1、20212725984王濤不定方程論不定方程王濤20212725984摘要：不定方程是數論的一個分支,它有著悠久的歷史與豐富的內容.所謂不定方程是指解的范圍為整婺、正整數、有理數或代數整數的方程或方程組,其未知數的個數通常多于方程的個數.正文：初等數論是研究數的規律,特別是整數性質的數學分支.它是數論的一個最古老的分支.它以算術方法為主要研究方法,主要內容有整數的整除理論、同余理論、連分數理論和某些特殊不定方程.換言之,初等數論就是用初等、樸素的方法去研究數論.另外還有解析數論用解析的方法研究數論.、代數數論用代數結構的方法研究數論.初等數論已經有2000年的歷史,公元前300年,歐幾里得發現

2、了素數是數論的基石,他自己證實了有無窮多個素數.公元前250年古希臘數學家埃拉托塞尼創造了一種篩法.2000年來,數論學的一個最重要的任務,就是尋找一個可以表示所有素數的統一公式,或者稱為素數普遍公式,為此,人類消耗了巨大的心血.彳爰來發現埃拉托塞尼篩法可以轉古希臘數學家丟番圖于三世紀初就研究過假設干這類方程,所以不定方程又稱丟番圖方程,是數論的重要分支學科,也是歷史上最活潑的數學領域之一.不定方程的內容十分豐富,與代數數論、幾何數論、集合數論等等都有較為密切的聯系.1969年,莫德爾較系統地總結了這方面的研究成果.了指標和估計問題一一表示論的雛形.不定方程是數論中最古老的分支之一.古希臘的丟

3、番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程,因此常稱不定方程為丟番圖方程.Diophantus,古代希臘人,被譽為代數學的鼻祖,流傳下來關于他的生平事跡并不多.今天我們稱整系數的不定方程為 Diophantus方程,內容主要是探討其整數解或有理數解.他有三本著作,其中最有名的是?算術?,當中包含了189個問題及其答案,而許多都是不定方程組變量的個數大于方程的個數或不定方程式兩個變數以上.丟番圖只考慮正有理數解,而不定方程通常有無窮多解的.研究不定方程要解決三個問題：判斷何時有解.有解時決定解的個數.求出所有的解.中國是研究不定方程最早的國家,公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題,公元5世紀的張

4、丘建算經?中的百雞問題標志中國對不定方程理論有了系統研究.秦九韶的大衍求一術將不定方程與同余理論聯系起來.百雞問題說:“雞翁一,直錢五,雞母一,直錢三,雞雛三,直錢一.百錢買百雞,問雞翁、母、雛各幾何？.設x,y,z分別表雞翁、母、雛的個數,那么此問題即為不定方程組的非負整數解x,y,z,這是一個三元不定方程組問題.根底知識1.不定方程問題的常見類型：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的個數(有限個還是無限2 .解不定方程問題常用的解法:(1)代數恒等變形：如因式分解、配方、換元等;(2)不等式估算法： 利用不等式等方法,確定出方程中某些變量的范圍,進而求

5、解；(3)同余法： 對等式兩邊取特殊的模(如奇偶分析),縮小變量的范圍或性質,得出不定方程的整數解或判定其無解；(4)構造法： 構造出符合要求的特解,或構造一個求解的遞推式,證實方程有無窮多解；(5)無窮遞推法.一次不定方程二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c.其中a,b,c是整數,ab中0此方程有整數解的充分必要條件是a、b的最大公約數整除co假設a、b互質,即它們的最大公約數為1,(x0,y0)是 所 給 方 程 的 一 個 解 , 那 么 此 方 程 的 解 可 表 為(x=x0-bt,y=y0+at)|t為任意整數.S(2)元一次不定方程的一般形式為a1x1+a2x2+asxs=

6、n0a1,as,n為整數,且alasQ此方程有整數解的充分必要條件是al,as的最大公約數整除n.埃拉托塞尼篩法產生的素數普遍公式是一次不定方程公元前300年,古希臘數學家歐幾里得就發現了數論的本質是素數,他自己證實了有無窮多個素數,公元前250年古希臘數學家埃拉托塞尼發明了一種篩法：一 要得到不大于某個自然數N的所有素數,只要在2-N中將不大于的素數的倍數全部劃去即可后來人們二將上面的內容等價轉換：如果N是合數,那么它有一個因子d滿足1dwVN?根底數論?13頁,U杜德利著,上暹科技出版社.三再將二的內容等價轉換：假設自然數N不能被不大于根號MN的任何素數整除,那么N是一個素數見代數學辭典上

7、海教育出版社1985年.屜部貞世朗編.259頁.四上面這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=pkmk+ak.1其中p1,p2,.,pk表示順序素數2,3,5,.awQ即N不能是2m+0,3m+0,5m+0,pkm+0形.假設N-此尸=2她=/+ ,其中值： 小二0叮=1的一組特解,為此對37,107運用輾轉相除法：1口7=2切討3,37=1x33+45/431將上述過程回填,得：1-33-x4-37-4-8x4-37-?x4-37-5x(37-33)-3x33-8x37x(107-2x37)-8x37=?107-26x37=37x(-26)+107x5由此可知,9是方程6+1叮了 7 的一組特解,于是&=乃位皿=-651,匕=25=225是方程 67 吸=乃的一組特p-650+107?解,因此原方程的一切整數解為：1八225-6.例2,求不定方程7M+L,213的所有正整數解.解：用原方程中的最小系數7去除方程的各項,并型產=30%+亨移項得:由于“是整數,故X 也一