1、2015-2016學年吉林省吉林市船營區毓文中學高三（上）12月月考數學試卷（理科）一選擇題：（每題5分，共60分）1設集合A=x|+=1，B=y|y=x2，則AB=（）A2，2B0，2C0，+）D（2，4），（2，4）2“0a4”是“命題“xR，不等式x2+ax+a0成立，為真命題”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3如圖所示，程序框圖的輸出值S=（）A15B22C24D284一空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為，則正視圖中x的值為（）A5B4C3D25如圖，平面內有三個向量，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|=2

2、，|OB|=，|=2，若=+（，R），則（）A=4，=2BCD6已知P是ABC內一點， +2=0，現將一粒黃豆隨機投入ABC內，則該粒黃豆落在PAC內的概率是（）ABCD7在ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC1，則sin2A=（）ABCD8已知實數x，y滿足如果目標函數z=xy的最小值為1，則實數m等于（）A7B5C4D39己知f（x）是定義在R上的函數，且對任意xR都有f（x+2）=f（2x）+4f（2），若函數y=f（x+1）的圖象關于點（1，0）對稱，且f（1）=3，則fA6B3C0D310設F是雙曲線C：=1（a0，b0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為

3、A，交另一條漸近線于點B若2=，則雙曲線C的離心率是（）AB2CD11已知定義在實數集R的函數f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導函數f（x）3，則不等式f（lnx）3lnx+1的解集為（）A（1，+）B（e，+）C（0，1）D（0，e）12已知正項等比數列an滿足：a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得=4a1，則+的最小值為（）ABC2D二.填空題（每小題5分，共20分）13復數z滿足（12i）z=7+i，則復數z的共軛復數=14已知變量x，y滿足，則的取值范圍是15如圖，在平面直角坐標系中，邊長為an的一組正三角形AnBn1Bn的底邊Bn1Bn依次排列在x軸上（B0與坐標原點重合

4、）設an是首項為a，公差為d的等差數列，若所有正三角形頂點An在第一象限，且均落在拋物線y2=2px（p0）上，則的值為16已知函數R），g（x）=lnx，若關于x的方程（e為自然對數的底數）只有一個實數根，則a=三.解答題（共6題，共80分.17-21題必答題.22.23題中任選一題作答）17在ABC中，a，b，c分別為角ABC的對邊，若=（sin2，1），=（2，cos2A+1），且（）求角A的度數；（）當a=2，且ABC的面積S=時，求邊c的值和ABC的面積18如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60°（I）求證：PBAD；（II）若P

5、B=，求二面角APDC的余弦值19設數列an的前n項和為Sn，且2an=Sn+2n+1（nN*）（）求a1，a2，a3；（）求證：數列an+2是等比數列；（）求數列nan的前n項和Tn20如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8（）求橢圓E的方程（）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由21已知函數f（x）=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數g（x）=f（x）+

6、x2bx（1）求實數a的值；（2）若函數g（x）存在單調遞減區間，求實數b的取值范圍；（3）設x1，x2（x1x2）是函數g（x）的兩個極值點，若b，求g（x1）g（x2）的最小值選修4-4：極坐標與參數方程（共1小題，滿分10分）22已知曲線C的參數方程是（為參數），直線l的參數方程為（t為參數），（1）求曲線C與直線l的普通方程；（2）若直線l與曲線C相交于P，Q兩點，且|PQ|=，求實數m的值選修4-5：不等式選講（共1小題，滿分0分）23已知a、b、c為正數，（1）若直線2x（b3）y+6=0與直線bx+ay5=0互相垂直，試求2a+3b的最小值；（2）求證：（ab+a+b+1）（ab

7、+ac+bc+c2）16abc2015-2016學年吉林省吉林市船營區毓文中學高三（上）12月月考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一選擇題：（每題5分，共60分）1設集合A=x|+=1，B=y|y=x2，則AB=（）A2，2B0，2C0，+）D（2，4），（2，4）【考點】交集及其運算【分析】求出A中x的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出兩集合的交集即可【解答】解：由A中+=1，得到2x2，即A=2，2，由B中y=x20，得到B=0，+），則AB=0，2，故選：B2“0a4”是“命題“xR，不等式x2+ax+a0成立，為真命題”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不

8、充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】先求出命題成立的充分必要條件，根據集合的包含關系判斷充分性和必要性即可【解答】解：若命題“xR，不等式x2+ax+a0成立，為真命題”，則=a24a0，解得：0a4，0a4是“命題“xR，不等式x2+ax+a0成立，為真命題”的充分不必要條件，故選：A3如圖所示，程序框圖的輸出值S=（）A15B22C24D28【考點】程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，依次寫出每次循環得到的i，S的值，當S=24時不滿足條件S20，退出循環，輸出S的值為24【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：i

9、=1，S=0滿足條件S20，i=3，S=3滿足條件S20，i=5，S=8滿足條件S20，i=7，S=15滿足條件S20，i=9，S=24不滿足條件S20，退出循環，輸出S的值為24故選：C4一空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為，則正視圖中x的值為（）A5B4C3D2【考點】由三視圖求面積、體積【分析】幾何體是一個組合體，上面是一個四棱錐，四棱錐的底面是對角線長度為4的正方形，四棱錐的側棱長是3，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是x，寫出組合體體積的表示式，解方程即可【解答】解：由三視圖知，幾何體是一個組合體，上面是一個四棱錐，四棱錐的底面是對角線長度為4的正方形，四棱錐的

10、側棱長是3，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是x，根據組合體的體積的值，得到12=×12，x=3，故選C5如圖，平面內有三個向量，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|=2，|OB|=，|=2，若=+（，R），則（）A=4，=2BCD【考點】數量積表示兩個向量的夾角；平面向量的基本定理及其意義【分析】如圖所示，過點C作CDOB，交直線OA與點D，由題意可得OCD=90°在RtOCD中，利用邊角關系求得|=2，|=4，再由|=|，且|=|，求得、的值【解答】解：如圖所示，過點C作CDOB，交直線OA與點D中與夾角為120°，與

11、的夾角為30°，OCD=90°在RtOCD中，|=|tan30°=2×=2，|=4，由 =，可得|=|，且|=|，即 4=2，且2=解得 =2，且=，故選：C6已知P是ABC內一點， +2=0，現將一粒黃豆隨機投入ABC內，則該粒黃豆落在PAC內的概率是（）ABCD【考點】幾何概型【分析】本題符合幾何概型的意義，只要畫出滿足條件的圖形，數形結合找出滿足條件的APC的面積大小與ABC面積的大小之間的關系，再根據幾何概型的計算公式進行求解【解答】解：如圖示，取BC的中點為D，連接PA，PB，PC，則2，又P點滿足+2=0，故有，可得三點A，P，D共線且，即P

12、點為A，D的中點時滿足+2=0，此時SAPC=SABC，故黃豆落在APC內的概率為，故選：C7在ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC1，則sin2A=（）ABCD【考點】兩角和與差的正切函數；同角三角函數基本關系的運用【分析】由條件利用兩角和的正切公式，求得tan（B+C）=150°，可得A=30°，從而求得sin2A的值【解答】解：ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC1，則 tan（B+C）=，B+C=150°，A=30°，sin2A=sin60°=，故選：B8已知實數x，y滿足如果目標函數z=xy的最小值為1

13、，則實數m等于（）A7B5C4D3【考點】簡單線性規劃【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數z=xy的最小值是1，確定m的取值【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：由目標函數z=xy的最小值是1，得y=xz，即當z=1時，函數為y=x+1，此時對應的平面區域在直線y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同時A也在直線x+y=m上，即m=2+3=5，故選：B9己知f（x）是定義在R上的函數，且對任意xR都有f（x+2）=f（2x）+4f（2），若函數y=f（x+1）的圖象關于點（1，0）對稱，且f（1）=3，則fA6B3C0D3【考點】抽象函數及其應用【分析】由函數f（x+1

14、）的圖象關于（1，0）對稱且由y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知函數y=f（x）的圖象關于原點對稱即函數y=f（x）為奇函數，在已知條件中令x=1可求f（1）及函數的周期，利用所求周期即可求解【解答】解：函數f（x+1）的圖象關于（1，0）對稱且把y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象，函數y=f（x）的圖象關于（0，0）對稱，即函數y=f（x）為奇函數，f（0）=0，f（1）=3，f（x+2）=f（2x）+4f（2）=f（x2）+4f（2），f（x+4）=f（x）+4f（2），f（x+8）=f（x+4）+4f（2）=f（x），函數的周期為8，f=f（1

15、）=f（1）=3故選：D10設F是雙曲線C：=1（a0，b0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B若2=，則雙曲線C的離心率是（）AB2CD【考點】雙曲線的簡單性質【分析】先由2=，得出A為線段FB的中點，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對應的傾斜角的度數，找到a，b之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率【解答】解：如圖過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，延長FA與另一條漸近線交于點B所以FBOA，又因為2=，所以A為線段FB的中點，2=4，又1=3，2+3=90°，所以1=2+4=22=3故2+3=90°=322=30°

16、1=60°=3，e2=4e=2故選：B11已知定義在實數集R的函數f（x）滿足f（1）=4，且f（x）導函數f（x）3，則不等式f（lnx）3lnx+1的解集為（）A（1，+）B（e，+）C（0，1）D（0，e）【考點】導數的運算；其他不等式的解法【分析】構造函數g（x）=f（x）2x1，求函數的導數，判斷函數的單調性 即可得到結論【解答】解：設t=lnx，則不等式f（lnx）3lnx+1等價為f（t）3t+1，設g（x）=f（x）3x1，則g（x）=f（x）3，f（x）的導函數f（x）3，g（x）=f（x）30，此時函數單調遞減，f（1）=4，g（1）=f（1）31=0，則當x1時

17、，g（x）g（1）=0，即g（x）0，則此時g（x）=f（x）3x10，即不等式f（x）3x+1的解為x1，即f（t）3t+1的解為t1，由lnx1，解得0xe，即不等式f（lnx）3lnx+1的解集為（0，e），故選：D12已知正項等比數列an滿足：a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得=4a1，則+的最小值為（）ABC2D【考點】等比數列的通項公式【分析】由正項等比數列通項公式結合已知條件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出結果【解答】解：正項等比數列an滿足：a7=a6+2a5，整理，得q2q2=0，又q0，解得，q=2，存在兩項am，an使得，整理，得2m+n

18、2=16，即m+n=6，當且僅當=取等號，但此時m，nN*又m+n=6，所以只有當m=4，n=2時，取得最小值是故選：B二.填空題（每小題5分，共20分）13復數z滿足（12i）z=7+i，則復數z的共軛復數=13i【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】先將z利用復數除法的運算法則，化成代數形式，再求其共軛復數【解答】解：（12i）z=7+i，z=1+3i共軛復數=13i故答案為：13i14已知變量x，y滿足，則的取值范圍是，【考點】簡單線性規劃【分析】作出可行域，變形目標函數可得=1+表示可行域內的點與A（2，1）連線的斜率與1的和，數形結合可得【解答】解：作出所對應的區域（如圖陰影），變形

19、目標函數可得=1+，表示可行域內的點與A（2，1）連線的斜率與1的和，由圖象可知當直線經過點B（2，0）時，目標函數取最小值1+=；當直線經過點C（0，2）時，目標函數取最大值1+=；故答案為：，15如圖，在平面直角坐標系中，邊長為an的一組正三角形AnBn1Bn的底邊Bn1Bn依次排列在x軸上（B0與坐標原點重合）設an是首項為a，公差為d的等差數列，若所有正三角形頂點An在第一象限，且均落在拋物線y2=2px（p0）上，則的值為1【考點】歸納推理【分析】根據題意得，正三角形A1B0B1的邊長為a，利用正三角形的性質得出點A1的坐標，又點A1落在拋物線y2=2px（p0）上，則點A1的坐標適

20、合拋物線方程，得到p=a；又an是首項為a，公差為d的等差數列，同理得到點A2的坐標且點A2落在拋物線y2=2px（p0）上，則有a=d，從而求出答案【解答】解：由題意得，正三角形A1B0B1的邊長為a，點A1的坐標為（，），又點A1落在拋物線y2=2px（p0）上，則（）2=2p×，p=a，又an是首項為a，公差為d的等差數列，a2=a+d，即正三角形A2B1B2的邊長為a+d，點A2的坐標為（a+，），又點A2落在拋物線y2=2px（p0）上，則2=2p（a+），化簡得（ad）（2a+d）=0，2a+d0，a=d，則的值為1故答案為：116已知函數R），g（x）=lnx，若關于x

21、的方程（e為自然對數的底數）只有一個實數根，則a=【考點】根的存在性及根的個數判斷【分析】把方程化為 =x22ex+a，求得 h（x）=的最大值為 h（e）=，再求得m（x）=x22ex+a 的最小值 m（e）=ae2，根據 ae2=求出a的值【解答】解：關于x的方程 =f（x）2e，可化為=x22ex+a，令h（x）=，令h'（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值為 h（e）=，令m（x）=x22ex+a，可得：x=e時，m（x）的最小值 m（e）=ae2 ，由 ae2=可得 a=e2+，故答案為：三.解答題（共6題，共80分.17-21題必答題.22.23題中任選一題作答）17

22、在ABC中，a，b，c分別為角ABC的對邊，若=（sin2，1），=（2，cos2A+1），且（）求角A的度數；（）當a=2，且ABC的面積S=時，求邊c的值和ABC的面積【考點】余弦定理；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系【分析】（）ABC中，利用兩個向量垂直的性質可得可得 =（2cosA+1）（cosA1）=0，求得cosA 的值，即可得到A的值（）由ABC的面積S=absinC，以及余弦定理cosC=，求得tanC的值，可得C的值，從而得到B的值再由正弦定理求得c=2根據ABC的面積S=acsinB，運算求得結果【解答】解：（）ABC中，由=（，1），=（2，cos2A+1），且，可得 =

23、2+cos2A+1=cos（B+C）1+cos2A+1=2cos2AcosA1=（2cosA+1）（cosA1）=0，cosA=或cosA=1（舍去），A=120°（）a=2，且ABC的面積S=absinC，由余弦定理可得 cosC=，tanC=，C=30°，B=30再由正弦定理可得，即 =，解得c=2ABC的面積S=acsinB=18如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60°（I）求證：PBAD；（II）若PB=，求二面角APDC的余弦值【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質【分析】（）證明：取AD的中點E，

24、連接PE，BE，BD證明AD平面PBE，然后證明PBAD；（）以點E為坐標原點，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面APD的一個法向量為=（0，1，0），平面PDC的一個法向量為，利用向量的數量積求解二面角APDC的余弦值【解答】（）證明：取AD的中點E，連接PE，BE，BDPA=PD=DA，四邊形ABCD為菱形，且BAD=60°，PAD和ABD為兩個全等的等邊三角形，則PEAD，BEAD，AD平面PBE，又PB平面PBE，PBAD；（）解：在PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，則PB2=PE2+BE2，PEB=90°，即

25、PEBE，又PEAD，PE平面ABCD；以點E為坐標原點，分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則E（0，0，0），C（2，0），D（1，0，0），P（0，0，），則=（1，0，），=（1，0），由題意可設平面APD的一個法向量為=（0，1，0）；設平面PDC的一個法向量為=（x，y，z），由 得：，令y=1，則x=，z=1，=（，1，1）；則=1，cos=，由題意知二面角APDC的平面角為鈍角，所以，二面角APDC的余弦值為19設數列an的前n項和為Sn，且2an=Sn+2n+1（nN*）（）求a1，a2，a3；（）求證：數列an+2是等比數列；（）求數列

26、nan的前n項和Tn【考點】數列的求和；數列的函數特性；等比關系的確定【分析】（I）根據2an=Sn+2n+1，分別取n=1，2，3，可求出a1，a2，a3的值；（II）因為2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立，兩式相減可得an+1+2=2（an+2），然后根據等比數列定義可得結論；（III）先求出數列nan的通項公式，然后利用錯位相消法進行求和即可【解答】（本小題滿分13分）（I）解：由題意，當n=1時，得2a1=a1+3，解得a1=3當n=2時，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8當n=3時，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18所以a1=3，

27、a2=8，a3=18為所求（）證明：因為2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立兩式相減得：2an+12an=an+1+2所以an+1=2an+2（nN*），即an+1+2=2（an+2）所以數列an+2是以a1+2=5為首項，公比為2的等比數列（）解：由（） 得：an+2=5×2n1，即an=5×2n12（nN*）則nan=5n2n12n（nN*）設數列5n2n1的前n項和為Pn，則Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+5×（n1）2n2+5×n2n1，所以2

28、Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+5（n1）2n1+5n2n，所以Pn=5（1+21+22+2n1）5n2n，即Pn=（5n5）2n+5（nN*）所以數列nan的前n項和Tn=，整理得，Tn=（5n5）2nn2n+5（nN*）20如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8（）求橢圓E的方程（）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；

29、若不存在，說明理由【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程【分析】（）根據過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2c2=3，即可求得橢圓E的方程（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，利用動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0），可得m0，=0，進而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），再進行證明即可【解答】解：（）過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為84a=8，a=2e=，c=1b2=a2c2=

30、3橢圓E的方程為（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0）m0，=0，（8km）24×（4k2+3）×（4m212）=04k2m2+3=0此時x0=，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此時P（0，），Q（4，），以PQ為直徑的圓為（x2）2+（y）2=4，交x軸于點M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此時P（1，），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x）2+（y）2=，交x軸于點M3（1，0）或M4（4，0）故若滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），證明如下故

31、以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點M（1，0）方法二：假設平面內存在定點M滿足條件，因為對于任意以PQ為直徑的圓恒過定點M，所以當PQ平行于x軸時，圓也過定點M，即此時P點坐標為（0，）或（0，），由圖形對稱性知兩個圓在x軸上過相同的交點，即點M必在x軸上設M（x1，0），則=0對滿足式的m，k恒成立因為=（x1，），=（4x1，4k+m），由=0得+4x1+x12+3=0，整理得（4x14）+x124x1+3=0由于式對滿足式的m，k恒成立，所以，解得x1=1故存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點M21已知函數f（x）=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數g（x

32、）=f（x）+x2bx（1）求實數a的值；（2）若函數g（x）存在單調遞減區間，求實數b的取值范圍；（3）設x1，x2（x1x2）是函數g（x）的兩個極值點，若b，求g（x1）g（x2）的最小值【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的極值【分析】（1）求導數，利用導數的幾何意義能求出實數a的值（2）由題意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，由此能求出實數b的取值范圍（3）g（x1）g（x2）=ln（），由此利用構造成法和導數性質能求出g（x1）g（x2）的最小值【解答】解：（1）f（x）=x+alnx，f（x）=1+，f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，k=f（x）|x=1=1+a=2，解得a=1（2）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=，x0，由題意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，定義域x0，x+2，x+b1有解，