1、1二叉樹期權(quán)定價模型二叉樹期權(quán)定價模型蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬有限差分方法有限差分方法2二叉樹期權(quán)定價模型蒙特卡羅模擬有限差分方法345p1p?pud風(fēng)險中性世界中，假設(shè)股票價格上升的概率 ，那么從而股票的上升概率股票的上升概率為所以當(dāng)前時刻期權(quán)的價格為期末價格的現(xiàn)值當(dāng)前時刻期權(quán)的價格為期末價格的現(xiàn)值，即6Sf,Su,Sdp1pdfufp(1)rTSeSupSdprTedpud1rTudfepfp fT單單步步二二叉叉樹樹()(1)TE SSupSdp期末的平均價格7p1ud在風(fēng)險中性世界里：在風(fēng)險中性世界里： 所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；

2、未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。l 所以，參數(shù)所以，參數(shù) p p 、 u u 、 d d 首先必須滿足首先必須滿足u在小時間段上股票具有無風(fēng)險利率收益，其等于此時間在小時間段上股票具有無風(fēng)險利率收益，其等于此時間段期末股票價格的平均值，即未來股票價格的期望。段期末股票價格的平均值，即未來股票價格的期望。81r tSepSup SdSf,Su,Sd1udp1pdfuft922222222()() ()11ttttttVar SE SE SpS up S dSpup dl其次，在股票價格服從幾何布朗運動的假設(shè)下，有其次，在股票價格服從幾何布朗運動

3、的假設(shè)下，有ms=+dSS dtS dzmseD=D+DSStStej:,其中 0,1或或 所以，所以，在短時間上股票的方差為在短時間上股票的方差為 ，而22St2222222211StpS up S dSpup d 從而從而10所以，參數(shù)所以，參數(shù) p p 、 u u 、 d d 必須同時滿足必須同時滿足1r tSepSup Sd1ud2222222211StpS up S dSpup d 由以上條件可得：由以上條件可得：,r tttedpuedeudl在風(fēng)險中性世界里：在風(fēng)險中性世界里： 所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率； 未來現(xiàn)金流可以用其期

4、望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。所以，所以，當(dāng)前時刻期權(quán)價格當(dāng)前時刻期權(quán)價格為為l 問題：問題：11Sf,Su,Sdp1pdfuft1r tudfepfp f ,r tttedpuduede?udff由于設(shè)定的是漲跌倍數(shù)，所以節(jié)點會自然重合，又由于設(shè)定的是漲跌倍數(shù)，所以節(jié)點會自然重合，又因為因為 ，二叉樹，二叉樹圖中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)圖中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價格價格與與中心中心值相等值相等。在在 時刻，證券價格有時刻，證券價格有i + 1 i + 1 種可能，一般表達種可能，一般表達式為式為 如果假設(shè)如果假設(shè)p = 0.5 p = 0.5 ，雖然，雖然節(jié)點仍會重合，但

5、二叉樹節(jié)點仍會重合，但二叉樹圖中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價格不再和中心值相等。其圖中心線上的標(biāo)的資產(chǎn)價格不再和中心值相等。其優(yōu)點是概率始終不變。優(yōu)點是概率始終不變。121/udi t,0,1,2,其中jijSu dji13jijSu d倒推定價法倒推定價法：從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端：從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端 T T 時刻開始時刻開始往回倒推，為期權(quán)定價。往回倒推，為期權(quán)定價。歐式期權(quán)歐式期權(quán)：將：將 T T 時刻期權(quán)價值的預(yù)期值在時刻期權(quán)價值的預(yù)期值在 t t 時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率 r r 貼現(xiàn)求出每一節(jié)點貼現(xiàn)求出每一節(jié)點上的期權(quán)價值。上的期權(quán)價值。美式期權(quán)美式期權(quán)：在樹型結(jié)構(gòu)的每一個節(jié)點

6、上，比較在：在樹型結(jié)構(gòu)的每一個節(jié)點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有 t t 時間到下時間到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)的價值，選擇較大者作為本一個時刻再執(zhí)行期權(quán)的價值，選擇較大者作為本節(jié)點的期權(quán)價值。節(jié)點的期權(quán)價值。14假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票，其當(dāng)前市場價為假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票，其當(dāng)前市場價為 50 50 元元, ,波動率為每年波動率為每年 40% 40% ，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為率為 10% 10% ，該股票，該股票 5 5 個月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議個月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價格為價格為 50 50 元，求該期權(quán)的價值。元，求該期權(quán)的

7、價值。為了為了構(gòu)造二叉樹構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個月（等于段一個月（等于 0.0833 0.0833 年）。可以算出年）?？梢运愠?51.1224,0.89090.5076, 10.4924ttr tuedeedppud16jijSu dmax(50,0)TTfS1,11,max1jijijr tijijXSu dfepfp f 以美式看跌期權(quán)為例把期權(quán)有效期劃分為把期權(quán)有效期劃分為 N N 個長度為個長度為 t t 的小區(qū)間，的小區(qū)間， 和和 分別為節(jié)點分別為節(jié)點 (i, j) (i, j) 處的標(biāo)的資產(chǎn)價處的標(biāo)的資產(chǎn)價格與期權(quán)價值。格與期權(quán)

8、價值。如果美式看跌期權(quán)沒有被提前行權(quán)，而是在到期如果美式看跌期權(quán)沒有被提前行權(quán)，而是在到期日日T T時才行權(quán)，那么時才行權(quán)，那么 17ijfmax,0 ,0,1,2,jNjNjfXSu djiji-ju dS18ji- jSu d( , )i j(1, )ij(1,1)ij(, )N j(,1)N jjN- jSu dp1pijf1,ijf1,1ijf1ji- jSud11ji- jSudN jfmax,0jNjNjfXSu du 假設(shè)在風(fēng)險中性世界中，從節(jié)點（假設(shè)在風(fēng)險中性世界中，從節(jié)點（i i，j j）移動）移動 到（到（i+1,j+1i+1,j+1）的概率為）的概率為p,p,移動到（移動

9、到（i+1,ji+1,j）的概）的概 率為率為 1-p 1-p。u 如果在如果在(i,j)(i,j)不提前行權(quán)，則不提前行權(quán)，則 u如果在如果在(i,j)(i,j)點行權(quán)，則期權(quán)的價值為點行權(quán)，則期權(quán)的價值為 u 所以在（所以在（i,ji,j）點期權(quán)的價值為）點期權(quán)的價值為 191,11,max,1jijr tijijijfXSu depfp f 1,11,1r tijijijfepfp f jijXSu d20max,0jNjNjfXSu d1,11,max,1jijr tijijijfXSu depfp f ,jijt i tSSu d 綜上所述，以美式看跌期權(quán)為例，二叉樹定價的一綜上所述

10、，以美式看跌期權(quán)為例，二叉樹定價的一般過程：般過程： 構(gòu)造二叉樹構(gòu)造二叉樹 倒推法計算各節(jié)點處期權(quán)的價值倒推法計算各節(jié)點處期權(quán)的價值 計算到期時期權(quán)的價值計算到期時期權(quán)的價值在風(fēng)險中性條件下，標(biāo)的資產(chǎn)價格的增長率應(yīng)該在風(fēng)險中性條件下，標(biāo)的資產(chǎn)價格的增長率應(yīng)該為為 ，因此式（，因此式（ 12.1 12.1 ）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋合鄳?yīng)有相應(yīng)有式（式（ 12.5 12.5 ）和（）和（ 12.6 12.6 ）仍然成立：）仍然成立：21rq1r qtepup dr qtedpudttuede可通過調(diào)整在各個節(jié)點上的證券價格，算出期權(quán)可通過調(diào)整在各個節(jié)點上的證券價格，算出期權(quán)價格；價格；如果時刻如果時刻 i

11、it t 在除權(quán)日之前在除權(quán)日之前，則節(jié)點處證券價，則節(jié)點處證券價格仍為：格仍為：如果時刻如果時刻 i it t 在除權(quán)日之后在除權(quán)日之后，則節(jié)點處證券價，則節(jié)點處證券價格相應(yīng)調(diào)整為：格相應(yīng)調(diào)整為：220,1.jijSu dji10,1.jijSu dji若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個已知紅利率，則若在期權(quán)有效期內(nèi)有多個已知紅利率，則 i it t 時刻節(jié)點的相應(yīng)的證券價格為：時刻節(jié)點的相應(yīng)的證券價格為：（ 為為 0 0 時刻到時刻到 i it t 時刻之間所有除權(quán)日的時刻之間所有除權(quán)日的總紅利支付率）總紅利支付率）231jijiSu di24在已知紅利額的情況下在已知紅利額的情況下, , 為了使得二

12、叉樹的節(jié)點為了使得二叉樹的節(jié)點重合減少計算量重合減少計算量, , 我們可以將證券價格分為兩個我們可以將證券價格分為兩個部分：一部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效部分：一部分是不確定的；另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。25假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一次紅利，除息日 在在 k kt t到到 (k + 1)(k + 1)t t 之間，則在之間，則在 i it t 時刻不確時刻不確定部分的價值為：定部分的價值為： 當(dāng)當(dāng) 時時 當(dāng)當(dāng) 時時其中，其中， D D 表示紅利。表示紅利。26Si tS i tri tSi tS i tDe i

13、t i t 因此，我們需要先構(gòu)造不含紅利的價格樹圖，之因此，我們需要先構(gòu)造不含紅利的價格樹圖，之后再加上未來紅利的現(xiàn)值。在后再加上未來紅利的現(xiàn)值。在 時刻：時刻： 當(dāng)當(dāng) 時，這個樹上每個節(jié)點對應(yīng)的證券價時，這個樹上每個節(jié)點對應(yīng)的證券價格為：格為： 當(dāng)當(dāng) 時，這個樹上每個節(jié)點對應(yīng)的證券價時，這個樹上每個節(jié)點對應(yīng)的證券價格為：格為：其中其中, , 為零時刻為零時刻 的值。相應(yīng)地使用的的值。相應(yīng)地使用的 是是 的波動率。的波動率。27ti*00,1.jijS u dji*00,1.ri tjijS u dDeji 0SSSi t i t p = 0.5 p = 0.5 的二叉樹圖的二叉樹圖三叉樹圖三

14、叉樹圖控制方差技術(shù)控制方差技術(shù)適應(yīng)性網(wǎng)狀模型適應(yīng)性網(wǎng)狀模型28在確定參數(shù)在確定參數(shù) u u ， p p ， d d 時時不再假設(shè)不再假設(shè) ，而令而令 p = 0.5 p = 0.5 ，可得：，可得：該方法優(yōu)點在于無論該方法優(yōu)點在于無論 t t 和和 如何變化，概率如何變化，概率總是不變的?？偸遣蛔兊?。291ud2222r qttr qttuede 每一個時間間隔每一個時間間隔 t t 內(nèi)證券價格有三種運動的可內(nèi)證券價格有三種運動的可能能： 從開始的從開始的 S S 上升到原先的上升到原先的 u u 倍，即到達倍，即到達 Su Su ； 保持不變，仍為保持不變，仍為 S S ； 下降到原先的下降

15、到原先的 d d 倍，即倍，即 Sd Sd 。3031相關(guān)參數(shù)：相關(guān)參數(shù)：3222221122611226dutprqtprq 23mp 31,tuedu基本原理基本原理：期權(quán)：期權(quán) A A 和期權(quán)和期權(quán) B B 的性質(zhì)相似，我們的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)可以得到期權(quán) B B 的解析定價公式，而只能得到的解析定價公式，而只能得到期權(quán)期權(quán) A A 的數(shù)值方法解，這時就可以利用期權(quán)的數(shù)值方法解，這時就可以利用期權(quán) B B 解析法與數(shù)值法定價的誤差來糾正期權(quán)解析法與數(shù)值法定價的誤差來糾正期權(quán) A A 的數(shù)的數(shù)值法的定價誤差。值法的定價誤差。 用用 代表期權(quán)代表期權(quán) B B 的真實價值（解析解），的

16、真實價值（解析解）， 表示關(guān)于期權(quán)表示關(guān)于期權(quán) A A 的較優(yōu)估計值，的較優(yōu)估計值， 和和 表表示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同示用同一個二叉樹、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值。樣的有限差分過程得到的估計值。33BfAfAfBf假設(shè)假設(shè)則期權(quán)則期權(quán) A A 的更優(yōu)估計值為的更優(yōu)估計值為34BABAffffABABffff在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價時，在接近到期在使用三叉樹圖為美式期權(quán)定價時，在接近到期的執(zhí)行價格附近，的執(zhí)行價格附近，用高密度的樹圖來取代原先低用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。密度的樹圖。在樹圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一在樹圖中那些

17、提前執(zhí)行可能性較大的部分，將一個時間步長個時間步長 t t 進一步細分，如分為進一步細分，如分為 ，每，每個小步長仍然采用相同的三叉樹定價過程。個小步長仍然采用相同的三叉樹定價過程。354t二叉樹期權(quán)定價模型蒙特卡羅模擬有限差分方法3637()()-=輊-犏臌m ax,0r TtTceESX例如歐式看漲期權(quán)：例如歐式看漲期權(quán)：38模擬多條標(biāo)的資產(chǎn)的價格路徑，模擬多條標(biāo)的資產(chǎn)的價格路徑，計算相應(yīng)的期權(quán)的回報，計算相應(yīng)的期權(quán)的回報，重復(fù)重復(fù)1,21,2步得到多個樣本結(jié)果，并計算平均值，步得到多個樣本結(jié)果，并計算平均值，最后將期權(quán)回報的平均值以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)既最后將期權(quán)回報的平均值以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)既

18、得該期權(quán)的當(dāng)前估值。得該期權(quán)的當(dāng)前估值。 隨機路徑的產(chǎn)生隨機路徑的產(chǎn)生 隨機樣本的產(chǎn)生和模擬運算次數(shù)的確定隨機樣本的產(chǎn)生和模擬運算次數(shù)的確定在風(fēng)險中性世界中，服從幾何布朗運動且有連續(xù)在風(fēng)險中性世界中，服從幾何布朗運動且有連續(xù)收益率為收益率為q q的標(biāo)的資產(chǎn)遵循如下隨機過程的標(biāo)的資產(chǎn)遵循如下隨機過程或或39dSrq SdtSdz 2ln2dS trqdtdz 為了模擬路徑為了模擬路徑我們把期權(quán)的有效期分為我們把期權(quán)的有效期分為 N N 個長度為個長度為 t t 的時的時間段，則上式的近似方程為：間段，則上式的近似方程為：或或 或或40dSrq SdtSdz 2lnln(12.10)2S ttS

19、trqtt 2exp(12.11)2S ttS trqtt ()(12.9)S ttS trq S ttS tt 其中其中 S(t) S(t) 代表代表 t t 時刻時刻 S S 的價值的價值, , 是從標(biāo)是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機樣本，即可計算準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機樣本，即可計算 的值，進而計算后面的節(jié)點處的股票價的值，進而計算后面的節(jié)點處的股票價 格樣本格樣本 ，從而得到一條股票價格路徑，從而得到一條股票價格路徑 通過通過 N N 個正態(tài)分布的隨機抽樣就可以組建一條個正態(tài)分布的隨機抽樣就可以組建一條資產(chǎn)價格的蒙特卡羅模擬樣本路徑，并得到相應(yīng)資產(chǎn)價格的蒙特卡羅模擬樣本路徑，并得到相

20、應(yīng)的回報值。的回報值。重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計算回報值的重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計算回報值的平均值，貼現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值和估計的平均值，貼現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值和估計的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差。41S ttS ti t 用用 ln S ln S 比比 S S 準(zhǔn)確。準(zhǔn)確。用蒙特卡羅模擬為歐式期權(quán)定價時，由于期權(quán)回用蒙特卡羅模擬為歐式期權(quán)定價時，由于期權(quán)回報只與期權(quán)到期時刻的股票價格有關(guān)，可以讓報只與期權(quán)到期時刻的股票價格有關(guān)，可以讓 t t + + t = T t = T 并直接利用公式并直接利用公式 ln S ln S 的隨機過程來的隨機過程來求求 T T 時刻的股票價格。時刻的

21、股票價格。42 2lnln(12.10)2S ttS trqtt 2exp(12.11)2S ttS trqtt ()(12.9)S ttS trq S ttS tt 假設(shè)無紅利的股票價格服從式（假設(shè)無紅利的股票價格服從式（ 12.9 12.9 ），年預(yù)期），年預(yù)期收益率收益率 r = 14% r = 14% ，收益波動率為，收益波動率為 = 20% = 20% ，時，時間步長為間步長為 t = 0.01 t = 0.01 年，則根據(jù)式（年，則根據(jù)式（ 12.9 12.9 ）有）有假設(shè)股票價格的初始值為假設(shè)股票價格的初始值為 20 20 ， 的第一個樣本的第一個樣本值為值為 0.52 0.52

22、 ，則第一個步長結(jié)束后，則第一個步長結(jié)束后，第二步開始時的股票價格上升為第二步開始時的股票價格上升為 20.236 20.236 ，這次抽，這次抽到的到的 為為 1.44 1.44 ，因此，因此430.14 0.010.2 0.01SSS0.0014 200.02 20 0.520.236S0.0014 20.2360.02 20.236 1.440.611S下表給出了案例下表給出了案例 12.2 12.2 中模擬的路徑：中模擬的路徑：44 是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個隨機數(shù)。是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個隨機數(shù)。如果只有一個單變量，則可以通過下式獲得：如果只有一個單變量，則可以通過下式獲得：其中其中

23、是相互獨立的是相互獨立的 0 0 到到 1 1 均勻分均勻分布的隨機數(shù)布的隨機數(shù)在在 Excel Excel 中，中， NORM.S.INV(RAND() NORM.S.INV(RAND() 可以生成可以生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機樣本標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機樣本451216iiR112iRi 如果對估計值要求如果對估計值要求 95% 95% 的置信度，則期權(quán)價值的置信度，則期權(quán)價值應(yīng)滿足應(yīng)滿足其中，其中， M M 為進行運算的次數(shù)，為進行運算的次數(shù)， 為均值，為均值， 為為標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差。461.961.96fMM95%1.96fPM主要優(yōu)點：主要優(yōu)點： 應(yīng)用簡單，無需深刻理解定價模型應(yīng)用簡單，無需深刻

24、理解定價模型 適用情形廣泛適用情形廣泛 歐式衍生產(chǎn)品歐式衍生產(chǎn)品 回報路徑依賴回報路徑依賴 回報取決于多個標(biāo)的資產(chǎn)回報取決于多個標(biāo)的資產(chǎn)主要缺點：主要缺點： 難以處理提前執(zhí)行的情形，如美式期權(quán)難以處理提前執(zhí)行的情形，如美式期權(quán) 為了達到一定的精確度，一般需要大量的模擬運算為了達到一定的精確度，一般需要大量的模擬運算47二叉樹期權(quán)定價模型蒙特卡羅模擬有限差分方法48用離散算子逼近用離散算子逼近 各項，將衍生證券各項，將衍生證券所滿足的偏微分方程所滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，用迭代法求解，轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，用迭代法求解，得到期權(quán)價值。得到期權(quán)價值。在坐標(biāo)圖上，有限差分方法

25、體現(xiàn)為格（在坐標(biāo)圖上，有限差分方法體現(xiàn)為格（ Grids Grids ）4922ffftsS、 和222212fffrSSrftSS把從初始零時刻到到期日時刻之間的時間分為有限 等間隔的小時間段，得到 N + 1 個時點。把資產(chǎn)價格的變化從 0 到最大值也分成 M 個等間隔的小價格段 ，得到 M + 1 個資產(chǎn)價格。如果劃分合理，初始的資產(chǎn)價格會落在零時刻的一個格點上。這樣就構(gòu)造了一個共有 (M + 1)(N + 1) 個格點的圖，時間、資產(chǎn)價格和期權(quán)價值都僅僅在相應(yīng)的格點處離散計算。點 (i, j) 對應(yīng) it 時刻和資產(chǎn)價格 jS ，f(i, j) 則表示 (i, j) 處的期權(quán)價值。50

26、TNtmaxSMS51 的近似的近似 對于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點對于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點 (i, j) (i, j) ，期權(quán)價值對，期權(quán)價值對資產(chǎn)價格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示：資產(chǎn)價格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示：5222ffftsS、 和fS,1,1,1,1,2i ji ji ji ji ji jffffffSSS和 的近似的近似 對于對于(i,j)(i,j)點處的點處的 ，我們則采取前向差分，我們則采取前向差分近似以使近似以使 時刻的值和時刻的值和 時刻的值相時刻的值相關(guān)聯(lián)：關(guān)聯(lián)： 5322ffftsS、和ftfti t(1)it1,iji jffftt 的近似的近似這個二階差分也是中心差分

27、，其誤差為這個二階差分也是中心差分，其誤差為5422ffftsS、 和22fS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS2OS把以上三個近似代入把以上三個近似代入 B-S-M B-S-M 偏微分方程，整理得到偏微分方程，整理得到其中其中55,1,11,ji jji jji jija fb fc ff2222221122111220,1.1,0,1.1jjjarq j tjtbjtr tcrq j tjtiNjM 可以看出可以看出 , ,這說明同一時刻相這說明同一時刻相鄰三個格點的期權(quán)價值加權(quán)值的終值等于下一個鄰三個格點的期權(quán)價值加權(quán)值的終值等

28、于下一個時刻中間格點的期權(quán)價值。時刻中間格點的期權(quán)價值。隱性有限差分方法可以理解為從格點圖內(nèi)部向外隱性有限差分方法可以理解為從格點圖內(nèi)部向外推知外部格點的期權(quán)價值。如圖所示：推知外部格點的期權(quán)價值。如圖所示：561jjjabcr t T T 時刻看跌期權(quán)的價值為時刻看跌期權(quán)的價值為其中其中 當(dāng)股票價格為零時，下方邊界當(dāng)股票價格為零時，下方邊界 S = 0 S = 0 上所有格上所有格點的期權(quán)價值：點的期權(quán)價值：當(dāng)股票價格趨于無窮時當(dāng)股票價格趨于無窮時57,max,0N jTfXS0,1.TSj SjM ,00,1.ifXiN,00,1.i MfiN聯(lián)立聯(lián)立 M M 1 1 個方程個方程和和解出

29、每個解出每個 的期權(quán)價值。的期權(quán)價值。最后可以計算出最后可以計算出 ，當(dāng)，當(dāng) 等于初始資產(chǎn)價格等于初始資產(chǎn)價格時，該格點對應(yīng)的時，該格點對應(yīng)的 f f 就是我們要求的期權(quán)價值。就是我們要求的期權(quán)價值。581,11,1,1,1,.1jNjjNjjNjN ja fb fc ffjM1,01,00NNMjfXjMf時 ，時 ，1,Njf0, jfj S假設(shè)假設(shè) (i, j) (i, j) 點的點的 與與 (i + 1, j) (i + 1, j) 的對的對應(yīng)值相等，即應(yīng)值相等，即591,11,121,11,11,2222ijijijijijfffSSffffSS22ffSS和相應(yīng)的差分方程修改為相應(yīng)

30、的差分方程修改為其中其中60,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f222222111122111111122jjjarq j tjtr tbjtr tcrq j tjtr t 可以看出可以看出 ，這說明某一時刻某，這說明某一時刻某格點的期權(quán)價值等于下一時刻相鄰三個格點的期格點的期權(quán)價值等于下一時刻相鄰三個格點的期權(quán)價值風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。權(quán)價值風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。顯性有限差分法可以理解為從格點圖外部推知內(nèi)顯性有限差分法可以理解為從格點圖外部推知內(nèi)部格點期權(quán)價值的方法。部格點期權(quán)價值的方法。6111jjjabcr t 62相同之處相同之處：都用離散的模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運：都用離散的模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運動。動。不同之處不同之處: : 樹圖方法中包含了資產(chǎn)價格的擴散和波動率情形；有限差樹圖方法中包含了資產(chǎn)價格的擴散和波動率情形；有限差分方法中的格點則是固定均勻的，只是參數(shù)進行了相應(yīng)的分方法中的格點則是固定均勻的，只是參數(shù)進行了相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴散情形。變化，以反映改變了的擴散情形。 有限差分方法比樹圖方法靈活有限差分方法比樹圖方法靈活顯性有限差分方法與三叉樹圖相當(dāng)類似，但顯性差顯性有限差分方法與