1、lPAB直線與直線所成角的范圍：直線與直線所成角的范圍： 結論：結論：cos|cos,| a b|一、線線角：一、線線角： ab，ab，設直線的方向向量為 ，的方向向量為CAaBbDaabb2, 0回顧線線夾角與兩線方向向量間的關系：線線夾角與兩線方向向量間的關系：思考：思考：直線和平面所成的角能否也轉化為兩個向量所成的角去求解呢？答案是肯定的。為此先弄清直線和平面所成角的定義。看下圖直線和平面所成角的定義ABCOD 平面外一直線與它在該平面內的投影的夾角叫作該直線與此平面的夾角。 由定義知本圖中AB與平面a的夾角是：ABO定義：直線與平面的夾角和該直線的方向向量與該平面的法向量的夾角 ，是什

2、么關系？lPAB思考：思考：snsnsn,2直線與平面的夾角和該直線的方向向量與該平面的法向量的夾角 ，是什么關系？lPA思考：思考：s2,snnsnBsn,cossin:結論例一：在單位正方體 中，求對角線 與平面ABCD的夾角 的正弦值。1111ABCDABC DABCD1A1B1C1DxyzCA1練習： 1111ABCDABC D的棱長為1.111.B CAB C求與 面所 成 的 角正方體ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，設正方體棱長為設正方體棱長為1，1AB AD AA ， ，為單以以1(101)(110)ABAC ， ，

3、，1(111)C， ，11(010)BC 則， ，1()ABCnxyz設為， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 則，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03cos313n BC ，1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABC小結：小結：直線與平面所成角： sincos, n AB|ABOnn2 2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是影的方向向量分別是 n n1 1= =（1 1，0 0，1 1），）， n n2 2 = =（

4、0 0，1 1，1 1），那么這條斜線與平面所成的角是），那么這條斜線與平面所成的角是_ ._ .1 1、已知、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),則平面則平面ABCABC的一個法向量是的一個法向量是_ ._ .AB AC 3. 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 則則AC1與截面與截面BB1CC1所成角的余弦所成角的余弦值為值為_ . 090BAC目標測試：目標測試：布置作業： 習題2-5 第三題 補充題如下：2 2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量

5、分別是影的方向向量分別是 = =（1 1，0 0，1 1），）， = =（0 0，1 1，1 1），那么這條斜線與平面所成的角是），那么這條斜線與平面所成的角是_ ._ .3 3、已知兩平面的法向量分別、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為則兩平面所成的鈍二面角為_ ._ .練習練習:1 1、已知、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),則平面則平面ABCABC的一個法向量是的一個法向量是_ ._ .AB AC ab 謝謝大家！向量法求二面角的大小四、教學過程的設計

6、與實施lABO如何度量二面角l的大小溫故知新四、教學過程的設計與實施探究方法lAOBOBOA,二面角OBOAAOB,問題1： 二面角的平面角 能否轉化成向量的夾角？AOB四、教學過程的設計與實施探究方法12,n n 二面角四、教學過程的設計與實施探究方法問題2：求直線和平面所成的角可轉化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那么二面角的大小與兩個半平面的法向量有沒有關系？ anl1n2n 探究方法四、教學過程的設計與實施 21,nn 121212coscos,nnn nn n 探究方法四、教學過程的設計與實施 21,nn121212coscos,nnn nn n 根據教師引導，由學生發現該二面

7、角的求解可由向量的夾角來確定，調動學生探究這一問題的主動性和積極性.根據教師引導，由學生發現該二面角的求解可由向量的夾角來確定，調動學生探究這一問題的主動性和積極性.探究方法四、教學過程的設計與實施 問題3：法向量的夾角與二面角的大小什么時候相等，什么時候互補？再次演示課件探究方法四、教學過程的設計與實施 四、教學過程的設計與實施實踐操作已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面求平面SAB與與SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 21AD四、教學過程的設計與實施實踐操作已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,D

8、AB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面求平面SAB與與SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 21AD實踐操作四、教學過程的設計與實施實踐操作四、教學過程的設計與實施實踐操作四、教學過程的設計與實施總結出利用法向量求二面角大小的一般步驟：1）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的 夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或 鈍角，得出問題的結果實踐操作四、教學過程的設計與實施正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點Q是BC的中點，求二面角ADQA1的余弦值 鞏固練習：歸納總結數形結合類比轉化兩個思想四、教學過程的設計與實施一個步驟兩種方法半平面內分別垂直于棱的向量的夾角兩個平面的法向量的夾角求解用法向量求二面角大小的步驟歸納總結1、如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1 ， 試用多種方法求二面角A1BD