1、1本章基本要求本章基本要求n掌握達朗貝爾公式、泊松公式及其物理意義掌握達朗貝爾公式、泊松公式及其物理意義n掌握半無限長問題的延拓法求解掌握半無限長問題的延拓法求解2n掌握非齊次方程問題的求解方法掌握非齊次方程問題的求解方法3.1 3.1 弦振動方程弦振動方程（一）齊次弦振動方程（達朗貝爾公式） 3)(),(,00022222xtuxuxtxuatutt定解問題的提出 齊次方程可以寫為：齊次方程可以寫為：0()() (, )aau x ttxtx 我們解方程一般是希望解出通解，再根據條件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很難界定，也較難求。研究表明，對無界情況的定解問題（波動方程和熱傳導）可以

2、求出通解，然后通過初始條件得到特解。4為常數，則方程化為、，使得和若能找到BAxatBxatA),(),(研究發現，當作變量代換研究發現，當作變量代換 此時通過方程兩邊積分，即可求出方程的通解。5atxatx,0u可滿足前述要求，此時可滿足前述要求，此時111222()txatxa txatx111222()txatxa txatx 0u0),(2u(1) (1) 通解通解對對 積分：積分：(, )( )u x tf 兩邊再對兩邊再對積分：得到積分：得到6212( )( )( )( )ufdfff 222220() (, )au x ttx積分常數依賴于積分常數依賴于 上式中上式中f f1 1

3、為任意二次連續可微函數為任意二次連續可微函數7)()(),(21fftxu故同理交換積分順序，同樣可以得到同理交換積分順序，同樣可以得到)()()()(),(211ffdfftxu此時此時f f2 2為任意二次連續可微函數為任意二次連續可微函數其中其中f1f1和和f2f2均為任意二次連續可微函數均為任意二次連續可微函數代入，得到將atxatx,)()(),(21atxfatxftxu上式即為通解形式上式即為通解形式確定待定函數的形式確定待定函數的形式無限長，即無邊界條件無限長，即無邊界條件初始條件為初始條件為0( )tux 和和0( )ttux ()x (2)(2)達朗貝爾公式達朗貝爾公式 1

4、2( )( )( )f xfxx 12( )( )( )afxafxx 8即即上面第二式兩端對上面第二式兩端對x積分，得到積分，得到xcdaxfxf021)(1)()(將上式和前面第一式聯立，可求出將上式和前面第一式聯立，可求出9xxcdaxxfcdaxxf02012)(21)(21)(2)(21)(21)(即即atxatxcdaatxatxfcdaatxatxf02012)(21)(21)(2)(21)(21)()()(),(21atxfatxftxu故atxatxdaatxatx)(21)()(21上式即為達朗貝爾公式上式即為達朗貝爾公式10（3 3）物理意義）物理意義先考慮先考慮u2=f

5、2（x-at）：）：當當t=t2（t2t1)時，時， u2=f2（x-at2）。）。 故波形故波形 u2=f2（x-at）隨著時間推移，以常速度）隨著時間推移，以常速度a向向x軸的正方向移動。我們稱之為右行波。軸的正方向移動。我們稱之為右行波。當當t=t1時，時， u2=f2（x-at1）；）； 同理同理 u1=f1（x+at）為一個以常速度）為一個以常速度a向向x軸的負方軸的負方向傳播的行波。稱為左行波。向傳播的行波。稱為左行波。 故達朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動總是以行故達朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動總是以行波形式分別向兩個方向傳播出去，其傳播速度正好是波形式分別向兩個方向傳播出去，其

6、傳播速度正好是弦振動方程中的常數弦振動方程中的常數a，故此方法又稱為行波法。，故此方法又稱為行波法。 從從達朗貝爾公式達朗貝爾公式可以看出，波動方程的解，是初始可以看出，波動方程的解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產生出超出初始條件的，條件的演化。方程本身并不可能產生出超出初始條件的，額外的形式來。額外的形式來。 而這種演化又受到邊界條件的限制。而這種演化又受到邊界條件的限制。 這就說明了初始條件和邊界條件在確定波動方程的這就說明了初始條件和邊界條件在確定波動方程的解時的重要性。解時的重要性。1112（4 4）依賴區間、決定區域、影響區域）依賴區間、決定區域、影響區域 從達朗貝爾公式還可以

7、看出，解在點（從達朗貝爾公式還可以看出，解在點（x，t）的數）的數值僅依賴于區間值僅依賴于區間x-at,x+at上的初始條件，而與其他點上的初始條件，而與其他點上的初始條件無關。稱上的初始條件無關。稱x-at,x+at為點（為點（x，t）的）的依賴依賴區間區間，它是由過點（，它是由過點（x，t）的兩條斜率分別為）的兩條斜率分別為1/a的直的直線在線在x軸所截得的區間，如下圖所示。軸所截得的區間，如下圖所示。tOx(x,t)x-atx+at13 當當t=0時，取時，取x軸上的區間軸上的區間x1,x2，過點，過點x1做斜率為做斜率為1/a的直線的直線x=x1+at，過點，過點x2做斜率為做斜率為-

8、1/a的直線的直線x=x2-at，兩，兩直線與區間直線與區間x1,x2圍成一個三角區域（如下圖所示），該圍成一個三角區域（如下圖所示），該區域內的任一點（區域內的任一點（x，t）的依賴區間都落在）的依賴區間都落在x1,x2內，即內，即解在這個區域內的數值完全由區間解在這個區域內的數值完全由區間x1,x2上的初始條件決上的初始條件決定，而與此區間外的初始條件無關，這個區域稱為區間定，而與此區間外的初始條件無關，這個區域稱為區間x1,x2的的決定區域決定區域。tOxx1x2x=x1+atx=x2-at14 若在區間若在區間x1,x2的兩端作直線的兩端作直線x=x1-at和和x=x2+at，則，則經

9、過時間經過時間t后，受后，受x1,x2上初始擾動影響的區域為上初始擾動影響的區域為 在此區域外的波動不受在此區域外的波動不受x1,x2上初始擾動的影響，上初始擾動的影響，這個區域稱為這個區域稱為 x1,x2的的影響區域影響區域。)0(21tatxxatxtOxx1x2x=x2+atx=x1-at15從上面的討論可以看出，直線族從上面的討論可以看出，直線族 在對波動方程的討論中起著很重要的作用，我們稱在對波動方程的討論中起著很重要的作用，我們稱這兩族直線為波動方程的特征線。這兩族直線為波動方程的特征線。 在特征線在特征線x+at=c1上，左行波上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常）的振幅取

10、常數值數值f1（c1），同樣在特征線），同樣在特征線x-at=c2上，右行波上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常數值的振幅取常數值f2（c2），且這兩個數值隨特征線的移動），且這兩個數值隨特征線的移動（即常數（即常數c1和和c2的改變）而改變，所以波動實際上是沿著特的改變）而改變，所以波動實際上是沿著特征線傳播的。征線傳播的。（5 5）特征線及二階線性偏微分方程的分類）特征線及二階線性偏微分方程的分類常數atx16 我們把前面所用的變量代換稱為特征變換，而行波我們把前面所用的變量代換稱為特征變換，而行波法又稱為特征線法。法又稱為特征線法。 很容易發現，特征線很容易發現，特征線常數atx是

11、常微分方程是常微分方程0)()(222dtadx的積分曲線族。的積分曲線族。故上面的方程又稱為偏微分方程的特征方程。故上面的方程又稱為偏微分方程的特征方程。170222222FuyuExuDyuCyxuBxuA0)(2)(22dxCBdxdydyA對于一般的二階線性偏微分方程對于一般的二階線性偏微分方程來說，它的特征方程為來說，它的特征方程為 這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程的特征這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程的特征曲線。可以看到，特征線僅與二階導數項的系數有關，曲線。可以看到，特征線僅與二階導數項的系數有關，而與低階項系數無關。而與低階項系數無關。 但是，并不是任意二階線性偏微

12、分方程都有兩族實但是，并不是任意二階線性偏微分方程都有兩族實的特征線。的特征線。1802 ACB02 ACB02 ACB每一點不存在實的特征線每一點不存在實的特征線每一點僅有一條實的特征線每一點僅有一條實的特征線每一點有兩條實的特征線每一點有兩條實的特征線0)(2)(22dxCBdxdydyA橢圓型方程橢圓型方程拋物型方程拋物型方程雙曲型方程雙曲型方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程熱傳導方程熱傳導方程波動方程波動方程反映一些屬于穩定、平衡狀態的物理量的分布狀況反映一些快速消耗、擴散的物理量的分布狀況反映一些按一定速度擴散的、可逆的物理量的分布狀況（二）半無限長弦的自由振動 19)(),(00 ,00

13、0022222xtuxuuxtxuatuttx一端固定的弦 延拓法求解延拓法求解第一類邊界條件，作奇延拓第一類邊界條件，作奇延拓令令( )(0)( )()(0)xxxxx ( )(0)( )()(0)xxxxx 20前述函數滿足前述函數滿足21)(),(,00022222xtuxuxtxuatutt則則atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),( 22當當x=0 x=0時時atatdaatattu)(21)()(21), 0( 00)(21)(21)()(21atatdadaatatatatdada00)(21)(210 x atx atx atatxxatxatdtx aau

14、 x txatatxdtx aa 11 ()()( )(/ )22( , )11 ()()( )(/ )22 23的部分為原問題的解故0),( txu（三）非齊次方程的解（強迫振動） 24)(),(,0),(0022222xtuxuxttxfxuatutt解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) 25)(),(,001012122212xtuxuxtxuatuttu1（x，t）和u2（x，t)分別滿足 0, 0,0),(02022222222tttuuxttxfxuatu和 （零輸入） （零狀態） u1（x，t）可直接由達朗貝爾公式求得；u2（x，t）由沖量原理（齊次化原理）求解；沖

15、量定理法的基本思想將持續作用力看成前后相繼的瞬時力的疊加；將持續作用力看成前后相繼的瞬時力的疊加；作用時間作用時間0t0t， 由疊加原理，可將持續力由疊加原理，可將持續力f f（x x，t t）引起）引起tttxwtxu002);,(),(lim26 的振動視為一系列前后相繼的瞬時力的振動視為一系列前后相繼的瞬時力f f（x x，）（）（0t0t）所引起的振動所引起的振動w w（x x，t t；）的疊加：）的疊加：將持續力引起的振動看成是瞬時力引起振動的疊加。將持續力引起的振動看成是瞬時力引起振動的疊加。受外力。代表單位質量的弦上所定解問題中，),(),(txFtxf 從物理的角度考慮，力對系

16、統的作用對于時間的積累是給系統一定的沖量，短時間間隔內f（x、 ）對系統的作用為f（x、 ）* ，表示為內的沖量，此沖量使系統的動量（速度）有一改變量（ f（x、 ）是單位質量弦所受外力，動量在數值上等于速度）。將內速度的改變量看成在t= 時刻一瞬間集中得到，在的其余時間認為沒有沖量的作用（無外力作用）。2728則內瞬時力f（x、 ）引起的振動的定解問題為,),(022222xfwwtxwatwttt29為了方便求解，可設w（x，t；）=v（x，t； ）* ),(022222xfvvxvatvttt則v滿足：30此時tttxwtxu002);,(),(limtttxv00);,(limtdtx

17、v0);,(。即可求出故只需求出(x,t)utxv2);,(31),(00022222xfvvxvatvttt設t=t-，則v滿足：由達朗貝爾公式有),(21);,(atxatxdfatxv)()(),(21taxtaxdfa數學檢驗數學檢驗：初始條件：初始條件：0000tuvd 00lim( , )ttttuu x t00lim( , ; )ttv x tdt積分號下的求導公式：積分號下的求導公式：( )( )( )( )( )( )( ; )( ; ) ;( ) ; ( )ttttdttg tdg tdg ttg ttdtttt 3200( , )( , ; )( , ; )( , ; )

18、ttttu x tv x tdvx tdv x t tt則 ttaxtaxddfatxu0)()(2),(21),(0( , ; ).ttvx td00ttu非齊次方程非齊次方程0( , )( , ; )( , ; )ttttttux tvx tdvx t t220()( , )( , )tttxxttxxua uva vdf x tf x t 0( , ; )( , )tttvx tdf x t0( , )ttvf x 33以上這種用瞬態沖量的疊代替持續作用力來解決問以上這種用瞬態沖量的疊代替持續作用力來解決問題的方法，稱為題的方法，稱為沖量原理沖量原理。數學上稱為。數學上稱為齊次化原理齊次

19、化原理。0(, )(, ;)tu x tv x td 所以有所以有齊次化原理求解過程小結： 340, 00),(0022222tttuuttxfxuatu設有定解問題為 為參數）為定解問題（其中若有);,(txv),(, 0,022222xftvvtxvatvtt的解，則tdtxvtxu0);,(),(齊次化原理不僅可用于非齊次波動方程的初始值問題，還可用于混合問題及其他方程（如熱傳導方程）的定解問題。)()(),(21);,(taxtaxdfatxv其中例 35xtuuxtxtxututtsin, 0,0sin002222解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t) txtxdtxus

20、in21),(1u1（x，t）直接由達朗貝爾公式求出：)cos(21)cos(21txtx36u2（x，t）由沖量原理（齊次化原理）求解；)cos(21)cos(21sintxtxxt ttxtxddtxu0)()(2sin21),(),(),(),(21txutxutxu則xtsin3.2 3.2 一維熱傳導方程一維熱傳導方程（一）齊次方程（柏松公式） 37)(,00222xuxtxuatut定解問題的提出 detatxutax224)()(21),(解：（柏松公式） 38物理意義物理意義 設細桿在設細桿在x軸上，在桿上取一點軸上，在桿上取一點x0，現假設初始溫，現假設初始溫度分布為度分布為

21、 而根據柏松公式，細桿溫度分布為而根據柏松公式，細桿溫度分布為),(, 0),(,)(00000 xxxxxxux02ucQ則初始時刻所需熱量cQu20則detatxutax224)()(21),(xx0-x0+x039 根據當前條件，可以寫為根據當前條件，可以寫為00224)(021),(xxtaxdeutatxu00224)(4xxtaxdetacQ 由積分中值定理，有由積分中值定理，有taxetacQtxu2204)(42),()(20004)(220 xxetacQtax)(),)()(baabfdxxfba積分中值定理：40點，量只作用于時，作用于小段上的熱當00 xtaxxetac

22、Qtxu2204)(2),(此時溫度分布taxxetacQtxu2204)(2),(則溫度分布00, 0,)(xxxxx）（當初始條件為dcQ)(初始時刻所需熱量41taxetadtxu224)(2),(）（即 故無窮長桿可以看成由無窮多個點組成，故無窮長桿可以看成由無窮多個點組成，每個點有一個發出熱量為每個點有一個發出熱量為Q的初始點熱源。的初始點熱源。（二）半無限長細桿問題的求解 42)(00 ,000222xuxuxtxuatutx一端絕熱的細桿 延拓法求解延拓法求解第二類邊界條件，作偶延拓第二類邊界條件，作偶延拓令令430),(0),()(xxxxx其滿足其滿足)(,00222xuxtxuatut44此問題可直接由泊松公式求解此問題可直接由泊松公式求解detatxutax224)()(21),( )()(2104)(04)(2222dedetataxtax)()(2104)(04)(2222dedetataxtax04)(4)()(212222deetataxtax45而當而當x=0 x=0時時方程及初始條件的解滿足原定解問題的大于 0),( tx