1、函數應用題的類型及解題技巧函數應用題是貼進社會生產和生活實際的數學應用問題，充分體現了數學基本方 法的靈活運用和基本數學思想的滲透。下面就函數應用題的類型及解法舉例分析。一.函數模型為反比例函數問題例1:學校請了30個木匠，要制作200把椅子和100張課桌。已知制作一張課 桌與一把椅子的工時之比為10:7,問30個木匠應當如何分組(一組制課桌另一組制 椅子)，能使完成全部任務最快？分析：對于本題要注意用變化的觀點分析和探求具體問題中的數量關系，尋找已 知量與未知量之間的內在聯系，然后將這些內在聯系與數學知識聯想，建立函數關系 式或列出方程，利用函數性質或方程的觀點去解，使應用問題化生為熟，盡快

2、得到解 決。解：設x個木匠制課桌，(30-x)個木匠制椅子，一個木匠在一個單位時間里可制7張課桌或10把椅子，所以制作100張課桌所需時間為函數P(x)100，制作200把椅7x子所需時間為函數P(x)100，完成全部任務所需時間為函數y(x)=maxP(x)，Q 7x(x)要求的y(x)的最小值，需滿足P(x)=Q(x)，即100200解得乂二伐占,7x 10(30 x)考慮到人數為整數 考查P(12)與Q(13), P(12)=1001.1984Q(13)=1001.18即y(12)y(13),84所以用13個木匠制課桌,17個木匠制椅子完成全部任務最快。二函數模型為一次函數問題例2:某家

3、報刊買進報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每份0.50元,賣不掉 的報紙還可以每份0.80元的價格退回報社。在一個月(30天)里，又20天每天可以賣出400份，其余10天每天只能賣出250份。設每天從報社買進的報紙的數量相同，則應該每天從 報社賣勁多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算該銷售點一個月最多可賺得多少 元？分析：此題主要在于分析題目中的條件，建立合適的關系式，應用函數的性質去解決問題，并考慮在定義域內的局限性與實際意義。如此題每月所賺的錢=賣報所得的金額一付給報社的金額。而賣報所得的金額分三部分。從而可列出函數解析式。解：設每天應從報社買x份，可的250三x三400,設每月

4、賺y元，得y=0.5x20+0.5X250X10+(x-250) X0.08X10-0.35x30=0.3x+1050 x250,400因為y =0.3x+1050是定義域上的增函數，所以當x=400時，y大=120+1050=1170(元)答：每天從報社賣進400份，使每月所獲的利潤最大，每月可賺得1070元。三函數模型為一二次函數問題例3:有I(m)長的鋼材，要做成如圖所示的窗架，上半部分為半圓，下半部分 為六個全等矩形組成的矩形，試問小矩形的長寬比為多少時，窗所通過的光線最多， 并算出窗框的最大值。分析： 應用數學知識解決應用型問題， 是提高數學素質的訓練內容之一， 教材中 也多出出現，

5、對于此題的分析要注意觀察問題的結構特征，揭示內在聯系，挖掘隱含 條件，從而恰當的構造出函數，應用函數的具體性質去解決問題。本題中面積為兩部四函數模型為其他函數問題分夠成，而面積就為窗所通過的光線，從而可 列出函數解析式進一步解出題目。解：設小矩形的長為x，寬y為，則由 圖形可得：11x+ x+9y= I二9y=l -(11+ )x要使窗所通過的光線最多，即要窗框的面 積最大，則S=2x6xy =2+-Ix-(11 +3)x2=4A_-6(x-442I2l2)2+3(44所以當x=2l44y=(22)l9(44)18221：1此時窗框的面積s有最大值S=2l23(44例4:有甲乙兩種商品，銷售這

6、兩種商品所獲得的利潤依次是P和Q（萬元），他 們與投入資金Q（萬元）的關系，有經驗公式：今有3萬元資金投入銷售甲乙兩種商品，為獲得的利潤最大，對甲乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得最大 的利潤是多少？分析：首先應根據題意，建立利潤與資金之間的函數關系，求的函數解析式，然后再轉化為求函數的最大值問題。求解本題的關鍵是建立目標函數及求最值的方法，換元法是求無理函數最值的常用方法，在換元過程中要注意變量的取值范圍的變化。解：設對甲種商品投資x萬元，則乙種商品投資（3-x）萬元，總利潤y萬元，據由此可知，為獲得最大利潤,對甲乙兩種商品的資金投入應分別為0.75萬元和2.25萬元，獲的總利潤為1.05萬元總之，函數的應用是數學思想的體現，是應用數學知識解決實際問題的有效途經。 如果我們學好了這部分，在具體的題目中會分析題目，找出關系量之間的聯系，建立 適當的函數關系式，把實際問題轉化為數學模型，然后利用初等函數的性質，去解決 問題。使抽象問題數學化，化生為熟。題意有：Y=-