1、精選優質文檔-傾情為你奉上導數題的解題技巧導數命題趨勢：（1）多項式求導（結合不等式求參數取值范圍）,和求斜率（切線方程結合函數求最值）問題.（2）求極值,證明不等式， 函數單調性,應用題,與三角函數或向量結合.【考點透視】1了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念2熟記基本導數公式；掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則了解復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數3理解可導函數的單調性與其導數的關系；了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰

2、函數）的最大值和最小值【例題解析】考點1 導數的概念對概念的要求：了解導數概念的實際背景，掌握導數在一點處的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念. 例1（2007年北京卷）是的導函數，則的值是考查目的 本題主要考查函數的導數和計算等基礎知識和能力.解答過程 故填3.例2. ( 2006年湖南卷）設函數,集合M=,P=,若MP,則實數a的取值范圍是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的本題主要考查函數的導數和集合等基礎知識的應用能力.解答過程由綜上可得MP時, 考點2 曲線的切線（1）關于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，

3、即求出函數y=f(x)在P點的導數就是曲線在該點的切線的斜率.（2）關于兩曲線的公切線 若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.（2007年湖南文）已知函數在區間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式思路啟迪：用求導來求得切線斜率.解答過程：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖

4、象，所以在兩邊附近的函數值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故例4.（2006年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D考查目的本題主要考查函數的導數和直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程與直線垂直的直線為，即在某一點的導數為4，而，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為.故選A.例5 ( 2006年重慶卷)過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+

5、=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 考查目的本題主要考查函數的導數和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程解法1：設切線的方程為又故選A.解法2:由解法1知切點坐標為由故選A.例6.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導數.解答過程：函數的導數為，曲線在點P()處的切線方程為，即 曲線在點Q的切線方程是即 若直線是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即時，解得，此時點P、Q重合.當時，和有且只有一條公切線，由

6、式得公切線方程為 .考點3導數的應用中學階段所涉及的初等函數在其定義域內都是可導函數，導數是研究函數性質的重要而有力的工具，特別是對于函數的單調性，以“導數”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1. 求函數的解析式; 2. 求函數的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函數的極值（最值）;5.構造函數證明不等式.典型例題例7（2006年天津卷）函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（）A1個 B2個 C3

7、個D 4個考查目的本題主要考查函數的導數和函數圖象性質等基礎知識的應用能力.解答過程由圖象可見,在區間內的圖象上有一個極小值點.故選A.例8 . （福建省2008年普通高中畢業班質量檢查）已知函數f(x)=ln(x+a)-x2-x在x = 0處取得極值(I)求實數a的值；()若關于x的方程，f(x)= 在區間O，2上恰有兩個不同的實數根，求實數b的取值范圍；()證明：對任意的正整數n，不等式ln 都成立考查目的本小題主要考查函數的導數、單調性、極值和不等式等基礎知識；考查化歸及數形結合的思想方法；考查分析問題、解決問題的能力。解答過程：解：() = x=0時，f(x)取得極值，=0，故 =0，

8、解得a=1.經檢驗a=1符合題意. ()由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x，由f(x)= +b,得ln(x+1)-x2+ x-b=0，令(x)= ln(x+1)-x2+ x-b，則f(x)= +b在0，2上恰有兩個不同的實數根等價于(x)=0在0，2恰有兩個不同實數根 ，當x(O，1)時， O，于是(x)在(O，1)上單調遞增；當x(1，2)時， 0，于是(x)在(1，2)上單調遞減 依題意有 ln3 -1b -1， 由()知， 令=0得，x=0或x= -(舍去)， 當-1x0，f(x)單調遞增； 當x0時，0得，ln(+1) +，故ln().例9.函數的值域是_.思路啟迪：求函

9、數的值域，是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函數的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數法求解較為容易。解答過程：由得，即函數的定義域為.，又，當時，函數在上是增函數，而，的值域是.例10（2006年天津卷）已知函數，其中為參數，且（1）當時，判斷函數是否有極值；（2）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍考查目的本小題主要考查運用導數研究三角函數和函數的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數學思想方法.解答

10、過程（）當時，則在內是增函數，故無極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論. 當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.綜上，要使函數在內的極小值大于零，參數的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數在區間與內都是增函數。由題設，函數內是增函數，則a須滿足不等式組 或 由（II），參數時時，.要使不等式關于參數恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例1

11、1(2006年山東卷)設函數f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間.考查目的本題考查了函數的導數求法,函數的極值的判定,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數的定義域為，且（1）當時，函數在上單調遞減，（2）當時，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞增.綜上所述：當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.例12（2006年北京卷）已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.考查目的本小題考查了函數的導數,函數的極值

12、的判定,閉區間上二次函數的最值, 函數與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數形結合的數學思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設又所以由即得所以例13（2006年湖北卷）設是函數的一個極值點.（）求與的關系式（用表示），并求的單調區間；（）設，.若存在使得成立，求的取值范圍.考查目的本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力.解答過程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得

13、b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點，所以x+a+10，那么a4.當a3x1，則在區間（，3）上，f (x)0，f (x)為增函數；在區間（a1，）上，f (x)4時，x23x1，則在區間（，a1）上，f (x)0，f (x)為增函數；在區間（3，）上，f (x)0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f

14、 (x)在區間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區間0，4上是增函數，且它在區間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）0，解得0a.故a的取值范圍是（0，）.例14 （2007年全國二）已知函數在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過程求函數的導數（）由函數在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根所以當時，為增函數，由，得（）在題設下，等價于即化簡得此不等式組表示的區域為平面上三條直線：所圍成的的內部，其三個頂點分別為：ba2124O在這三點的值依次為所以的取值范圍為考點

15、4導數在不等式的證明及解決不等式中求參數的問題中的應用.一、構造函數，利用函數的導數證明不等式1.直接由所證不等式構造函數， 討論構造函數單調性,達到證明不等式的目的把要證明的不等式通過構造函數轉化為 再通過求的最值,從而實現對不等式的證明.例1（2010年全國理科卷2）設函數 證明：當時，, 設當時，求的取值范圍證明： 當時，當且僅當構造函數：，則對求導得： .當時，在上是增函數, 當時，在上是減函數.于是在處達到最小值，因而當時，即 ， 所以當時， . 略.2.常系數變易法 對形如(或可化為）的不等式，根據題意可適當選擇（或）為主元，構造函數（或）.例2（2004年全國理科卷2）已知函數，

16、 求函數的最大值； 設，證明：.解: 略 由 ，則. 首先選擇為主元，構造函數：，則對求導得： .當時，因此在內為減函數，當時，因此在上為增函數. 從而，當時，有極小值，因為，由, 所以，即,其次構造函數：，則對求導得：. 當時,因此在上為減函數，因為,，所以 ， 即 ：,綜上所述，原不等式成立.二、利用導數求出函數的極值、最值(或值域) 后,再證明不等式 最值證明在不等式中的應用,一般將不等式通過移項，構造一個函數，然后求這個函數的極(最)值,應用恒成立關系就可以證明.例3（2009年全國理科卷2）設函數有兩個極值點，且， 求的取值范圍，并討論的單調性, 證明： .w.w.w.k.s.5.u

17、.c.o.m 解: 對求導得：令，其對稱軸為.由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得.當時，所以在內為增函數；當時，所以在內為減函數；當時，所以在內為增函數.由可知，有 ，所以.設，則.當時，所以在單調遞增；當時，在單調遞減. 所以，當時，故W.三、利用導數解決不等式中求參數的問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，有些往往把變量分離后可以轉化為(或)恒成立,于是大于 的最大值(或小于 的最小值),從而把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題.但是有些不能把變量分離或者分離之后求解非常麻煩的，要通過適當的變換來求解，在求解的過程中往往都要結合函數的性質通過分類討論的

18、思想進行求解.總之，利用導數求函數最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法.1.變量分離后，不等式可以轉化為(或）的恒成立問題例4（2008年安徽理科卷20題）設函數 求函數的單調區間, 已知對任意成立，求實數的取值范圍.解: 對求導得： 若 則 列表如下 +0-單調增極大值單調減單調減 在 兩邊取對數, 得 ,由于所以，由 的結果可知,當時, , 為使對所有成立,當且僅當,即 .2.通過適當的變換，構造函數解決不等式恒成立問題例5（2008年全國理科卷2）設函數 求的單調區間, 如果對任何，都有，求的取值范圍.解：對求導得：當（）時，即,當（）時，即因此在每一個區間（）是增函數，在每一個區間（）是減函數 構造函數，設，則 從而，當時，又，所以當時，即當時，令，則.由，有，因此在上單調增加，又，即 于是，當時，有因此，的取值范圍是 總之，導數是解決不等式問題的一個很有用的工具，利用導數解決不等式的問題其實就是要適當的構造函數，運用導數來研究所構造函數的單調性，進而解決不等式中的問題.考點5 導數的實際應用建立函數模型,利用導數研究最值典型例題例15. （2007年重慶文）用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？考查目的本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查