1、連續型隨機變量與其概率密度 連續型隨機變量連續型隨機變量X所有可能取值充滿一個所有可能取值充滿一個區間區間, 對這種類型的隨機變量對這種類型的隨機變量, 不能象離散型不能象離散型隨機變量那樣隨機變量那樣, 以指定它取每個值概率的方以指定它取每個值概率的方式式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通過給出所謂而是通過給出所謂“概率密度函數概率密度函數”的方式來描述其概率分布的方式來描述其概率分布.下面學習連續型隨機變量及其概率密度下面學習連續型隨機變量及其概率密度連續型隨機變量的概念連續型隨機變量的概念三種重要的連續型隨機變量三種重要的連續型隨機變量小結小結連續型隨機變量及其概率密度連續型

2、隨機變量及其概率密度 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X在在a, b內取內取n個值個值: x1=a, x2, x3, x4, ,xn=bX即小矩形的面積為即小矩形的面積為取對應點的概率取對應點的概率小矩形寬度小矩形寬度概率概率小矩形高小矩形高 x1=aPx2x3s1s2s3sn.xn=b niisbXaP1 折線下面積之和！折線下面積之和！連續型隨機變量的概念連續型隨機變量的概念X的概率的概率直方圖：直方圖：(1) 定義的引出定義的引出 若若X為連續型為連續型隨機變量，由于隨機變量，由于X在在a, b內取連續取無窮多個值，折線將變為一條光滑內取連續取無窮多個值，折線將變為一條光滑曲線曲線).(

3、xf而且：而且： )(xfdxxfSbXaPba )(1)( dxxfXPXaP.b)(xfdxxfSba )(由此推出連續由此推出連續型隨機變量型隨機變量的定義的定義,0)( xf, 1)( dxxf 設設X X是隨機變量，如果存在定義在整個實數是隨機變量，如果存在定義在整個實數軸上的函數軸上的函數f(x)f(x)，滿足條件，滿足條件 1. 2.對于任意的對于任意的有有也也可可為為也也可可為為,b,),(, ababa 3.,)( badxxfbXaP則稱則稱X是連續型隨機變量，是連續型隨機變量， 稱為稱為X的概率密度函的概率密度函數數, ,簡稱概率密度簡稱概率密度. .)(xf(2) 連續

4、型隨機變量的定義連續型隨機變量的定義 概率密度函數的性質概率密度函數的性質1)0)( xf2) 1)(dxxfaSb 1xo)(xf這兩條性質是判定一這兩條性質是判定一個函數個函數 f(x)是否為某是否為某個隨機變量個隨機變量X的概率的概率密度函數的充要條件密度函數的充要條件.3) X落入區間落入區間a,b內的概率內的概率 badxxf)(注意注意 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續型隨機變量取連續型隨機變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP連續型隨機變量取值落在某一連續型隨機變量取值落在某一區間的概率與區間的開閉無關區間的概率與區間的開閉無關bXaP bXaP bXa

5、P .bXaP 由此可得由此可得這是因為這是因為)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點的值，恰好是這一點的值，恰好是X落在區間落在區間 上的概率與區間長度上的概率與區間長度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質量，這里，如果把概率理解為質量， f (x)相當于線密度相當于線密度.x ,(xxx 若若x是是 f(x)的連續點，則：的連續點，則：xxxXxPx )(lim0 x xxxxdttf)(lim0=f(x)() 對對 f(x)的進一步理解的進一步理解 密度函數密度函數 f (x)在某點處在某點處

6、a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這個高度越大，則但是，這個高度越大，則X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度度.1xo)(xf)(afa問題：問題：f (a)是是=a的概率嗎？的概率嗎？事實上，若不計高階無窮小，有：事實上，若不計高階無窮小，有：xxfxxXxP )( 它表示隨機變量它表示隨機變量 X 取值于取值于 的概的概率近似等于率近似等于 .,(xxx xxf )(xxf )(在連續型在連續型r.v理論中所起的作用與理論中所

7、起的作用與kkpxXP 在離散型在離散型r.v理論中所起的理論中所起的作用相類似作用相類似.PX=a=0而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件.可見，可見， 由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S問題：問題：概率為零的事件一定是不可能事件嗎？概率為零的事件一定是不可能事件嗎？類似可知，類似可知，.2XP,110,PX)2(;C)1(., 0, 33),9()(2 XPxxCxfX求求求常數求常數其它其它具有概率密度具有概率密度隨機變量隨機變量設設解解, 1d)()1( xxf由由例例1得 dxxf)(1303| )39(2xxC 302)9(2

8、dxxC 332)9(dxxCC36 于于是是概概率率密密度度為為即即有有.361C ., 0, 33),9(361)(2其它其它xxxf033| )39(361 xx,21)927(361 0)2(XPdxx )9(361203 dxxf 0)( 11XP 2XP.271339181103 xxdxx )9(3612210 dxx )9(361232 .27239361323 xxdxxf 11)(dxxf 2)(2. 三種重要的連續型隨機變量三種重要的連續型隨機變量).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為上服從均勻分布上服從均勻分布在區間在區間則稱則稱其它其它具

9、有概率密度具有概率密度設連續型隨機變量設連續型隨機變量定義定義 () 均勻分布均勻分布)(xfab均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機上服從均勻分布的隨機在區間在區間.),(性性是是相相同同的的內內的的可可能能中中任任意意等等長長度度的的子子區區間間落落在在區區間間ba a b lablp l事實上事實上，若若X U(a, b)，則對于滿足，則對于滿足bdca 的的c,d, 總有總有 dcdxxfdXcP)(abcd dcdxab均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形： 如在數值計算中，由于四舍五如在數值計算中，由于四舍五 入，小數入，小數點后某一位小

10、數引入的誤差，例如對小數點后點后某一位小數引入的誤差，例如對小數點后第一位進行四舍五第一位進行四舍五 入時，那么一般認為誤差入時，那么一般認為誤差服從（）上的均勻分布。服從（）上的均勻分布。如公交系統中乘客隨機乘車的等車時間如公交系統中乘客隨機乘車的等車時間解解 設設X表示他等車時間（以分計），則表示他等車時間（以分計），則X是是一個隨機變量，且一個隨機變量，且X的概率密度為的概率密度為例例2 2（等待時間）公共汽車每（等待時間）公共汽車每1010分鐘按時通過一分鐘按時通過一車站，一乘客隨機到達車站車站，一乘客隨機到達車站. .求他等車時間不超求他等車時間不超過過3 3分鐘的概率分鐘的概率.

11、.).10, 0 UX ., 0,100,101)(其其它它xxf所求概率為所求概率為,103)(330 dxxfXP解解由題意由題意,R 的概率密度為的概率密度為 ., 0,1100900),9001100(1)(其其他他rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r例例3 設電阻值設電阻值 R 是一個隨機變量，均勻分布在是一個隨機變量，均勻分布在 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率 例例4 設隨機變量設隨機變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現對現對 X 進行三次獨立觀測進行三次獨立觀

12、測 ,試求至少有兩次觀測值大于試求至少有兩次觀測值大于3 的概率的概率. X 的分布密度函數為的分布密度函數為 ., 0, 52,31)(其他其他xxf設設 A 表示表示“對對 X 的觀測值大于的觀測值大于 3 ”, Y 表示表示3次獨次獨立觀測中觀測值大于立觀測中觀測值大于3的次數的次數.解解3)( XPAP由由于于,32d3153 x則則.32,3 bY2 YP.2720 因而有因而有 32132232033213233 .,0. 0, 0, 0,e1)(分布分布的指數的指數服從參數為服從參數為則稱則稱為常數為常數其中其中的概率密度為的概率密度為設連續型隨機變量設連續型隨機變量定義定義 X

13、xxxfXx (2) 指數分布指數分布指數分布的重要性質指數分布的重要性質 :“無記憶性無記憶性”.有有對于任意對于任意, 0t , s .|tXPsXtsXP |sXtsXP證明證明)()(SXPsXtsXP )SXPtsXP sxtsxdxedxe 11 sxtsxee| stsee )( te tXP txe| txdxe 1 te 而而于是于是.|tXPsXtsXP 指數分布的無記憶性是使其具指數分布的無記憶性是使其具有廣泛應用的重要原因！有廣泛應用的重要原因！ 指數分布在可靠性理論中描繪設備工作的可靠時指數分布在可靠性理論中描繪設備工作的可靠時間間.有些系統的壽命分布也可用指數分布來

14、近似有些系統的壽命分布也可用指數分布來近似, 當當電子產品的失效是偶然失效時電子產品的失效是偶然失效時,其壽命服從指數分布其壽命服從指數分布.在排隊論中它被廣泛地用于描繪等待時間在排隊論中它被廣泛地用于描繪等待時間,如如 通通話時間、各種隨機服務系統的服務時間、等待時間等話時間、各種隨機服務系統的服務時間、等待時間等.在更新和維修問題中描繪設備的壽命和維修時間在更新和維修問題中描繪設備的壽命和維修時間.指數分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況指數分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況.一般地一般地, 當隨機質點流中在長當隨機質點流中在長 t 的時間內出現的質的時間內出現的質點數服從參數為點數服從

15、參數為t 的泊松分布時的泊松分布時,其相繼出現兩個質其相繼出現兩個質點的事件間就服從參數為點的事件間就服從參數為 的指數分布的指數分布. 例例5 某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命(以小時計以小時計) X 服從指數分服從指數分布布,其概率密度為其概率密度為(1) 求元件壽命至少為求元件壽命至少為200小時的概率小時的概率. (2) 將將3只這種元件聯接成為一個系統，設系統工作只這種元件聯接成為一個系統，設系統工作的方式是至少的方式是至少2只元件失效時系統失效，又設只元件失效時系統失效，又設3只元只元件工作相互獨立件工作相互獨立.求系統的壽命至少為求系統的壽命至少為200小時的概小時的概率率.

16、 ., 00,1001)(100其其它它xexfx200 XP 200)(dxxfdxex1002001001 2200| eex解解 (1)(1)元件壽命至少為元件壽命至少為200200小時的概率為小時的概率為 (2)(2)以以Y Y記記3 3只元件中壽命小于只元件中壽命小于200200小時的元件小時的元件的只數的只數. .由于各元件的工作相互獨立，又由由于各元件的工作相互獨立，又由(1)(1)知一元件的壽命小于知一元件的壽命小于200200小時的概率為小時的概率為1-e1-e-2-2, ,故故有有).1 , 3(2 eBY2 2只及只及2 2只以上元件的壽命小于只以上元件的壽命小于2002

17、00小時的概率為小時的概率為32222)1()()1(232 eeeYP.950. 0)12()1(222 ee故系統的壽命至少為故系統的壽命至少為200200小時的概率為小時的概率為.050. 0950. 0121 YPp).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx記為記為的正態分布或高斯分布的正態分布或高斯分布服從參數為服從參數為則稱則稱為常數為常數其中其中的概率密度為的概率密度為設連續型隨機變量設連續型隨機變量定義定義 (3) 正態分布正態分布(或高斯分布或高斯分布)高斯資料高斯資料正態概率密度函數的幾何特征正態概率密度函數的幾何特征;)1(對對稱稱曲曲線線關關于于x ;21

18、)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時時當當 ; 0)(,)3(xfx時時當當;)4(處有拐點處有拐點曲線在曲線在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時的大小時改變改變當固定當固定xxf;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對對稱稱軸軸的的大大小小時時改改變變當當固固定定xf 正態分布是最常見最重要的一種分布正態分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理

19、特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產的產品尺寸正常情況下生產的產品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態分布高度等都近似服從正態分布.正態分布的應用與背景正態分布的應用與背景 正態分布的概率計算等有關問題在第章講正態分布的概率計算等有關問題在第章講解解三、小結三、小結常見連續型隨機變量的分布常見連續型隨機變量的分布均勻分布均勻分布正態分布正態分布(或高斯分布或高斯分布)指數分布指數分布 課堂思考課堂思考 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時起，每時起，每15分分鐘來一班車，即鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的均勻隨機變量之