1、材 料 力 學第三章第三章 扭扭 轉轉Torsion3-1 3-1 概念與實例概念與實例 Concepts and Examples 圓軸圓軸shaft: 傳動軸，動力軸，通常為圓截面直桿。受力及變形的基本情況如圖: 受一對作用在垂直于桿軸的兩個平面內的力受一對作用在垂直于桿軸的兩個平面內的力偶（其矩相等，轉向相反）作用偶（其矩相等，轉向相反）作用。受力情況受力情況: 任意兩橫截面繞桿軸線作相對轉動，因而有任意兩橫截面繞桿軸線作相對轉動，因而有相對角位移相對角位移，稱為扭轉角扭轉角Twisting angle。 同時，桿的縱向直線變為螺旋線（小變形時可近似為傾斜線）。變形情況變形情況: 用材力

2、的方法只能解用材力的方法只能解決等直圓桿（實心決等直圓桿（實心OROR圓筒）圓筒）的扭轉問題和閉口薄壁直桿的扭轉問題和閉口薄壁直桿的自由扭轉問題。的自由扭轉問題。3-3 3-3 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 Calculation of Torsional Loads 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 Torque and Torque Figure 3.2.1 Calculation of Torsional Loads Torsional moment 一、手搖絞車之類: mc=QR or mc=Pb外力作用點到軸心的距離WD3-3 3-3 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 Calculation o

3、f Torsional Loads 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 Torque and Torque Figure)()(55. 930mprkWnPnPme)()(02. 736. 155. 9mprPSnPnPme二、機器傳動軸:已知軸的轉速轉速為n(rpm); 傳遞的功率功率P(kW=kNm/s)則: 單位時間所做的功為: W=P=me(2n/60)所以 me=(30/) (N/n)=9.549 N(kw)/n(rpm) -(3-4) 注: 主動輪上主動輪上的外力偶矩外力偶矩（me）與軸的轉向與軸的轉向一致一致；被動輪被動輪上上的外力偶矩外力偶矩（me）與軸的轉向軸的轉向相反相反 。 注意到

4、:1kW=1.36PS(馬力),故有:3-3 3-3 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 Calculation of Torsional Loads 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 Torque and Torque FigureT(MT )可根據作用于圓軸上的外力偶矩mi由截面法求出;T(MT )的量綱: 力長度常用單位: Nm；kNm T(MT )的正負規定: 如圖，按右手螺旋法則確定合成產生MT0MTd (可忽略曲率影響,式中d為:彈簧直徑)； 小間距（密圈） 使:忽略剪力(Q=P) 對彈簧變形的影響；線彈性范圍:L = 2 R .n 成立彈簧總長彈簧半徑圈數ex ,密圈螺旋彈簧(closecoi

5、led helical spring )ddMpTPR33max1616結論:CPPdGdnPdGRn4343864故:彈簧剛度RdnGC346445非圓截面桿純扭轉的概念非圓截面桿純扭轉的概念 the comcepts of Noncircular members in Pure Torsion 注:我們只討論純扭轉問題；實體截面桿由于約束扭轉所引起的附加正應力一般很小，可忽略不計；但薄壁桿件約束扭轉時會產生不能忽略的附加正應力。 非圓截面桿扭轉的一大特點-有翹曲翹曲(warp)產生。故圓軸桿扭轉的結論不能應用于它。 解決非圓截面桿扭轉問題一般需用彈性理論方法or實驗方法(如: 薄膜比擬Me

6、mbrane Analogy)。 非圓截面桿扭轉常分為自由扭轉自由扭轉（Pure Torsion、Free Torsion）和約束扭轉約束扭轉（Constrained Torsion、Restrained Torsion）兩種。 Pure Torsion: 任一截面的翹曲不受端部約束，能自由任一截面的翹曲不受端部約束，能自由翹曲，且兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同翹曲，且兩相鄰橫截面的翹曲程度完全相同（此時任一橫截面上只有而無）。 Restrained Torsion：截面的翹曲受端部約束限制，不截面的翹曲受端部約束限制，不能自由翹曲能自由翹曲oror扭矩扭矩M MT T隨軸線隨軸線x x變化，

7、使兩相鄰橫截面的翹曲變化，使兩相鄰橫截面的翹曲程度不同程度不同（此時任一橫截面上一般不但有，還有產生）。矩形截面桿矩形截面桿 Rectangular section bar 在橫截面上的分布，見圖，由彈性力學分析可得截面最大剪應力:WMkTtmax（411）發生在長邊中點GIlMkT相距L的兩截面的相對扭轉角:（412）其中:MT桿橫截面上的扭矩；bIkkbW43系數；bhm可由查表確定。 各角點上=0（由剪應力互等定理可證明之）（且當m10時，有:=m/3）其分布見圖tIhk331tIWkk狹長矩形截面桿狹長矩形截面桿 Thin Rectangular Section(長邊h h,短邊t t

8、)10thm由表可知當時，有:ItMkTtmaxGIlMkT且 由剛周邊假設剛周邊假設: 桿扭轉后，橫截面周線雖然在桿表面上變成曲線，但在其變形前的平面上的投影形狀仍保持不變(即就橫截面的投影來說，它在桿扭轉時將作剛性轉動)。可得:開口薄壁截面開口薄壁截面Thin-Walled Open Sectionsn21maxmaxtIMkTt 參見圖，開口薄壁截面可視為由若干狹長矩形組合而成。故剪應力仍沿周邊形成剪應力流。而的方向由(dA)組成的力偶轉向與MT一致來確定。GIMGIiMikTkTGIlMkT由可得:(i=1,n)niiinikikthII13131MMTniTi1MIIMTnikikT1又因為:故得:因此:ikTikiTiitIMtIMtmax注意到:故整個截面的最大剪應力: 發生在厚度最大的狹長子矩形的長邊上相距 l 的兩