1、問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tss 設(shè)設(shè))()(tstv 則瞬時速度為則瞬時速度為是是加加速速度度a )(ta高階導(dǎo)數(shù)也是由實高階導(dǎo)數(shù)也是由實際需要而引入的際需要而引入的.這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義)(tv )(ts 的變化率的變化率對時間對時間速度速度tv一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義的的的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為將將)()(xfxf 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù). .記作記作),(xf 22ddxy.d)(d22xxf或或,y 記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)

2、(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf注意：注意：（1）)()()0(xfxf )()()1(xfxf 的導(dǎo)數(shù)都存在。的導(dǎo)數(shù)都存在。階階所有低于所有低于存在，則存在，則若若nxfxfn)()()2()(二、二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例例1 1直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)

3、.求下列函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)。求下列函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)。xy sin)1()1ln()2(2xy xxyarctan)1()3(2 的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，求求：設(shè)設(shè)例例)(ln)(22xfxyxf 解：解：xxfxxxfy1)(ln)(ln22 )(ln)(ln2xfxxxf )(ln)(ln2 xfxxxfyxxfxxfxxfxxf1)(ln)(ln1)(ln2)(ln2 )(ln)(ln)(ln2)(ln2xfxfxfxf 例例3 3.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則若若,n )(

4、)()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 )(0)(!)()1()1()()(nnnnxnxnn )6(5)(x例如：例如：0 )3(23)156(xxx6! 3 ,)(ln3aayx 例例5 設(shè)設(shè)求求解解:,xay .)(ny,lnaayx ,)(ln2aayx nxnaay)(ln)( 例例4 4.,)(nxyey求求設(shè)設(shè) 解解,xey ,xey ,xey .)()(xnxee 例例6 6.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解)2sin()2sin(cos xxxy)2sin( x)sin(sin xxy)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()

5、( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得幾個常用高階導(dǎo)數(shù)公式幾個常用高階導(dǎo)數(shù)公式)2sin()(sin)3()( nxxn)2cos()(cos)4()( nxxn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( )(0)(!)()1()1()()2()(nnnnxnxnn31xy二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程若由方程0),(yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,

6、但此但此隱函數(shù)隱函數(shù)不能顯化不能顯化 .函數(shù)為函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此則稱此隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)( 注意注意 y = y(x) )(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo))32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故210ddxxy0確定的隱函數(shù)例例2. 求橢圓求橢圓191622yx在點)3,2(23處的

7、切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yx 雖然隱函數(shù)沒解出來雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來但它的導(dǎo)數(shù)求出來了了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在允許在 的表達式中含有變量的表達式中含有變量y.y y 一般來說一般來說,隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo), 求求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,只要記住只要記住x是自變量是自變量,將方程兩邊同時對將方程兩邊同時對x求導(dǎo)求導(dǎo),就得到一個含有導(dǎo)數(shù)就得到一個含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可從中解出即可.于是于是y的函數(shù)便

8、是的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù),的方程的方程.y是是x的函數(shù)的函數(shù),練習(xí)練習(xí)解解, 0sin yxey設(shè)設(shè).dxdy求求利用利用隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對將方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),得得ycosyye 1yex y0 yyxeyeycos解出解出,y得得3. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個簡單應(yīng)用作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個簡單應(yīng)用, 介紹介紹(1) 許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).,)4(1)1(23xexxxy 如如對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡單求導(dǎo)變得更為簡單. 適用于

9、適用于方方 法法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), -對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).例例解解 yln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)142)1(3111 xxxy 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx)1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隱函數(shù)隱函數(shù)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便. .例如例如, ,)1,0,0( babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) yln兩邊對兩邊對x求導(dǎo)

10、求導(dǎo) yybalnxa xbxabaaxxbbaybaxln baxln lnlnxbalnlnaxb bx)(xu)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv )(ln)(lnxuxvy 兩邊對兩邊對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得y y)(xv)0)( xu等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得( )( ) ln ( )( )( )u xv xu xv xu xy .)()2()(xvxu冪指函數(shù)冪指函數(shù).sin xxy 如如例例解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )

11、sinln(cossinxxxxxx 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得.,yyxxy 求求設(shè)設(shè)解解,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 例題例題等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對x三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()(tytx 若參數(shù)方程若參數(shù)方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t 稱此為由稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù).22 x消去參數(shù)消去參數(shù)yx確定 與 的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系xydd)()(tt dtdxdtdyxy dd即即所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為參數(shù)方程參數(shù)方程 )()(tytx 消參數(shù)困難或無法消參數(shù)消參數(shù)困難或無法消參數(shù) 如何求導(dǎo)如何求導(dǎo). )cos1()sin(tayttax例如例如（參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)公式不需掌握。）（參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)公式不需掌握。）例例解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 處的導(dǎo)數(shù)。處的導(dǎo)數(shù)。所確定函數(shù)在所確定函數(shù)在求由求由2)cos1()sin( ttayttax四、小結(jié)四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則對數(shù)求