1、電磁場理論電磁場理論第4章：靜磁場耿軍平耿軍平 副教授副教授電子信息與電氣工程學院，電子工程系現代天線技術研究所電院樓群1522Email:Tel:342046632011.09.06說明 本學期第一次習題課：第一次習題課： 本周四（11月3日）下午1：003：00，上院205 第四章第一部分作業：第四章第一部分作業： 4-1，4-5，4-7，4-10，4-14 實驗課龍滬強老師：實驗課龍滬強老師： 辦公室: 電院5412 電話：3420 4516 EMAIL: 實驗課地點： 電院4 4號樓410室3靜磁場靜磁場的基本方程靜磁場的矢量及其方程介質中的靜磁場靜磁場的邊界條件電感靜磁場的能量、能量

2、密度及磁場力磁單極子與單位電荷類似：電子，質子高溫高能下可以產生磁單極子成對出現磁單極子（續）l 磁單極子無法看到？ 狄加：宇宙爆炸理論 宇宙密度與宇宙臨界密度相差百萬億分之一 阿侖古思：爆脹理論，宇宙是平直的6靜磁場實驗表明，導體中有恒定電流通過時，在導體內部和它周圍的媒質中 ，不僅有恒恒定電場定電場 ，同時還有不隨時間變化的磁場 ，簡稱靜磁場或恒定磁場恒定磁場（Static Magnetic Field）。靜磁場和靜電場是性質完全不同的兩種和靜電場是性質完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處場，但在分析方法上卻有許多共同之處靜磁場的基本方程7磁感應強度磁通連續性定理024RlId

3、Rl eB02002041()441()0400SSS=SSRsslRlslslvsvIdddRIdIdddRRIddVRddV l eBllelBBB代入旋度定理或(A)AASSVSSdVdd旋度定理旋度定理8安培環路定律00ldIBB及lJ9靜磁場的矢量磁位及其方程1）矢量磁位令無限遠處A的量值為零（參考磁矢位），則有同理，面電流與線電流引起的矢量磁位00BABA04VdVRJA04sdsRKA04lIdRlA100 BBA BHJJBH A2() AAJ0 A庫侖規范庫侖規范2 AJ( 泊松方程泊松方程 )當當 J = 0 時時20A( 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 )有源區域有源區域11例

4、4.1如圖所示，求沿z軸放置，長為2l,載直流為I的直導線在xOy平面上任一點p處的矢量磁位，并導出l 情況下p處的矢量磁位及磁通量密度。12131415磁介質中的靜磁場磁偶極子定義：半徑很小的圓形平面載流回路。16001111(sincos )44xIIdldldRRAaa021(sincos )4xI dldRAaa12dldldlbd令：0121cos2IbddddR A= AAa001cos2IbdRAa17幾何關系Rb12221122221222()() (cos )( sin )( sincos ) (2sincos )RmpmnRbRbRbRb1211121(1sincos )(

5、1sincos )bbRRRRR1803(2cossin )4aaRmBAR 0020002221(1sincos )cos2sinsin444RIbbdRRIbISRRR Aamaaa2SbmSI磁偶極矩：19磁介質中的靜磁場 磁化強度：單位體積中分子電流磁矩的矢量和，記為M。 若M 0，則表明磁介質已被磁化。011limniViVMm第第i個分子電個分子電流的磁矩流的磁矩20磁介質中的靜磁場（續）MdV0021()44RddVdVRRmaAM01()4AMVdVR體積元體積元dV內內的磁化強度的磁化強度dV內分子電流內分子電流在任意點處產生在任意點處產生的矢量磁位的矢量磁位21磁介質中的靜

6、磁場（續）0000S()4444MMAMaMVVnVdVdVRRdVdSRR b JMbsnJMa束縛體電流密度束縛面電流密度表明：磁化介質內部的Jb和表面的Jbs是確定磁化介質體產生的矢量磁位的源22b JM0()bBJ + J 磁介質中的安培環路定律的微分形式0() BMHJ磁場強度磁場強度0BHM磁感應強度磁感應強度0()B =HM安培環路定律的積分形式ldI Hl =區域內23 實驗證明，線性各向同性媒質中： M=mHm：媒質的磁化率磁化率 無量綱的標量 取決于媒質的物理、化學性質 順磁介質： m 0 抗磁介質： m 1 抗磁介質： r 1 自由空間： r 100(1)mr BHHH

7、簡單媒質： r 和m為常數，滿足 非磁性媒質： r 接近于1，常假定r 1 鐵磁介質： r 可達數千或更高各向異性媒質：上式不再成立 B、H和M不再具有相同方向， r 不再是標量，而是張量。0H25靜磁場的邊界條件B、H磁感應強度B對磁場強度H12nnBBB 的法向分量連續12ttsHHJ12ttHHH 的切向分量不連續當 JS = 0H 的切向分量連續26靜磁場的邊界條件（續）A1112()011()n2n2s aAAaAAJBA12nnBB12ttsHHJ27例4.2已知：半徑為a, 通有電流為I的無限長的直導線，其下部分埋入導磁率為的均勻磁介質中，如圖所示。求：在空氣和磁介質的兩個區域中

8、磁感應強度和磁場強度以及各分界面處的束縛面電流密度。2829az30鏡象法鏡象法 媒質中的磁場計算對于給定了電流分布而要求得到磁感應強度的這類問題，如果媒質均勻，可以通過畢奧沙伐定律直接求得B，也可以先計算矢量磁位A，然后通過旋度運算 而得。反過來，如果給定了磁場而要求得電流的分布，則可以通過 而得到解決。ABJH 31鏡象法鏡象法(續續) 復雜恒定磁場問題，通常都可歸結為求滿足給定邊值的泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程的的解JA202mV02 A32鏡象法鏡象法(續續)靜磁場中電流的鏡像第一媒質第二媒質33鏡象法鏡象法(續續) 用鏡像法解此問題，基本思想與靜電場中相仿求解媒質1中

9、（上半空間）的場，可假設整個場都充滿導磁媒質1，而上半空間的場是由線電流I和鏡像電流I共同產生的，如上頁圖所示。同樣地，對于媒質2中（下半空間）的場，則可假設在均勻媒質2中有一線電流I”所產生，如上頁圖c。這樣，設媒質1中的矢量磁位為A1，媒質2中的矢量磁位為A2，則在媒質1中除長直導線所在處外，應有 ,同時在媒質2中應有 如果在兩種媒質分界面上滿足邊界條件，則原來場中的一切條件都得到滿足。012 A022 A34ttHH21sinsinsin222IIIrrrIIInnBB21112coscoscos222IIIrrr12III2121 II1212II鏡象法鏡象法(續續)35鏡像法（續）磁

10、場問題例3.11 與鐵磁體平面平行的線電流I， 求空氣中的磁場強度說明：l鐵磁體的磁導率可認為l鐵磁體相當于磁壁，可與導體的電壁比擬l磁壁界面上，磁場切向分量為0 磁力線和界面垂直l鏡像電流和線電流大小及方向相同,如下圖36 根據磁場問題解的唯一性，可以應用與靜電場相似的鏡像法。R1R237圖 線電流 I 位于無限大鐵板上方的鏡像 38電感自感： 回路的電流與該回路交鏈的磁鏈的比值sdLIBSLI單位：H（亨利） 在線性各向同性媒質中，L 僅與回路的幾何尺寸、媒質參數有關，與回路的電流無關。39電感（續）自感自感L又分為內自感又分為內自感 Li 和外自感和外自感 L00iLLLiiLI內自感L

11、i 是導體內部僅與部分電流交鏈的磁鏈與回路電流比值00LI外自感 L0 ，是導體外部閉合的磁鏈與回路電流的比值。40電感（續） 計算內磁鏈時，與內磁通元di 相交鏈的電流只是部分電流 相應的匝數N為小于1的分數匝數 分數匝數等于內磁通元di交鏈的那部分電流Ii與全部電流I之比 內磁鏈元 內磁鏈iiiIddIiiiSIdI41例4.3求半徑為a的無限長直導線的單位長度內自感424344電感（續）互感45電感（續）互感互感磁鏈：在線性媒質中，回路1的電流I1產生的與回路2相 交鏈的磁鏈， 21互感（系數）：L21同理，線圈2對線圈1的互感L1221211LI單位：H（亨利）1212212LLMI4

12、6電感（續）互感回路1的電流I1，回路2開路，穿過線圈2的總磁鏈21012 121214llN N Idl dlR 22221212212212BS()SSSlNdNAdNA dl101 1114lN IdlAR 線圈1中電流I1在線圈2中任意點產生的矢量磁位A1線圈1中電流I1在線圈2中產生的磁通量密度47電感（續）互感回路1的電流I1在回路2中引起的互感L21 計算互感的計算互感的Neumann公式公式 互感是研究一個回路電流在另一個回路所產生的磁效應 互感不僅與兩個回路的幾何尺寸和周圍媒質有關，還和兩個回路間的相對位置有關 互感與回路中的電流無關 由N個載流導線回路構成的線性系統的互感問

13、題，分析類似21012212121112214llN Ndl dlLIRLLM 48靜磁場的能量、能量密度mdWidtiNd E阻止電流增加dNdt E電源供給線圈能量 磁場作為一種特殊的物質，和電場一樣具有能量 靜磁場儲能的建立需要時間靜磁場儲能的建立需要時間： 以電源與回路接通開始，到回路中電流達到穩定為止 自感L的單個N匝線圈，電流i 增加時電流i 增加dt時間內做功49靜磁場的能量、能量密度（續）2110121122ImWLi diLIINI 單個N匝線圈磁場儲能mWN idNdLdiNLI 電源做的總功 50靜磁場的能量、能量密度（續）通有電流通有電流I1的線圈的線圈1中的總磁通量中

14、的總磁通量11112兩個耦合線圈的儲能兩個耦合線圈的儲能 線圈線圈2中無電中無電流時，由線圈流時，由線圈1產生的磁通產生的磁通線圈線圈1中無電流時，由中無電流時，由線圈線圈2中的電流中的電流I2產生的產生的與線圈與線圈1交鏈的磁通量交鏈的磁通量與線圈與線圈2交鏈交鏈的總磁通量的總磁通量1111251靜磁場的能量、能量密度（續）11 12221 122111 111222222221 12211 112 1 222221 1 2221 112 1 2221111 22221111+ 2222111122221122mWNINIIININININIL IL I IL IL I IL IL I IL

15、 I線性系統中儲存的總能量 線性媒質填充空間中有n個載流回路，磁場能量 112nmkkkWI52靜磁場的能量、能量密度（續）12mmVvWdVw dVH B單位：J（焦耳）磁能密度22111222mBwHH B上式表明磁能是以磁能密度的形式儲存在整個場域中磁場儲能53例4.4求如圖所示的長為l,內外導體的內外半徑分別為a,b及c,d的同軸線的自感5455565758用虛位移法求磁場力 載流導線回路或磁鐵在外磁場中受到磁場的作用力， 計算方法：安培環路定律洛侖茲力計算公式虛位移法虛位移法59mlconstmWFWl 或F用虛位移法求磁場力（續）1）虛位移過程中所有回路所交鏈的磁通量保持不變磁通量保持不變外 源 對系 統 做功為為0磁場力所做虛功為磁場能量的減少量6012121 2,1 212()FlI IconstILFI II ILl或FmlI constImWFWl 或用虛位移法求磁場力（續）2）虛位移過程中所有載流回路中各點的電流密度保持不變電流密度保持不變外 源 對系 統 做功不為不為0磁場