1、1第第 1 1 課時課時不等關系與不等式不等關系與不等式1了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式(組)的實際背景2掌握不等式的性質，會用不等式的性質進行不等式的運算、證明和比較數或式的大小1比較兩個實數大小的依據abab0，abab0，abab0.2不等式的基本性質(1)對稱性：abba(雙向)(2)傳遞性：ab，bcac(單向)(3)同向不等式可加性：abacbc(雙向)；ab，cdacbd(單向)(4)乘法法則：ab，c0acbc(單向)；ab，c0acbc(單向)；ab0cd0acbd(單向)(5)倒數法則：ab，ab01a1b(單向)(6)乘方法則：ab0anbn(nN N 且

2、n1)(單向)(7)開方法則：ab0nanb(nN N 且n1)(單向)基礎自測1已知ab，cd，且c，d不為 0，那么下列不等式成立的是()AadbcBacbdCacbdDacbd解析：由不等式的性質知：ab，cdacbd.答案：D2(2016內江檢測)若 6a10，a2b2a，cab，則c的取值范圍是()A9c18B15c30C9c30D9c302解析：因為cab，a2b2a，所以3a2c3a，又 6a10，則 9c30.答案：D3(2016銅川質檢)已知a，b，cR R，則“ab”是“ac2bc2”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：abac2

3、bc2，c20 時，ac2bc2；反之，ac2bc2ab.答案：B4(教材改編題)若ab，cd，則下列不等關系中一定成立的是_abdcadbcacbcacad解析：ab，cd，ab0，dc0，abdc.故成立；取a0，b2，c0，d3 代入，可知不成立；由不等式的可加性知成立；由cd知，cd，由不等式的可加性知成立答案：5已知f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，xR R，則f(x)與g(x)的大小關系是_解析：f(x)g(x)x22x2(x1)210f(x)g(x)答案：f(x)g(x)考點一用不等式(組)表示不等關系例 1某廠擬生產甲、乙兩種適銷產品，甲、乙產品都需要在A，B兩種設備上加

4、工，在每臺A，B設備上加工一件甲產品所需工時分別為 1 小時、2 小時，加工一件乙產品所需工時分別為 2 小時、1 小時，A，B兩種設備每月有效使用臺時數分別為 400 和 500.寫出滿足上述所有不等關系的不等式審題視點這是一個二元不等關系的實際應用題，只需設出兩個變量，依據題目所述條件逐一用不等式表示，然后組成不等式組即可解設甲、乙兩種產品的產量分別為x，y，則由題意可知x2y400，2xy500.x0，xN N，y0，yN N.3用不等式(組)表示實際問題中的不等關系時，除了把文字語言“翻譯”成符號語言，把握“不超過”“不低于”“至少”“至多”等關鍵詞外，還應考慮變量的實際意義，即變量的

5、取值范圍1實數x的絕對值不大于 2，用不等式表示為()A|x|2B|x|2C|x|b0 是“a2b2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當ab0 時，a2b2顯然成立；當a2b2時，令a2，b1，則ba，故a2b2ab0 不一定成立，故選 A.答案：A考點三比較大小例 3(1)若a、b是任意實數，且ab，則下列不等式成立的是()Aa21b21B.ba1Clg(ab)0D.13a13b(2)已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關系是()AMNBMNCMND不確定(3)已知ab0，比較aabb與abba的大小審題視點(1)運

6、用特殊值驗證即可(2)可用作差法求解(3)利用作商法求解判斷5解析(1)令a12，b1，則 A、B、C 均不成立，故選 D.(2)MNa1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)又a1，a2(0,1)，故(a11)(a21)0，故MN.(3)解：aabbabbaaabbababab，又ab0，故ab1，ab0，abab1，即aabbabba1，又abba0，aabbabba，aabb與abba的大小關系為：aabbabba.答案(1)D(2)B(1)“作差比較法”的依據是“ab0ab，ab0ab，ab0ab”， 其過程可分三步： 作差； 變形； 判斷差的符號 其中關鍵一步是變

7、形(2)“作商比較法”的依據是“ab1，b0ab”，是把兩數的大小比較轉化為兩數的商與 1 進行比較，在數式結構含有冪或根式、絕對值時，可采用此方法1(2016吉林聯考)已知實數a、b、c，滿足bc64a3a2，cb44aa2，則a、b、c的大小關系是()AcbaBacbCcbaDacb解析：cb44aa2(2a)20，cb.(bc)(cb)2a22，ba21，baa2a1a122340，ba.答案：A2(2015高考北京卷)23,312，log25 三個數中最大的數是_解析：利用中間量進行大小比較6因為 23123181,1312 32，log25log242，所以三個數中最大的數是 log

8、25.答案：log25忽視等號成立條件致誤典例若變量x，y滿足約束條件32xy9，6xy9，則zx2y的最小值為_解題指南設zx2y(2xy)(xy)，然后利用待定系數法，求得和的值，然后通過“2xy”和“xy”本身的范圍求得zx2y的范圍解析令zx2y(2xy)(xy)(2)x()y，21，2，1，1，z(2xy)(xy)，又32xy9，9(xy)6，6(2xy)(xy)3，即6z3，zmin6.答案6易錯分析多次同向不等式相加擴大變量的范圍，切斷了變量間互相的限制創新點評解答本題時有兩點誤區(1)忽視條件中等號成立條件分別求出x、y范圍后再求x2y的范圍；(2)利用待定系數法求，時計算失誤

9、備考建議求范圍及最值問題時要對以下問題高度關注：(1)解題時看清題目條件，不能忽視變量滿足的約束條件；(2)題目運算過程要等價轉換，轉換不等價易造成失分；7(3)此類問題也可尋求多種解法，如本題還可利用線性規劃求解1要注意不等式性質的單向性或雙向性，也就是說每條性質是否具有可逆性在應用性質時要準確把握條件是結論的充分條件還是必要條件2作差法是比較兩數(式)大小的常用方法，也是證明不等式的基本方法，其中作差變形是關鍵，常用因式分解或配方法課時規范訓練課時規范訓練A 級基礎演練1(2015高考安徽卷)設p：x3，q：1x3，則p是q成立的()A充分必要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分

10、也不必要條件解析：根據充分、必要條件的定義直接利用數軸求解即可將p，q對應的集合在數軸上表示出來如圖所示，易知，當p成立時，q不一定成立；當q成立時，p一定成立，故p是q成立的必要不充分條件答案：C2(2016大慶質檢)若ab1aB.1a1bC|a|b|Da2b2解析：由ab1a不成立，選 A.答案：A3(2016西安檢測)設0，2 ，0，2 ，那么 23的取值范圍是()A.0，56B.6，56C(0，)D.6，解析：由題設得 02，036，8630，623b，則ac2bc2；若ac2bc2，則ab；若ab，則a2cb2c.其中正確的是_(請把正確命題的序號都填上)解析：若c0 則命題不成立正

11、確中由 2c0 知成立答案：5已知22，則2的取值范圍是_，2的取值范圍是_解析：22，22，.222.22，222.又0，220.答案：2，22，06 (2016河南鄭州調研)若1a1b0， 則下列不等式中： 1ab0； a1ab1b； lna2lnb2中， 正確的不等式是_ (填正確不等式的序號)解析：由1a1b0，得ba0.ab0，1ab0，1ab1ab成立，即正確；baa0，則b|a|，即|a|b0，錯誤；9ba0，且1a1bb1b，故正確；baa2，lnb2lna2成立錯誤，故正確的是.答案：7已知a2，b2，試比較ab與ab的大小解：法一(作差法)：ab(ab)(a1)(B*4/5

12、)1，a2，b2，a11，B*4/51.(a1)(B*4/5)10.ab(ab)0.abab.法二(作商法)：abab1b1a，且a2，b2，1a12，1b12.1b1a12121.abab1.又ab40，abab.8一學生計劃使用不超過 20 元的錢為自己購買學習用具根據需要，單價為 4 元的圓珠筆至少需要購買 2 支，單價為 2 元的筆記本至少需要購買 3 本寫出滿足上述所有不等關系的不等式解：設購買圓珠筆和筆記本的數量分別為x支，y本則4x2y20，x2，y3，x，yN N，即2xy10，x2，y3，x，yN N.B 級能力突破1(2015高考浙江卷)已知an是等差數列，公差d不為零，前

13、n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數列，則()Aa1d0，dS40Ba1d0，dS40，dS40Da1d0解析：a3，a4，a8成等比數列，a24a3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展開整理，得3a1d5d2，即a1d53d2.d0，a1d0.Snna1nn12d，S44a16d，dS44a1d6d223d20，bcad0，則cadb0；若ab0，cadb0，則bcad0；若bcad0，cadb0，則ab0.其中正確命題的個數是()A0B1C2D3解析：ab0，bcad0，cadbbcadab0，正確；ab0，又cadb0，即bcadab0，bcad0，正確；bcad0，又c

14、adb0，即bcadab0，ab0，正確故選 D.答案：D3(2016上海楊浦模擬)已知a、b、c是任意的實數，且ab，則下列不等式恒成立的為()A(ac)4(bc)4Bac2bc2Clg|bc|lg|ac|D(ac)13(bc)13解析：當ab，ac與bc為負數時，由 0acbc，得 0(ac)(bc)0(ac)4(bc)4，即(ac)4(bc)4.A 不成立；當c0 時，ac2bc2，B 不成立；當ab時，acbc，但若ac、bc均為負數時，|ac|bc|，即 lg|ac|lg|bc|.故 C 不恒成立故選 D.答案：D4已知ab0，則ab2ba2與1a1b的大小關系是_解析：ab2ba2

15、1a1babb2baa2(ab)1b21a2abab2a2b2.ab0，(ab)20，abab2a2b20.11ab2ba21a1b.答案：ab2ba21a1b5若變量x，y滿足約束條件32xy96xy9，則zx2y的取值范圍為_解析：令zx2y(2xy)(xy)(2)x()y212，1，1.z(2xy)(xy)又32xy9，9(xy)6，6(2xy)(xy)3，即6z3，答案：6,36給出下列條件：1ab；0ab1；0a1b.其中，能推出 logb1bloga1blogab成立的條件的序號是_(填所有可能的條件的序號)解析：logb1b1若 1ab，則1b1a1b.loga1bloga1a1

16、，故條件不可以；若 0ab1，則b11b1a，logabloga1bloga1a1logb1b，故條件可以；若 0a1b，則 01b1，loga1b0，logab0，條件不可以答案：7設函數f(x)ax(1a2)x2，其中a0，區間Ix|f(x)0(1)求I的長度(注：區間(，)的長度定義為)；(2)給定常數k(0,1)，當 1ka1k時，求I長度的最小值解：(1)令f(x)xa(1a2)x0，解得x10，x2a1a2.12Ix|0 xa1a2，I的長度x2x1a1a2.(2)k(0,1)，則 01ka1k2.由(1)知Ia1a2，I1a21a22.令I0，得a1.0k1，I關于a在1k,1)

17、上單調遞增，在(1,1k)上單調遞減Imin必定在a1k或a1k處取得.I1I21k11k21k11k22k2k32k2k31，I1I2，Imin1k22kk2.因此當a1k時，I在區間1k,1k上取得最小值1k22kk2.第 2 課時一元二次不等式及其解法1會從實際情況中抽象出一元二次不等式模型2通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系3會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖1一元一次不等式的解法一元一次不等式axb0(a0)的解集為：(1)當a0 時，x|xba；(2)當a0 時，x|xba.2一元二次不等式及其解法(1)一元二次不等式的

18、定義含有一個未知數，且未知數的最高次數是二次的不等式叫一元二次不等式13一元二次不等式的一般形式為：ax2bxc0，或ax2bxc0(a0)(2)一元二次不等式的解法利用一元二次不等式、一元二次方程及二次函數間的關系求解一元二次不等式三者的關系見下表：判別式b24ac000方程ax2bxc0有兩個不等實根x1，x2(x1x2)有兩個相等實根x1x2無實根二次函數yax2bxc(a0)的圖像不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1，或xx2x|xb2aR R不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2基礎自測1(教材改編題)不等式x23x20 的解集為()A(，2)(1，)B(2，1)C

19、(，1)(2，)D(1,2)解析：x23x20(x1)(x2)01x2.答案：D2不等式 2x2x10 的解集是()A.12，1B(1，)C(，1)(2，)D.，12 (1，)解析：2x2x10(2x1)(x1)0 x12或x1.答案：D143(2016許昌模擬)若不等式ax2bx20 的解集為x|2x14，則ab()A28B26C28D26解析：當a0 時由題意知2，14是方程ax2bx20 的兩根ba2142a214解得a4b7，ab28.答案：C4(2016合肥模擬)不等式x21 的解集為_解析：x21x210(x1)(x1)01x1.答案：(1,1)5不等式ax22ax10 對一切xR

20、 R 恒成立，則實數a的取值范圍為_解析：當a0，由題意知a04a24a0解得 0a1.當a0 時亦符合題意，故 0a1.答案：答案：0,10,1考點一一元二次不等式及簡單高次不等式的解法例 1(1)不等式x12x10 的解集為()A.12，1B.12，1C.，12 1，)D.，12 1，)(2)不等式x25x60 的解集為_審題視點(1)利用分式不等式與一元二次不等式組間的轉化關系求解15(2)分解因式求解解析(1)x12x10 等價于不等式組x10，2x10，或x10，2x10.解得12x1，解得x ，原不等式的解集為12，1.(2)x25x60，(x2)(x3)0.2x3.不等式的解集為

21、x|2x3答案(1)A(2)x|2x31解一元二次不等式的一般步驟：(1)對不等式變形，使一端為 0 且二次項系數大于 0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)計算相應的判別式；(3)當0 時，求出相應的一元二次方程的根；(4)根據對應二次函數的圖像，寫出不等式的解集2用“穿針引線法”解高次不等式的步驟：(1)將原不等式化為(xx1)a1(xx2)a2(xxn)an0(或0)的形式；(2)求相應方程的根，并在數軸上從小到大排列起來；(3)“穿針引線”，對于偶次重解，線穿而不過；對于奇次重解，線穿解而過；(4)根據圖形寫出不等式的解集3解分式不等式的思想是將分式不等式轉化為等

22、價的整式不等式(或整式不等式組)，通過解整式不等式(組)去求解1(2015高考廣東卷)不等式x23x40 的解集為_(用區間表示)解析：由x23x40 得x23x40，解得4x1.答案：(4,1)2解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)x2x23x20.解：(1)424230，16方程 2x24x30 沒有實根，二次函數y2x24x3 的圖像開口向上，與x軸沒有交點，即 2x24x30 恒成立，所以不等式 2x24x30 的解集為 R R.(2)原不等式可化為 3x22x80，1000，方程 3x22x80 的兩根為2，43，結合二次函數y3x22x8 的圖像可知原不

23、等式的解集為x|2x43.(3)x2x23x20 x2x1x20(x1)(x2)(x2)0.根據如圖所示的標根法可得解集為x|2x1 或x2考點二含參數的一元二次不等式的解法例 2解關于x的不等式ax2(2a1)x20.審題視點這個不等式的左端可以分解為兩個因式的乘積，即(ax1)(x2)，這樣就可以根據字母a和 0 的三種關系進行分類解決解原不等式可化為(ax1)(x2)0.(1)當a0 時，原不等式可以化為a(x2)x1a0，根據不等式的性質，這個不等式等價于(x2)x1a0，方程(x2)x1a0的兩個根是 2，1a.當 0a12時，21a，不等式的解集是x|2x1a，當a12時，不等式的

24、解集是 ，當a12時，1a2，不等式的解集是x|1ax2；(2)當a0 時，原不等式即為(x2)0，解得x2，解集為x|x2；(3)當a0 時，不等式可以化為a(x2)x1a0，根據不等式的性質，這個不等式等價于(x2)x1a0，由于1a2，故此時不等式的解集是x|x1a或x2.綜上所述，當a0 時，不等式的解集為x|x1a或x2；當a0 時，不等式的解集為x|x2；當 0a12時，不等式的解集為x|2x1a；當a12時，不等式的解集為 ；當a12時，不等式的解集為x|1ax2.17解含參數的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論：首先根據二次項系數的符號進行分類，其次

25、根據根是否存在，即的符號進行分類，最后在根存在時，根據根的大小進行分類1(2016鄂州模擬)已知不等式x2ax40 的解集不是空集，則實數a的取值范圍是_解析：由題意可得a2160，即a4 或a4.答案：a|a4 或a42(2016臨沂檢測)解關于x的不等式：ax2(a1)x10.解：當a0 時，原不等式可化為x11.當a0 時，原不等式可化為(ax1)(x1)0.因為1a1 或x0 時，原不等式可化為x1a(x1)0，若 0a1，所以 1x1，則1a1，所以1ax1.綜上知，當a0 時，原不等式的解集為xx1；當a0 時，原不等式的解集為x|x1；當 0a1 時，原不等式的解集為x1x1 時

26、，原不等式的解集為x1ax1.18考點三不等式恒成立問題例 3設 0，不等式 8x2(8sin)xcos 20 對xR R 恒成立，則的取值范圍為_審題視點根據開口向上的二次函數定義域為 R R 時函數值非負的條件(0)列式直接運算求解解由題意，要使 8x2(8sin)xcos 20 對xR R 恒成立，需64sin232cos 20，化簡得 cos 212.又 0，023或5322，解得 06或56.答案0，6 56，(1)解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(2)對于二次不等式恒成立問題，恒大于 0 就是相應的二次函數的圖像

27、在給定的區間上全部在x軸上方，恒小于 0 就是相應的二次函數的圖像在給定的區間上全部在x軸下方(3)一元二次不等式恒成立的條件ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是：a0 且b24ac0(xR R)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是：a0 且b24ac0(xR R)1(2015廣西南寧模擬)在 R R 上定義運算 ：xyx(1y)若不等式(xa) (xa)1 對任意實數x成立，則()A1a1B0a2C12a32D32a12解析：(xa) (xa)1 對任意實數x成立，即(xa)(1xa)1 對任意實數x成立x2xa2a10 恒成立，14(a2a1)0，12a32.答案：C2(2016湛

28、江檢測)設奇函數f(x)在1,1上是單調函數，且f(1)1.若函數f(x)t22at1 對所有的x1,1都成立，則19當a1,1時，t的取值范圍是_解析：f(x)為奇函數，f(1)1，f(1)f(1)1.又f(x)在1,1上是單調函數，1f(x)1，當a1,1時，t22at11 恒成立，即t22at0 恒成立令g(a)t22at，a1,1，t22t0，t22t0，解得t2 或t0 或t2.答案：(，202，)一元二次不等式的實際應用典例汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故的一個重要因素在一個限速為 40 km/h

29、的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了事后現場勘查測得甲車的剎車距離略超過 12 m，乙車的剎車距離略超過 10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.問：甲、乙兩車有無超速現象？解題指南利用剎車距離與車速的關系，與實際距離構建不等式求解【解】由題意知，對于甲車，有 0.1x0.01x212，即x210 x1 2000，3 分解得x30，或x40(不合實際意義，舍去).5 分這表明甲車的車速超過 30 km/h.但根據題意剎車距離略超過 12 m，由此估計甲車車速不

30、會超過限速 40 km/h.6 分對于乙車，有 0.05x0.005x210，即x210 x2 0000，9 分20解得x40，或x50(不合實際意義，舍去).11 分這表明乙車的車速超過 40km/h，超過規定限速.12 分【思維流程】列出甲車實際距離與剎車距離的不等式解不等式與限速比較列出乙車實際距離與剎車距離的不等式解不等式與限速比較閱卷點評本題解答關鍵是列出實際距離與剎車距離的不等關系創新點評(1)不能建立正確的不等關系(2)忽視實際問題對自變量的限制，致使解出不等式后，不能作出正確分析備考建議不等式應用題常以函數、數列為背景出現，多是解決現實生活、生產中的最優化問題，在解題中主要涉及

31、到不等式的解法等問題，構造數學模型是解不等式應用題的關鍵解含參數的一元二次不等式的步驟(1)二次項若含有參數應討論是等于 0，小于 0，還是大于 0，小于 0 時將不等式轉化為二次項系數為正的形式；(2)判斷方程的根的個數，討論判別式與 0 的關系；(3)方程有一根或無根時可直接寫出解集，方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集課時規范訓練課時規范訓練A 級基礎演練1(2016惠州模擬)不等式1x2x0 的解集為()21A2,1B(2,1C(，2)(1，)D(，2(1，)解析：1x2x01x2x0，2x02x1.答案：B2(2016山東臨沂模擬)不等式(x1)(2x)0 的解集為()

32、Ax|1x2Bx|x1 或x2Cx|1x2Dx|x2解析：由(x1)(2x)0 可知(x2)(x1)0，所以不等式的解集為x|1x2答案：A3(2016皖南八校一模)不等式 3x22x10 成立的一個必要不充分條件是()A.13，1B.，13 (1，)C.13，0D(1,1)解析：由 3x22x10 解得13x1，而13，1(1,1)，所以(1,1)是 3x22x10 成立的一個必要不充分條件答案：D4已知函數f(x)x2，x4 的解集為_解析：當x4，得x4，得x3.所以不等式f(x)4 的解集為(，2)(3，)答案：(，2)(3，)5若不等式(1a)x24x60 的解集是x|3x0 的解集

33、是x|3x1，1a1.于是原不等式可化為(a1)x24x60，其解集為x|3x1，314a1，316a1，解得a3.答案：36(2016鄭州調研)若不等式x2ax10 對一切x0，12 都成立，則a的最小值是_解析：法一：由于x0，則由已知可得ax1x在x0，12 上恒成立，而當x0，12 時，x1xmax52，a52，故a的最小值為52.法二：設f(x)x2ax1，則其對稱軸為xa2.若a212，即a1 時，f(x)在0，12 上單調遞減，此時應有f12 0，從而52a1.若a20 時，f(x)在0，12 上單調遞增，此時應有f(0)10 恒成立，故a0.若 0a212，即1a0 時，則應有

34、fa2 a24a2211a240 恒成立，故10，|x|1的解集為()A.x|2x1B.x|1x0C.x|0 x1解析：由x(x2)0 得x0 或x2；由|x|1 得1x1，所以不等式組的解集為x|0 x0 在區間1,5上有解，則a的取值范圍是()A.235，B.235，1C(1，)D.，235解析：由a280，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負(如圖)，所以方程必有一正根，一負根于是不等式在區間1,5上有解的充要條件是f(5)0，解得a235，故a的取值范圍為235，.答案：A4(2014高考江蘇卷)已知函數f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0 成立，則實數m的取值

35、范圍是_解析：作出二次函數f(x)的圖像，對于任意xm，m1，都有f(x)0，則有fm0，fm10，即m2m210，m12mm110，解得22m0.答案：22，05已知f(x)是定義域為 R R 的偶函數，當x0 時，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5 的解集是_解析：依據已知條件求出yf(x)，xR R 的解析式，再借助yf(x)的圖像求解設x0，則x0.25當x0 時，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)f(x)是定義在 R R 上的偶函數，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0)，f(x)x24x，x0，x24x，x0.由f(x)5 得x24x5，x0或x24x5，x0，

36、x5 或x5.觀察圖像可知由f(x)5，得5x5.由f(x2)5，得5x25，7x3.不等式f(x2)5 的解集是x|7x3答案：x|7x36已知a a(1，x)，b b(x2x，x)，m為實數，求使m(a ab b)2(m1)a ab b10 成立的x的范圍解：a ab bx2xx2x，m(a ab b)2(m1)a ab b10mx2(m1)x10.(1)當m0 時，不等式等價于x1；(2)當m0 時，不等式等價于mx1m(x1)0m0 時，不等式等價于x1 或x1m；0m1 時，不等式等價于 1x1m；m1 時，不等式等價于x ；m1 時，不等式等價于1mx1.綜上所述，原不等式成立的x

37、的范圍為：26當m0 時是x|x1m或x1；當m0 時是x|x1；當 0m1 時是x|1x1m；當m1 時是 ；當m1 時是x|1mx1.第第 3 3 課時課時二元一次不等式二元一次不等式( (組組) )與簡單的線性規劃問題與簡單的線性規劃問題1會從實際情境中抽象出二元一次不等式組2了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組3會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決1二元一次不等式表示的平面區域(1)一般地， 二元一次不等式AxByC0 在平面直角坐標系中表示直線AxByC0 某一側的所有的點組成的平面區域(半平面)不含邊界直線，不等式AxByC0 所表

38、示的平面區域(半平面)含有邊界直線(2)對于直線AxByC0 同一側的所有的點(x，y)，使得AxByC值的符號相同，也就是位于同一半平面的點，其坐標適合AxByC0；而位于另一半平面的點，其坐標適合AxByC0.(3)可在直線AxByC0 的某一側任取一點，一般取特殊點(x0，y0)，從Ax0By0C的符號來判斷AxByC0(或AxByC0)所表示的區域2線性規劃的有關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數關于x，y的函數解析式，如z2x3y線性目標函數關于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)27可行域

39、所有可行解組成的集合最優解使目標函數取得最大值或最小值的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題基礎自測1(教材改編題)不在 3x2y6 表示的平面區域內的點是()A(0,0)B(1,1)C(0,2)D(2,0)解析：逐一代入驗證，只有 D 不滿足不等式答案：D2如圖所示的平面區域(陰影部分)滿足不等式()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10解析：虛線所在直線方程為xy10 且陰影部分在原點異側答案：B3若x、yR R，且x1，x2y30，yx，則zx2y的最小值等于()A2B3C5D9解析：可行域如圖中陰影部分所示，則當直線x2yz0 經過點M(1,1)時，z

40、x2y取得最小值，為 1213.答案：B4如果點(1，b)在兩條平行直線 6x8y10 和 3x4y50 之間，則b應取的整數值為_28解析：令x1，代入 6x8y10，解得y78；代入 3x4y50，解得y2.由題意得78b2，又b為整數，b1.答案：15已知變量x，y滿足條件x1，y2，xy0，則zxy的最小值為_，最大值為_解析：不等式組x1，y2，xy0，所表示的平面區域如圖所示，作出直線xy0，可觀察知當直線過A點時z最小由x1xy0得A(1,1)，此時zmin112；當直線過B點時z最大由y2xy0得B(2,2)，此時zmax224.答案：答案：2 24 4考點一二元一次不等式(組

41、)表示的平面區域例 1設關于x，y的不等式組2xy10，xm0，ym0表示的平面區域內存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，則m的取值范圍是()29A.，43B.，13C.，23D.，53審題視點作出可行域圖，使直線x2y2 穿過區域時求m的變化范圍解析當m0 時，若平面區域存在，則平面區域內的點在第二象限，平面區域內不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區域要使可行域內包含y12x1 上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線y12x1 的下方即可，即m12m1，解得m23.答案C(1)不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區

42、域點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區域的公共部分(2)根據平面區域，判斷其形狀，求相應的邊界點坐標，相關長度等，利用相對位置求參數1(2016河南洛陽一模)若 2m2n2 2m2n，即 2mn4.所以mn2，即mn20 則y2axz的斜率k2a0，要使zy2ax取得最大值的最優解不唯一，則直線y2axz與直線 2xy20 平行，此時 2a2，即a1，若a0，則y2axz的斜率k2a0，b0，所以ab1a2b22ab，即ab2 2，當且僅當1a2b，1a2bab，即a42，b242時取“”，所以ab的最小值為 2 2.答案：C2(2015高考山東卷)定義運算“ ”：xyx2y2xy(x，

43、yR R，xy0)當x0，y0 時，xy(2y)x的最小值為_解析：因為xyx2y2xy，所以(2y)x4y2x22xy.又x0，y0，48故xy(2y)xx2y2xy4y2x22xyx22y22xy2 2xy2xy 2，當且僅當x 2y時，等號成立答案： 2考點二利用基本不等式證明不等式例 2已知a0，b0，c0，求證：bcacababcabc審題視點先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質相加得證證明a0，b0，c0，bcacab2bcacab2c；bcaabc2bcaabc2b；cababc2cababc2a.以上三式相加得：2bcacababc2(abc)即bcacababcabc.利

44、用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題1(2016江西南昌調研)已知a，bR R，且ab0，則下列結論恒成立的是()Aab2abBa2b22abC.abba2D.|abba|2解析：對于 A，當a，b為負數時，ab2ab不成立；對于 B，當ab時，a2b22ab不成立；對于 C，當a，b異號時，abba2 不成立；對于 D，因為ba，ab同號，所以|abba|ba|ab|2|ba|ab|2(當且僅當|a|b|時取等號)，所以 D 正確答案：D492已知x0，y0，z0.求證

45、：yxzxxyzyxzyz8.證明：x0，y0，z0，yxzx2yzx0，xyzy2xzy0，xzyz2xyz0，yxzxxyzyxzyz8yzxzxyxyz8.當且僅當xyz時等號成立考點三利用基本不等式解實際問題例 3某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為 162 平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為 400 元/米，中間兩道隔墻建造單價為 248 元/米，池底建造單價 80 元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過 16 米，試設計污水池的長和

46、寬，使總造價最低，并求出最低總造價審題視點(1)由題意設出未知量，構造函數關系式，變形轉化利用基本不等式求得最值，得出結論；(2)先由限制條件確定自變量的范圍，然后判斷(1)中函數的單調性，利用單調性求最值，得出結論解(1)設污水處理池的寬為x米，則長為162x米則總造價f(x)4002x2162x2482x801621 296x1 296100 x12 9601 296x100 x12 9601 2962x100 x12 96038 880(元)，50當且僅當x100 x(x0)，即x10 時取等號當長為 16.2 米，寬為 10 米時總造價最低，最低總造價為 38 880 元(2)由限制條

47、件知0 x16，0162x16，1018x16.設g(x)x100 x1018x16，由函數性質易知g(x)在1018，16上是增函數，當x1018時此時162x16，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296101880081 12 96038 882(元)當長為 16 米，寬為 1018米時，總造價最低，為 38 882 元1本例(2)中由于條件限制應用基本不等式結果不成立，從而轉化為應用函數的單調性求解，這也是此部分內容的常規解法2應用基本不等式解實際應用題時定義域是關鍵涉及到等式能否成立，因而在實際解題時要密切注意定義域的取值范圍1(2014高考福建卷)要制作一個容積為 4 m3，

48、高為 1 m 的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米 20 元，側面造價是每平方米 10 元，則該容器的最低總造價是()A80 元B120 元C160 元D240 元解析：設底面矩形的一條邊長是xm，總造價是y元，由題意知，體積V4 m3，高h1 m，所以底面積S4 m2，設底面矩形的一條邊長是xm，則另一條邊長是4xm，又設51總造價是y元，則y204102x8x80202x8x160，當且僅當 2x8x，即x2 時取得等號答案：C2(2016河北省普通高中質檢)如圖，有一塊邊長為 1(單位：百米)的正方形區域ABCD，在點A處有一個可轉動的探照燈，其照射角PAQ始終為 45(其中點

49、P，Q分別在邊BC，CD上)，設PAB，tant.(1)用t表示出PQ的長度，并探求CPQ的周長l是否為定值；(2)問探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S最大為多少？解：(1)由 tanBPABt，得BPt(0t1)，可得CP1t.DAQ45，DQtan(45)1t1t，CQ11t1t2t1t，PQCP2CQ21t22t1t21t21t，CPQ的周長lCPPQCQ1t2t1t1t21t2 為定值(2)SS正方形ABCDSABPSADQ1t2121t1t212t12t1 2 2，當且僅當t12t1，即t 21 時等號成立探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S最大為(2 2)平方百米52

50、特殊值法解不等式選擇題典例下列不等式一定成立的是()Algx214 lgx(x0)Bsinx1sinx2(xk，kZ Z)Cx212|x|D.1x211(xR R)解題指南應用基本不等式：x，yR R，xy2xy(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應用條件及取等號的條件解析當x12時，x214x即 lgx214 lgx，故 A 不正確運用基本不等式時需保證一正、二定，三相等，而當xk(kZ Z)時，sinx正負不定，故選項 B 不正確由x21(|x|)212|x|可知選項 C 正確當x0 時，1x211，故 D 錯答案C閱卷點評錯誤的舉反例說明，正確的要給出證明創新點評(1)忽視

51、等號成立的條件致誤(2)忽視使用基本不等式的前提“一正”致誤備考建議(1)熟悉基本不等式的形式特點，在應用時若不滿足條件，則需要進行相應的變形得到基本不等式所要的“和”或“積”為定值的形式(2)注意基本不等式適用的條件，即“一正、二定、三相等”且這三個條件缺一不可；若等號成立的條件不滿足，則可考慮用函數的單調性求最值531在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤對于公式ab2ab，abab22，要弄清它們的作用和使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和ab的轉化關系2運用公式解題時，既要

52、掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是aba2b22；ab2ab(a，b0)逆用就是abab22(a，b0)等還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等課時規范訓練課時規范訓練A 級基礎演練1(2015寧波模擬)下列函數中，最小值為 4 的個數為()yx4xysinx4sinx(0 x)yex4exylog3x4logx3A4B3C2D1解析：中，由于x的符號不確定，故不滿足條件；中，0sinx1，而應用不等式時等號成立的條件為 sinx2，故不滿足條件；正確；中 log3x，logx3 的符合不確定，故不滿足條件，綜上只有滿足條件答案：D2(2015高考福建卷)若

53、直線xayb1(a0，b0)過點(1,1)，則ab的最小值等于()A2B3C4D5解析：將(1,1)代入直線xayb1 得1a1b1，a0，b0，故ab(ab)1a1b2baab224，等號當且僅當ab時取到，故選 C.答案：C3已知x0，y0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3B454C.92D.112解析：法一：因為x2y2xy8，所以y8x2x2，所以x2yx8xx1xx19x1(x1)9x122 924當且僅當x19x1，即x2 時等號成立，此時y1，故選 B.法二：因為x2y2 2xy，所以 2xyx2y22，所以x2y2xyx2yx2y24，設x2yA，則AA248.即A2

54、4A320，解此不等式得A8(舍去)或A4，即x2y4，故選 B.答案：B4(2016日照模擬)已知a，bR R，函數y2aexb的圖像過點(0,1)，則1a1b的最小值是_解析：因為函數過點(0,1)，所以 2ab1，所以1a1b2aba2abb3ba2ab32 2，當且僅當ba2ab時取等號，故填 32 2.答案：32 25(2016杭州模擬)設x，yR R，a1，b1，若axby4 且ab2 2，則1x1y的最大值為_解析：由axby4 得xloga4，ylogb4，故1x1y1loga41logb4log4alog4blog4ab.又a1，b1，ab2 2，故 log4ablog4ab

55、22log4212，1x1y12，等號當且僅當ab 2，即xy4 時等號成立1x1y的最大值為12.答案：12556已知函數f(x)log2k(x4)21 恒過定點P，且點P在直線ybxa2(a，b屬于正實數)上，則 3a2b的最小值為_解析：由函數f(x)log2k(x4)21 可知，當x4 時，f(x)2，即P點坐標為(4,2)，又P在直線ybxa2(a，bR R)上，故2b4a2，即2a1b1，3a2b(3a2b)2a1b83ab4ba82 1284 3，當且僅當 3a24b2，即a22 33，b 31 時等號成立3a2b的最小值為 84 3.答案：84 37(1)當點(x，y)在直線x

56、3y40 上移動時，求表達式 3x27y2 的最小值；(2)已知x，y都是正實數，且xy3xy50，求xy的最小值解：(1)由x3y40 得x3y4，3x27y23x33y22 3x33y22 3x3y22 34220，當且僅當 3x33y且x3y40，即x2，y23時取“”(2)由xy3xy50 得xy53xy.2xy5xy53xy.3xy2xy50，(xy1)(3xy5)0，xy53，即xy259，等號成立的條件是xy.此時xy53，故xy的最小值是259.8若x，yR R，且滿足(x2y22)(x2y21)180.(1)求x2y2的取值范圍；(2)求證：xy2.解：(1)由(x2y2)2

57、(x2y2)200，得(x2y25)(x2y24)0，因為x2y250，所以有 0 x2y24，即x2y2的取值范圍為0,456(2)證明：由(1)知x2y24，由基本不等式得xyx2y22422，所以xy2.B 級能力突破1(2016福建漳州聯考)若正實數x，y滿足xy1x1y5，則xy的最大值是()A3B4C5D6解析：x，y為正實數，xy1x1yxyxyxyxyxyxy22xy4xy，又xy1x1y5，xy4xy5，解得 1xy4.xy的最大值是 4.答案：B2(2015陜西西安二模)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，則1x13y的最小值是()A2B2 2C4D2 3解析：由

58、 lg 2xlg 8ylg 2 得 lg 2x3ylg 2，x3y1，1x13y1x13y(x3y)2x3y3yx4當且僅當x3y3yx時，等號成立.故選 C.答案：C3設m，nR R，若直線(m1)x(n1)y20 與圓(x1)2(y1)21 相切，則mn的取值范圍是()A1 3，1 3B(，1 31 3，)C22 2，22 2D(，22 222 2，)解析：因為直線與圓相切，所以dr，即|m1n12|m12n121mnmn1，mnmn22，mn1mn24，令mnt，則t24t40t(，22 222 2，)，故選 D.答案：D574(2016洛陽高三統考)設正實數a，b滿足ab2，則1aa8

59、b的最小值為_解析：依題意得1aa8bab2aa8b12b2aa8b122b2aa8b1，當且僅當b2aa8b，ab2，即a2b43時取等號，因此1aa8b的最小值是1.答案：15(2015高考重慶卷)設a，b0，ab5，則a1b3的最大值為_解析：令ta1b3，則t2a1b32a1b392a1b39a1b313ab13518，當且僅當a1b3 時取等號，此時a72，b32.tmax 183 2.答案：3 26在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數f(x)2x的圖像交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是_解析：由題意可知f(x)2x的圖像關于原點對稱，而與過原點的直線相交，則兩交

60、點必關于原點對稱，故可設兩交點分別為Px，2x與Qx，2x，由兩點間距離公式可得|PQ|xx22x2x22x24x24 等號當且僅當x22，即x 2時取得答案：47某工廠去年某產品的年產量為 100 萬只，每只產品的銷售價為 10 元，固定成本為 8 元，今年工廠第一次投入 100 萬元(科技成本)，并計劃以后每年比上一年多投入 100 萬元(科技成本)，預計產量年遞增 10 萬只第n次投入后，每只產品的固定成本為g(n)kn1(k0，k為常數，nZ Z 且n0)，若產品銷售價保持不變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元(1)求k的值，并求出f(n)的表達式；(2)問從今年算起第幾年利潤最高？