1、并聯人的運動中國科學技術大學尚偉偉1HMI.com第八章：并聯人的運動n 8.1 并聯n 8.2 并聯n 8.3 并聯n 8.4 并聯人概述人的運動學人的學人的動力學1HMI.com并聯人概述n 并聯n 并聯n 并聯人的基本概念人的應用人的研向1HMI.com串聯人傳統工業人一般采用開鏈式結構，其基座和末端執行器之間只有一條運動鏈連接，對于具有這樣結構的人，也稱其為串聯人。為了實現末端執在工作空間中多個自由度的靈巧操作，串聯人的運動鏈往往具有多個關節，通過各個關節的運動，可以實現末端執行器對工作空間中任意連續軌跡的跟蹤運動。一般而言，串聯人具有結構簡單、工作空間大、操作靈活、正向運動學求解簡便

2、等優點，因此在工業生產中得到了廣泛應用。圖8.1 ABB的IRB2400工業人1HMI.com串聯人由于所有關節都集中在一條運動鏈上，串聯人存在關節誤差累積效應，末端執行器所能達到的位置精度往往有限。關節之間的串聯連后續關節成為前面關節的負載，增大了人的慣性。因此，速度、度性能以及負載能力受到了制約，進一步限制了串聯在實際應用中的性能。人當在實際應用中需要人有高的承載能力、良好的動力學性能及高精度等要求時，人們迫切需要有另外一種機械結構形式的人可供選擇。1HMI.com并聯人的基本概念人由多個并行鏈n 并聯的閉環運動系統,即末端執行器（移動平臺）通過至少兩個運動鏈與機座相連。（國際機構和科學I

3、FToMM）圖8.2 并聯人的典型結構圖1HMI.com并聯人的基本概念n 由于具有多條運動鏈，并聯人的基座和末端執行器之間具有環狀的閉鏈約束。與串聯人相比，具有閉鏈約束是并聯n 從機構學上看，多人在結構方面最大的特點。鏈同時操作末端執行器，不僅抵消了關節誤差累積效應，而且使得并聯人具有運動慣量低、負載能力強、剛度大等優點，這恰恰彌補了串聯人在這些方面的不足，使得并聯人成為一個潛在的高速度、高精度運動平臺。1HMI.com并聯人的基本概念n 并聯人機構的出現始于20世紀30年代。Gwinnett在其專利中提出了一種基于并聯機構的裝置，如圖8.3所示，它實際上是一個球關節并聯機構。圖8.3 Gw

4、innett的并聯機構1HMI.com并聯人的基本概念n 1940年，Pollard在其專利中提出了一種用于汽車噴漆的裝置，如圖8.4所示。這套裝置采用了一個包括三條運動鏈的并聯機構來油漆噴頭的位置和姿態。圖8.4 Pollard的汽車噴漆并聯機構1HMI.com并聯人的基本概念n 1962年，Gough發明了一種基于并聯機構的六自由度輪胎檢測裝置，如圖8.5所示。圖8.5 Gough平臺1HMI.com并聯人的基本概念n 1965年，Stewart將Gough平臺應用到飛行模擬裝置中來，并用它來驅動模擬飛行駕駛艙，此后這種六自由度的平臺也稱為Stewart平臺。圖8.6 Stewart平臺1

5、HMI.com并聯人的基本概念n 1978年，澳大利亞機構學教授Hunt將旋量理論(Screwtheory)用于分析并聯一步推動了并聯n 80年代末特別是90人的奇異性(Singularity) ，進人的研究。來，并聯人成為研究熱點，許多大型會議均設多個專題討論。1999年，在清華大學召開了我國第一界有關并聯人的研討會。n 并聯人著作：（1） 黃真等，并聯1997.（2） J-P, Merlet， Parallel robots， Kluwer， 1st ed， 2000. (2nd ed, 2006, Springer).人機構學理論及，機械工業，（3）叢爽，尚偉偉，并聯人建模、優化與應用，

6、電子，2010.工業1HMI.com并聯人的應用n 并聯機床圖8.7 并聯機床1HMI.com并聯人的應用n 在醫療上用于外科手術，來提高手術的精確度；或者用于康復人，輔助的康復訓練。圖8.8 醫療/康復并聯人1HMI.com并聯人的應用n 自動化生產圖8.9 Delta 并聯人1HMI.com并聯n 天文觀測人的應用圖8.10 天文觀測的并聯人FAST1HMI.com并聯人的研究方向n 機構學：機構設計從根本上決定了并聯（1）機械結構創新：人的性能。1988年，Clavel發明了DELTA達到500m/s2。1996年，Gosselin設計的Agile Eye并聯末端執行器最高角速度達100

7、0°/s，角人，其末端執行器度能夠人可用于攝像機度達20 000°/s2。，2004年，黃田教授設計了一種2-DOF并聯人，末端執行器的最高運動速度達4.5m/s，每分鐘完成120次抓取動作。（2）優化設計：基于剛度、靈巧度、力矩傳遞等性能指標，實現并聯 參數的優化設計。（3）新型驅動：柔索驅動，剛柔混合驅動人幾何1HMI.com并聯人的研究方向n 運動學：以關節空間和工作空間之間的坐標關系為基礎，涉及運動學模型、工作空間、奇異性、運動學標定等眾多問題。（1）運動學求解（模型）：正向運動學和反向運動學。（2）工作空間：由關節運動的約束條件，求解末端執行器能達到的運動范圍。（

8、3）奇異性：不穩定、不可控，可分為驅動器奇異性、末端執行器奇異性和位形空間奇異性。（4）運動學標定：采用實驗，估計出實際運動學參數的數值。1HMI.com并聯人的研究方向n 動力學: 描述并聯（1）動力學建模人的運動和各個關節力矩之間的關系。處理多支鏈間約束力的影響。正向動力學，用于系統；反向動力學，實現系統（2）摩擦力建模。并聯人復雜的機械機構，提出合理的非線性摩擦力模型。（3）動力學參數辨識設計最優的激勵軌跡，實現全部動力學參數和摩擦力參數的辨識。（4）策略設計各種非線性和不確定性影響，以及多支鏈間的協調運動問題，設計出合理的動力學策略。1HMI.com實際并聯人平臺n 并聯人系統（固高科

9、技）圖8.11 實際并聯人系統1HMI.com實際并聯人平臺n 系統硬件組成（1）上位機：PC Pentium III CPU 733MHz, Windows2000（2）運動器：固高科技GT-400-PCI-SV運動卡（3）三洋交流伺服系統：伺服電機P50B05020DXN2B+伺服驅動器PY2A015H2M66S00（4） 機械本體：平面二自由度并聯機構、諧波XB1 （中技克美）（5） 傳感器：絕對式光電編碼器ABS-RII器1HMI.com實際并聯人平臺圖8.12 并聯人系統的硬件組成1HMI.com實際并聯人平臺1HMI.com實際并聯人平臺n 運動系統的設計：（1） 運動學建模及參數

10、標定（2） 動力學建模及參數辨識（3）策略設計（4）軌跡圖8.13 運動系統操作界面1HMI.com并聯人的運動學平面二自由度并聯人可以看成是由同一個平面內的三個二桿串聯機構聯結而成的，結如圖8.14所示，坐標系的Y長度選為國際標準A1：m。三個基座在坐標系中的坐標分別為A1(0,0.25)、A2(0.433,0)、A3(0.433,0.5)，末端執行器為圖中的O點，并聯機器人的桿長均為l=0.244。XA2圖8.14 并聯人的運動坐標系1HMI.com并聯人的運動學n 正向運動學：由主動關節的轉角計算末端執行器的位置坐標。由圖8.14中坐標系的幾何關系知xo = xai + l ×

11、 cos (qai ) + l × cos (qbi )yo = yai + l ×sin (qai ) + l × sin (qbi )i = 1,2,3(8.1)l× cos(aiq)n 令=xya+ix ybi(8.2)ai+ l sin× (aiq)bi =n 將(8.2)代入(8.1)，可得到一個包含三個方程的方程組( x - x)2+ ( y - y)2= l 2(8.3)obiobid = x2 + y2 - l2n 定義，解上述方程組得到末端執行器位置坐標ibibid1 × ( yb 2- yb3 ) + d2 

12、15; ( yb3)()x =)( yo- y2b1b 2(8.4)=) y- y) + x( y- y) + x( y- yo2b3b 2b3b1b3b1b 21HMI.com并聯人的運動學工作空間：以三個基座所在位置為圓心，兩倍桿長為半徑可得到三個圓，其方程為0.5p20.4(ai +)2(ai4y)2(,8.35),=2-:xy-l 1, i2=cxi0.3上式表示的三個圓的相交部分即為p10.2人的工作空間，如圖8.15并聯所示，其中，p1是圓c2和c3的一個交點，p2是圓c1和c3的一個交點， p3是圓c1和c2的一個交點。圓弧p1p2在圓c3上，圓弧p2p3在圓c1 上，圓弧p3p

13、1在圓c2上。圓弧p1p2，p2p3，p3p1包括的范圍即為有效的工作空間。0.1p3000.40.5坐標軸x(m)圖8.15 并聯人的工作空間1HMI.com坐標軸y(m)并聯人的運動學A3n 反向運動學：已知末端執行器的位置坐標來求各關節的轉角。由q a3YB1q b1圖8.16中包含的三角形A幾何關系，可以得到的Oi BiB3qa1AlOqb3A1cos(q - a )=2liOaiin 式中ai= a tan 2( yo - yai , xo - xai ) 表示直線與坐標軸的夾角，從而得到主動關節角為qb2qa2B2l+ aq= ± arccosAiO A

14、2(8.7)Xaii2l關節轉角為= a tan 2 ( yo - yai - l ×sin(qai ), xo - xai - l × cos(qai )qbiO'(8.8)圖8.16 并聯人的運動學反解1HMI.com并聯人的運動學n 選取工作空間的幾何中心（0.289,0.250）作為主位置點，由公式（8.7）和（8.8），可得到八組反向運動學解，見表8.1。表8.1 主位置點對應的八組反向運動學解1HMI.com位形主動關節角度(度)關節角度(度)qa1qa2qa3qb1qb2qb3a53.7343173.7327-66.2659-53.734366.265

15、9-173.7327b53.7343173.7327-173.7327-53.734366.2659-66.2659c53.734366.2659-173.7327-53.7343173.7327-66.2659d53.734366.2659-66.2659-53.7343173.7327-173.7327e-53.734366.2659-66.265953.7343173.7327-173.7327f-53.734366.2659-173.732753.7343173.7327-66.2659g-53.7343173.7327-173.732753.734366.2659-66.2659h-

16、53.7343173.7327-66.265953.734366.2659-173.7327并聯人的運動學0.50.5n 根據八組反向運動學解，利0.40.4用可以很容易繪出對應0.30.3的八種運動學位形。0.20.2 A30.10.1q a3YB10q0b坐標軸x(m)坐標軸x(m)(b)(a)左手臂位形B3qa10.50.5 qb3A1Oq b2q a2B20.10.1A2X0000坐標軸x(m)坐標軸x(m)圖8.17 并聯人的運動學位形(c)1HMI.com坐標軸y(m)坐

17、標軸y(m)坐標軸y(m)坐標軸y(m)并聯人的運動學0.10000坐標軸x(m)(e)坐標軸x(m)(f)右手臂位形0.10000坐標軸x(m)(g)坐標軸x(m)(h)圖8.17 并聯人的運動學位形（續）1HMI.com坐標軸y(m)坐標軸y(m)坐標軸y(m)坐標軸y(m)并聯人的運動學性能指標n 力矩傳遞性能是反映并聯人承載能力的重要性能指標，定義了驅動力矩與廣義力矩的關系。廣義力矩與速度雅克比矩陣有直接的關

18、系，故廣義力因運動位形變化而變化。定義雅克比矩陣S為= ¶qa(8.9)n 廣義力矩與驅動器力矩的關系tt= ST(8.10)S兩個奇異值的平方根決定e的輸出邊界由SaT£相對 t an 其中 t estmtinsa £ t(8.11)emaxan 定義雅克比矩陣的條件數conss=max(8.12)minn 分析力矩傳遞性能參數h = 1/ con在整個工作空間中的分布，得到力矩傳遞性能圖譜。1HMI.com并聯人的運動學性能指標010.90.20.40

19、.6 010.980000.40.500.40.5坐標軸x(m)(b)坐標軸x(m)(a)0.00 0.8 0.0010.90.980000.40.500.40.5坐標軸x(m)坐標軸x(m)(c)(d)人的力矩傳遞性能圖8.18 并聯1HMI.com坐標軸y(m)坐標軸y(m)坐標軸y(m)坐標軸y(m)

20、并聯人的運動學性能指標010.980.40.90.7 0.00100000.5坐標軸x(m)(f)坐標軸x(m)(e)0.50.980.50.980.000.000.40.30000.30.500.

21、20.4坐標軸x(m)(h)坐標軸x(m)(g)圖8.18 并聯人的力矩傳遞性能(續)1HMI.com坐標軸y(m)坐標軸y(m)坐標軸y(m)坐標軸y(m)并聯人的運動學標定公差和裝配誤差的存在，并聯由于人各個運動學參數的實際值和名義值之間總是存在偏差，從而限制了并聯人的實際精度。從系統角度來看，在動力學模型的建模中也需要用到實際系統的運動學參數。所以運動學參數的精確性也直接影響到系統動力學模型的精度。并聯人的標定方法：外部標定法和自標定法兩類。外部標定法類似于串聯人的標定方法，需要使用精確的外部測量裝置對末端執行器的位置進量；自標定方法則依賴于并聯實現對運動學參數的估計。人的冗余關節傳感器

22、來通過運動學標定方法估計各個運動學參數的實際值成為提高并聯人精度的一個重要。1HMI.com并聯人的運動學標定如圖8.19所示，建立并聯人A3在工作空間中的坐標，該并聯機Y器人由位于平臺A1 ( xa1 ,ya1 ),A2 ( xa 2ya 2 )和A ( x,)上的三臺交流伺服電y3a3a3機驅動，末端執行器安裝在A1支鏈的連接處 O ( x) 。關節和,yoo連桿的定義如下：qai , i = 1, 2, 3 表示主動關節轉角；qbi , i = 1, 2, 3表示關節轉角；lai , i = 1, 2, 3 表示主動關節連XA2桿的長度；lbi , i = 1, 2, 3 表示節連桿的長

23、度。關圖8.19 并聯人的坐標（運動學參數未知）1HMI.com并聯人的運動學標定對于圖8.19所示的并聯人來說，只有三個主動關節的轉角可以通過光電編碼器直接測量，而關節的轉角不能直接測量得到?？紤]到并聯人只有兩個運動自由度，故其中一個關節傳感器是冗余的。傳感器信息的冗余使得僅采用三個內部光電編碼器就可以實現標定，而應用外部的傳感器。為了確定主動關節轉角的讀數，圖8.19中坐標軸X的正方向定義為零點位置，而逆時針方向定義為關節轉角的正方向。由于裝配誤差的存在，傳感器零點位置和主動關節零點位置之間存在偏角。除了六個連桿長度值 lai , lbi ,i = 1, 2, 3，六個基座坐標值 ( xa

24、i , yai )外，傳感器零點和主動關節零點之間的三個偏角也需要標定。定義偏角為 Dqai , 編碼器讀數為 q%ai ，主動關節轉角的實際值可寫為+ Dqai(8.13)qai1HMI.com并聯人的運動學標定在進行運動學標定之前，六個基座坐標值的其中三個需要預先設為名義值來確定并聯人的坐標系。否則的話，并聯人可以在工作空間中自由移動，標定得到的解有無窮多個，則無法確 定標定的真實解?？紤]到三個坐標值需要預先設定，從而一共有失一般性，假設基座坐標 xa1 , ya1 , xa 212個運動學參數需要標等于其名義值，并且在標定過程中是常量。因此，三個基座坐標 ya 2 , xa3 , ya3

25、，六個連桿長度值 lai , lbi ，以及三個偏角Dqa 2 , Dqa3 需要在運動學自標定中進行標定。由圖8.19的平面幾何關系，可以得到并聯xo = xai + lai × cos (qai ) + lbi × cos(qbi )yo = yai + lai × sin (qai ) + lbi × sin (qbi )將（8.13）代入方程（8.14）得到人的運動學關系為(8.14)xo = xai + lai × cos (qai ) + lbi× cos(qbi )(8.15)q) + l× sin (q)y=

26、 y+ l×sinoaiaiaibibi1HMI.com并聯人的運動學標定n 基于運動學方程（8.15），由閉環約束關系可以得到并聯運動學誤差為人x - x- lcos(q ) - lcos(q )éêùúoa1a1a1b1b1y - y- lsin(q ) - lsin(q )êúoa1a1a1b1b1ê x=oqa 2 ) - lb 2 cos(qb 2 )ú- xa 2- la 2 cos(a 2(8.16)Eê y) ú1- y+ Dq) - lsin(qêú

27、;oa 2a 2a 2b 2b 2ê x) ú- x- lq) - lcos(qcos(êoa3a3a3b3b3ú- ya3 - la3 sin(q%a3 + Dqa3 ) - lb3 sin(qb3 ) úûëê yon 消除關節轉角的相關項，方程（8.16）可以表示為é ( x)2ùúúúúú- x- lcos(qêoa1a1a1ê + ( y - y)2- lsin(- l 2qêoa1a1a1b1ê

28、( x)2- x- lcos(q(8.17)oa 2a 2a 2E = ê2ê+ ( y - y)2ú- l- l 2sin(qoa 2a 2a 2b 2 úúêê( x)2- x- lcos(qoa3a3a3êúê + ( y - y)2ú- l- l 2sin(qëb3 ûoa3a3a31HMI.com并聯人的運動學標定n 運動學參數之間的耦合乘積項使得標定問題的求解變得此，對這些耦合乘積項進行解耦得到。因qai ) = lai cos(qai ) = lai

29、sin(qai ) - lai sin(qai ) + lai cos(lai laicos(sin(qai )qai )(8.18)lai式中，lai cos(Dqai )和 lai sin(Dqai )可以用來代替和 Dqai 作為標定參數。令 lai cos(Dqai ) = laci，lai sin(Dqai ) = lasi ，方程（8.17）可以寫為é ( x)2ùúúúúú- x- lac cos(q% ) + las sin(q%êoa11a11a1ê + ( y - y)2- lac s

30、in(q% ) - las cos(q%- l 2oa11a11a1b1êê( x)2- x- lac cos(q%) + las sin(q%(8.19)oa 22a 22a 2E= ê3ê+( y - y)2ú- lac sin(q%) - las cos(q%- l 2oa 22a 22a 2b 2 úúêê ( x)2- x- lac cos(q%) + las sin(q%oa33a33a3êúê + ( y - y)2ú- lac sin(q%) - l

31、as cos(q%- l 2ëb3 ûoa33a33a31HMI.com并聯人的運動學標定n 對于M個采樣位形，運動學參數標定的求解可以轉化為最小化下面的性能指標函數(8.20)MJ = åMET (m)E (m) = å2E (m)333m=1m=1n 通過運用方程（8.20）問題。當自標定完成后，參數學自標定問題可以轉化為一個優化和Dqai可以計算為lai(8.21)l=lac2 + las2 , Dq= arctg(las / lac ), i = 1, 2, 3aiiiaiiin 由上述方程推導可以發現，方程（8.20）中的誤差函數是連續、非線性

32、的，并且包含多個局部最小值。n 差分演化（Differential Evolution, DE）算法對于包含連續變量的優化問題是一個有效的且具有魯棒性的求解算法。因此，對于并聯人的自標定來說，DE算法是一個非常好的選擇。1HMI.com并聯人的運動學標定在運動學自標定的實際實驗中，均勻選取圓周軌跡上的100個點作為末端執行器的采樣位形。圓周的圓心(0.29, 0.25)為并聯半徑為0.04米。通過人工作空間的幾何中心，圓周的選擇，并聯人的所有運動學參數都可以獲得充分激勵。通過采用DE算法，所有的12個運動學參數在滿足優化函數的條件下進行標定。將優化過程找到的最優解作 為運動學參數的最終標定結果

33、，如表8.1所示。并聯機 器人運動學參數的名義值也同時列在表8.1中作為比較。不失一般性，假設并聯等于它們的名義值即 xa1人的基座坐標xa1 , ya1 , xa 2分別= 0, ya1 = 0.25, xa 2 = 0.433 。1HMI.com并聯人的運動學標定n 表8.1 并聯人運動學參數的標定結果和名義值1HMI.com并聯人的運動學標定標定結果的驗證思想：在采用光電編碼器直接測量到主動關節的轉角之后，末端執行器的坐標可以通過正向運動學方程(8.14)計算得到。然后，基于正向運動學解，主動關節轉角可以采用反向運動學方程計算得到。如果并聯人的運動足夠精確，那么由運動學模型計算得到的主動

34、關節角度值等于編碼器測量得到的角度值。反之，如果運動學參數不精確，那么計算得到的主動關節角度值與測量得 到的角度值之間存在誤差。基于上述分析，通過計算三個主動關節轉角的計算角度值和測量角度值之間的誤差，我們可以比較并聯定結果和廠家提供的名義值。人運動學參數的自標1HMI.com并聯人的運動學標定為了驗證運動學自標定的結果，選取不同于激勵軌跡的、包含多條直線的復雜運動軌 跡作為末端執行器的跟跡。用于驗證標定結果的末端執行器運動軌跡如圖8.20所示，實際軌跡的起始點為A(0.244, 0.286)，然后經過0.3AC0.280.260.240.22BD80.320.36X-ax

35、is(m)點B(0.343, 0.21), C(0.343,0.286), D(0.244, 0.21), A,C,B, D，最后返回到起始點A。圖8.20 用于驗證標定結果的運動軌跡1HMI.comY-axi m)并聯人的運動學標定由運動學參數計算得到的三個主動關節轉角和由編碼器測量得到的三個主動關節轉角之間的誤差曲線如圖8.21所示。x 10 -33x 10 -33x 10 -33222111000-1-1-1-2-3-2-3-2-3by nominal kinematic parameters by calibrated kinematic parametersby nominal ki

36、nematic parameters by calibrated kinematic parametersby nominal kinematic parameters by calibrated kinematic parameters012 time(s)(a)345012time(s) 3(b)45012345time(s)(c)圖8.21 由運動學參數計算得到的三個主動關節轉角和由編碼器測量得到的三個主動關節轉角之間的誤差曲線：（a）關節1；（b）關節2；（c）關節31HMI.comactive joint error(rad)active joint error(rad)active

37、 joint error(rad)并聯人的運動學標定n 為了在運動學參數標定結果和名義值之間進行定量的比較，采用 均方根誤差（root-square mean error，RSME）來評價主動關節轉角的計算誤差。主動關節的均方根誤差(AJ-RSME)可以定義為å()13M( )2AJ - RSMqai ( j) - q ( j)(8.22)aii =1 j =1n 式中，qai ( j) 和qai ( j)分別表示主動關節i在第j個采樣位形的計算角度和測量角度?；诜匠蹋?.22），采用運動學參數標定結果計算得到的AJ-RSME是 5.42 ´10-4 rad ，而采用運動

38、學參數名義值計算得到的AJ-RSME為 4.20 ´10-3 rad 。因此，可以進一步說明運動學參數的標定結果比廠家提供的名義值要精確得多，同時驗證了并聯機 器人運動學自標定方法的有效性。1HMI.com并聯人的動力學模型A3q a3YB1q b1B3qa1qb3A1Oq b2q a2B2A2XB1a3Yqa1B3O3A1OOO312O1qb3O2a2B2A2X圖8.22 并聯人的動力學建模思路1HMI.com并聯人的動力學模型n 二自由度串聯人的動力學模型可以寫為i = 1, 2, 3+ Ciq& i + fi = i(8.23)Miq&&i是慣性矩陣，C

39、i 是科里奧利矩陣，i為其中， qi為關節轉角，Mi驅動力矩， fi 為摩擦力矩。n 忽略關節的摩擦力影響。考慮到主動關節摩擦力的復雜性，可以用非對稱的庫侖+粘滯摩擦力模型來建模ïì f+q&³ 0f= ícai-caivaiai(8.24)aiq&< 0ï fîvaiai-cai+cai和 f+vain 其中， f分別表示主動關節的正向和反向庫侖摩擦力；f-vai和f分別表示主動關節的正向和反向粘滯摩擦力系數。n 由第4章的推導可知，工作空間的動力學模型可寫為= (ST )+ (M+ C q& ) +

40、f(8.25)q&&ae ee ea1HMI.com并聯人的動力學辨識一方面，當并聯人裝配好之后，動力學參數難以測量，并且有些動力學參數在長期的使用過程中會發生較大的變化。另一方面，在并聯人的運動過程中，摩擦力是復雜且非線性的，并且摩擦力特性與速度方向有關。因此，動力學與摩擦力參數需要通過動力學辨識方法來ai , bi ,g i在動力學模型方程（8.25）中，動力學參數和摩擦力參+-+-vai數需要辨識。當這些參數從方程（8.25）中分離出f, f, f, fcaicaivai來后，得到一個關于動力學參數和摩擦力參數的線性矩陣形式如下(ST)+(M q + C q& )

41、 + f(8.26)q )&&eeeeae其中，D參數向量是一個由動力學軌跡計算得到的信息矩陣，模型e )包含了動力學參數向量 d 和摩擦力參數向量 f 。1HMI.com并聯人的動力學辨識n 一般來說，采用最小二乘方法來估計參數向量 。因此，依據動力學軌跡e ) ，方程（8.26）可以寫成最小二乘表達式如下(8.27)y() = Zn 其中，y是(3´ r) ´1 階的e ) + 量，Z是(3´ r) ´ 21階的觀測矩陣，是 (3´ r) ´1階的誤差向量，r是采樣數據的數目。考慮到估計參數向量只包含并聯人的基本參

42、數，因此，觀測矩陣Z是列滿秩的。1HMI.com并聯人的動力學辨識激勵軌跡設計：考慮到并聯人所有連桿具有相同的長度，并且并聯人的機械結構是完全對稱的，則幾何中心周圍的軌跡能夠平衡地激勵并聯人的所有關節。因此，幾何中心為圓心的圓周作為并聯人末端執行器的激勵軌跡。在實際辨識實驗中，末端執行器的激勵軌跡是逆時針運動的圓周，運動速度為0.2 m/s。圓周的圓心為并聯人的幾何中心(0.29, 0.25)，圓周的半徑為0.04 m。通過采用實際的動力學辨識實驗，動力學參數的辨識結果和摩擦力參數的辨識結果分別如表8.2和表8.3所示。作為比較，動力學參數的名義值也列在表8.2中。1HMI.com并聯人的動力

43、學辨識n 表8.2 動力學參數的辨識結果和名義值（kg.m2）1HMI.com并聯人的動力學辨識n 表8.3 摩擦力參數的辨識結果1HMI.com并聯人的動力學辨識動力學辨識結果驗證：基于動力學模型方程（8.25），我們可以利用辨識得到的動力學參數和摩擦力參數，以及實際的軌跡信息來計算驅動關節的力矩。如果辨識得到的動力學參數和摩擦力參數足夠精確，那么通過動力學模型計算得到的三關節的力矩和它的力矩一致。確，那否則的話，如果辨識得到的動力學參數和摩擦力參數么計算得到的力矩和實際的力矩之間的誤差就很大。為了驗證辨識得到的動力學參數和摩擦力參數，我們設計了軌跡跟蹤實驗。在實際實驗中，末端執行器的軌跡設計為與運動學標 定實驗驗證時的運動軌跡相同，如圖8.20所示。1HMI.com并聯人的動力學辨識由動力學辨識參數和摩擦力參數計算得到的驅動力矩和三個主動力矩如圖8.23所示。關節的實際666actual torqueby identified m222-2-2-2actual torquetorque by ident