1、 匯報人： 主要內容主要內容1.引言2.經典譜估計方法3.非參數化方法的性質1. 引言引言功率譜密度的第一種定義：功率譜密度的第二種定義：以上兩種定義是非參數化譜估計方法的依據2. 經典譜估計方法經典譜估計方法 經典譜估計是建立在傳統的傅立葉變換基礎之上的。經典譜估計又可以分為兩種方法：相關圖法。 1958年，Blackman和Tukey首先提出相關圖法。周期圖法 1898年，Schuster在尋找太陽黑子數據中隱藏的周期性的研究工作中，提出了周期圖法，但直到1965年提出FFT以后，周期圖法才受到人們的重視。 2.1 PSD估計周期圖(Periodogram)法 周期圖方法的依據是PSD的定

2、義2。當我們只有采樣 時，忽略PSD定義2中的期望E和極限 運算，就可以得到周期圖譜估計器： 周期圖譜估計器的重要用途之一就是判斷時間序列中可能“隱含的周期性”（周期性是一種規律性）。這可能是“周期圖”這一名稱的由來。2.2 PSD估計相關圖(Correlogram)法 相關圖法譜估計器是基于PSD的定義1得到的：式中r(k)表示由采樣y(1), y(N )得到的自協方差序列r(k)的估值。（1）兩種）兩種 r(k) 標準無偏ACS估計 標準有偏ACS估計 負延遲部分構成，利用特性： r(k) = r* (k), k= 0, N 1（2）有偏）有偏ACS估計最經常利用估計最經常利用 因為a.協

3、方差函數一般衰減較快，所以大K時r(k) 很小； b.采樣協方差 r(k)應半正定。 有偏ACS估計可滿足上述兩個條件。1.3 周期圖和相關圖譜估計器的等效性 當用標準的有偏ACS估計進行計算時，相關圖譜估計 與周期圖譜估計 一致。 一個簡單證明:考慮信號 ，即 x(t)為一個傳遞函數為 的濾波器在輸入為一個單位方差白噪聲條件下的輸出 。另一方面，注意 y(k), k= 1, N 是固定的（非隨機的）濾波器脈沖響應。3. 周期圖法的性質周期圖法的性質 3.1 一個估計器用來表征其性能的兩種度量：偏差和方差。 a 之估計a的均方誤差MSE3.2 周期圖/相關圖譜估計偏差分析：（1）周期圖）周期圖

4、 和相關圖和相關圖 的均值的均值 有偏自協方差序列ACS估計 均值 （2）將）將 表為兩個序列乘積表為兩個序列乘積DTFT兩個序列各自兩個序列各自DTFT的卷積的卷積 （3）窗及其作用）窗及其作用 窗的作用 （4）無偏）無偏ACS估計估計 相關圖譜估計相關圖譜估計 可見， (Fejer核)與 (Dirichlet核)之間并無“實質性”差別。（5）希望什么樣的窗？）希望什么樣的窗？ 希望 盡可能接近 () 希望窗 近似于一個Dirac脈沖。（6）周期圖）周期圖/相關圖譜估計偏差的兩個分量相關圖譜估計偏差的兩個分量 (i) 主瓣有一定的寬度，不像Dirac脈沖。 半功率(3dB)主瓣寬度，用表示為

5、而，用 表示則為 ； (ii) 有大量旁瓣，也不像Dirac脈沖。（第一旁瓣高度-25dB； 第一旁瓣高度-13dB）； (iii) 周期圖譜估計偏置兩分量： 模糊（Smearing）非零主瓣寬度影響， 泄漏（Leakage）非零旁瓣高度影響。（7）周期圖）周期圖/相關圖譜估計偏置分析：窗函數相關圖譜估計偏置分析：窗函數 非零主瓣寬度影響非零主瓣寬度影響 假設 ()有兩個峰值，頻率 f 間隔小于 。在 E p()中由于()與 主瓣的卷積則不能分辨，將兩個峰值變為一個寬峰值。這類主瓣對估計譜的影響稱作模糊(Smearing)。主瓣模糊使得周期圖/相關圖方法不能分辨頻率 f 間隔小于 的細節； 稱

6、之為周期圖方法譜分辨限。（8）周期圖）周期圖/相關圖譜估計偏置分析：窗函數相關圖譜估計偏置分析：窗函數 非零旁瓣高度影響非零旁瓣高度影響 例如，()中占優勢的峰值可能通過與 旁瓣的卷積導致一種估計譜()，它在() = 0 的頻帶中包含了功率( () 0 ) ，這類旁瓣對估計譜的影響稱作泄漏（Leakage）將功率從集中的頻帶傳遞到小量或沒有的頻帶。（9）峰值和平滑譜的模糊和泄漏）峰值和平滑譜的模糊和泄漏 對于有大幅值范圍的譜（像peaky spectra），模糊和泄漏是特別重要的。 對于平滑譜(smooth spectra)，模糊和泄漏重要性要小。特別對于白噪聲，周期圖是一個無偏譜估計器：Ep

7、 () = () 注意:估計量是一個隨機量。無偏估計器指估計量均值等于待估計量真值。（10）周期圖）周期圖/相關圖是一個漸近無偏譜估相關圖是一個漸近無偏譜估計器計器 如果有可能增加N， p () 中的偏差將隨著N增加逐步消失。然而，周期圖方法的主要問題是方差大。3.3 周期圖/相關圖方差分析（1）周期圖）周期圖 p ()的有限采樣方差和漸近方差的有限采樣方差和漸近方差（N1) ()的有限采樣方差只是在某些特殊情況下（像白高斯噪聲情況）容易建立。 ()的漸近方差（N1 ）可對更一般的信號導出：足以說明周期圖的統計精度差。（2）高斯復）高斯復/圓白噪聲信號圓白噪聲信號 e(t ) 之之() 的漸的

8、漸近方差近方差/協方差協方差（3）一般線性信號）一般線性信號y(t)（有色噪聲信號：高斯（有色噪聲信號：高斯白噪聲序列白噪聲序列 e(t) 線性濾波線性濾波（式中 表示一個隨機變量的二階矩平方根，對于某些a0的值，隨著 N ，趨向于0的速度至少為 ）3.4 周期圖/相關圖是一個非一致譜估計器（1）對于相當一般的信號，周期圖值是漸近地）對于相當一般的信號，周期圖值是漸近地(N1)不相關隨機變量，它的均值和標準偏差都不相關隨機變量，它的均值和標準偏差都等于真正的等于真正的PSD值值() （2）周期圖）周期圖() 圍繞著真正的圍繞著真正的PSD()起伏起伏（非（非0方差），甚至處理的采樣長度方差），甚至處理的采樣長度N增至無限，增至無限，依然如此。依然如此。（3）周期圖值）周期圖值 p () 對于大對于大N值是不相關的，值是不相關的，類似于白噪聲的情況，使得周期圖呈現一種類似于白噪聲的情況，使得周期圖呈現一種erratic behavior （飄忽不定的行為）（飄忽不定的行為） 形成形成周期圖方法周期圖方法 作作PSD估計的主要限制。估計的主要限制。 注意：一致估計器指采樣數N增至