1、第二章第二章 正交試驗設計正交試驗設計 同濟大學城市軌道與鐵道工程系參考教材參考教材 本章內容本章內容n第一節第一節 正交試驗及正交表正交試驗及正交表 n第二節第二節 正交試驗設計及極差分析正交試驗設計及極差分析( (單、多指標單、多指標) ) n第三節第三節 正交試驗設計及極差分析正交試驗設計及極差分析( (交互、混合）交互、混合）n第四節第四節 正交試驗結果的方差分析正交試驗結果的方差分析 第一節第一節 正交試驗與正交表正交試驗與正交表一一 基本概念基本概念二二 正交試驗原理解析正交試驗原理解析三三 正交表正交表四四 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟1 1、正交試驗設計的任務、正交

2、試驗設計的任務 以概率論與數理統計知識為理論基礎，結合專業知識和實踐經驗，經濟的、科學的、合理地安排試驗；有效地控制試驗干擾；力求用較少的人力、物力、財力和時間，最大限度地獲得豐富而可靠的資料；充分利用和科學地分析所獲取的試驗信息，從而達到能明確回答研究項目所提出的問題和盡快獲得最優方案的目的。一一 基本概念基本概念2 2、試驗指標（、試驗指標（experimental indexexperimental index） 在試驗設計中，根據試驗的目的而選定的用來衡量試驗結果好壞或處理效應高低的質量指標稱為試驗指標。由于試驗目的不同 ，選擇的試驗指標亦不相同。 試驗指標可分為定量指標定量指標和定性

3、指標定性指標兩類。能用數量表示的指標稱為定量指標或數量指標。不能用數量表示的指標稱為定性指標。 試驗指標只有一個時的試驗成為單指標試驗單指標試驗,否則成為多指標試驗多指標試驗。一一 基本概念基本概念3 3、試驗因素（、試驗因素（experimental factorexperimental factor） 凡對試驗指標可能產生影響的原因或要素都稱為因素或因子,因素分為不可控因素和不可控因素。可控因素：在試驗中可以人為地加以調節和控制的因素。常用大寫字母A、B、C、等表示,試驗設計都是針對可控因素。 當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標

4、的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。兩因素或多因素試驗。一一 基本概念基本概念4 4、因素水平（、因素水平（level of factorlevel of factor） 試驗因素所處的各種狀態或數量等級稱為因素水平，簡稱水平。 在試驗設計中，1個因素選幾個水平，就稱該因素為幾水平因素。 一一 基本概念基本概念5 5、正交試驗設計、正交試驗設計( (Orthogonal experimental design) ) 正交試驗設計是利用正交表來安排與分析多因素試驗的一種設計方法。它是由試驗因素的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進行試驗的，通過對這部分試驗結果的分析了解全面試驗的情況，找

5、出最優的水平組合。 正交試驗設計的基本特點是：用代表性強部分試驗來代代表性強部分試驗來代替全面試驗替全面試驗，通過對部分試驗結果的統計分析，了解全面試驗的情況。一一 基本概念基本概念6 6、正交表、正交表( (Orthogonal table) ) 正交表的構造需要用到組合數學和概率學知識，依據正交原理構造的規范化表格,具有”均衡分散性、整齊可比均衡分散性、整齊可比性性”的特點。如果正交表類型不同，則構造方法差異很大，甚至有些正交表其構造方法到目前還未解決。 20世紀上半葉，正交設計方法已經在數學界中提出。到40年代后期，日本統計學家田口玄一博士首次將正交設計方法應用到日本的電話機試驗上,首次

6、制定了正交表。一一 基本概念基本概念7 7、正交的含義、正交的含義 “正交”意味著不同因素之間的均衡搭配。從而使計算出來的各因素效應在統計上互相獨立。 廣義的正交性指任意兩列的每一種特征號碼組合都出現同樣的次數，使試驗點在試驗范圍內能均衡分散，也就是使因素的不同水平組合在因素水平的變化范圍內均衡分散。一一 基本概念基本概念1 1、試驗設計的分類、試驗設計的分類 一般而言, 試驗設計方法分為: (1)全面試驗法全面試驗法 (2)單因素輪換法單因素輪換法 (3)正交試驗法正交試驗法n 例：有一個三因素三水平試驗,以符號A、B、C表示因素。以A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3分別表

7、示因素A、B、C的三個水平，試比較三種方法的試驗點。二二 正交試驗原理解析正交試驗原理解析2 2、全面實驗法、全面實驗法 內涵內涵: : 將三因素三水平組合搭配而成的各種試驗條件全面進行試驗而進行比較選優的方法。二二 正交試驗原理解析正交試驗原理解析2 2、全面實驗法、全面實驗法試驗次數:水平數因素個數=rm=33=27次. 即立方體的27個交點。優點優點：全面剖析出事物內部規律性。缺點：缺點：試驗次數太多，當水平較多時試驗量是驚人的。二二 正交試驗原理解析正交試驗原理解析A1A2A3B1B2B3C2C1C3BAC3 3、 單因素輪換法單因素輪換法n輪換方法輪換方法：即B1C1 A3C1 A3

8、B1 得到較優水平組合為A3B1C3n試驗次數試驗次數：7次n缺點缺點：七個點完全分布在立方體的個別邊、面上。在很大范圍無試驗點。因此試驗缺乏代表性，不能反映事物全貌。特別是因素間有交互作用時，更不易找到 最優方案.C3*C2C1B3B2B1*A3*A2A1A1A2A3B1B2B3C2C1C3BAC二二 正交試驗原理解析正交試驗原理解析ABC123123456789111222333123123123123231312No.列號因素A1A2A3B1B2B3C2C1C3BAC4 4、 正交試驗法正交試驗法( (選用正交表選用正交表L L9 9(3(34 4)二二 正交試驗原理解析正交試驗原理解析

9、(1)A(1)A1 1B B1 1C C1 1 (2)A (2)A2 2B B1 1C C2 2 (3)A (3)A3 3B B1 1C C3 3(4)A(4)A1 1B B2 2C C2 2 (5)A (5)A2 2B B2 2C C3 3 (6)A (6)A3 3B B2 2C C1 1(7)A(7)A1 1B B3 3C C3 3 (8)A (8)A2 2B B3 3C C1 1 (9)A(9)A3 3B B3 3C C2 2ABC123123456789111222333123123123123231312No.列號因素5 5、 正交表的特點正交表的特點二二 正交試驗原理解析正交試驗原

10、理解析(1)(1)正交表中任意一列中，不同的數字出現正交表中任意一列中，不同的數字出現的次數相等；的次數相等；表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均勻分布的（每個因素的各水平出現的次數相同） 均衡分散性2 2、正交表中任意兩列，把同行的兩個數字、正交表中任意兩列，把同行的兩個數字看成有序數對時，所有可能的數對出現的看成有序數對時，所有可能的數對出現的次數相同。次數相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗中出現的次數相等 整齊可比性正交表正交表L L9 9(3(34 4) )三三 正交表正交表1 1、正交表的分類、正交表的分類正交表等水平正交表混合水平正交表各因數的水平數相同.各因

11、數的水平數不完全相同.三三 正交表正交表2 2、等水平正交表、等水平正交表 m為正交表的列數為正交表的列數（最多能安排的因素個數，（最多能安排的因素個數，包括交互作用、誤差等）包括交互作用、誤差等）n為正交表的行數為正交表的行數（需要做的試驗次數）（需要做的試驗次數）L為正交表的代號為正交表的代號r為各因素的水平數為各因素的水平數（各因素的水平數相等）各因素的水平數相等）三三 正交表正交表2 2、等水平正交表、等水平正交表 782L表示各因素的表示各因素的水平水平數數為為2，做，做8次試驗次試驗，最多考慮最多考慮7個個因素因素（含交互作用）的（含交互作用）的正交表正交表。三三 正交表正交表2

12、2、等水平正交表、等水平正交表 n2 2水平水平的有L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等，這幾張表中數字2表示各因素是2水平的；試驗要做的次數分別為4，8，12，16；最多可安排的因素分別為3，7，11，15。n3 3水平水平的正交表有L9(34)， L18(37) ,L27(313)，這三張表中數字3表示各因素是3水平的；試驗要做的次數分別為9,18,27；最多可安排的因素分別為4,7,13。n4 4水平水平的正交表有L16(44)， L32(49) ,L64(421)，這三張表中數字4表示各因素是4水平的；試驗要做的次數分別為16,32,64；最多可安排的因素分

13、別為4,9,21。三三 正交表正交表3 3、混合水平正交表、混合水平正交表 該表表示需要做該表表示需要做8次試驗次試驗，最多考慮，最多考慮5個個因素因素，其中，其中1個是個是4水水平因素，平因素，4個個2水平因素。水平因素。三三 正交表正交表3 3、混合水平正交表、混合水平正交表 n常見的混合水平正交表有: L12(3124), L12(6124) ， L16(41212) , L16(4229) , L16(4326), L16(4423) 等.四四 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟對于多因素試驗，正交試驗設計是簡單常用的一種試驗設計方法，其設計基本程序如圖所示。正交試驗設計的基本程

14、序包括試驗方案設計及試驗結果分析兩部分。試驗結果分析試驗結果分析選正交表、表頭設計選正交表、表頭設計試驗方案、試驗、獲得結果試驗方案、試驗、獲得結果驗證試驗驗證試驗試試 驗驗 方方 案案 設設 計計 步步 驟驟四四 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟四四 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟1 1、明確試驗目的，確定試驗指標、明確試驗目的，確定試驗指標 試驗設計前必須明確試驗目的，即本次試驗要解決什么問題。試驗目的確定后，對試驗結果如何衡量，即需要確定出試驗指標。試驗指標可為定量指標，也可為定性指標。 一般為了便于試驗結果的分析，定性指標可按相關的標準打分或模糊數學處理進行數量化，將

15、定性指標定量化。四四 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟2 2、選因素、定水平、選因素、定水平 根據專業知識、以往的研究結論和經驗，從影響試驗指標的諸多因素中，選出主要因素作為試驗因素,一般3-7個因素為宜. 試驗因素選定后，根據所掌握的信息資料和相關知識，確定每個因素的水平，一般以3-7個水平為宜。對主要考察的試驗因素，可以多取水平，各水平的數值應該適當拉開,便于對試驗結果的分析。四四 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟3 3、選正交表、進行表頭設計、選正交表、進行表頭設計 正交表的選擇原則是在能夠安排下試驗因素和交互作用的前提下，盡可能選用較小的正交表，以減少試驗次數。 一般情

16、況下，試驗因素的水平數應等于正交表中的水平數；因素個數（包括交互作用）應不大于正交表的列數；最低的試驗次數(行數)(每列水平數一1)+l；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗誤差。 表頭設計就是把試驗因素安排到所選正交表的列中.當試驗因素數等于正交表的列數時,優先將水平數變化困難的放在第一列,水平變化容易的因素放在最后一列.當試驗因素數小于正交表的列數時,若不考慮交互作用,空列作為誤差列,放在表的中間或后面.四四 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟4 4、 把正交表中安排各因素的列（不包含欲考察的交互作用列）中的每個水平數字換成該因素的實際水平值，便形成了

17、正交試驗方案。 進行試驗,得到試驗試驗指標形式表達的試驗結果.5 5、對試驗結果進行分析、對試驗結果進行分析 主要有極差分析法和方差分析法，最終獲得因素主次順序以及優方案等信息。6 6、驗證試驗、驗證試驗 對優方案進行驗證試驗。進行試驗，記錄試驗結果進行試驗，記錄試驗結果試驗結果方差分析試驗結果方差分析列方差分析表，列方差分析表，進行進行F F 檢驗檢驗計算各列偏差平方計算各列偏差平方和、自由度和、自由度分析檢驗結果，分析檢驗結果，寫出結論寫出結論試驗結果分析試驗結果分析選正交表、表頭設計選正交表、表頭設計試驗方案、試驗、獲得結果試驗方案、試驗、獲得結果驗證試驗驗證試驗試試 驗驗 方方 案案

18、設設 計計 步步 驟驟 正交試驗設計基本步驟正交試驗設計基本步驟進行試驗，記錄試驗結果進行試驗，記錄試驗結果試驗結果方差分析試驗結果方差分析列方差分析表，列方差分析表，進行進行F F 檢驗檢驗計算各列偏差平方計算各列偏差平方和、自由度和、自由度分析檢驗結果，分析檢驗結果，寫出結論寫出結論第二節第二節 單指標、多指標正交單指標、多指標正交 試驗設計及極差分析試驗設計及極差分析一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析二二 多指標正交試驗設計及綜合平衡法多指標正交試驗設計及綜合平衡法三三 多指標正交試驗設計及綜合評分法多指標正交試驗設計及綜合評分法1 1、極差分析的任務、極差分

19、析的任務分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個是主要因素，哪個是次要因素；判斷因素對試驗指標影響的顯著程度；找出試驗因素的優水平和試驗范圍內的最優組合，即試驗因素各取什么水平時，試驗指標最好；分析因素與試驗指標之間的關系；找出指標隨因素變化的規律和趨勢，為進一步試驗指明方向；估計試驗誤差的大小或估計各因素之間的交互作用情況 。一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析2 2、極差分析的基本方法、極差分析的基本方法一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析計算簡便，直觀，簡單易懂，是正交試驗結果分析最常用方法。以下說明極差分析過程。 極差分析法極差分析

20、法R法法3 3、舉例、舉例檸檬酸硬脂酸單甘脂是一種新型乳化劑，它是檸檬酸和硬脂酸單甘脂一定的真空度下，通過酯化反應獲得，現對其合成工藝進行優化，以提高乳化劑的乳化能力。根據前期研究，不考慮交互作用，確定的因素和水平表如下：一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（1）選正交表）選正交表要求：因素水平數與正交表對應的水平數一致。 選Ln(3m) (主要有L9(34)， L18(37) ,L27(313)正交表列數因素數. m 3選較小的表. L9(34) 一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（2）表頭設計）表頭設

21、計要求：n將試驗因素安排到所選正交表相應的列中。 n因不考慮因素間的交互作用，一個因素占有一列（可以隨機排列）。n空白列（空列）：最好留有至少一個空白列 。 一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（3）明確試驗方案）明確試驗方案空白列對試驗方案無影響。一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（4）按規定的方案做試驗，得出試驗結果按規定的方案做試驗，得出試驗結果按照規定的方案完成每一號試驗 試驗次序可隨機決定試驗條件要嚴格控制一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（5）計算

22、極差，確定因素的主次順序計算極差，確定因素的主次順序Ki：表示任一列上水平號為 i 時，所對應的試驗結果之和。ki ：ki= Ki/s，其中s為任一列上各水平出現的次數 R（極差）：在任一列上 R=maxK1 ,K2 ,K3minK1 ,K2 ,K3，或 R=maxk1 ,k2 ,k3mink1 ,k2 ,k3 一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（5）計算極差，確定因素的主次順序計算極差，確定因素的主次順序一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析RARBRC 各因素

23、主到的順序為：A、B、C選取各因素列中K最大對應的水平為最有水平，本例中為A2B2C23 3、舉例、舉例（5）計算極差，確定因素的主次順序計算極差，確定因素的主次順序。nR越大，因素越重要。n若空列R較大，可能原因： 1）漏掉某重要因素； 2）因素之間可能存在不可忽略的交互作用 。一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（6）優方案的確定）優方案的確定n優方案：在所做的試驗范圍內，各因素較優的水平組合。 1）若試驗指標越大越好 ，應選取使指標大的水平 2）若試驗指標越小越好，應選取使指標小的水平 3）還應考慮：降低消耗、提高效率等 n本例選取各因素列中K

24、最大對應的水平為最有水平，本例中為A2B2C2n試驗A2B2C2不包含在正交表中已經完成的9個試驗中，體現出正交表的優越性，故需驗證試驗。一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析3 3、舉例、舉例（7）進行驗證試驗，作進一步的分析進行驗證試驗，作進一步的分析優方案往往不包含在正交實驗方案中，應進行驗證試驗。優方案是在給定的因素和水平的條件下得到的，若不限定給定的水平，有可能得到更好的試驗方案 。對所選的因素和水平進行適當的調整，以找到新的更優方案。趨勢圖 （把試驗指標的平均值ki作為縱坐標，因素水平作為橫坐標）一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析

25、3 3、舉例、舉例（7）進行驗證試驗，作進一步的分析進行驗證試驗，作進一步的分析n趨勢圖 （把試驗指標的平均值ki作為縱坐標，因素水平作為橫坐標）一一 單指標正交試驗設計及極差分析單指標正交試驗設計及極差分析優組合A2B2C21 1、綜合平衡法綜合平衡法先對每個指標分別進行單指標的直觀分析；獲得因數主次，優水平。 對各指標的分析結果進行綜合比較和分析，得出較優方案;綜合平衡法原則：綜合平衡法原則： 次服從主（首先滿足主要指標或主要因素的最優水平）次服從主（首先滿足主要指標或主要因素的最優水平） 少數服從多數少數服從多數 當因素水平差別不大時，降低消耗、提高效率當因素水平差別不大時，降低消耗、提

26、高效率 若試驗指標的重要程度不同時，確定優水平時優先滿足重要若試驗指標的重要程度不同時，確定優水平時優先滿足重要指標。指標。二二 多指標正交試驗設計及綜合平衡法多指標正交試驗設計及綜合平衡法2 2、舉例、舉例 在用乙醇溶液提取葛根中的有效成分工藝優化試驗中,試驗指標為三個:提取物得率 、總黃酮含量、葛根素含量 ，各指標重要程度相同，要求越大越好。試驗因素三個：乙醇濃度、液固比、回流次數；三個因素各有三個水平，不考慮交互作用。 因素水平表因素水平表二二 多指標正交試驗設計及綜合平衡法多指標正交試驗設計及綜合平衡法水平水平A:乙醇濃度乙醇濃度/%B:液固比液固比C：回流次數：回流次數1807126

27、06237083選取正交表選取正交表L9(34)因素水平表因素水平表二二 多指標正交試驗設計及綜合平衡法多指標正交試驗設計及綜合平衡法2 2、舉例、舉例 實驗方案及結果表二二 多指標正交試驗設計及綜合平衡法多指標正交試驗設計及綜合平衡法提取物得率：提取物得率：l因素主次：因素主次：C A B l優方案：優方案：C3A2B2 或或C3A2B3 總黃酮含量：總黃酮含量：l因素主次：因素主次：A C B l優方案：優方案：A3C3B3 葛根素含量葛根素含量 ：l因素主次：因素主次：C A B l優方案：優方案：C3A3B2 n綜合平衡：綜合平衡：C3A3B2 水平水平A:乙醇濃度乙醇濃度/%B:液固

28、比液固比C：回流次數：回流次數180712606237083因素水平表因素水平表1 1、綜合評分法、綜合評分法（1）內涵：）內涵：根據各個指標的重要程度，對得出的試驗結果進行分析，給每一個試驗評出一個分數，作為這個試驗的總指標，進行單指標試驗結果的直觀分析法。（2）評分辦法）評分辦法直接給出每一號試驗結果的綜合分數 (主要針對定性指標定性指標)對每號試驗的每個指標分別評分，再求綜合分。 若各指標重要性相同：各指標的分數總和 若各指標重要性不相同：各指標的分數加權和.三三 多指標正交試驗設計及綜合評分法多指標正交試驗設計及綜合評分法1 1、綜合評分法、綜合評分法（3）試驗指標的評分）試驗指標的評

29、分一般用指標的一般用指標的“隸屬度隸屬度”來表示分數來表示分數 ：（4）綜合分計算綜合分計算 綜合分綜合分=試驗指標試驗指標1隸屬度隸屬度權重權重1+。+試驗指標試驗指標n隸屬度隸屬度權重權重n 要求：權重要求：權重1+.+權重權重n=1三三 多指標正交試驗設計及綜合評分法多指標正交試驗設計及綜合評分法指標值 指標最小值隸屬度指標最大值 指標最小值2 2、舉例、舉例 某土質高邊坡平面上呈彎曲的條帶狀展布, 坡腳為26。32。，邊坡高度約40 m (大大超過相關規范中土質高邊坡坡高20m ), 邊坡長度約80 m , 土體較均勻, 可能破壞模式為滑移, 滑動面為圓弧或多段近圓弧線。根據現有的勘察

30、結果和設計方案，土質高邊坡穩定性評價和影響因素主次分析是工程實施的關鍵。n 依據專業知識可知，在坡高一定的條件下，土的重度、載聚力、內摩擦角、整體邊坡角和水平地震加速度影響系數這5個因素對穩定性影響最大，采用4個水平進行分析。采用M-p法(權重2/3)和Bishop法(權重1/3)穩定系數進行評價.三三 多指標正交試驗設計及綜合評分法多指標正交試驗設計及綜合評分法2 2、舉例、舉例因素水平表 三三 多指標正交試驗設計及綜合評分法多指標正交試驗設計及綜合評分法2 2、舉例、舉例 正交試驗方案(L16(45)及結果 三三 多指標正交試驗設計及綜合評分法多指標正交試驗設計及綜合評分法三三 多指標正交

31、試驗設計及綜合評分法多指標正交試驗設計及綜合評分法2 2、舉例、舉例 綜合評分及極差分析因素主次：因素主次：水平地震加速度影響系數水平地震加速度影響系數內摩擦角內摩擦角粘聚力粘聚力重度重度整體坡腳角整體坡腳角度度最優方案：最優方案： E1C4B4A2D2 第三節第三節 混合水平、交互作用的混合水平、交互作用的 正交試驗設計及極差分析正交試驗設計及極差分析一一 混合水平的正交試驗設計及極差分析混合水平的正交試驗設計及極差分析二二 交互作用的正交試驗設計及極差分析交互作用的正交試驗設計及極差分析1 1、混合水平的正交試驗設計方法、混合水平的正交試驗設計方法混合水平：混合水平：在實際問題中，由于具體

32、情況不同，有時各因素的水平數是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗問題。混合水平正交試驗設計方法：混合水平正交試驗設計方法： 直接利用混合水平的正交表； 擬水平法，即把水平數不同的問題轉化成等水平數的問題來處理。一一 混合水平的正交試驗設計及極差分析混合水平的正交試驗設計及極差分析2 2、直接利用混合水平正交表進行試驗設計、直接利用混合水平正交表進行試驗設計（1）混合正交表及其用法：）混合正交表及其用法：混合水平正交表就是各因素水平數不完全相等的正交表。常見的混合水平正交表有: L8(4124)， L12(3124), L12(6124) ，L16(41212) , L16(4229) , L

33、16(4326), L16(4423) 等. 混合正交表混合正交表 L8(41 24)一一 混合水平的正交試驗設計及極差分析混合水平的正交試驗設計及極差分析試驗號試驗號列號列號12345111111212222321122422211531212632121741221842112混合正交表的特點混合正交表的特點列中不同數字出現的次數是相同的。（均衡分散性）每兩列各水平搭配次數是相同的。（整齊可比性）2 2、直接利用混合水平正交表進行試驗設計、直接利用混合水平正交表進行試驗設計（1）舉例）舉例 某農科站進行品種試驗。共有4個因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀肥比例)、D(規格)。因

34、素A是4水平的，另外3個因素都是2水平的，具體數據如表所示。試驗指標是產量，數值越大越好。試用混合水平正交表安排試驗，找出最好的試驗方案。一一 混合水平的正交試驗設計及極差分析混合水平的正交試驗設計及極差分析 水平A：品種B：氮肥量kgC：氮、磷、鉀肥比例D：規格1甲253:3:1662乙302:1:2773丙4丁 因素因素 試驗號試驗號ABCD試驗指標試驗指標產量產量/kg減去減去20011111195- -5212222055321122202042221225255312121010632122151574122185- -1584211190- -10K10102020K2453525

35、25K325K4- -25k102.55.05.0k222.58.86.36.3k312.5k4- -12.5極極 差差35.06.31.31.3優方案優方案A2B2C2D22次次試試驗驗4次次試試驗驗依據依據k1、k2、k3、k4計算極差。計算極差。3 3、采用擬水平法進行試驗設計、采用擬水平法進行試驗設計（1）擬水平法：）擬水平法：在沒有合適的混合水平正交表可用時，可以對水平少的因素進行虛擬水平，使之變成等水平問題進行試驗設計。（2 2）舉例）舉例 某一試驗，試驗指標只有一個，它的數值越小越好，這個試驗有4個因素A、B、C、D，其中因素C是2水平的，其余因素都是3水平的，具體數據如表所示，

36、不考慮交互作用。試對試驗結果進行分析，找出最好的試驗方案。一一 混合水平的正交試驗設計及極差分析混合水平的正交試驗設計及極差分析水平水平ABCD135015606522508807533001085套用混合正交表套用混合正交表：L18（2137），須進行），須進行18次試驗。次試驗。3 3、采用擬水平法進行試驗設計、采用擬水平法進行試驗設計（2 2）舉例）舉例 一一 混合水平的正交試驗設計及極差分析混合水平的正交試驗設計及極差分析水平水平ABCD13501560652250880753300108085依據專業知識，重復水平較少的因素的較優水平。可選等水平正交表等水平正交表L9(34) 因素因

37、素試驗號試驗號AB CD試驗指標測試結果試驗指標測試結果11111145212222363133（2）2312421223155223（2）2140623112157313（2）2210832113593322147K1937065132K2708116061K3627432k131.023.321.744.0k223.327.026.720.3k320.724.710.7極極 差差10.33.75.033.3優方案優方案A3B1C1D3C因素第二水平進行了6次試驗依據依據k1、k2、k3、k4計算極差。計算極差。1 1、交互作用的判斷、交互作用的判斷交互作用：交互作用：在多因素試驗中，不僅因

38、素對指標有影響，而且因素之間的聯合搭配也對指標產生影響。因素間的聯合搭配對試驗指標產生的影響作用稱為交互作用。 二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析1 1、交互作用的判斷、交互作用的判斷判斷方法：判斷方法：判斷因素A和因素B的交互作用 ，通常各取兩水平，在每個組合水平上做試驗，根據試驗結果判斷。二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析A1A2B12535B23040A1A2B12535B230152 2、交互作用的處理原則、交互作用的處理原則二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析3 3、

39、交互作用的表頭設計、交互作用的表頭設計二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析3 3、交互作用的表頭設計、交互作用的表頭設計二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析 列號列號列號列號( )1234567（1）(1)325476（2）(2)16745（3）(3)7654（4）(4)123（5）(5)32（6）(6)1（7）(7)交互作用所在的列號交互作用所在的列號試驗因素所在的列號試驗因素所在的列號3 3、交互作用的表頭設計、交互作用的表頭設計二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析3 3、交互

40、作用的表頭設計、交互作用的表頭設計L27(313)二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析因因素素數數列列 號號123456789101112133AB(AB)1(AB)2C(AC)1(AC)2(BC)1(BC)24AB(AB)1(CD)2(AB)2C(AC)1(BD)2(AC)2(BC)1(AD)2D(AD)1(BC)2(BD)1(CD)14 4、交互作用的正交表設計舉例、交互作用的正交表設計舉例二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析 某試驗有3因素（A、B、C），每個因素2水平，試驗中考慮的交互作用為：AB、AC。試驗指

41、標為吸光度 ，要求吸光度越大越好。選表選表 應將交互作用看成因素 按5因素2水平選交互正交表：L8（27） 表頭設計表頭設計 L8（27）交互作用正交表表頭列號列號1234567因素因素ABA BCA CB C4 4、交互作用的正交表設計舉例、交互作用的正交表設計舉例二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析 明確試驗方案、進行試驗、得到試驗明確試驗方案、進行試驗、得到試驗4 4、交互作用的正交表設計舉例、交互作用的正交表設計舉例二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析計算極差、確定因素主次計算極差、確定因素主次 （包括交互作用

42、）（包括交互作用）4 4、交互作用的正交表設計舉例、交互作用的正交表設計舉例二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析優方案的確定優方案的確定 如果不考慮因素間的交互作用如果不考慮因素間的交互作用 ，優方案：，優方案：B2A2C1 交互作用交互作用AC比因素比因素C對試驗指標的影響更大。對試驗指標的影響更大。 故確定故確定C因素的優水平，需根據因素因素的優水平，需根據因素A，C水平搭配表確定水平搭配表確定 。4 4、交互作用的正交表設計舉例、交互作用的正交表設計舉例二二 有交互作用的正交試驗設計及極差分析有交互作用的正交試驗設計及極差分析優方案的確定優方案的確定

43、 試驗結果表 A1A2C1(y1+ y3)/2=(0.484+0.532)/2=0.508(y5+ y7)/2=(0.472+0.554)/2=0.513C2(y2+ y4)/2=(0.448+0.516)/2=0.482(y6+ y8)/2=(0.480+0.552)/2=0.516因素因素A，C水平搭配表水平搭配表 優方案：優方案：B2A2C2第四節第四節 正交試驗設計的方差分析正交試驗設計的方差分析一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式二二 等水平正交試驗方差分析等水平正交試驗方差分析 三三 混合水平正交試驗的方差分析混合水平正交試驗的方差分析一一 方差分析的思路、步

44、驟和格式方差分析的思路、步驟和格式1 1、方差分析的作用、方差分析的作用 極差分析法簡單明了，通俗易懂，計算工作量少。但這種方法不能將試驗中由于試驗條件改變引起的數據波動同試驗誤差引起的數據波動區分開來，也就是說，不能區分因素各水平間對應的試驗結果的差異究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗誤差引起的，無法估計試驗誤差的大小。此外，各因素對試驗結果的影響大小無法給以精確的數量估計，不能提出一個標準來判斷所考察因素作用是否顯著。為了彌補極差分析的缺陷，可采用方差分析。一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式2 2、方差分析的思路、方差分析的思路方差分析基本思想是將數據的總變

45、異分解成因素引起的變異和誤差引起的變異兩部分，構造F統計量，作F檢驗，即可判斷因素作用是否顯著。 F檢驗法是英國統計學家Fisher提出的，主要通過比較兩組數據的方差 ，以確定他們的精密度是否有顯著性差異。至于兩組數據之間是否存在系統誤差，則在進行F檢驗并確定它們的精密度沒有顯著性差異之后，再進行t檢驗。一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 用正交表Ln(rm)來安排試驗 ，試驗結果為yi（i=1,2,n）。（1）離差（偏差）平方和的求解）離差（偏差）平方和的求解： 總偏差平方和各列因素偏差平方和+誤差偏差平方和 令：則： 誤

46、差因素SSSSSST1niiTy21niiQy2211()niiTPynn2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyQPn一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 （1）離差平方和的求解）離差平方和的求解： 第j列所引起的離差平方和： 22211()()rrjiiiirTrSSKKPnnn1mTjjSSSS試驗因素的離差平方和SSA ：當j列安排的是試驗因素A時，SSj表示A因素引起的離差平方和。試驗誤差的離差平方和SSe：為所有空列所對應的離差平方和之和。交互作用的離差平方和SSAB： 等于所占列離差平方和之和，即；

47、12A BA BA BSSSSSS（）（）一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 （2）自由度的計算）自由度的計算：總自由度總自由度 ：dfTn1任一列離差平方和對應的自由度任一列離差平方和對應的自由度 ： dfjr1交互作用的自由度交互作用的自由度 ：（以：（以AB為例）為例）ndfABdfA dfBndfAB( r1 )dfjn若若r 2， dfABdfjn若若r 3， dfAB 2dfj= dfA dfB誤差的自由度：誤差的自由度： dfe空白列自由度之和空白列自由度之和=總自由度總自由度-各因素自由度（含交互作用）各因素

48、自由度（含交互作用）一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 （3）均方（平均利差平方和）均方（平均利差平方和MS）的計算）的計算： 因素A的均方： 交互作用AB的均方： 試驗誤差的均方：AAASSMSdfA BA BA BSSMSdfeeeSSMSdf一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 （3）均方（平均利差平方和）均方（平均利差平方和MS）的計算）的計算： 若某因素或交互作用的均方若某因素或交互作用的均方MSe，則應將它們歸入誤差列計算新的誤差、，則應將它們歸

49、入誤差列計算新的誤差、均方。均方。 例：若例：若MSA MSe 則：則：eeASSSSSSeeAdfdfdfeeeSSMSdf一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 （4）F值的計算值的計算： n F值等于各均方除以誤差的均方，例如： AAeMSFMSA BA BeMSFMSAAeMSFMSA BA BeMSFMS或或或或一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 （5）顯著性檢驗）顯著性檢驗： 給定一個顯著性檢驗水平a，現在F分布表中查出 ， n若 ，則因素A對試驗

50、結果有顯著影響 。n若 ，則交互作用AB對試驗結果有顯著影響。 (,)AAeFFd fd f(,)ABABeFFd fd f一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式3 3、方差分析的基本步驟、方差分析的基本步驟 （6）列方差分析表）列方差分析表 一一 方差分析的思路、步驟和格式方差分析的思路、步驟和格式4 4、格式、格式 表頭設計表頭設計A AB B試驗數據試驗數據列號列號1 12 2m my yi iy yi i2 2試驗號試驗號1 11 1y y1 1y y1 12 22 21 1y y2 2y y2 22 2n nr ry yn ny yn n2 2K K1j1jK K

51、1111K K1212K K1k1kK K2j2jK K2121K K2222K K2k2kK KmjmjK Kr1r1K Kr2r2K KrmrmK K1j1j2 2K K11112 2K K12122 2K K1k1k2 2K K2j2j2 2K K21212 2K K22222 2K K2k2k2 2K Kmjmj2 2K Kr1r12 2K Kr2r22 2K Krmrm2 2SSSSj jSSSS1 1SSSS2 2SSSSm mPQSSr1QPQSSyQnT yTjjijTTniiT2niir12ij121KP 二二 等水平正交試驗方差分析等水平正交試驗方差分析 二二 等水平正交試

52、驗方差分析等水平正交試驗方差分析 二二 等水平正交試驗方差分析等水平正交試驗方差分析 二二 等水平正交試驗方差分析等水平正交試驗方差分析 二二 等水平正交試驗方差分析等水平正交試驗方差分析 二二 等水平正交試驗方差分析等水平正交試驗方差分析 F值大小判斷因素主次順序值大小判斷因素主次順序：AB、B、 BC、A、C二二 等水平正交試驗方差分析等水平正交試驗方差分析 故優方案故優方案：B2A1C2A1A2B1(15+25)/2=20.0(9+16)/2=12.5B2(3+2)/2=2.5(19+8)/2=13.5C1C2B1(15+9)/2=12.0(25+16)/2=20.5B2(3+19)/2

53、=11.0(2+8)/2=5.0三三 混合水平正交試驗方差分析混合水平正交試驗方差分析 利用混合水平正交表的方差分析利用混合水平正交表的方差分析 三三 混合水平正交試驗方差分析混合水平正交試驗方差分析 利用擬水平法進行正交試驗的方差分析利用擬水平法進行正交試驗的方差分析 本章思考題本章思考題 鐵路混凝土結構物設計規范要求鐵路混凝土結構物須從耐久性出發進行設計, 同時需滿足使用年限和強度的要求。鐵路混凝土結構耐久性設計暫行規定中規定, 混凝土的耐久性一般包括混凝土的抗裂性、護筋性、耐蝕性、抗凍性、耐磨性及抗堿-骨料反應等。混凝土耐久性指標應根據結構的設計使用年限、所處的環境類別及作用等級確定。

54、根據京滬高鐵設計要求, 梁體高性能混凝土的56d 強度設計指標為C50（不低于50MPa）,混凝土抗凍性要求為F200W6（200凍融循環后質量損失不超過5%，強度降低不超過25%，動彈性模量降低不超過40%，抗滲性不低于0.6MPa）, 混凝土的電通量要求小于1000C（伏特米，=E.dscosa），混凝土出機坍落度控制在160-200mm之間， 30min 坍落度損失越小越好。 正交設計試驗時采用的配合比參數為水膠比0.32, 粉煤灰摻量1 5%, 礦粉摻量15%,現分別有砂料供應商、骨料供應商及外加劑供應商各三個，以設計強度、電通量、 30min 坍落度損失為試驗指標，指標的重要程度相同

55、，確定出試驗的優組合，并篩選出供應商。 本章思考題本章思考題試驗方案及結果附錄附錄 試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據誤差的來源及分類試驗數據誤差的來源及分類 因偶然因素造成的以不可預知的規律變化著的誤差，絕對誤差時因偶然因素造成的以不可預知的規律變化著的誤差，絕對誤差時正時負，時大時小。當試驗次數足夠多時，誤差的平均值趨向于零正時負，時大時小。當試驗次數足夠多時，誤差的平均值趨向于零 . 一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規律起作用一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規律起作用而形成的誤差而形成的誤差.它不能通過多次試驗被發現，

56、也不能通過取多次試驗值它不能通過多次試驗被發現，也不能通過取多次試驗值的平均值而減小的平均值而減小. 實驗人員粗心大意造成實驗人員粗心大意造成, 一種顯然與事實不符的誤差一種顯然與事實不符的誤差. 附錄附錄 試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據的精準度試驗數據的精準度(精密度、正確度、準確度精密度、正確度、準確度)p反映了隨機誤差大小的程度反映了隨機誤差大小的程度p在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度 極差（極差（range） maxminRxxR，精密度，精密度附錄附錄 試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據的精準度試驗數據的精準度(精密度、正確度、準確度精密度、正確度、準確度) 標準差（標準差（standard error） 222111()() /nnniiiiiixxxxnnn222111()() /11nnniiiiiixxxxnsnn標準差標準差，精密度，精密度附錄附錄 試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據的精準度及誤差常用統計檢驗試驗數據的精準度試驗數據的精準度(精密度、正確度、準確度精密度、正確度、準確度) 方差（方差（variance） 標準差的平方：標準差的平方：n樣本方差（樣本方差（