmkEmEkhvmkNk , gkNm , gm BmkEmEkhvmk,(v)hv21Nk , gkNm , gm BmkEmEkhvmk,(v)自發輻射受激輻射受激吸收高能態粒子數為Nm，在dt時間內由Em能級躍遷到Ek能級的粒子數為dN，則定義自發躍遷速率Amk為：00exp()exp(/)mmmkmmNNAtNt ttm為激發態的自發壽命，表示粒子在Em能級上停留的平均時間，為自發躍遷速率Amk的倒數處于高能態Em的粒子，在hvEm-Ek外部光子的激勵或感應下（光場的能量密度為p(v)），由Em能級躍遷到Ek能級的粒子數為dN，則定義受激輻射系數B

7、mk為：處于低能態Ek的粒子，吸收外部hvEm-Ek光子的激勵（光場的能量密度為p(v)），由Ek能級躍遷到Em能級的粒子數為dN，則定義受激吸收系數Bkm為：( )mmkmdNB Nv dt 如果粒子外部激發光波為單色平面波，則受激輻射的頻率、位相、偏振方向將與激發光波完全相同。( )kkmkdNB Nv dt 1917年，愛因斯坦推出Amk,Bmk與Bkm三者之間的關系 設，體系由N個粒子組成，Nm,Nk分別為位于Em,Ek能級上的粒子。設體系與輻射場在絕對溫度下處于平衡狀態，則體系從光場吸收的能量等于向光場輻射的能量。nAbsorptionnSpontaneous EmissionnSt

8、imulated EmissionnCombining all three processes: In thermal equilibrium,Nk , gkNm , gm BmkBkmAmkEmEkhvmk,(v)hvmk( )kkmkNBNt 32/kmBcmsJ( )(0)mktmmkmmmNANNtNet 1mkmkA1mkAsTransition probabilitym kLifetime for spontaneous radiation of level 2( )mmkmNBNt ( )( )kmmkmkmkmkmNNBNBNA Ntt 0( )( )kmmkmmkmkmkNN

9、BNA NBNtt 愛因斯坦關系式（愛因斯坦關系式（Einstein Coefficients）238mkmkmkkmABcBBEinsteins relations代入Planck輻射公式以及Boltzmann能量分布公式mkEEmkTkNeN3238( )1kTnce 3338/nvcmkvEE令：/()()0v kTkmmkmkmkBAeBA對于任意的v和T均成立的條件為：受激吸收系數與受激輻射系數相等，自發躍遷速率與受激輻射系數之間存在比例關系三、譜線加寬及譜線寬度)(vP0vv設：輻射是在E2與E1能級之間，因此集中在頻率：021/vEEh 但由于分子運動等各種原因，輻射不可能是單一

10、頻率，而是在v0附件一定范圍內，因此單位頻率間隔內的輻射具有下式：單位體積內原子自發輻射功率可以表示為：2120PA n hv( )dPP vdv總輻射功率為：( )PP v dv引入歸一化的線型函數描述自發輻射的功率分布的線型函數為PPvvg)(),(000( ,)1g v v dv0()g v0v線性函數在 處有極大值0vvNv0()g v102()g v0( ,)g v v00000(,)1(,)()222g v vvg vvg v1/2g(0)處對應的頻率寬度稱為譜線寬度譜線寬度譜線加寬分為譜線加寬分為和和均勻加寬自然加寬：原子固有的自發躍遷，介質原子的熱運動所引起的譜線加寬。碰撞加寬

11、：碰撞造成無輻射能級躍遷，引起譜線加寬。晶格熱振動加寬：由于晶格熱振動，激活離子能級有一定寬度，因而應起譜線加寬。均勻加寬：均勻加寬：介質內每一個發光原子對譜線內任一頻率都有貢獻1、自然加寬、自然加寬o自發輻射對應的譜線加寬形式，原子諧振運動所致。 電子諧振運動產生自發輻射，是一個耗能過程，因此可以表示成 020( )itx tx ee00( )()22xx vi vv2002( )( )( ,)( ,)( )Nx vP vg v vgv vPx vdv為阻尼系數中心諧振頻率，原子發光頻率 0上式富氏變換的振幅頻譜為振幅的平方即為輻功率，顧可得在頻率dvvv內的輻射功能分布dvvxdvvP2)

12、()(根據線型函數的定義，有定義為t均勻加寬均勻加寬自然加寬自然加寬4)2/(2max0vvNNgg02220( ,)( /2)4()Ngv vvv自然加寬的線性函數：20222202220( )( )( ,)( )11( /2)4() ( /2)4()x vP vg v vPx vdvvvdvvv常數A，并由歸一化條件得：A=1/2Nv自發輻射壽命與的關系o前面自發輻射公式可知：自發輻射E2能級粒子數o自發輻射功率為o而諧振子的輻射功率為：o比較兩個衰減有：o自然加寬的譜線寬度 見課本P30劃線部分tAentn21202)(tAtAePehvAnhvdttdntP2121021202)()(

13、tePtP0)(sA121122Nsv)()(2221tndttdnA均勻加寬均勻加寬自然加寬自然加寬自然加寬線型函數為 20220)(4)2/(),(vvvvgNsNv212220)2()(2NNvvvv譜線寬度為0( ,)Ngv v102( ,)Ngv v0vvNv0( ,)Ngv v)/(24),(00NsNMaxNvvvgg自然加寬的線型函數為洛侖茲型自發輻射自然加寬的線寬122121v若E2，E1能級的粒子壽命分別為：1與2，則兩能級之間躍遷輻射譜線的自然加寬產生的譜線寬度為：如果E1為基態能級，則粒子壽命無限長，則自然加寬的譜線寬度，僅取決于高能態的壽命212v 2、碰撞加寬o固體

14、及氣體原子之間、原子與聲子、介質原子與腔壁的直接碰撞；o固體介質的原子之間的間距較小，相鄰原子偶極矩間存在相互作用可以歸結為碰撞效應，直接或間接隨機的碰撞造成介質中上下能級原子密度發生隨機起伏，從而造成譜線加寬。o碰撞的結果導致粒子的能量損失，出離高能態，因此在高能態的壽命減短， 壽命減短導致能帶增寬o碰撞加寬與自然加寬都屬于等效能級壽命問題碰撞加寬線型函數LLLLLvvvvvvvg1)2()(2),(2200碰撞線寬平均碰撞時間：L來描述碰撞的頻繁程度，等同平均長度為L 波列，等同于振幅衰減系數為L指數變化的波列LNLsHHHHvvvvvvvvg)21(21)2()(2),(2200 在氣體

15、工作物質中，既有自然加寬，又有碰撞加寬，均勻加寬譜線線型為洛侖茲函數 氣體的氣壓極大影響氣體分子的碰撞幾率，氣壓越高，碰撞越頻繁，譜線越寬。氣壓不高，譜線線寬與氣壓之間的關系為PvL壓力加寬的比例系數（MHz/Pa）在CO2 49kHz/Pa, Ne =720kHz/Pao在晶體介質中，激活例子和晶格場相互作用相鄰激活離子的耦合作用o均可以視為是一種“碰撞” 產生譜線加寬 若激發態自發輻射躍遷壽命s ，無輻射躍遷壽命nr ，則激發態能級壽命 ：nrs111非均勻加寬多普勒加寬：做熱運動的發光原子（分子）所發出的光存在多普勒頻移所造成的。晶格缺陷加寬：晶體中的缺陷導致處于晶體不同部位的離子發光頻

16、率不同而產生非均勻加寬。非均勻譜線加寬光學多普勒效應o氣體原子相對觀察者靜止時，發射或吸收的光子頻率為v0（hv0=E2-E1），由于原子存在熱運動，其與觀察者在任意方向存在相對運動速度，如z方向存在vz的相對運動速度，則它發出或吸收的光子頻率將有一相對v0的位移。o這就是光學多普勒效應0(1/ )(1/ )zzcvvc注意：vz有正負，迎著觀察者為正，反之為負。如果vz /c1（氣壓不高時成立），運動原子發射的光子頻率（多普勒公式）為：0(1/ )zvvc大量氣體分子的速率分布1/22()exp22zzzzmmndndkTkT氣體粒子的速率在vz到vzdvz之間的粒子密度為氣體中大量粒子的熱

17、運動服從麥克斯韋統計分布：3/2222(,)exp()22xyzxyzmmnkTkT 氣體粒子的速率在vz到vzdvz之間的粒子密度為3/2222()(,)exp()exp()222zzxyzxyzxyxyzznddddmmmndddkTkTkT 多普勒加寬(Doppler broadening)o設E1，E2能級上的原子數分別為：n1，n2o考慮多普勒效應o取微分o令1/2222()exp22zzzzmmndndkTkT1/2211()exp22zzzzmmndndkTkT0(1/ )zvvcdvvcdz0dvvndnzz)()(221/222220200( )exp()22cmmcn v

18、dvnvvdvvkTkTv自發輻射中心頻率vv+dv間上能級的原子數為21 2001/21 20002ln2( ,)expln222ln2(,)2DDDDDgvcmgvKT 022ln22DkTvvvmc 多普勒加寬的譜線的半高全寬度為應用多普勒加寬的譜線的半高全寬度表達式，多普勒加寬可以表示為：220201() 2200( ,)()2mcv vkTvDcmgv vevkT多普勒加寬的線型函數高斯型vvv00.5 ()g v0()g v多普勒加寬為非均勻加寬，特點是，不同原子向譜線的不同頻率發射，換句話說，不同原子只對譜線內與它的中心頻率相應的部分有貢獻，因此可以辨別譜線上的某一頻率范圍是由哪

19、一部分原子發射的。多普勒加寬一般只存在氣態中，固態物質不存在多普勒加寬。固態工作物質中存在其他的非均勻加寬，主要有如晶格缺陷所至的譜線加寬。多普勒加寬的線型函數為高斯型函數受激輻射的多普勒加寬)1 (cvz0激發光為單色光，原子發光中心頻率0原子感受到的頻率Vz當時共振吸收0)1 (cz或)1 (0cvz綜合加寬o譜線的加寬是綜合過程o是均勻加寬與非均勻加寬的并存o當兩種加寬的效應相當時，必須同時考慮這兩種加寬的現象，稱之綜合加寬綜合加寬綜合加寬00000( ,)(,)( ,)HDg v vgv v gv v dvDHvv其線型函數為高斯函數和洛侖茲函數的卷積HDvv 時，綜合加寬可按多普勒非

20、均勻加寬處理。 時，綜合加寬線型可按均勻加寬處理。自發輻射、受激吸收、受激輻射的系數修正2120PA n hv)(),()(210202102AhngAhvnP),()(02121gAA),()(80213321gAhcB)(8),()(213302121AhcgBB),()()(0212121gBBW3321218chBA21221AndtdnSPdgBndtdnst),(021221021221Bndtdnst輻射場為寬譜：012112Bndtdnst0g準單色光輻射場g),(),(0212021221gBndgBndtdnst),(012112gBndtdnst),(02121gBW0)

21、,(01212gBW受激發射與受激吸收截面),(02121gBW328cnhNlllNNgnAW),(),(02102121Nl 第l模的光子數密度，n 單位頻率間隔內的模式數llNNgnAggW),(),(0120211212v光速受激發射截面積受激吸收截面積受激發射與受激吸收截面221210020( ,)( ,)8Ag Nv0( ,)Dgv v22212100210( ,)( ,)8g Agg 四、激光速率方程四、激光速率方程o用光子與物質作用來描述激光工作特性的一種方法o是表征激光器腔內光子數和工作物質內與產生激光有關各能級上的粒子數隨時間變化的微分方程n給出了激光強度的特性n不能描述位

22、相與色散13W31A31S32S21A21S21W12W3113332312221210221213 321123()()( ,)()ldnnWn SAdtdngnnvNn ASnSdtgnnnn 1、三能級系統單模速率方程、三能級系統單模速率方程221112llRldNNnWnWdt 設第l模式的光子壽命為Rl，工作物質長度等于腔長L，則光子數密度的速率方程為 （忽略了自發輻射）（忽略S31）RllllNvNnggndtdNnnnnSnSAnvNnggndtdnASnWndtdn),()()(),()()(021112213213232121202111222313231313三能級系統的激

23、光速率方程為：RllllNvNnggndtdNnnnnSnSAnvNnggndtdnASnWndtdn),()()(),()()(02111221321323212120211122231323131303W30A30S32S21A21S21W12W10S2E1E四能級系統單模速率方程組五、增益系數與增益飽和增益系數定義：用來描述光通過單位長度激活介質后光強增長的百分數。增益系數增益系數( )( )dI zGI z dz增益飽和現象：輻射光強增大，增益系數減小。dzI0I(l)單位時間內，從上能級受激輻射中頻率為v的光子總能量為：212210( )( )( ,)vN Bvv g v v 單位時間內，從下能級受激吸收的頻率為v的光子總能量為：121120( )( )( ,)vN Bvv g v v 因此，單位時間內，輻射場能量增