1、第第3章章 多自由度系統的振動多自由度系統的振動 機械工程學院機械工程學院 王文瑞王文瑞 博士，副教授博士，副教授 3.1 多自由度系統的運動微分方程3.2 運動微分方程的耦合問題 3.3 無阻尼自由振動3多自由度系統定義v自由度數自由度數超過超過 1， 但仍但仍有限的有限的力學系統。力學系統。v二自由度系統是二自由度系統是多自由度系統的最簡單多自由度系統的最簡單情況。情況。v與單自由度系統比較，多自由度系統具有一些本質上與單自由度系統比較，多自由度系統具有一些本質上的新概念，需要新的分析方法的新概念，需要新的分析方法。v二自由度系統是多自由度系統最簡單的特例。從二自二自由度系統是多自由度系統

2、最簡單的特例。從二自由度系統到多自由度系統，主要是量的擴充，在問題由度系統到多自由度系統，主要是量的擴充，在問題的表述、求解方法、振動性態上沒有本質的表述、求解方法、振動性態上沒有本質區別區別v數學工具：線性代數、矩陣理論數學工具：線性代數、矩陣理論45無限自由度簡化為多自由度E IKK簡化為帶有集中質量的彈性梁簡化為帶有集中質量的彈性梁有有限限元元 下面是一個典型的二自由度彈簧阻尼質量系統簡圖，請大家列寫其動力學方程 v一 、多自由度系統運動微分方程的矩陣表達形式3.1 多自由度系統的運動微分方程 取m1，m2靜平衡位置為坐標原點，水平向右為兩個坐標的正向，根據牛頓第二定律得到1 11 11

3、 121221212222122132322()()( )()()( )m xk xc xkxxc xxF tm xkxxc xxk xc xF t 整理,得1 1121221212212221232212322()()( )()()( )m xcc xc xkkxk xF tm xc xcc xk xkk xF t運動微分方程建立 在多自由度系統振動理論中，廣泛使用矩陣記號 (寫為矩陣形式)12212211111223223222220( )0( )ccckkkmxxxF tccckkkmxxxF t 設120 ,0mMm 122223 ,cccCccc 122223kkkKkkk質量矩陣阻

4、尼矩陣剛度矩陣 12Txxx 12Txxx 12Txxx12( )( )( )TF tF tF t位移向量；速度向量；加速度向量；激勵向量； ( )MxCxKxF t矩陣形式的運動微分方程定義：運動微分方程的矩陣形式10 )0(,)0()()()()(00 xxxxtFtxKtxCtxM 2010212010212121322221213222212121)0()0(,)0()0(00 xxxxxxxxFFxxkkkkkkxxccccccxxmm 和單自由度微分方程的關系v單自由度系統v 如果將 m, k , c 看作一維矩陣， 看作一維向量，則單自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。 (

5、)mxcxkxf t , , ,x x x f t 12多自由度系統微分方程基本特征a.a.描述系統特性的描述系統特性的 M M、K K 和和 C C 不再是三個常數，不再是三個常數，而是三個常數矩陣而是三個常數矩陣; ; （現象）（現象）b. b. 系統中各自由度的運動是相互關聯的，這反系統中各自由度的運動是相互關聯的，這反映映在方程中在方程中矩陣矩陣 M M 、K K 和和 C C 的非對角元素不的非對角元素不為零。這種系統運動的相互關聯稱作為零。這種系統運動的相互關聯稱作耦合。這。這樣的動力學方程組求解比較困難。樣的動力學方程組求解比較困難。（本質）（本質）由簡至繁：先研究無阻尼系統振動

6、。由簡至繁：先研究無阻尼系統振動。（固有振動（固有振動自由振動自由振動受迫振動）受迫振動）系統動能的矩陣表達形式系統的動能為： 221 1221112221122010212TTEm xm xmxxxmxxMx質量矩陣的二次型v二、 系統動能、勢能和能量耗散函數的矩陣表達形式系統勢能的矩陣表達形式 22211212321221122232111()2221212TUk xkxxk xkkkxxxkkkxxKx剛度矩陣的二次型系統能量耗散函數的矩陣表達形式 2221 1212321221122232111()2221212TDc xcxxc xcccxxxcccxxCx阻尼矩陣的二次型通過對以上

7、三個函數求偏導數，可以分別求出三個矩陣的各個元素 22TTijjiijjiEEmmxxxx22ijjiijjiUUkkxxxx22ijjiijjiDDccxxxx多自由度系統的質量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣是對稱矩陣質量，剛度和阻尼矩陣的確定（二階混合偏導數在什么條件下與求導次序無關？）v列系統運動微分方程方法：（1）寫出系統動能、勢能和能耗散函數的表達式（2）對這三個函數求偏導數，從而得到質量，剛度和阻尼矩陣的各個元素（3）進一步寫出矩陣形式的運動微分方程多自由度微分方程的構造步驟v由于能量為標量，對于任意的 ,， 0,0 xx 102TTExMx 102TUxKx 102TDxCx質量矩陣一

8、定是正定的；剛度矩陣和阻尼矩陣是半正定的質量，剛度和阻尼矩陣的性質19三 建立多自由系統微分方程的方法v單自由度系統是和容易通過單自由度系統是和容易通過牛頓定律牛頓定律和和達朗貝爾原理達朗貝爾原理建建立動力學方程的。立動力學方程的。v但對于自由度數較多的情況，建立正確的微分方程本身但對于自由度數較多的情況，建立正確的微分方程本身就是一件困難的事。就是一件困難的事。v需要找到一種需要找到一種規范化、程式化規范化、程式化的建模方法。的建模方法。牛頓力學牛頓力學分析力學分析力學拉格朗日法拉格朗日法結構力學結構力學剛度法、柔度法剛度法、柔度法 例例1 圖示的三個自由度系統，應用牛頓第二定律導出系統的運

9、動微分方程。設彈簧是線性的，阻尼是粘性的。 解：解：如圖所示，坐標q1，q2，q3分別表示m1，m2，m3偏離其各自平衡位置的水平位移，而Q1，Q2，Q3是相應的外激勵。（1）取隔離體，分別作受力分析)()(1221221111111qqkqqcqkqcQqm )()()()(233233122122222qqkqqcqqkqqcQqm )()(233233333qqkqqcQqm （2）化簡1221212212111)()(Qqkqkkqcqccqm 23323212332321222)()(Qqkqkkqkqcqccqcqm 33323332333Qqkqkqcqcqm 此式可用矩陣形式表

10、達為 MqCqKqQ其中各矩陣和列陣分別為1230000,00mMmm1222233330,0cccCcccccc1222233330,0kkkKkkkkkk123,qqqq123,qqqq123,qqqq123QQQQ考慮有阻尼系統，其拉格朗日方程形式為 拉格朗日方程)(ddtQqUqTqTtjjjj), 2 , 1(njqj和 為振動系統的廣義坐標和廣義速度，T為系統的動能，它是廣義速度的二次型，U為系統的勢能，它是廣義坐標的二次型，Qj(t)為對應于廣義坐標qj的除有勢力以外的其它非有勢力的廣義力，n為系統的自由度數目。 jq 應用拉格朗日方程建立系統的運動微分方程的主要步驟如下：判斷系

11、統的自由度數，并適當選取廣義坐標，其數目和自由度數相同；計算系統的動能和勢能；計算非有勢力所對應的各廣義坐標的廣義力；將求得的動能、勢能和廣義力代入拉格朗日方程中進行運算，即可得到系統的運動微分方程。 例例2 圖所示平板剛體由四根彈簧連接，被限制在光滑水平面內運動，圖示位置為平衡位置，且彈簧為原長。已知質量為m，轉動慣量為Io。試導出微幅運動的微分方程。 解：解：取剛體質心O點偏離平衡位置的x，y和剛體繞質心的轉角為廣義坐標，即321,qyqxq系統的動能為22221)(21oIyxmT取靜平衡位置為勢能零點，系統的勢能為244233222211)(21)(21)(21)(21aykaykax

12、kaxkU計算拉格朗日方程中各項導數如下：1122d,0,()()dTTUmxk xakxatxxx3344d,0,()()dTTUmykyakyatyyy11222333444d,0d()()()()oTTItUk xakxaakyaakyaa代入拉格朗日方程得系統運動微分方程為0)()(221121akakxkkxm 0)()(443343akakykkym 1 122334422221 1223344()()()0oIk ak axk ak ayk ak ak ak a寫成矩陣形式0MqKq其中質量矩陣和剛度矩陣為121 12234334422221 12233441 122334400

13、000000omMmIkkk ak aKkkk ak ak ak ak ak ak ak ak ak a位移向量為Tqxy第一階主振型第二階主振型第三階主振型 例例3 圖示的質量塊m，可沿光滑水平面滑動，其右側與剛度為k的彈簧相連，左側與阻尼系數為c的阻尼器相連，并在質量塊m上作用一水平外激勵Q。擺錘重m1，由一長為l的無重剛桿與滑塊m以鉸相連，并只能在圖示鉛垂面內擺動。試列出此系統的振動微分方程。 解：解：以平衡時質量塊m的質心O點為坐標原點。以q1=x和q2=為廣義坐標，則質點m1坐標為sin1lxxcos1ly 系統動能為)(2121212112yxmxmT即cos21)(21122121x lmlmxmmT 擺錘m1所受重力m1g和彈簧反力kx為有勢力，滑塊m所受重力mg與光滑面的反力相平衡。以平衡位置為勢能的零位置，則系統勢能為2121)cos1 (kxglmU 外激勵Q與阻尼力 為非有勢力，它們與廣義坐標q1和q2對應的廣義力分別為xc0,21QxcQQ計算拉格朗日方程各項導數如下： 2111d()cossin ,d0,Tmm xmlmltxTUkxxx211111dcossin ,dsin ,sinTmlmlxmlxtTUmlxm gl