1、數量關系數量關系 第一部分第一部分 向量代數向量代數第二部分第二部分 空間曲面和曲線空間曲面和曲線在幾何空間中:空間空間對象對象 點點, , 線線, , 面面基本基本工具工具 ：向量代數向量代數 坐標坐標, , 方程組方程組, ,目錄方程方程目錄第一節向量及其線性運算向量： 既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。向量表示：1M2M a21MM模長為1的向量.模長為0 的向量.0|a21MM| |向量的模： 向量的大小.或或1、概念單位向量：零向量:ae1、概念自由向量： 與起點無關的向量，可平行移動.相等向量： 大小相等且方向相同的向量.ab負向量： 大小相等但方向相反的向量.a

2、a a向徑： 空間直角坐標系中任一點M與原點構成的向量. 2、兩非零向量的關系相等： 大小相等且方向相同的向量.ab ab記為平行或共線： 方向相同或相反的兩個非零向量. / /ab記為垂直： 方向成90夾角的兩個非零向量. ab記為注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以認為零向量與任何向量都平行或垂直。ababb2、兩非零向量的關系共面： 把若干個向量的起點放到一起，若它們的終點和公共起點在同一平面上，則稱這些向量共面.abc1、向量的加減法 加法：cba abc（平行四邊形法則）特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向bac|bac （平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）向量的加

3、法符合下列運算規律：交換律：.abba 結合律：cbacba )().(cba 加負律：. 0)( aa(2) 減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2、向量與數的乘法 定義：設設 是是一一個個數數，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規規定定為為 , 0) i|aa , 0) ii0 a , 0) iii|aa aa2a21 數與向量的乘積符合下列運算規律：結合律：)()(aa a)( 分配律：aaa )(baba )(向量的加法及數乘統稱為向量的線性運算。例1 化簡 53215abbba解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例2 試用向量方

4、法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與 平行且相等,BC結論得證.ABCDMab同方向的單位向量，表示與非零向量設aea按照向量與數的乘積的規定，aeaa|aeaa|向量單位化：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.(2)單位向量的表示0.ababa定理設向量，那么向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數 ，使(3) 兩個向量的平行關系（共線定理）證:充分性顯然； 下面證明必要性,/ab設設,ab 取取取正值，取正值，同向時同向時與與當當 ab取負值，取負值，反向時反向時與與當當 ab.ba故故 有有.

5、ba則則此此時時與與同同向向aa又又aab ,b.的唯一性的唯一性再證明再證明 ，設設ab ，又設又設ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即證畢注：此定理是建立數軸和坐標的理論依據.,OxiO確確定定了了數數軸軸及及單單位位向向量量設設點點 Oix,P對于軸上任一點對于軸上任一點P,OP對對應應一一個個向向量量,/xiOP數數所所以以，必必存存在在唯唯一一的的實實由由于于 ,.OPxiOPx 使使則則與與實實數數 一一一一對對應應向量向量點點Pi xOP x實數實數 ( 的坐標）的坐標）P. ixOPxP 的的坐坐標標為為1x1、坐標系的構成坐標原

6、點：定點O坐標軸：以O為原點的三條相互垂直的數軸 橫軸( 軸)、縱軸( 軸)、豎軸( 軸)三個坐標軸的正方向要符合右手系：以右手握住 軸，當右手的四個手指從正向 軸以 角度轉向正向 軸時，大拇指的指向是 軸的正向.x橫軸y縱軸z豎軸 oxyzz這三條坐標軸就構成了一個空間直角坐標系，記為Oxyz.xyz2xyozxOy面yOz面zOx面空間直角坐標系共有八個卦限2、點、向量與坐標設 是以坐標原點為起點，M為終點的向量， 在空間直角坐標系Oxyz的三條軸的正方向分別取三個單位向量 稱為基本單位向量.M xyzoRPAQ aOMOAAM OAOR OPPAOR OPOQOR, , i j kikx

7、iy jzk( , ,R)x y z稱有序數組 為向量 或點M的坐標，簡記為 或 .( , , )x y zMOM 點向量( , , )x y z( , , )ax y zaaa( , , )M x y zj加法),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 1、向量的加減法與數乘;kajaiazyx ;kbjbibzyx 減法數乘2、平行向量的坐標表示式abba /( ,)(,)

8、xyzxyzb b ba a azzyyxxababab 若某個分母為0，則相應的分子也為0解例3 求解以向量為未知元的線性方程組byxayx24=(3,1,2),=(5, 1,4).-ab其中 解二元一次方程組，易得).(21,2bayabx ,a b以的坐標表示式代入 得),6 , 3, 7()2 , 1 , 3()4 , 1, 5(2 x).1, 1 , 1()4 , 1, 5(21)2 , 1 , 3(21 y例4 已知兩點A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及實數 -1，在直線AB上求點M，使.MBAM 解),(111zzyyxxAM ),(222zzyyxxMB

9、設),(zyxM為直線上的點，ABMxyzo注意：注意：點的坐標是向徑的坐標，向量的坐標是端點坐標之差。由題意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為中點時，為中點時，,221xxx ,221yyy .221zzz 向量的模:1、向量的模與兩點間的距離公式:有有如如下下圖圖所所示示作作設設向向量量,),(rOMzyxr ),(zyxMxyzoPQRNKHOROQOPOMr 按勾股定理可得.|222OROQOPO

10、Mr |,| |,| |,|zORyOQxOP 有有,kzORj yOQi xOP 由由222.|rxyz于是得向量模的坐標表示式兩點間的距離公式:),(),(222111zyxBzyxA和和點點設設有有點點由由的的模模即即向向量量的的距距離離和和點點則則點點.|ABABBA),(),(111222zyxzyxOAOBAB ),(121212zzyyxx 兩兩點點間間的的距距離離即即得得BA,.)()()(|212212212zzyyxxABAB 解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222

11、32MM,13MM 原結論成立.解OAOBAB )1 , 3 , 5()5 , 0 , 1( ).4 , 3, 4( .414)3()4(|222 AB).4 , 3, 4(411| ABABe于是于是解設P點坐標為),0 , 0 ,(x因為因為P在在x軸上，軸上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 2、方向角與方向余弦空間兩向量的夾角的概念:, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義向量與一軸或

12、空間兩軸的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定它們的夾角可在0與 之間任意取值. 0() 非零向量與三條坐標軸正向的夾角稱為方向角.方向角顯然有顯然有xyzo 1M 2M PQR , .r 記記非非零零向向量量 的的三三個個方方向向角角為為 ,0 ,0 .0 方向余弦由圖分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 方向余弦通常用來表示向量的方向.),(zyxr 令令向量的方向余弦方向余弦的特征1coscoscos222 re|rr ).cos,cos,(cos 特殊地：單位向量的方向余弦為例8 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 計算解 (1 3,53,1 1)A

13、B ).0 , 2 , 2( 222 |( 2)202 2.AB ; 0cos,22cos,22cos 于是于是.2,4,43 從而從而解,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos 設設2P的坐標為的坐標為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐標為的坐標為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 3、向量在軸上的投影uMOM e ,()Oeu一般地 設點 及單位向量 確定 軸 如圖,(),Prj( ) . uurOMrMuuMMMuOMruOMeru

14、rr任給向量作再過點作與 軸垂直的平面交 軸于點點叫點在 軸上的投影 則向量稱為 在 軸上的分向量設則數 稱為 在 軸上的投影 記作或向量在軸上的投影是 數(,)xyzaOxyza aaa在直角坐標系中的坐標為,則 在三坐標軸上的投影分別為向量在三坐標軸上的投影= Prj,= Prj,= Prjxxyyzzaaaaaa ,xyzxyzaaaaaa或記作 向量投影的性質( )=|cos( , )uiaaa u()( )( )+=+.uuuiiabab()( )=.uuiiiaa解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為

15、為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.一、向量概念1、概念2、兩非零向量的關系二、向量的線性運算1、向量的加減法2、向量與數的乘法三、空間直角坐標系1、坐標系的構成2、點、向量與坐標四、利用坐標作向量的線性運算1、向量的加減法與數乘2、平行向量的坐標表示五、向量的模,方向角,投影1、模與距離公式2、方向角與方向余弦3、向量在軸上的投影第二節向量的內積 外積與混合積其中其中 表示表示 與與 的夾角的夾角. cos|sFW 啟示啟示實例實例兩向量作這樣的兩向量作這樣的運算可以得到一個運算可以得到一個數量數量. .s F Fs1M2M記為 . 為 與 的內積、點積或數量積，記作 或

16、, 其中 為向量 與 的夾角，( , ) |cosa ba ba b 定義定義設 和 是兩個向量，則稱abab|cosa b a b( , )a bab ab,a b(0) 即|cosPrj,abb|cosPrj,baa|Prjba bba |Prj.aab注注 兩向量的內積等于其中一個向量的模和另一個兩向量的內積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積向量在這向量的方向上的投影的乘積. .內積的內積的性質性質：2000( ).aba bab 當當 且且 時時，)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0

17、cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 內積符合下列運算規律：內積符合下列運算規律：(1) 交換律：;abba (2) 分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 若 、 為數，則 ).()()(baba (3) 若 為實數，則,kajaiaazyx kbjbibbzyx ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 內積的坐標表達式內積的坐標表達式設在空間直角坐標系Oxyz中， 為基本單位向量，, , i j k cos|baba ,|cosb

18、aba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式由此可知由此可知兩向量垂直的兩向量垂直的充要條件：充要條件：00 xxyyzzaba ba ba ba b解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 (3)|Prjba bbaPrj3.|ba bab .43 證cacbbca )()()()(cacbcbca ()b ca ca c 0 cacbbca )()(啟示啟示實例實例兩向量作這樣的兩向量作這樣的運算可以得到一個運算可以得到一個

19、向量向量. .|FOQM sin|FOP LFPQO 定義定義設 和 是兩個向量，若向量 滿足：ab, ca cb 則稱 為 與 的外積、叉積或向量積，記作 .ab, , a b c三個向量組成右手系c| |sin,ca ba bcababc特殊地，當兩個向量中有一個是零向量時，規定 .0ab外積的外積的性質性質：. 0)1( aa)0sin0( (2)00 0.ababab 當 且 時，)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 ab(3) |sinSa b 外積符合下列運算規律：外積符合下列運算規律：(1).a

20、bba (2) 分配律：()abcacbc).()()(bababa (3) 若 為實數，則()abcabacabab ,kajaiaazyx kbjbibbzyx ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 外積的坐標表達式外積的坐標表達式設在空間直角坐標系Oxyz中， 為基本單位向量，, , i j k還還可用三階行列式表示可用三階行列式表示ab由上式也可推出由上式也可推出()()()yzzyzxxzxyyxaba ba b i

21、a ba bja ba bkyzxyxzxyzyzxyxzxyzijkaaaaaaijkaaabbbbbbbbb,(0,0,0)yzxyxzyzxyxzaaaaaabbbbbb 0ababyzxxyzaaabbb例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kj|ccec ABC解D(0,4, 3)AC (4, 5,0)AB 三角形ABC的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 1 |2SBD| AC

22、|521225BD | 5.BD 例4例例 5 5 設向量設向量pnm,兩兩垂直，符合右手規則，且兩兩垂直，符合右手規則，且4| m，2| n，3| p，計算，計算pnm )(.解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，定義定義設 是三個向量，則稱數量積 為向量 的混合積，記作 或 . , ,a b c()a bc, ,a b c()abc abc ()0 ()0()abcabcabc , ,a b c共面ababc設在空間直角坐標系Oxyz中， 為基本單位向量，, , i j k(,)xyza

23、aaa(,)xyzbbbb(,)xyzcccc()()abca b c zyxzyxzyxcccbbbaaa ()yzxyxzxyzyzxyxzaaaaaaijkc ic jc kbbbbbbyzxyxzxyzyzxyxzaaaaaacccbbbbbb, ,0 xyzxyzxyzaaaa b cbbbccc共面混合積的混合積的坐標表達式坐標表達式混合混合積積的的性質性質： 的絕對值表示以向量 為棱的平行六面體的體積.acbba ()()|cosabcabcab c , ,a b c|cos|Vabc ()()()abcbcacab ()()()baccbaacb VV若 組成右手系（如上圖），

24、則, ,a b c解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2),(2cba . 4 例例6 6解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.212121(,)ABxxyyzz| ),( |61ADACABV 313131(,)ACxxyyzz414141(,)ADxxyyzz14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負

25、號的選擇必須和行列式的符號一致式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.例例 8 已知向量已知向量 , , , aAB 解bAC 2 ADB(1) 求證求證;|2|2bbabaSADB (2) 當當 與與 的夾角的夾角 為何值時為何值時ADB 的面積最大的面積最大?ab ADCB(1)|21BDADSADB aa1|cos| |sin2a21| sin|cos|.2 a bab | |cos|,sin| | baba a bab |cos|,| , |sinbaba | |212babababaaSADB . |2|2bbaba (2)ADBSa21| sin|cos|2 a 21| |sin2

26、 |,4 當當 , 即即 或或 時時, ADB 的面積最大的面積最大.4 sin21 3 4 ab0ab(,)xyzaaaa(,)xyzbbbb(,)xyzccccab0a b0 xxyyzza ba ba b, ,a b c共面幾何關系幾何關系向量的向量的代數運算代數運算坐標關系坐標關系設三個非零向量 0 xyzxyzxyzaaabbbccc()0abc yzxxyzaaabbb第三節平面及其方程取定三維空間中的一個直角坐標系，如果空間中的幾何圖形 S 與三元方程 F( x, y, z ) = 0 具有下述關系：(1) 圖形 S 上的任意點的坐標都滿足此方程，則 F( x, y, z ) =

27、 0 叫作 S 的方程的方程, S 叫作方程方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形的圖形.(2) 所有坐標滿足此方程的點都在圖形 S 上,圖形及其方程則必有 ，從而xyzo0MM設平面通過點 ，并且垂直于非零向量 ，下面建立平面的方程. 設平面上的任一點為 ， ),(zyxMnMM 000 nMMnMxyz0000(,)nA B C( ,) 稱垂直于平面的非零向量 為該平面的法向量M MOMOMxxyyzz00000(,) 000()()()0A xxB yyC zzn 平面的點法式方程由于因此xyzo解( 3,4, 6)AB ( 2,3, 1)AC 取ACABn (14,9, 1),

28、所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得. 015914 zyxABCn132643 kji1(1, 1,1),n 2(3,2, 12)n 取法向量21nnn (10,15,5), , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得. 0632 zyx所求平面方程為解二平面的法向量分別為由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0AxBy CzD平面的一般方程法向量nA B C( ,) （三元一次方程）平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點.0 DCzByAx0AxByCzxyzo, 0)2( A

29、, 0, 0DD平面通過x軸；平面平行于x軸.0,B 類似地可討論： ), 0(CBn x垂垂直直于于 軸軸，0ByCzD0,C 0,AxCzD0,AxByD平面平行于或通過y軸；平面平行于或通過z軸.xyzo, 0)3( BA平面平行于xOy坐標平面.類似地可討論：0,ACCDz 即即xyzo0,BC平面平行于yOz坐標面.平面平行于zOx坐標面；（常數）,DyB 即即,DxA 即即,DDDabcABC令代入1 czbyaxx軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距xyzocba0AxBy CzD可得平面的截距式方程(4)0,0,0,0ABCD設 是空間中不在同一直線上的三點，則

30、可以建立過這三點的平面方程：則向量 共面，從而混合積設平面上的任一點為 ， ),(zyxMMxyzMxyzMxyz111122223333(,),(,),(,) M M M MM M11213 0 平面的三點式方程即M M M MM M11213, xxyyzzxxyyzzxxyyzz1112121213131310設此平面方程為, 0 DCzByAx由平面過原點知 .D0 0236 CBA(4, 1,2),n 024 CBA,32CBA . 0322 zyx故所求平面方程為解(6, 3,2) 因平面過點，故有例3( , , )nA B C法向量1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平

31、面的夾角.通常規定平面夾角為銳角，即 ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxAnA B C1111(,), 2222(,),nA B C 定義02 按照兩向量夾角余弦公式有兩平面位置特征：21)1( 1212120.A AB BC C21)2( /11112222.ABCDABCD兩平面夾角余弦公式121212cos|cos,| n nn nnn 12(3) 重重合合11112222.ABCDABCD120n n121212222222111222|A AB BC CABCABC120nn例4210 xyz 求求兩兩平平面面解2222231)1(2)1(|3112

32、01|cos 160 故夾角.601arccos 310.yz和和的的夾夾角角12( 1,2, 1),(0,1,3)nn 例5 一平面通過兩點M1(1,1,1)和M2(0,1,1)，且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.:, , )nA B C 其其法法線線向向量量為為（， 解 設所求平面為：A(x1)+B(y1)+C(z1)=01 nn1212( 1,0, 2),M MM Mn 在在平平面面上上 有有10,(1,1,1)xyzn 又又因因，已已知知平平面面其其，,由由已已知知兩兩平平面面垂垂直直，則則其其法法線線向向量量亦亦垂垂直直 20AC2 ,AC BC 解解得得 20 xyz化化簡簡

33、得得為為所所求求平平面面. .1 nn 又又由由， 0,ABC即即20 0ACABC (1)(1)(1)0:A xB yC z代代入入解解之之得得2(1)(1)(1)0 xyz12,20M MnAC 由由有有例5 一平面通過兩點M1(1,1,1)和M2(0,1,1)，且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.1 0|Prj| nPP1010Prj nPP nnPP設 是平面 外一點，點 到平面 的距離為d，則1111(,)P xy z1010|cos,|dPPPP n 1PNn0P P xyz0000(,):0AxBy CzDP0 d101010cos,| PP nPP nPPn10|PP nd

34、n 010101222|()()()|A xxB yyC zzdABC000111222|()|AxByCzAxByCzABC1 0010101(,)PPxx yy zz ),(CBAn D AxByCzDdABC000222| 0111 DCzByAx)(1 P由可得點到平面距離公式1.平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）2.兩平面的夾角.3.點到平面的距離公式.點法式方程.一般方程.截距式方程. （注意兩平面的位置特征）三點式方程.思考題,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面重合.221042220 xyzxyz 1 11 1. .問問

35、平平面面：與與平平面面：的的位位置置關關系系？解解,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k設平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V1 11,3 2abc由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）解,61161cba 化簡得令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc 11 1 11666t tt 代入體積式1,6t 666 666xyzxyz 或所求平面方程為第四節空間直線方程xyzo1 2 定義空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221

36、111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程L直線L的方程為A B CA B C111222(,與與不不成成比比例例) )方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.則必有 ，從而設直線L通過點 ，并且平行于非零向量 ，下面建立直線L的方程. 設直線上的任一點為 ， ),(zyxMMxyz0000(,)sm n p(, ,) 稱平行于直線的非零向量 為該直線的方向向量M MOMOMxxyyzz00000(,) s 直線的點向式方程或對稱式方程由于因此xyzosL0MM0M Ms 00M Ms pzznyymxx000 2,0 xy 25002xyz注在直線的點向式方程中某些分母為零時, 即平行于

37、z軸的直線；25032xyz表示5322yzx 即平行于yOz面（在平面x=2上）的直線.其分子也應理解為零.例如表示而tpzznyymxx 000令直線的參數方程可得pzznyymxx000 已知直線的點向式方程 ptzzntyymtxx000222(0)mnp解故可取直線的方向向量因此所求直線方程為234.4-13xyz)4 , 3, 2( A例1 一直線過點，且與直線平行，求其方程.依題意,所求直線與已知直線平行,1(4 -1 3)s ，已知直線的方向向量為1(4, 1, 3),ss 124-13xyz解 取已知平面的法向量124231xyz則直線的對稱式方程為2340 xyz垂直的直線

38、方程. 為所求直線的方向向量. (2,3,1)n n例2 求過點(1,2 , 4) 且與平面解設所求直線的方向向量為(, ,),sm n p 根據題意知,1ns ,2ns 取21nns ( 4, 3, 1), .153243 zyx所求直線的方程例4 用對稱式方程及參數方程表示直線：.043201 zyxzyx解 在直線上任取一點),(000zyx取10 x,063020000 zyzy解得2, 000 zy點坐標),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直取21nns (4, 1, 3), 對稱式方程,321041 zyx參數方程.3241 tztytx312111 kji1L2

39、L定義直線:1L1111(,)sm np 直線:2L兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角.通常規定直線夾角為銳角，即 . 2222(,)sm np 1s2s 02 111111xxyyzzmnp222222xxyyzzmnpMxy z1111(,)Mxy z2222(,)按照兩向量夾角余弦公式有兩條直線位置特征：兩直線夾角余弦公式m mn np pmnpmnp121212222222111222| 21)1(LL 1212120.m mn np p21)2(LL/111222.mnpmnp121212cos|cos,| s sssss 120ss120ss12(3) LL與與共共面面1212

40、,s s M M 三個向量共面 xxyyzzmnpmnp212121111222012(4)LL 與與異異面面1212,s s M M 三個向量不共面 xxyyzzmnpmnp2121211112220定義直線與其在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角.,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAxsm n p(, ,) nA B C( ,) n s ,2 由由圖圖知知ns此夾角也為銳角，即 . 02sincos,n s L222222|AmBnCpABCmnp 直線與平面的夾角公式直線與平面的位置特征： L)1(.ABCmnp L)2(/0n s sincos, =n sn

41、sns 按照兩向量夾角余弦公式有0ns 0.AmBnCp解(1, 1,2),n (2, 1,2),s 222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角解 先作一過點M且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點N,令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得 ,73 t交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為MNMN2133(2,1,3)77712 624(,),777 所求直線方程為.431122 zyx設 是過點 的一條直線，直線L外一點 到直線L的距離為

42、d，則 LMxyz1111(,)d01|sM MdsxxyyzzLmnp000 ：Mxyz0000(,)Mxyz0000(,)s Mxyz1111(,)|Sds01|sM M 和 分別是 和 的方向向量，則 和 之間的距離設有兩條異面直線 和 Mxyz1111(,)d212121|()|M MssssxxyyzzLmnp1111111 ：Mxyz2222(,)M2M1xxyyzzLmnp2222222 ：L1L2smnp1111(,) smnp2222(,) L1L2L1L2s1 s2 L1L221ss 2121|Prj|ssdM M定義通過給定直線的所有平面的全體稱為平面束. 0022221

43、111DzCyBxADzCyBxA設直線L的方程為 12( , 0)不不全全為為則通過直線L的平面束方程為1111122222()()0A xB yC zDA xB yC zD 11 111122222()0A xB yC zDA xB yC zD 表示除了平面 之外的平面束中的任一平面.22220A xB yC zD當 時，即例7 已知直線xyzLxyz10:10 求L在平面 上的投影方程.xyz:0 解直線L在平面 上的投影即是過L且垂直于 的平面 與 的交線. L 設通過直線L的平面束方程為xyzxyz 1(1)0 整理得xyz (1)(1)( 1)( 1)0 1 1 其中 是待定系數.

44、 要使 ，即 1 (1) 1(1) 1( 1) 10 解得 . 1 即當 時，平面束方程表示平面 ， 1 1 yz2220 代入平面束方程得 ，即yz1:10 所以直線L在平面 上的投影方程為xyzyz010 xyz:0 一、空間直線方程一般式對稱式參數式1111222200A xB yC zDA xB yC zD 000 xxmtyyntzzpt 000 xxyyzzmnp222(0)mnp1111111,xxyyzzLmnp：直線1212120m mn np p2222222,xxyyzzLmnp：111222mnpmnp二、線與線的關系二、線與線的關系直線夾角公式:1111(,)smnp

45、 2222(,)smnp 120ss12LL 12/LL120ss1212cosssss 0,AxByCzDmnpABC平面 :L L / 夾角公式：0m AnBpCsin ,xxyyzzmnp三、面與線間的關系三、面與線間的關系直線 L :(,)nA B C (, , )sm n p 0sn 0s n snsn L思考題思考題解答(2, ,6),sm np 且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故當 時結論成立, 0 m6 p, 0 n第五節曲面及其方程求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的222)3()2() 1(z

46、yx07262zyx化簡得即說明說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例引例: :顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設軌跡上的動點為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 定義1 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的方程的方程, 曲面 S 叫做方程方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形的圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :(1)

47、 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖 ). 故所求方程為例1 求動點到定點),(zyxM),(0000zyxM特別,當M0在原點時,球面方程為解 設軌跡上動點為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡方程xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例2 研究方程042222yxzyx解 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都

48、可通過配方研究它的圖形.表示怎樣曲面半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 5)2() 1(222zyx定義2 一條平面曲線 繞其平面上一條定直線定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸. .例如例如 :該定曲線稱為母線. .建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為, ),(zyxM當繞 z 軸旋轉時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM( , , )M x y z1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點轉到0),(zyfozyxC思考：思考：當曲線 C 繞

49、 y 軸旋轉時，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例3 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z軸旋轉時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyMxy例4 求坐標面 xoz 上的雙曲線22221xzac分別繞 x軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解 繞 x 軸旋轉222221xyzac繞 z 軸旋轉222221xyzac這兩種曲面都叫作旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z單葉雙葉xyz引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方

50、程222Ryx解:在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間222Ryx過此點作柱面. .對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面oC在圓C上任取一點 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點其上所有點的坐標都滿足此方程,xyzxyzol定義3 平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準線, l

51、叫做母線.xyzooxzy2l一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面橢球面、拋物面拋物面、雙曲面雙曲面、錐面錐面的圖形通常為二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系

52、數不全為 0 )zyx1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當 ab 時同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc時(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數)z為旋轉橢球面;為球面.2.2.拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222z

53、yx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.( p , q 同號)zyx= xt平面上的截痕是拋物線所有拋物線的頂點也組成一條拋物線.p, q同正p, q同負3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線:

54、 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面4. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.xyz1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉曲

55、面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax5x922 yx1 xy斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸

56、的圓柱面平行于 z 軸的平面1. 指出下列方程的圖形:第六節空間曲線及其方程 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：例1 方程組方程組 表示怎樣的曲表示怎樣的曲線？線？ 6332122zyxyx解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.例2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？