1、2.3 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示平面向量的基本定理及坐標表示2.3.1 2.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.2 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示問題提出問題提出t57301p2 1. 1. 向量加法與減法有哪幾種幾何運算向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？法則？ 2. 2.怎樣理解向量的數乘運算怎樣理解向量的數乘運算a？ （1 1）|a a|=|=|a a| |；（2 2）0 0時，時，a與與a方向相同；方向相同；0 0時，時，a與與a方向相反；方向相反；=0=0時，時，a=0.=0.3.3.平面向量共線定理是什么？平面向量共線定

2、理是什么？ 4.4.如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為力為G G，下滑力為，下滑力為F F1 1，木塊對斜面的壓，木塊對斜面的壓力為力為F F2 2，這三個力的方向分別如何？，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關系？三者有何相互關系？G GF F1 1F F2 2非零向量非零向量a與向量與向量b共線共線 存在唯存在唯一實數一實數，使，使ba. . 5.5.在物理中，力是一個向量，力的合成在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算就是向量的加法運算. .力也可以分解，力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩

3、個不同方向的分力之和成兩個不同方向的分力之和. .將這種力將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數學理論新的數學理論. .探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：給定平面內任意兩個向量給定平面內任意兩個向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2思考思考2 2：如圖，設如圖，設OAOA，OBOB，OCOC為三條共為三條共點射線

4、，點射線，P P為為OCOC上一點，能否在上一點，能否在OAOA、OBOB上分別找一點上分別找一點M M、N N，使四邊形，使四邊形OMPNOMPN為平為平行四邊形？行四邊形？M MN NO OA AB BC CP P思考思考3 3：在下列兩圖中，向量在下列兩圖中，向量不共線，能否在直線不共線，能否在直線OAOA、OBOB上分別找一上分別找一點點M M、N N，使，使 ？OA,OB,OC O MO NO C+=uuuruuu ruuu rO OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N思考思考4 4：在上圖中，設在上圖中，設 = =e1 1， = =e2 2， = =a

5、，則向量，則向量 分別與分別與e1 1，e2 2的的關系如何？從而向量關系如何？從而向量a與與e1 1，e2 2的關系如的關系如何？何？OAOB OC OM,ON 1 12 2.aeeO OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N1 12 2OM, ON.ee O M=uuurO N=uuu r1 1221 122OMe ,ONe ,aee 思考思考5 5：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a都為定向量，都為定向量，且且e1 1，e2 2不共線，則實數不共線，則實數1 1，2 2是否存在？是否存在？是否唯一？是否唯一？O OA AB BC CM MN NO OA

6、 AB BC CM MN N思考思考6 6：若向量若向量a與與e1 1或或e2 2共線，共線，a還能用還能用1 1e1 12 2e2 2表示嗎？表示嗎？e1 1aa=1 1e1 1+0+0e2 2e2 2aa=0 0e1 1+ +2 2e2 2思考思考7 7：根據上述分析，平面內任一向根據上述分析，平面內任一向量量a都可以由這個平面內兩個不共線的都可以由這個平面內兩個不共線的向量向量e1 1，e2 2表示出來，從而可形成一個表示出來，從而可形成一個定理定理. .你能完整地描述這個定理的內容你能完整地描述這個定理的內容嗎？嗎？若若e1 1、e2 2是同一平面內的兩個不共線向量，是同一平面內的兩個

7、不共線向量，則對于這一平面內的任意向量則對于這一平面內的任意向量a，有且只有，有且只有一對實數一對實數1 1，2 2，使，使a1e12e2.思考思考8 8：上述定理稱為上述定理稱為平面向量基本定理平面向量基本定理，不共線向量不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內所叫做表示這一平面內所有向量的一組有向量的一組基底基底. . 那么同一平面內可那么同一平面內可以作基底的向量有多少組？不同基底對以作基底的向量有多少組？不同基底對應向量應向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？若若e1 1、e2 2是同一平面內的兩個不共線向量，是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量則對于這一平面內的

8、任意向量a，有且只有，有且只有一對實數一對實數1 1，2 2，使，使a1e12e2.探究探究( (二二):):平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的正交分解及坐標表示 00，180180 思考思考1 1：不共線的向量有不同的方向，對不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量于兩個非零向量a和和b，作，作 a， b，如圖如圖. .為了反映這兩個向量的位置關系，為了反映這兩個向量的位置關系，稱稱AOBAOB為向量為向量a與與b的的夾角夾角. .你認為向量你認為向量的夾角的取值范圍應如何約定為宜？的夾角的取值范圍應如何約定為宜？OAOB baabA AB BO O思考思考2 2：如果向量如果向量a與

9、與b的夾角是的夾角是9090，則，則稱稱向量向量a與與b垂直垂直，記作，記作ab. . 互相垂直互相垂直的兩個向量能否作為平面內所有向量的的兩個向量能否作為平面內所有向量的一組基底？一組基底？ba思考思考3 3：把一個向量分解為兩個互相垂直把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如圖，向如圖，向量量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量是兩個互相垂直的單位向量，向量a與與i的夾角是的夾角是3030，且，且| |a|=4|=4，以向量，以向量i、j為基底，向量為基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P2 32aij思考思考4 4：

10、在平面直角坐標系中，分別取與在平面直角坐標系中，分別取與x x軸、軸、y y軸方向相同的兩個單位向量軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，作為基底，對于平面內的一個向量對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數理知，有且只有一對實數x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我們把我們把有序數對（有序數對（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐標，記作的坐標，記作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x軸上軸上的坐標，的坐標，y y叫做叫做a在在y y軸軸上的坐標，上式叫做向量上的坐標，上式叫做向量的的坐標表示坐標表示. .那

11、么那么x x、y y的的幾何意義如何？幾何意義如何？aix xy yO Ojx xy y思考思考5 5：相等向量的坐標必然相等，作向相等向量的坐標必然相等，作向量量 a，則，則 (x(x，y)y)，此時點，此時點A A是坐是坐標是什么？標是什么？OA OA A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)理論遷移理論遷移 例例1 1 如圖，已知向量如圖，已知向量e1 1、e2 2，求作向，求作向量量2.52.5e1 13 3e2 2. .e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 2例例2 2 如圖，寫出向量如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標的坐標. .2452abc

12、d4 252xyOa=(2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)AB 例例3 3 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，中， =a， =b，E E、M M分別是分別是ADAD、DCDC的中的中點，點點，點F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b為為基底分別表示向量基底分別表示向量 和和 . .2ABAC3 AD AM EFA AB BE ED DC CF FM M12AMab 16EFab 小結作業小結作業 1. 1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和數乘運算基礎上的向量分解原理，法和數乘運算基礎上的向量分解原理，同時又是向量坐標表示的理論依據，是同時又是向量坐標表示的理論依據，是一個承前起后的重要知識點一個承前起后的重要知識點. .2.2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置向量的夾角是反映兩個向量相對位置關系的一個幾何量，平行向量的夾角是關系的一個幾何量，平行向量的夾角是0 0或或180180，垂直向