1、1習題習題 11-1對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分1.計算下列對弧長的曲線積分：（1）22()nLxyds，其中L為圓周cosxat，sinyat(02 )t ；（2）Lxds，其中L為由直線yx及拋物線2yx所圍成的區(qū)域的整個邊界；（3）22xyLeds，其中L為圓周222xya，直線yx及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；（4）2x yzds，其中為折線ABCD，這里A、B、C、D依次為點(0,0,0)、(0,0,2)、2(1,0,2)、(1,3,2)；（5）2Ly ds，其中L為擺線的一拱(sin )xa tt，(1 cos )yat(02 )t .2.有一段鐵絲成半圓形22ya

2、x，其上任一點處的線密度的大小等于該點的縱坐標，求其質(zhì)量。解曲線L的參數(shù)方程為cos ,sin0 xaya22sincosdsaadad依題意, x yy，所求質(zhì)量220sin2LMydsada 習題習題 11-2對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分1.計算下列對坐標的曲線積分：（1）22()Lxydx，其中L是拋物線2yx上從點(0,0)到點(2,4)的一段弧；（2）22()()Lxy dxxy dyxy，其中L為圓周222xya（按逆時針方向繞行） ；3（3）(1)xdxydyxydz，其中是從點(1,1,1)到點(2,3,4)的一段直線；（4）dxdyydz，其中為有向閉折線ABCA，這里A

3、、B、C依次為點(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.計算()()Lxy dxyx dy，其中L是：（1）拋物線2yx上從點(1,1)到點(4,2)的一段弧；（2）從點(1,1)到點(4,2)的直線段；4（3）先沿直線從點(1,1)到點(1,2)，然后再沿直線到(4,2)的折線；（4）曲線221xtt ，21yt上從點(1,1)到點(4,2)的一段弧。3.把對坐標的曲線積分( , )( , )LP x y dxQ x y dy化成對弧長的曲線積分，其中L為：（1）在xOy面內(nèi)沿直線從點(0,0)到點(1,1)；（2）沿拋物線2yx從點(0,0)到點(1,1)；（3）沿上半圓周22

4、2xyx從點(0,0)到點(1,1).54.設(shè)為曲線xt，2yt，3zt上相應于t從0變到1的曲線弧，把對坐標的曲線積分LPdxQdyRdz化成對弧長的曲線積分。習題習題 11-3格林公式及其應用格林公式及其應用1. 利用曲線積分，求星形線3cosxat，3sinyat所圍成的圖形的面積。62.計算曲線積分222()Lydxxdyxy，其中L為圓周22(1)2xy，L的方向為逆時針方向。3. 證明曲線積分(2,1)423(1,0)(23)(4)xyydxxxy dy在整個xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值。.4.利用格林公式，計算下列曲線積分：（1）(24)(536)Lxydxyxdy， 其中

5、L為三頂點分別為(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向邊界；7（2）22()(sin)Lxy dxxy dy，其中L是在圓周22yxx上由點(0,0)到點(1,1)的一段弧。5.驗證下列( , )( , )P x y dxQ x y dy在整個xOy平面內(nèi)是某一函數(shù)( , )u x y的全微分，并求這樣的一個( , )u x y：（1）22xydxx dy；（2）22(2 coscos )(2 sinsin )xyyx dxyxxy dy86.計算224(2)()Lxxy dxxydy，其 中L為由 點0,0O到點1,1B的曲 線弧sin2xy解2 ,2PQPQxxyxyx原積分與路徑

6、無關(guān)，1,0A故原式2242OA ABxxy dxxydy11240023115x dxydy9習題習題 11-4對面積的曲面積分對面積的曲面積分1. 計算曲面積分3zdS，其中為拋物面222()zxy在xOy面上方的部分。3=zdS222232() 14xyDxyxydxdy2222003214dd 122222016914 141432d35222220326 141416535321116 3131 165102. 計算22()xydS，其中是錐面2223()zxy被平面0z 和3z 所截得的部分。3.計算下列對面積的曲面積分：（1）4(2)3zxy dS，其中為平面1234xyz在第一

7、卦限中的部分；10（2）()xyz dS，其中為球面2222xyza上zh(0)ha的部分；4.求拋物面殼221()2zxy(01)z的質(zhì)量，此殼的面密度為z.5.計算22()xydS，其中為錐面22zxy及平面1z 所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面。解12 ，221: zxy，在1上，11221xydszz dxdy，1在xoy面的投影為22:1xyDxy在2上，dsdxdy，2在xoy面的投影為22:1xyDxy2222222xyxyDDxydsxydxdyxydxdy2120021212drrdr習題習題 11-5對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分1.計算下列對坐標的曲面積分：（1）22x y

8、zdxdy，其中為球面2222xyzR的下半部分的下側(cè)：（2） ( , , )2 ( , , ) ( , , )f x y zx dydzf x y zy dzdxf x y zz dxdy， 其中( , , )f x y z為連續(xù)函數(shù)，是平面1xyz在第四卦限部分的上側(cè)；122.把對坐標的曲面積分( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy化成對面積的曲面積分，其中（1）是平面322 36xyz在第一卦限的部分的上側(cè)；（2）是拋物面228()zxy在xOy面上方的部分的上側(cè)；3.計算222x dydzy dzdxz dxd

9、y，其中為球面2222xyzR在第一掛限部分曲面塊的上側(cè)，R為正數(shù)。解由對稱性，222x dydzy dzdxz dxdy在xoy面上的投影域為222:0,0,D xyxyR所以222x dydzy dzdxz dxdy222233z dxdyRxydxddRrrdrR習題習題 11-6高斯公式高斯公式1.利用高斯公式計算曲面積分：（1）222x dydzy dzdxz dxdy，其中為平面0 x ，0y ，0z ，xa，ya，za所圍成的立體的表面的外側(cè)；（2）xdydzydzdxzdxdy，其中是界于0z 和3z 之間的圓柱體229xy的整個表面的外側(cè)；（3）24

10、xzdydzy dzdxyzdxdy， 其中為平面0 x ，0y ，0z ，1x ，1y ，1z 所圍成的立方體的全表面的外側(cè)；2.計算曲面積分2Izx dydzzdxdy，其中是曲面2201zxyz的外側(cè).解添加平面221:11zxy，取上側(cè)，使1構(gòu)成封閉，應用高斯公式132xyrDIdvdxdydrdrdz 習題習題 11-7斯托克斯公式斯托克斯公式1.利用斯托克公式，計算下列曲線積分：（1）ydxzdyxdz，其中為圓周2222xyza，0 xyz，若從x軸的正向看去，這圓周是取逆時針方向；（2）23ydxxzdyyz dz，其中為圓周222xyz，2z ，若從

11、z軸正向看去，這圓周是取逆時針方向；（3）223ydxxdyz dz，其中為圓周2229xyz，0z ，若從z軸正向看去，這圓周是取逆時針方向；15復習題十一復習題十一1.計算下列曲線積分：（1）22Lxy ds，其中L為圓周22xyax；（2）(2)Lay dxxdy，其中L為擺線(sin )xa tt，(1 cos )yat上對應t從0到2的一段弧；（3）(sin2 )(cos2)xxLeyy dxeydy，其中L為上半圓周222()xaya，0y 16沿逆時針方向；2.計算下列曲面積分：（1）222dSxyz，其中是界于平面0z 及zH之間的圓柱面222xyR；（2）222()()()y

12、z dydzzx dzdxxy dxdy，其中為錐面22zxy(0)zh的外側(cè)；17（3）xdydzydzdxzdxdy，其中為半球面222zRxy上側(cè)；3.證明：22xdxydyxy在整個xOy平面除去y的負半軸及原點的區(qū)域G內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的二元函數(shù)。184. 計算曲線積分22()()Lxy dxxy dyxy，其中L是邊長為 4，原點為中心的正方形邊界，方向為逆時針方向。解法一2222,xyxyPQxyxy222222()QPyxxyxyxy在L內(nèi)作一圓：221xy，方向逆時針由格林公式有22Lxdyydxxy=22xdyydxxy：cossinxtyt22222220()()cossin2cossinLxy dxxy dyttdtxytt法二: 由參數(shù)法將得積分代入四部分之和5計