1、電電 路路 分分 析析 基基 礎礎 電路分析基礎第二章第一節第一部分 電阻電路分析 一、集總電路中電壓、電流的約束關系 二、運用獨立電壓、電流變量的分析方法 三、大規模電路分析方法概要 四、分解方法及單口網絡 五、簡單非線性電阻電路的分析 電路分析基礎課程內容介紹電路分析基礎第二部分：第二章 目錄第二章 運用獨立電流電壓變量 的分析方法1 網孔分析法 5 割集分析法2 節點分析法 6 回路分析法3 含運算放大器 7 線性電阻電路解答的 的電阻電路 存在性和唯一性定理4 樹的概念電路分析基礎第一部分：第二章 回顧回 顧：上一章我們已經知道，求解電路中的支路電流和電壓可以分兩步進行，使獨立變量的個

2、數從2b - bs個減少為b個。第一步中，如何使所需的聯立方程少于 b 個？如何來選擇獨立變量（電流或電壓）的個數？b條支路、m個網孔、n個節點m = b (n 1)，n-1個電壓變量，m個電流變量電路分析基礎第一部分：第二章主要內容 在引入獨立變量概念后得出“網孔分析”、“回路 分析”、“節點分析”、“割集分析”等四種電路一 般分析方法。本章主要內容： 本章將圍繞以上這兩個問題進行討論。 其中，節點分析法節點分析法應用比較廣泛，便于計算機編程計算，是本章學習的重點本章學習的重點。電路分析基礎第一部分：2-1 1/23問題：怎樣的一組電流變量可以選作為第一步求 解的對象呢？2-1 網孔分析法（

3、1）所選電流必須是一組獨立的變量（1）第一步需要確定b個支路中的b-(n-1)個 獨立的電流變量； （2）第二步求解剩下的(n-1)個電流。結果： （2）必須是完備的集合（complete set）結論：電路分析基礎第一部分：2-1 2/23獨立性：所謂的獨立變量，也就是互相不相關的一組變量，或者說其中任何一個不能用組內其它變量的線性組合來表示。完備性：所謂一組變量具有完備性，是指電路中只要將這組變量求解后，其它所有的未知變量皆能通過這些變量獲得。網孔電流：沿著網孔邊界流動的假想電流。網孔電流是一組完備網孔電流是一組完備的獨立電流變量！的獨立電流變量！i1i5i2i3R1R5R2R3 +us1

4、 + us2i4i6R4R6+ us4+ us3im1im2im3電路分析基礎第一部分：2-1 3/23（1）網孔電流不能用KCL聯系。對網孔電流經過的 任何節點同時流進和流出。（2）一旦得到網孔電流，所有支路電流可以根據 KCL求解。 網孔電流是一種完備的獨立電流變量！網孔電流是一種完備的獨立電流變量！理由：i1i5i2i3R1R5R2R3 +us1 + us2i4i6R4R6+ us4+ us3im1im2im3電路分析基礎第一部分：2-1 4/23舉例：圖2-1中電路有10條支路、6個節點、3個網孔，設網孔 電流依次為im1、im2、im3，電流方向用虛線在圖中標示。從圖中也不難看出：電

5、路中所有支路的電流都可以用網孔電流表示。同時屬于兩個以上網孔的元件的電流，根據對應網孔電流的順序方向而加或減。i1i5i2i3R1R5R2R3 +us1 + us2i4i6R4R6+ us4+ us3im1im2im3電路分析基礎第一部分：2-1 5/23網孔電流方程：根據KVL和支路VAR所獲得的方程。同樣不難看出：與支路電流參考方向一致的網孔電 流取正，相反的取負。支路對應元件上的電流 是經過該支路的對應網孔電流的代數和。 那么，如何列出求解網孔電流所需的方程組呢？那么，如何列出求解網孔電流所需的方程組呢？ 其實這是很簡單的事，因為網孔本身是基本的回路，可以根據KVL來列方程。支路電流用網

6、孔電流表示即可。電路分析基礎第一部分：2-1 6/23以圖2-1為例：（2）對網孔用KVL方程得u1 + u5 + u4 + us4 us1 = 0 u3 u4 + u6 us4 us3 = 0u2 + u5 + u6 us2 = 0i1 = im1， u1 = R1i1 = R1im1i2 = im2， u2 = R2i2 = R2im2i3 = im3， u3 = R3i3 = R3im3i4 = im1 im3， u4 = R4i4 = R4im1 R4im3i5 = im1 + im2， u5 = R5i5 = R5im1 + R5im2（1）由網孔電流的定義及元件VAR得i6 = i

7、m2 + im3， u6 = R6i6 = R6im2 + R6im3i1i5i2i3R1R5R2R3 +us1 + us2i4i6R4R6+ us4+ us3im1im2im3電路分析基礎第一部分：2-1 7/23R1im1+R5im1+R5im2+R4im1 R4im3+us4us1=0（2-1）R3im3+R4im3-R4im1+R6im3+R6im2us4us3=0R2im2+R5im2+R5im1+R6im2+R6im3 us2=0（3）將元件VAR及網孔電流代入得（2-2） R4im1+R6im2+（R3+R4+R6）im3= us4+us3 R5im1+（R2+R5+R6）im2

8、+R6im3= us2（R1+R5+R4）im1+R5im2R4im3= us1us4（4）整理后得電路分析基礎第一部分：2-1 8/23（2-3）R31im1+R32im2+R33im3= us33R21im1+R22im2+R23im3= us22R11im1+R12im2+R13im3= us11（5）進一步整理后得自電阻：R11、R22、R33。它們分別是各個網孔內所 有電阻之和，如： R11= R1+R5+R4 ；互電阻：R12、R13、R32。網孔之間由共同電阻 支路決定的電阻，無共同電阻者為零；電路分析基礎第一部分：2-1 9/23互電阻的極性：由彼此網孔電流流經這些支路的方 向

9、是否一致決定，一致為正，相反為負；互電阻的對稱性：R12=R21、R32= R23 如果各網孔電流方向統一定為順時針或逆時針方向，則互電阻都是網孔間共有電阻總和的負值。這對于網孔分析法而言，處理起來更為簡單，幾乎可以由電路直接寫出網孔方程。電路分析基礎第一部分：2-1 10/23R11im1+R12im2+R1mimm= us11R21im1+R22im2 +R2mimm=us22Rm1im1+Rm2im2+Rmmimm= usmm（2-4）一般網孔電流方程：有m個網孔的電路，按照相同的 規則可得m個方程如下：電壓升：us11、us22、us33 。網孔內電壓源的代數和， 與網孔電流關聯方向相

10、反（供電）的取正， 關聯方向一致（耗電）的取負。電路分析基礎第一部分：2-1 11/23網孔分析法：以網孔電流作為獨立變量的分析方法。網孔方程的矩陣表示： 網孔分析法只適用于平面電路！RmxmImx1 = Umx1R11 R12 R1mR21 R22 R2m.Rm1 Rm2 Rmmus11us22usmm=im1im2 imm自電阻互電阻電壓升網孔電流電路分析基礎第一部分：2-1 12/23例2-1 用網孔分析法求解圖2-2電路的各支路電流。 已知R1 = 5、R2 = 10 、R3 =20 。圖2-2 例2-1R1R3R2 +20V + 10VIm1Im2（a）i1i3i2R1R3R2 +2

11、0V + 10V（b）電路分析基礎第一部分：2-1 13/23解：該電路有兩個網孔，首先在每一個網孔內假設一個網孔電流，如圖2-2(a)所示的Im1和Im2。它們的參考方向的任意假定的，現假定它們都是順時針方向。注意： R12 = R21且為負值，這是因為兩網孔電流以不同的方 向流過公共電阻20 的緣故。第一網孔的自電阻： R11 = R1 + R3 = 25第一和第二網孔的互電阻： R12 = R21 = 20第二網孔的自電阻： R22 = R2 + R3 = 30Im1Im2i1i3i2R1R3R2 +20V + 10VR1 = 5、R2 = 10 、R3 =20 電路分析基礎第一部分：2

12、-1 14/23Us11 = 20V又Us22 = 10V注意： Us11、Us22分別表示第一網孔和第二網孔內沿繞行方向（網孔電流方向）電壓源電壓升的代數和。 沿Im1方向，電壓源20V電壓從負極到正極，確為電壓升，故Us11為 +20V； 沿Im2方向，電壓源10V電壓從正極到負極，確為電壓降，故Us22為 10V。Im1Im2i1i3i2R1R3R2 +20V + 10VR1 = 5、R2 = 10 、R3 =20 電路分析基礎第一部分：2-1 15/23得網孔方程為：25Im1 20 Im2 = 20 20 Im1 + 30Im2 = 10解Im1 及Im1為：Im1 = 20 20

13、10 30 25 20 20 30=2030 ( 10)( 20)2530 ( 20)( 20)= 1.143AIm2 = 25 20 20 10 25 20 20 30= 2510 ( 20)( 20)2530 ( 20)( 20)= 0.429A電路分析基礎第一部分：2-1 16/23設各支路電流I1、I2 、I3如圖2-2(b)所示，顯然可得I1 = Im1I2 = Im2I3 = Im2 Im1 各支路電流均可以用網孔電流來表示所示。以求得的網孔電流值代入，得I1 = 1.143AI2 = 0.429AI3 = 0.714A注意：用網孔分析法計算的結果不能用KCL來檢驗，因為各支路電流

14、均通過網孔電流加減獲得，自動滿足KCL。因此，必須用KVL來檢驗。Im1Im2i1i3i2R1R3R2 +20V + 10V電路分析基礎第一部分：2-1 17/23對于本例R1I1 R3I3 = 1.1435 + 0.71420 = 19.995V 20V第一網孔：第二網孔： R2I2 + 10 = 0.42910 +10 = 14.29V R3I3 = 0.71420 = 14.28V 兩個網孔的KVL成立，所以本題網孔分析法的結果是正確的。若用KCL，則I1 + I2 + I3 = Im1 Im2 + Im2 Im1 0顯然，KCL當然成立，但并不能證明結果一定正確。Im1Im2i1i3i

15、2R1R3R2 +20V + 10VR1 = 5、R2 = 10 、R3 =20 電路分析基礎第一部分：2-1 18/23例2-2 電路如圖2-3(a)所示，試求流經30電阻的電流 I 。圖2-3 例2-220 +40V 2A（a）5030IIm1Im2 +40V （b）2050302A解：本題電路含電流源。含電流源的支路，支路電流當然就是電流源的電流值。電路分析基礎第一部分：2-1 19/23因此，流經50電阻的電流等于2A，是已知的。 若采用網孔分析法解本題，我們仍可以先在每一網孔設網孔電流，如圖(b)所示。 但由于Im2是唯一流過包含電流源支路的網孔電流，且所選方向于電流源電流方向一致，

16、故Im2=2A。亦即網孔電流Im2不必再去求解，其值是已知的。網孔 1 的方程為：50Im1 + 30 Im2 = 4020 +40V 2A5030IIm1Im2電路分析基礎第一部分：2-1 20/23將Im2= 2A代入，得：50Im1 + 60 = 40Im1 =40 6050= 0.4AI = Im1 + Im2 = 0.4 + 2 = 1.6A例2-3 電路如圖2-4所示，試列網孔方程。解：網孔方程為3Im1 Im2 2Im3 + U = 7 Im1 + 6Im2 3Im3 = 02Im1 3Im2 + 6Im2 U = 0Im1 Im3 = 77A +7V Im2Im3Im1 +U

17、2112320 +40V 2A5030IIm1Im2電路分析基礎第一部分：2-1 21/23 （2）網孔方程實際上就是 KVL 方程，在列方程時必須把電流源的電壓考慮在內。初學 者往往容易忽略這一點。注意：（1）電流源兩端有電壓，假設為U。 （3）由于U是未知量，所以需增列Im1 Im3 = 7這一方程，使能解出四個未知變量： Im1、Im2、 Im3和U。圖2-4 例2-37A +7V Im2Im3Im1 +U 21123電路分析基礎第一部分：2-1 22/23例2-4 用網孔法求圖2-5所示含受控源電路中的 Ix。解：首先把受控源看成獨立源，按照正文中所概括的規則寫出“初步的”網孔方程，再

18、把受控源的控制量用網孔電流表示，就可得到如（2-4）式所示的網孔方程。10 +6V 圖2-5 例2-424+ 4V +8Ix Im1Im2Ix 2Im1 + 6Im2 = 4 + 8Ix12Im1 2Im2 = 6 8Ix由于Ix = Im2故得12Im1 + 6Im2 = 6 2Im1 2Im2 = 4電路分析基礎第一部分：2-1 23/23解得Ix = 3AIm2 = 3A注意：如果電路中含受控電流源則可仿照例2-2、例2-3 列出方程后，再設法把控制量用網孔電流表示?？偨Y：網孔分析法是電路分析方法中一種簡單直觀的方 法，但需注意幾個方面。（1）網孔分析法只適用于平面電路；（2）盡可能使網

19、孔電流方向一致；（3）對含受控源電路同樣可以采用網孔法，只要設 法將控制支路變量用網孔電流表示即可。電路分析基礎第二部分：第二章 目錄第二章 運用獨立電流電壓變量 的分析方法1 網孔分析法 5 割集分析法2 節點分析法 6 回路分析法3 含運算放大器 7 線性電阻電路解答的 的電阻電路 存在性和唯一性定理4 樹的概念電路分析基礎第一部分：2-2 1/232-2 節點分析法內容回顧：如何選用完備獨立的變量作為第一步求解對象是本章需要解決的問題和實現的目標。上一節我們選用網孔電流作為這樣的一組獨立完備的變量，通過網孔KVL方程，獲得網孔方程。但是，網孔分析法有局限性，它只適用于平面電路，而且互電阻

20、的正負與網孔電流的方向有關。如何來尋找更好的方法，克服網孔分析法的缺點，是后續課程的內容和目標。電路分析基礎第一部分：2-2 2/23本次課程主要內容：類似于選用完備獨立的電流變量作為第一 步求解對象，我們也可以選用完備獨立的電壓變量來充當 同樣的角色。應該包含（n-1）個獨立變量。滿足這一點 的是節點電壓。節點電壓：電路中任選一個節點為參考點，其余節點到參考點 的電壓，稱為節點電壓。顯然n個節點有n-1個節點電壓。（2）電路中所有支路電壓都可以用節點電壓線性表示。節點電壓是一組完備獨立的電壓變量：（1）它們不能用KVL相聯系；1234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+ un1 +

21、un2 + un3電路分析基礎第一部分：2-2 3/23節點分析法舉例：圖2-8所示電路，有四個節點，設節點4為參考點，其余三個節點關于參考點的電壓分別為un1、un2、un3。1234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+ un1 +un2 + un3圖2-8 節點分析法用圖電路分析基礎第一部分：2-2 4/23 從圖2-8中，顯然可以看出，每條支路的電壓可以用節點電壓表示。u12 = un1 un2， u13 = un1 un3 ，u14 = un1， u23 = un2 un3u24 = un2 ，u34 = un3 顯然124回路：u12 + u24 u14 = un1 un2

22、+ un2 un1 0123回路：u12 + u23 u13 = un1 un2+ un2 un3 (un1 un3) 0234回路：u23 + u34 u24 = un2 un3 + un3 un2 0用節點電壓表示的回路恒滿足KVL ！ 線性獨立 ！1234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+ un1 +un2 + un3電路分析基礎第一部分：2-2 5/23 顯然，節點電壓是一組線性獨立的、完備的變量。但由于用節點電壓表示的回路當然滿足KVL，因此，節點電壓不能用KVL來列方程。那么，又該怎樣列出節點電壓方程呢？ 大家通過第一章的學習知道，除了歐姆定律以外，還有KVL、KCL兩

23、個基本定律，既然KVL不能用了，那么試試KCL如何？ KCL是電流方程，不能直接用，我們通過元件VAR即歐姆定律，將它轉換為電壓方程就可以了。電路分析基礎第一部分：2-2 6/23 i1 + i5 is = 0由KCL方程：（2-5） i3 + i4 i5 = 0 i1 + i2 + i3 = 0將歐姆定律代入整理得節點方程為： (G1+G5)un1 G1un2 G5un3 = is （2-7） G5un1 G3 un2 + (G3+G4+G5)un3 = 0 G1un1 + (G1+G2+G3)un2 G3un3 = 01234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS+ un1 +un2

24、 + un3電路分析基礎第一部分：2-2 7/23自電導：G11、G22、G33。它們分別是各個節點上所 有電導之和，如： G22= G1+G2+G3 ； 進一步整理后得：（2-8）G31un1+G32un2+G33un3= is33G21un1+G22un2+G23un3= is22G11un1+G12un2+G13un3= is11電路分析基礎第一部分：2-2 8/23互電導的極性：互電導的極性統一為負！電流輸送：is11、is22、is33 。節點上電流源輸送給節 點的電流的代數和。互電導的對稱性：G12=G21、G32 = G23互電導：G12、G13、G32。節點之間由共有電阻 支路

25、決定的電導，無共同電導者為零；電路分析基礎第一部分：2-2 9/23 G11un1+G12un2+G1(n-1)un(n-1) = is11 G21un1+G22un2 +G2(n-1) un(n-1) = is22. G (n-1)1un1+G (n-1)2un2+G (n-1)(n-1) un(n-1) = is (n-1)(n-1)（2-9）一般節點電壓方程：有n個節點的電路，按照相同 的規則可得(n-1)個方程如下：電路分析基礎第一部分：2-2 10/23G(n-1)(n-1) U(n-1)1 = I(n-1)1節點電壓方程的矩陣表示：G11 G12 G1(n-1)G21 G22 G2

26、(n-1). G(n-1)1 G(n-1)2 G(n-1)(n-1)is11is22is (n-1)(n-1)=un1un2 un (n-1)自電導互電導電流輸送節點電壓電路分析基礎第一部分：2-2 11/23例2-5 列出圖2-9所示電路的節點方程。11A0.5A圖2-9 例2-50.1S2340.1S1S1S0.5S0.25S0.5S0.25S+ Un1 +Un2 + Un3+ Un4解：該電路共有五個節點，選其中的一個作為參考節點，標以接地符號。設其余四個節點的電壓分別為Un1、 Un2、Un3、Un4，如圖中所示。 直接匯接于節點 1 的總電導為G11=0.1+1+0.1=1.2S；

27、G12= 1S；G13=0；G14= 0.1S。電流源電流是流入節點 1 的，因此， Is11= +1A。電路分析基礎第一部分：2-2 12/23注意：因為節點1、3之間沒有公共電導，故G13=0。于是，對節點 1 可得1.2Un1 Un2 0.1Un4 = 1同理，對節點 2、3、4 可得 Un1 + 2.5Un2 0.5Un3 = 0.5 0.5 Un2 + 1.25Un3 0.25Un4 = 0.5 0.1Un1 0.25Un3 + 0.6Un4 = 011A0.5A0.1S2340.1S1S1S0.5S0.25S0.5S0.25S+ Un1 +Un2 + Un3+ Un4電路分析基礎第

28、一部分：2-2 13/23例2-6 試用節點分析法求圖2-10電路的各電流。解：該電路共有三個獨立節點，且節點2、3與參考節點間分別都是已知的電壓源，故節點電壓Un2和Un3是已知的，其值分別為20V和10V。我們僅需對節點 1 寫節點方程：I1I3I25 +20V + 10V圖2-10 例2-6102012315120+110+Un1Un215110Un3= 0()電路分析基礎第一部分：2-2 14/23以 Un2 和 Un3 數值代入得U 0解得7100Un1= = 14.286V三個電阻支路的電流I1、 I2、I3分別如圖中所示，算得= 0.7143A20I1

29、= Un1 = 1.143A5I2 = 20 Un1 = 0.4286A10I3 = 10 Un1 I1I3I25 +20V + 10V1020123電路分析基礎第一部分：2-2 15/23 其中，I2、I3分別流過20V電壓源和10V電壓源的電流，表示20V電壓源輸出功率，10V吸收功率。校核：在節點 1 用KCL（ = 0）校核答案是否正確?？梢钥闯?， = I2 + I3 I1 = 1.143 - 0.4286 - 0.7143 0，說明答案是正確的。例2-7 試用節點分析法求圖2-11電路中10k電阻上的電流。解：本題與上題類似，只是電壓源用電子電路的習慣畫法，節點電壓Un3和Un4已知

30、，其值分別為120V和 240V。123420k+120V10k40k40k20k240VI1電路分析基礎第一部分：2-2 16/231圖2-11 例2-723420k+120V10k40k40k20k240VI1對節點 1 和節點 2 寫節點方程：10103Un211140 103+1+Un120 10310103= 020103Un3110103Un11= 040103Un411120 103+1+Un210 10340103+()電路分析基礎第一部分：2-2 17/23 0.1103Un1Un2+( 0.05 + 0.025 + 0.1 )103 = 6103 0.1103Un2Un1(

31、 0.05 + 0.025 + 0.1 )103 = 6103即化簡后得 0.1Un2Un10.175 = 6 0.1Un2Un1+ 0.175 = 6用行列式方法解方程 =0.175 0.1 0.1 0.175= 0.0306 0.01 = 0.02061 =6 0.1 6 0.175= 1.050 0.6 = 0.45123420k+120V10k40k40k20k240VI1電路分析基礎第一部分：2-2 18/232 =0.175 6 0.1 6 = 1.050 + 0.6 = 0.45解得1Un1 = = 21.8V0.02060.45= 2Un2 = = 21.8V0.0206 0.

32、45= 設10k電阻上的電流 I1 方向如圖所示，則Un1 Un2 = 10103 I1I1 =Un1 Un210103=21.8 ( 21.8)1010343.6104= 4.36mA電路分析基礎第一部分：2-2 19/23例2-8 電路如圖2-12所示，試列出節點方程。解：在應用節點分析法時，有時遇到電路中有兩個電壓源，而且它們的一端并不接到一個公共節點的情況，因此不可能使兩個電源同時接地。 UsG1G2G4G5G3圖2-12 例2-8+I1234電路分析基礎第一部分：2-2 20/23采用上例的方法，必然有一個電壓源跨接在兩個節點之間。 為了說明如何處理此類問題，我們有意選節點 4 為參

33、考點，使之出現電壓源跨接于節點間的情況。 在此種情況下，三個節點電壓均屬未知，故必須對三個節點都列節點方程，得(G1+G2)Un1 G1Un2 = I G4Un3 + (G4+G5)Un3 = I G1Un1 + (G1+G3+G4)Un2 G4Un3 = 0 UsG1G2G4G5G3+I1234電路分析基礎第一部分：2-2 21/23注意：電壓源支路的電流 I 不能忽略。因為節點方程實際上是KCL方程，因此與該節點有關的所有電流都必須計算在內。 一般在此種情況下， Is11、Is22、Is33可理解為流入節點的所有已知的電流源電流和未知的電壓源電流的代數和。節點分析法都是如此處理非接地電壓源

34、的！ 但此時又出現了 3 個方程求 4 個變量的情況，為此必須再增加一個方程，由電壓源的關系可得Un1 Un3 = Us讀者請將本例與例2-3比較，有何相似之處？！有何相似之處？！ UsG1G2G4G5G3+I1234電路分析基礎第一部分：2-2 22/23例2-9 試為圖2-13所示含受控電流源的電路列寫出節 點方程。1gux圖2-13 例2-9+uxR1R2R3R4is32解：在把受控電流源暫時看作獨立電流源列出方程后，再設法把受控源的控制量用節點電壓表示，代回原方程。電路分析基礎第一部分：2-2 23/23節點 1 (G1+G2)un1 G2un2 = is G2un1 + (G2+G3

35、)un2 = gux 節點 2 G4un3 = gux節點 3 受控源的控制量 ux 與節點電壓之間的關系式為ux = un1 un2 代入節點方程可得(G1+G2)un1 G2un2 = isgun1 gun2 + G4un3 = 0 (G2+g)un1 + (G2+G3 +g)un2 = 0 1gux+uxR1R2R3R4is32電路分析基礎第二部分：第二章 目錄第二章 運用獨立電流電壓變量 的分析方法1 網孔分析法 5 割集分析法2 節點分析法 6 回路分析法3 含運算放大器 7 線性電阻電路解答的 的電阻電路 存在性和唯一性定理4 樹的概念電路分析基礎第一部分：2-3 1/19上次課內

36、容回顧： 網孔分析法和節點分析法都是電路分析的最重要方法，請同學們一定認真掌握，其特點為 （1）當節點數少于網孔數時，節點分析法需要較少的聯立方程，更容易求解，反之則網孔法簡單； （2）當獨立電壓源能夠作為節點電壓時，節點分析法更適用，當電流源可做網孔電流時，網孔分析法更直接； （3）網孔分析法只適用于平面電路，節點分析法則適用于平面和非平面電路； （4）節點分析法可以通過觀察電路直接寫出方程，比網孔分析法更簡單。 （3）當求電流、電壓冤供電時，網孔法更適用，求電壓、電流源供電時，節點分析法更直接；電路分析基礎第一部分：2-3 2/192-3 含運算放大器的電阻電路運算放大器：operatio

37、nal amplifier，簡稱運放（op- amp），由晶體管、電阻、二極管等連接而成 的集成電路，封裝后形成多端器件。運放圖形符號：如圖2-20所示。由5個端子組成：+ U+ U圖2-20 運放的圖形符號“+U、U”：直流電壓源輸入連接端口， +U 代表輸入正電壓， U 輸入負電壓。電路分析基礎第一部分：2-3 3/19輸出端：經過放大后的信號輸出端口“+”：同相輸入端， 表示僅有信號由此端輸入時，經過放大后的輸出變化規律與輸入一致?！啊保悍聪噍斎攵耍?表示僅有信號由此端輸入時，經過放大后的輸出變化規律與輸入相反。運放的功能及應用：早期在模擬電路中，運放主要完成對信號的加法、積分、微分等運

38、算，其名稱亦由此而來。現在的運放其應用以遠遠超出了這些范圍，已經成為現代電子技術中廣泛應用的一種器件。電路分析基礎第一部分：2-3 4/19運放電路模型：如圖2-21所示。實際應用中我們往往只對運放的輸入輸出關系感興趣，不考慮直流電源。其中：Ri：輸入電阻Ro：輸出電阻u +：同相輸入電壓u ：反相輸入電壓A：放大增益+u +u RiRo+A(u + - u )uo圖2-21 線性運放模型電路分析基礎第一部分：2-3 5/19差動輸入電壓：ud = u + u 。受控源電壓： A（u + u ） = Aud （2-10）單向性：輸出電壓uo 受差動輸入電壓控制，但輸入電 壓不受輸出電壓控制。運

39、放的三角符號表明 了這種單向性。三個典型參數： 參數 名稱 典型數值 理想值 A放大倍數 105107 Ri輸入電阻 1061013 Ro輸出電阻 10100 0電路分析基礎第一部分：2-3 6/19理想運放：增益A=、輸入電阻Ri = 、輸出電阻Ro = 0時的運放稱為理想運放。 由于輸出為有限值，而A=，必然有ud = u + u = 0，亦即u + = u （2-11） 再由于輸入電阻Ri = ，而物理上講 u + 和 u 只能是有限值，亦即兩個輸入電流為i + = i = 0 （2-12） 理想運放如圖2-20，但必須三角形內加注符號，一般也不必畫出直流電壓端。電路分析基礎第一部分：2

40、-3 7/19 按理想運放分析時，僅用式（2-11）和（2-12）這兩個特點即可。 (u + = u 、 i + = i = 0 ) 節點分析法特別適用于分析含運放的電路。在理想運放情況下，請注意以下的規則： （1）在運放輸出端應假定一個節點電壓，但不必為該節點列寫節點方程； （2）在列寫節點方程時，注意運用式（2-11）和（2-12），以減少未知量的數目。電路分析基礎第一部分：2-3 8/19例2-11 圖2-22所示為反相放大器，試求圖中運放電 路輸出uo與輸入us的關系。+圖2-22 例2-11 us+R1R2123+uo電路分析基礎第一部分：2-3 9/19解：該電路有三個 獨立節點1

41、、2、3如圖2-22所示。 節點 2 的方程為 節點 1 無須寫出節點方程，因為它直接與連接公共接地端的電壓源相連，節點電壓u1=us； 節點 3 也無須寫出節點方程，該節點電壓 u3 即為輸出電壓 uo，代回原方程。（G1+G2）u2 - G1u1 - G2u3 = 0 運用（2-11）式u + = u ，可知反相輸入端相當于接地（常稱“虛地”，virtual ground），故得 u2 = 0+ us+R1R2123+uo電路分析基礎第一部分：2-3 10/19 由此可得G1u1 + G2u3 = 0，R2u1 = R1u3 u3 = R2R1u1uo = R2R1us即 在列寫節點方程時

42、，已用到了運放輸入電流為零這個特點，否則節點方程中還需添加輸入電流項。+ us+R1R2123+uo電路分析基礎第一部分：2-3 11/19例2-12 圖2-23所示運放電路，輸入端無一接地，試求 輸出電壓uo與輸入電壓us的關系。+圖2-23 例2-12 us+R1R2123+uo4R3R4電路分析基礎第一部分：2-3 12/19解：該電路有四個 獨立節點1、2、3、4如圖2-23所示。 節點 2、4 的節點方程為（G1+G2）u2 G1u1 G2u3 = 0（G3+G4）u4 G3u3 = 0在列寫節點方程時，已用到了運放輸入電流為零這個特點，否則節點方程中還需添加輸入電流項。 根據（2-

43、11）式可知u1 = us，u2 = u4 + us+R1R2123+uo4R3R4電路分析基礎第一部分：2-3 13/19故得（G1+G2）u2 G2u3 = G1us （G3+G4）u2 G3u3 = 0可解得uo = u3 = usG1G4 +G1G3G1G3 G2G4usR2R3 +R2R4R2R4 R1R3=u2 = u3G3G3 + G4+ us+R1R2123+uo4R3R4電路分析基礎第一部分：2-3 14/19+圖2-24 例2-13+u2+u1例2-13 圖2-24所示為電壓跟隨器（voltage follower）， 試求圖示電路u2與u1的關系。解：由于運放的輸入端同電

44、位，見式（2-11），因此，由KVL可知u1 u2 = 0即u1 = u2 亦即輸出電壓與輸入電壓完全相同。故稱電壓跟隨器。電路分析基礎第一部分：2-3 15/19又由于運放的輸入電流為零，當它插入兩電路之間，可起隔離作用，而不影響信號的傳遞。圖2-25 例2-13R1R2RLuous（a）R1R2RLuo=u1us（b）+u1電路分析基礎第一部分：2-3 16/19例如，在圖2-25(a)所示的分壓器電路中，輸出電壓uo與輸入電壓us的比例關系為uo = usR2R1 + R2但是，當輸出端接入負載 RL之后（用虛線表示），其比例關系將變為uo = usR2/ RLR1 + R2 / RL符

45、號“/ ” 表示并聯電阻求等效值。這就是所謂的“負載效應”負載的加入影響了原有的關系。R1R2RLuousR1R2RLuo=u1us+u1電路分析基礎第一部分：2-3 17/19 但如果在負載RL和分壓器之間接入一電壓跟隨器，則由于其輸入電流為零，使其的輸入不會影響到原有的分壓關系， RL被隔離，但原定的輸出電壓仍然出現在負載RL 兩端。例2-13 試用圖2-21所示的運放模型分析例2-11的反相放大器電路。解：引用圖2-21所示運放模型后，電路如圖2-26所示，本題u = u2， u + = 0， 故受控源電壓為A（u + u ）= A（ u2） us+R1R2123+uoA(u + - u

46、 )+4RiRo電路分析基礎第一部分：2-3 18/19圖2-26 例2-14 us+R1R2123+uoA(u + - u )+4RiRo 對節點 2、3 列寫節點方程為（G1 +G2 +Gi ）u2 G1u1 G2u3 = 0（G2+Go）u3 G2u2 Gou4 = 0 又u1 = us，u3 = uo，u4 = A（ u2） 電路分析基礎第一部分：2-3 19/19 故得（G1 +G2 +Gi ）u2 G2uo = G1u s （G2+Go）uo +（ AGoG2）u2 = 0= AGoG2（G2+Go）uou2 =G1 +G2 +GiG2uo+G1u s解得uo，并以電阻代回電導后得

47、uo = A+Ro/R2R1R21+A+RoRi+ 1+R1RiRoR2+u s顯然，與例2-11所得的結果完全相同。如果 Ri=， Ro=0，A=，則對上式簡化后可得uo = AR1R2Au s = R2R1u s電路分析基礎第二部分：第二章 目錄第二章 運用獨立電流電壓變量 的分析方法1 網孔分析法 5 割集分析法2 節點分析法 6 回路分析法3 含運算放大器 7 線性電阻電路解答的 的電阻電路 存在性和唯一性定理4 樹的概念電路分析基礎第一部分：2-4 1/82-4 樹的概念內容回顧：在2-1節和2-2節中，我們已經了解到： （1）網孔電流是一組完備的獨立變量； （2）節點電壓是一組完備

48、的獨立變量。我們要問： 除網孔電流外，還有沒有其它完備的獨立電流變量？ 除節點電壓外，還有沒有其它完備的獨立電壓變量？答案是否定的！ 運用網絡拓撲（topology）一些基本概念，我們還可選得其它獨立變量，并能列出求解的方程。電路分析基礎第一部分：2-4 2/8 KCL和KVL分別表明了支路電流之間和支路電壓之間的約束關系。 由于這些約束關系與構成電路元件的性質無關，因此，在研究這些約束關系時可以不考慮元件的特征。 我們可以用線段來代替電路中的每個元件，這段線段稱為支路，線段的端點稱為節點。 這樣得到的幾何結構圖稱為“圖形”或稱為“圖”（graph），如圖2-29(a)所示。 更準確地說，圖是

49、一組節點和一組支路的集合，支路只在節點處相交。 電路分析基礎第一部分：2-4 3/8 如果對圖中每一條支路規定一個方向，則所得到的圖就稱為定向圖（directed graph），如圖2-29(b)所示，圖中箭頭表示關聯的參考方向。 圖論是拓撲學的一個分支，我們可利用它的一些成果來深入理解網絡的基本性質。 (a)(b)圖2-29 圖2-8電路的拓撲表示電路分析基礎第一部分：2-4 4/8分離部分：每一個連通圖都可以說成是一個分離部分(separate part)，因此，非連通圖至少有兩個分離部分。 連通圖：如果在圖G的任意兩個節點之間，至少存在一條由支路構成的路徑，則圖G稱為連通圖(connec

50、ted graph)，否則就稱為非連通圖。 圖2-40為一非連通圖，該圖有 6 個節點。圖2-29以及后面的2-31、2-32等都是連通圖。 四個節點連通圖兩個節點連通圖六個節點非連通圖電路分析基礎第一部分：2-4 5/8 連通圖具有閉合回路，網絡中要有電流存在，就必須具備這個性質。 如果我們移去某些支路，這一性質立即遭到破壞。 (a)(b)(c) 例如，我們把圖2-29的圖形重繪如圖2-31，圖中支路用粗線和細線表示。電路分析基礎第一部分：2-4 6/8 在圖2-31a、b、c中，若移去細線所示的支路，剩下的圖形（如粗線所示）中就不存在任何閉合回路，但所有的節點仍然互相連通，這種圖形叫“樹”

51、（tree）。構成樹的支路稱為“樹支”（tree branch）。樹：用最少的支路把連通圖中所有節點連接在一起，并且這些支路不構成任何回路，由這些節點和支路構成的圖形稱為“樹”。(a)(b)(c)圖2-31 圖2-29所示圖的三種可能的樹（粗紅線）電路分析基礎第一部分：2-4 7/8連支：圖形中除了樹以外的支路（圖中細線所示）稱為“連支” （link），只有把連支補上，才能出現回路。余樹：由連支組成的集合稱為“余樹”（co-tree）。子圖：如果圖G1中的每個節點和每條支路都是圖G中的一部分，則圖G1為圖G的子圖。即：若已給定圖G，則我們可以通過刪除部分節點和支路而得到子圖G1。因而：連通圖G

52、的一個樹是指G的一個子圖，它必須是連通的，包含G的全部節點而不包括回路。(a)(b)(c)電路分析基礎第一部分：2-4 8/8樹的多樣性：滿足樹的定義的連通圖不止一個，圖2-31只是列出了該圖三種樹，該圖最多可有16種樹。 根據圖論中的定義，一個有n個節點構成的網絡，如果每個節點間只用一條支路連接，一共有nn-2種樹。 在樹選定之后，一個網絡的支路就分屬于樹支和連支這兩類。 雖然樹的種類有很多，但對給定圖形，樹支的數目是一定的。若圖形有 n 個節點，則樹支數必為n-1。 由于一個圖形中樹支和連支的和為支路數，若樹支數為n-1，則連支數為b(n1)。(a)(b)(c)電路分析基礎第二部分：第二章

53、 目錄第二章 運用獨立電流電壓變量 的分析方法1 網孔分析法 5 割集分析法2 節點分析法 6 回路分析法3 含運算放大器 7 線性電阻電路解答的 的電阻電路 存在性和唯一性定理4 樹的概念電路分析基礎第一部分：2-5 1/232-5* 割集分析法n-1個樹支電壓也是一組完備的獨立變量。理由：（1）根據樹的定義，樹支連接所有的節點，但不構成回路，因而樹支電壓之間無法用KVL來相互聯系。從KVL的角度，樹支電壓線性無關，是獨立電壓變量；（2）同樣由樹的定義，由于樹支連接所有的節點，從一個節點到其它任何一個節點之間的電壓可表示為兩節點間樹支電壓的代數和，即任何支路電壓可以用樹支電壓線性表示。即樹支

54、電壓是完備的。電路分析基礎第一部分：2-5 2/23例如：以圖2-34(a)所示的圖為例，設選樹如圖(b)所示，則樹支電壓為u12、u23、u34。(a)1234bcdaef(b)1234bcf(c)1234daf圖2-34 (a)某電路圖，(b),(c)為兩樹電路分析基礎第一部分：2-5 3/23 顯然，其余支路（連支）電壓可表示為支路a： u14 = u12 + u23 + u34支路d：u24 = u23 + u34支路e：u13 = u12 + u23 也就是說，所有支路電壓都可以用這三個樹支電壓來表示。 如果我們選樹如圖（c）所示，則顯而易見，若以節點 4 為節點，則三個樹支電壓就是

55、2-2節中所定義的節點電壓。1234bcdaef1234bcf電路分析基礎第一部分：2-5 4/23 一個具有n個節點的網絡，有n-1個樹支，就有n-1個樹支電壓。如何寫出求解這n-1個電壓變量的獨立方程？ 為此，我們要引用圖論中“割集”(cut-set)，特別是“基本割集”的概念。 那么，什么叫做割集呢？ 仍以圖2-8 為例，現將電路重繪于圖2-35（a），其連通圖如（b），（c）所示。電路分析基礎第一部分：2-5 5/23圖2-35 連通圖切割的例子(c)1234(b)1423IIIIII1234i1i2i3i4i5G1G2G3G4G5iS(a)電路分析基礎第一部分：2-5 6/23割集：

56、如果切割（或移去）某些支路，就會使圖形成為兩個分離部分，但只要少切割（或移去）其中任一支路圖形仍然連通，這些支路的集合就稱為割集。例如：在圖（b）中，切割用虛線表示，例如切割II使節點1、3與節點2、4分為兩個分離部分，所切割的支路G3、G4、G1和電流源支路的集合就是割集II。割集的多樣性：一個連通圖可以有許多不同的割集，圖（b）中就表明了三種不同的割集。12341423IIIIII電路分析基礎第一部分：2-5 7/23 割集定義中的第二個條件十分必要。仍以圖（b）為例，如果我們切割支路G5、G1、電流源支路和G4，圖可以分為兩個分離部分（符合第一個條件），但如果少切割G4 ，圖仍然分為分離

57、的兩部分（不符合第二個條件）。 通過規定兩個條件，我們可以確定G5、G1、電流源支路是割集，而G5、G1、電流源支路和G4不是割集。割集概念下的KCL描述：對于網絡任一割集，流過割集支路的各支路電流代數和為零。1423G1G2G3G4G5iS割集非割集割集的參考方向：與流進或流出節點電流方向的定義類似，可以任意為割集選定一個方向，通常選定割集方向與樹枝電流的參考方向或關聯參考方向一致。1423IIIIII電路分析基礎第一部分：2-5 8/23例如：圖2-35(b)割集 II的各支路電流應有以下關系： i4 + i3 i1 + is = 0 式中，我們把從不同方向穿過割線的電流冠以不同的符號。

58、割集上使用KCL實際上是應用了KCL的推廣：流進（或流出）一個封閉面（線）的電流代數和為零。 根據每個割集可以寫出一個KCL方程，則可以列出很多方程來。怎樣才能保證寫出的方程是獨立的，并且恰好n-1個呢？G5G1G3G2iSG41423IIIIII電路分析基礎第一部分：2-5 9/23“基本割集” (fundamental cut-set)的概念： 對圖任意選定一樹，圖2-35b、c分別表示選出的兩樹，樹支用粗線表示； 在切割時，應使所得的每個割集包含且只包含一條樹支，這樣的割集叫做“基本割集” 。 由于樹支數正好n-1個，所以，由基本割集寫出的KCL方程正好也是n-1個。 在圖2-35（c）

59、中，正好能使基本割集的KCL方程恰好就是節點1、2、3處的KCL方程。12341423IIIIII電路分析基礎第一部分：2-5 10/23 從2-3節可知，在把節點 4 選做參考節點后，這些方程正是進一步寫出節點方程的基礎，換句話說，節點分析法只是割集分析法的一個特例。第一步，我們可根據圖2-35（b）所選的樹，寫出基本割集的電流方程，其結果為割集 I：割集 II：割集III： i1 + i3 i4 + is = 0i1 + i5 is = 0i2 + i4 is = 0（2-13） 割集分析法：G5G1G3G2iSG41423IIIIII電路分析基礎第一部分：2-5 11/23 由于每個方程

60、都各自含有一項其它方程所沒有的樹支電流，因而它們是一組獨立方程。第二步，如以所選的樹支電壓ut5、ut3、ut2 （下標 t 表示樹支）表示，則（2-13）式將為G3ut3 G4(ut2 ut3) G1(ut5 ut3) = isG5ut5 + G1(ut5 ut3) = is G2ut2 + G4(ut2 ut3) = is G5G1G3G2iSG41423IIIIII電路分析基礎第一部分：2-5 12/23 G1ut5 + (G3+G4+G1)ut3 G4ut2 = is (G5+G1)ut5 G1ut3 = is (G2+G4)ut2 G4ut3 = is 進一步整理后，得（2-14）第