1、 在十九世紀末，混凝土已經是廣泛使用的建筑材料，它具有整體性好，可以在現場根據需要進行模注等特點。這時，隧道襯砌結構是作為超靜定彈性拱計算的，但僅考慮作用在襯砌上的圍巖壓力，而未將圍巖的彈性抗力計算在內，忽視了圍巖對襯砌的約束作用。由于把襯砌視為自由變形的彈性結構，因而，通過計算得到的襯砌結構厚度很大，過于安全。大量的隧道工程實踐表明，襯砌厚度可以減小，所以，后來上述兩種計算方法不在使用了。 進入本世紀以后，通過長期的觀測，發現圍巖不僅對襯砌施加壓力，同時約束著襯砌的變形。圍巖對襯砌的變形的約束，對改善襯砌結構的受力狀態有利，不容忽視。襯砌在受力過程中的變形，一部分結構有離開圍巖形成“脫離區”

2、的趨勢，另一部分壓緊圍巖形成所謂“抗力區”，如圖4-1所示。在抗力區內，約束著襯砌變形的圍巖，相應地產生被動抵抗力，即“彈性抗力”。抗力區的范圍和彈性抗力的大小，因圍巖性質、圍巖壓力大小和結構變形的不同而不同。但是這個問題有不同的見解，即局部變形理論和共同變形理論。圖4-1圖4-2 局部變形理論是以溫克爾(E.Winkler)假定為基礎的。它認為應力( )和變形( )之間呈直線關系，即 ，K是圍巖彈性抗力系數，見圖4-2(a)。這一假定，相當于認為圍巖是一組各自獨立的彈簧，每個彈簧表示一個小巖柱。雖然實際的彈性體變形是相互影響的，施加于一點的荷載會引起整個彈性體表面的變形，即共同的變形，見圖4

3、-2(b)。但溫氏假定能反映襯砌的應力一變形的主要因素，且計算簡便實用，可以滿足工程設計的需要。應當指出，彈性抗力系數K并非常數，它取決于很多的因素，如圍巖的性質、襯砌的形狀和尺寸、以及荷載類型等。不過對于埋深隧道，可以視為常數。 共同變形理論把圍巖視為彈性半無限體，考慮相鄰點之間變形的相互影響。它用縱向變形系數E和橫向變形系數 表示iiKii地層特征，并考慮粘結力C和內摩擦角 的影響。但這種方法所需圍巖物理力學參數較多，而且計算頗為復雜，計算模型也有嚴重缺陷，另外還假定施工過程中對圍巖不產生擾動等，更是與實際情況不符。因而，我國很少使用。 本章主要討論局部變形理論中目前仍有實用價值的方法。

4、二、隧道襯砌上的荷載與分類 作用在襯砌上的荷載，按其性質可以區分為主動荷載與被動荷載。主動荷載是主動作用于結構、并引起結構變形的荷載；被動荷載是因結構變形壓縮圍巖而引起的圍巖被動抵抗力，即彈性抗力，它對結構變形起限制作用。 第二節第二節 半襯砌的計算半襯砌的計算 拱圈直接支承在坑道圍巖側壁上時，稱為半襯砌，見圖4-3。常用于堅硬、較完整的圍巖(級、級圍巖)中。用先拱后墻法施工時，在拱圈已作好，但馬口尚未開挖前，拱圈處于半襯砌工作狀態。 一、計算圖式、基本結構及正則方程圖4-3 道路隧道中的拱圈，一般矢跨比不大，在垂直荷載作用下拱圈向坑道內變形，為自由變形，不產生彈性抗力。由于支承圈的圍巖是彈性

5、的，即拱圈支座是彈性的，在拱腳反力的作用下圍巖表面將發生彈性變形，使拱腳產生角位移和線位移。拱腳位移將使拱圈內力發生改變，因而計算中除按固端無鉸拱考慮外，還必須考慮拱腳位移的影響。對于拱腳位移，還可以作些具體分析，使計算圖式得到簡化。通常，拱腳截面剪力很小，它與圍巖之間的摩擦力很大，可以認為拱腳沒有徑向位移只有切向位移，所以在計算圖式中，在固端支座上用一根徑向剛性支承鏈桿加以約束，見圖4-4(a)。切向位移可以分解為垂直方向和水平方向兩個分位移。在結構對稱、荷載對稱條件下，兩拱腳的位移也是對稱的。對稱的垂直分位移對拱圈內力不產生影響。拱腳的轉角 和切向位移的水平分位移 是必須考慮的。圖中所示為

6、正號方向，即水平分位移向外為正，轉角與正彎矩方向相同時為正。采用力法計算時，將拱圈u在拱頂處切開，取基本結構如圖4-4之(b)所示。固端無鉸拱為三次超靜定，有三個多余未知力，即彎矩X1，軸向力X2和剪切力X3。結構對稱、荷載對稱時X3=0，變成二次超靜定結構，而且只需計算一半。按拱頂切開處的截面相對變位為零的條件，可建立如下正則方程：圖4-4 式中： 單位變位，即在基本結構上，因 作用時，在Xi方向 上所產生的變位； 荷載變位，即基本結構因外荷載作用，在Xi方向的變位； f 拱圈的矢高； ， 拱腳截面的最終轉角和水平位移。0022222111122111ufXXXXppikipu) 14( 如

7、果式(4-1)中變位都能求出，則可用結構力學的力法知識解算出多余未知力X1和X2，那時，拱圈內力即可求出。 二、單位變位及荷載變位的計算 由結構力學求變位的方法(軸向力與剪力影響不計)知道：1kM式中： 基本結構在 作用下所產生的彎矩； 基本結構在 作用下所產生的彎矩； 基本結構在外荷載作用下所產生的彎矩； EJ 結構的剛度。dsEJMMdsEJMMpiipkiik0kMiM 在進行具體計算時，由于結構對稱、荷載對稱，只需計算半個拱圈。在很多情況下，襯砌厚度是改變的，給積分帶來不便，這時可將拱圈分為偶數段，用拋物線近似積分法代替，式(4-2)可以改寫為：0pM1iM1kMJMMEsJMMEsp

8、iipkiik0)24( )34( 利用式(4-3)，參照圖4-5，容易求得下列變位：圖4-5 JyMEsJMEsJyEsJyEsJEspppp020122212111)44( 式中： 半拱弧長n 等分后的每段弧長。s 就算表明，當拱厚dL/10(L拱的跨度)時，曲率和剪力的影響可以略去。當矢跨比f/L1/3時，軸向力影響可以略去。 三、拱腳位移計算 1. 單位力矩作用時 單位力矩作用在拱腳圍巖上時，拱腳截面繞中心點a轉過 一個角度 ，見圖4-6，拱腳截面仍保持平面，其內(外)緣處 圍巖的最大應力 為：221661bhbhWM11hW式中： 拱腳截面厚度； b 拱腳截面縱向單位寬度， 取b=1

9、m； 拱腳截面的截面模量， ；62bhW 圖4-6 根據溫克爾假定，拱腳內(外)緣的最大沉陷 為： 式中： 拱腳圍巖基底彈性抗力系數。 由于拱腳截面僅繞a點轉過一個角度，a點不產生水平位移，故 式中： 拱腳截面慣性矩， 。123bhJJ01221211ubhkh2116bhkkk1 2. 單位水平力作用時 單位水平力可以分解為軸向分力(1 )和切向分力(1 )，計算時只需考慮軸向分力的影響，見圖4-7。作用在cossin)54( 圍巖表面的均勻分布應力 為：圖4-7 bhcos122bhkkcos22 拱腳產生的均勻沉陷 為：2式中： 拱腳截面與垂直面之 間的夾角；其余符號意義同 前。 的水平

10、投影即為a點的水平位移 ，均勻沉陷時拱腳截面不發生轉動，故22u0coscos2222bhku)64( 3. 外荷載作用時 在外荷載作用下，基本結構中拱腳a點處產生彎矩 和軸向力 ，見圖4-8，拱腳截面的轉角 和水平位移 為：10120100MHMpppbhkNuMppppcos00100bhkNuHuMuppppcos0201000pM0pN0p0pu圖4-8 即：)74( 4. 拱腳位移 拱腳的最終轉角 和水平位移 ，可以按疊加原理，分別考慮X1、X2和外荷載的影響，用下式表示：012211012211)()(ppuufuXuXufXX0)()()(0)()()(0021221222211

11、21101121221111pppppuffffuuXfuXfXX0p0pu)84( 四、計算各截面內力并校核計算正確性 將式(4-7)、式(4-8)代入正則方程式(4-1)整理得：)94( 00220011011211212211212212222211111apappappufaafufaaffufuaa002022212110212111aXaXaaXaXa22112121012201122211212201210221aaaaaaaXaaaaaaaX令)104( 則式(7-9)可以簡寫為：)114( 解此二元線性方程組，即可求出多余未知力X1和X2：)124( 02021cosipii

12、ipiiNXNMyXXM0ipMi根據平衡條件可以計算出任一截面i處的內力，見圖7-9：0ipN)134( 式中： 、 基本結構中因外荷載作用，在任一截面i處產生 的彎矩和軸向力； 截面i的縱坐標； 截面i與垂直線間的夾角。iy圖4-9 圖4-10 求出各截面的彎矩Mi和軸向力Ni后，即可繪出內力圖，見圖4-10，并確定出危險載面。同時用偏心距e=Mi/Ni表示出壓力曲線圖。 拱圈內力計算比較繁瑣，數值運算很多，容易出錯和造成累計誤差，因此應該校核計算結果的正確性。 計算過程中，可以校核單位變量、多余未知力以及最終內力計算結構的正確性。這里僅介紹最終內力計算結構的校核方法。 拱頂截面因內力Mi

13、,Ni作用而產生的變位與因拱腳彈性變位而產生的拱頂截面變位的總和，應滿足拱頂截面的變形連續性條件，即拱頂相對轉角和水平位移為零的條件。 轉角為零：水平位移為零：00ufJyMEsufdsEJyMJMEsEJdsMiiiiii)144( 上述計算是將拱圈視為自由變形得到的計算結構。由于沒有考慮彈性抗力，所以彎矩是比較大的，因此，截面也較厚。如果圍巖繳堅硬，或者拱的形狀較尖，則可能有彈性抗力。襯砌背后的密實回填是提供彈性抗力的必要條件，但是拱部的回填相當的困難，不容易做到密實。僅在起拱線以上11.5m范圍內的超挖部分，由于是用與拱圈同級的混凝土回填的，可以做到密實以外，其余部分的回填比較松散，不能

14、有效地提供彈性抗力。拱腳處無徑向位移，故彈性抗力為零，最大值在上述11.5m處，中間的分布規律較復雜，為簡化計算可以假定為按直線分布。考慮彈性抗力的拱圈計算，可參考曲墻式襯砌進行。 第三節第三節 曲墻式襯砌計算曲墻式襯砌計算 在襯砌承受較大的垂直方向和水平方向的圍巖壓力時，常常采用曲墻式襯砌。它由拱圈、曲邊墻和底板組成，有向上的底部壓力時設仰拱。曲墻式襯砌常用于級圍巖中，拱圈和曲邊墻作為一個整體按無鉸拱計算，施工時仰拱是在無鉸拱業已受力之后修建的，所以一般不考慮仰拱對襯砌內力的影響。 一、計算圖式 在主動荷載作用下，頂部襯砌向坑道內變形形成脫離區，兩側襯砌向圍巖方向變形，引起圍巖對襯砌的被動彈

15、性抗力，形成抗力區。抗力圖形分布規律按結構變形特征作以下假定，見圖4-11： 1.上零點b(即脫離區與抗力區的分界點)與襯砌垂直對稱中線 的夾角假定為 。 2.下零點a在墻角。墻角處摩擦力很大，無水平位移，故彈性 抗力為零。圖4-11 45b 3.最大抗力點h假定發生在最大跨度處附近，計算時一般取 ，為簡化計算，可假定在分段的接縫上。 4.抗力圖形的分布按照以下假定計算：拱部 段抗力，按二次 拋物線分布，任一點的抗力 與最大抗力 的關系為： 邊墻 段抗力 為：abah32hhbibi)coscoscoscos(2222hhiiyy)(1 211)164( )154( bhihhai式中： 、

16、、 分別為i、b、h點所在截面與垂直對稱軸的 夾角； i點所在截面與襯砌外輪廓線的交點至最大抗力點h的 垂直距離； 墻底邊緣至最大抗力點h的垂直距離。ibh1iy1hy 段邊墻外緣一般都作成直線形，且比較厚，因剛度較大，故抗力分布也可假定為與高度呈直線關系。若 的一部分外緣為直線形，則可將其分為兩部分分別計算，即曲邊墻段按式(4-16)計算，直邊墻段按直線關系計算。 兩側襯砌向圍巖方向的變形引起彈性抗力，同時也引起摩擦力 ，其大小等于彈性抗力和襯砌圍巖間的摩擦系數 的乘積： 計算表明，摩擦力影響很小，可以忽略不計，而忽略摩擦力的影響是偏與安全的。 彈性抗力的精確分布情況，需要用逐步趨近法求得。

17、 墻角彈性固定在地基上，可以發生轉動和垂直位移，如前所述在結構和荷載均對稱時，垂直位移對襯砌內力不產生影響。iisis)174( haha 在經過上述分析后，若不考慮仰拱作用，可將計算圖式表示為圖4-12的形式。圖4-12 二、主動荷載作用下的力法方程和襯砌內力 取基本結構如圖4-13所示，未知力為X1p、X2p，根據拱頂截面相對變位為零的條件，可以列出力法方程式：圖4-13 由于墻底無水平位移，故 ，代入式(4-18)整理后得：0022222111122111pppppppppufXXXX)184( )194( ppu式中： 、 墻底位移，分別計算 、 和外荷載的影響 ，然后按迭加原理相加即

18、 可以得到：pX1pX2012211)(ppppfXX0pu0)()(0)()(021222212110111221111ppppppppffXfXfXX)204( 式中： 、 基本結構的單位位移和主動荷載位移，可由式 (4-2)求得；ipik 墻底的單位轉角，可參照式(7-5)計算； 基本結構墻底的荷載轉角，可參照式(7-7)計算； f 襯砌的矢高。 求得X1p、X2p后，在主動荷載作用下，襯砌內力即可參照式（4-13）解出：02021cosipipipipippipNXNMyXXM)214( 0p1 這里，被動荷載的作用還未考慮在內。由于 是一個未知數，所以需要利用最大抗力點h處的變形協調

19、條件增加一個方程式。在主動荷載作用下，通過式(4-21)可以解出內力 、 ，并求出h點的位移 ，見圖4-14(b)。在被動荷載作用下的內力和位移，可以通過 的單位抗力圖形作為外荷載時所求得的任一截面內力 、 和最大抗力點h處的位移 ，見圖4-14(c)，hipMipNhp1hiMiNh并利用迭加原理求出h點的最終位移：由溫爾克假定可以求出h點的彈性抗力 與位移 的關系式：代入式(4-22)，可得：hhhphhhphk1hhkhh)224( )234( 圖4-14 三、最大抗力值的計算 由式(4-23)可知，欲求 則應先求出 、 。變位由兩部分組成，即結構在荷載作用下的變位和因墻底變位(轉角)而

20、產生的變位之和。前者按結構力學方法，畫出 、 圖，見圖4-15(a)、(b)，再在h點處的所求變位方向上加一單位力p=1，繪出圖，見圖4-15(c)。墻底變位在h點產生的位移可由幾何關系求出，見圖4-15(d)。位移可以表示為：hhphipMiMihM圖4-15 hhhhhphhpphhphpyJMMEsydsEJMMyJMMEsydsEJMMh90h式中： 因主動荷載作用而產生的墻底轉動，可參見式4-7計算； 因單位抗力作用而產生的墻底轉角，可參見式(4-7)計算； 墻底中心a至最大抗力截面的垂直距離。 如果h點所對應的 時，則該點的徑向位移和水平位移相差很小，故可視為水平位移。又，由于結構

21、與荷載均對稱時，拱頂截面的垂直位移對h點徑向位移的影響可以忽略不計。因此計算該點水平位移時，可以取圖4-16所示結構，是計算得到簡化。按結構力學方法，在h點加一單位力p=1，可以求得 及 。hp)244( phy)()()()(yyJMEsdsEJyyMyyJMEsdsEJyyMhhhhphphp)254( y式中： 、 h點及任一點i的垂直坐標。hy圖4-16 四、在 抗力圖作用下的內力 將 抗力圖示為外荷載單獨作用時，未知力 及 可以參照X1p及X2p的求法得出。參照式(4-20)可以列出力法方程：1h1h1X2X0)()(0)()(021222212110111221111ffXfXfX

22、X100 M02021cosNXNMyXXMiiii1X2X)264( 式中： 、 單位抗力圖為荷載引起的基本結構在 、 方向的 位移。 單位抗力圖為荷載引起的基本結構墻底轉角； 其余符號意義同前。 120 解出 、 后，即可以求出襯砌在單位抗力圖為荷載單獨作用下任一截面內力：1X2X)274( 五、襯砌最終內力計算及校核計算結果的正確性 襯砌任一截面最終內力值可利用迭加原理求得：ihipiihipiNNNMMMkyJyMEsydsEJyMJyMEsfdsEJyMJMEsEJdsMhhihihihiiiiiii00hp)284( 校核計算結果的正確性，可以利用拱頂截面轉角和水平位移為零條件和最

23、大抗力點h點的位移條件：)294( 式中： 墻底截面最終轉角 第四節第四節 彈性地基上直梁的計算公式彈性地基上直梁的計算公式 一、基本計算公式的建立 直墻式襯砌的邊墻是按彈性地基上直梁計算位移和內力的，這里介紹廣泛應用的初參數法。 設直梁的高度與長度之比甚小，符合材料力學中的平面假設，可以用材料力學公式進行位移和內力計算；設直梁底面與地基間不存在間隙，地基為各向同性的半無限體；設直梁與地基之間的摩擦力對直梁內力影響很小，可以忽略不計，故地基反力與直梁底面相垂直。經過上述假設后，取一等截面直梁置于地基上，其寬度為1m，見圖4-17。梁上作用有任意荷載時，梁將產生撓度，地基將產生相應的沉陷y并產生

24、地基反力p，由溫克爾假定得p=ky。符號規定：荷載q與沉陷y以向下為正，反力p以向上為正，轉角 、彎矩M及剪力H按照材料力學的規定，見圖4-18。圖4-17 圖4-18 今在分布荷載bc段上取一微分體，見圖4-19。根據平衡條件 得：0)()(pdxdxxqdHHH)(xqpdxdH 0Y整理后得：)304( 圖4-19 根據平衡條件 得：整理并略去二階無窮小后得：將式(4-31)對x微分一次，并與式(7-30)比較得：0M02)(2)()()()(22dxpdxxqdxdHHdMMM0HdxdMdxdMH )314( )()(22xqkyxqpdxMddxdH)324( 由材料力學公式，不計

25、剪力對撓度影響時，則：dxdy22dxydEJdxdEJM33dxydEJdxdMH44dxydEJdxdH)(44xqkydxydEJ44EJka 將剪力對x微分一次：比較式(4-32)及式(4-33)得：)334( )344( 令(因次為，稱為彈性特征值或彈性標值)則式(4-34)可改寫為：長度1)(444444xqkydxyd)354( 式(4-35)即為彈性地基上直梁的撓度曲線微分方程，是四階線性常系數非齊次微分方程，解之即求的梁的撓度方程。其全解可用一個特解及與之對應的齊次方程的通解的和表示。y其齊次方程為：即相當于梁上無荷載，q(x)=0的情況。為解題方便，用ax代替x，可得：試用

26、具有形式 (r為常數)的函數滿足方程，則：將式(4-38)代入式(4-37)得：04444ydxyd04)(44yxdydxrerxdyd444)(0)4(4rexi044r所以：)394( )384( )374( )364( 式(4-39)稱為微分方程式(4-37)的特征方程，從中解出r的4個根，得到4個特解，并得到其通解：)cossin()sincos()sincos()cossin(2)()cossincossin(2)()sincos()cossin()sincos()cossin()(43213432124321axshaxaxchaxcaxshaxaxchaxcaxshaxaxch

27、axcaxshaxaxchaxcEJaaxddMadxdMHaxchaxcaxchaxcaxshaxcaxshaxcEJMaxddEJadxdEJaxchaxaxshaxcaxchaxaxshaxcaxshaxaxchaxcaxshaxaxchaxcaaxddyadxdyaxshaxcaxshaxcaxchaxcaxchaxcysincossincos4321)424( )404( xixxixxixxixeeceeceeceecy4321利用歐拉公式和雙曲線函數公式及定義，式(4-40)可以有不同表示形式，但整理后均可表示為：)414( 逐次積分后可得： 上述由線性微分方程式解得的位移、轉角

28、、彎矩及剪力公式中未知的積分常數與粱的始端內力(初剪力、初彎矩)和變形(初轉角、初位移)有關。它們個數很少，容易根據梁的邊界條件確定。 當x=0時，chax=cosax=1，shax=sinax=0梁始端的初參數，見圖4-20，可由式(4-41)及式(4-42)求出：圖4-20 )(22)(32342321ccEJaHcEJaMccacyuccccccuc 1ccHEJac324121ccHEJac334121cMEJac2421)434( 由式(4-43)可以解得積分常數：將積分常數回代式(4-41)及式(4-42)，即可求出梁的任一截面的內力與變位。但式中的雙曲函數及三角函數只與梁的幾何尺

29、寸、材料及地基彈性抗力系數有關，為使計算得到簡化，令axshaxaxchaxaxshaxaxshaxaxchaxaxchaxcossinsincossincos4321)444( 并將式(4-44)預先計算出以ax為變量的雙曲線三角函數，其值通常列成表格，見附錄。將式(4-43)及式(4-44)代入式(4-41)及式(4-42)可得： 143222143323223144322122214222221ccccccccccccccccHMakkuHaHMakkuMkHkaMukHkaMuycMcuccH)454( 只要式(4-45)中的初參數 、 、 及 知道，則梁的任一截面的位移和內力即可求出

30、。根據溫爾克假定將梁的撓度(即地基的沉陷)方程乘以地層彈性抗力系數k即得反力(抗力)方程。 二、梁上有分布荷載作用的情況 梁上有分布荷載時，相當于q(x) 0的情況。若為均布荷載時，q(x)=e，若為梯形荷載時 ，見圖4-21。梁上有荷載時，即式(4-35)所表達的情況，為四階線性常系數非齊次微分方elxeqx程。其余解可用它的一個特解及對應的齊次方程的通解之和表示。對應齊次方程的通解已經求得，但求特解則比較煩瑣。如果已經找到一個特解為：圖4-21 梯形荷載時： 均布荷載(即 )時： )2()1 (21xklekey)1 (2key0e則，式(4-35)的全解，即梁的任一截面位移(按梯形荷載計

31、算)如下： )2()1(2212243221xklekekHkaMuycccc)464( 322143224332214332143223142222422142)1(22laeeHMkkuHleeHMkkuMklekekHkMucccccccccccc)474( 逐次微分可得梁上任一截面的轉角 、彎矩M及剪力H如下： 第五節第五節 直墻式襯砌計算直墻式襯砌計算 直墻式襯砌的計算方法很多，如鏈桿法等，本節僅介紹力法。這種襯砌形式廣泛用于道路隧道。它由拱圈、直邊墻和底板組成。計算時，僅計算拱圈及直邊墻。底板不進行襯砌計算，需要時按道路路面結構計算。 一、計算原理 拱圈按彈性無鉸拱計算，與本章第二

32、節所述方法相同，拱腳支承在邊墻上。邊墻按彈性地基上的直梁計算，并考慮邊墻與拱圈之間的相互影響，見圖4-22。由于拱腳并非直接固定在巖層上，而是固定在直墻頂端，所以拱腳彈性固定的程度取決圖4-23 圖4-22 于墻頂的變形。拱腳有水平位移、垂直位移和角位移，墻頂位移與拱腳位移一致。當結構對稱、荷載對稱時，垂直位移對襯砌內力沒有影響，計算只需考慮水平位移和角位移。邊墻支承拱圈并承受水平圍巖壓力，可看作置于具有側向彈性抗力系數K的彈性地基上的直粱。有展寬基礎時，其高度一般不大，可以不計其影響。由于邊墻高度遠遠大于底部寬度，對基礎的作用可以看作是置于具有彈性抗力系數為Ka的彈性地基上的剛性梁。 襯砌結

33、構在主動荷載(圍巖壓力和自重等)的作用下，拱圈頂部向坑道內部產生位移，見圖4-23，這部分結構能自由變形，沒有圍巖彈性抗力。拱圈兩側壓向圍巖，形成抗力區，引起相應的彈性抗力。在實際施工中，拱圈上部間隙一般很難做到回填密實，因而拱圈彈性抗力區范圍一般不大。彈性抗力的分布規律及大小，與多種因素有關。由于拱圈是彈性地基上的曲梁，尤其是曲梁剛度改變時，其計算非常復雜，因而仍用假定抗力分布圖法。直墻式襯砌拱圈變形與曲墻式襯砌拱圈變形近似，計算時可用曲墻式襯砌關于拱部抗力圖形的假定，認為按二次拋物線形狀分布。上零點 位于 之間，最大抗力b5545 在直邊墻的頂面(拱腳)C處，b、c間任一點i處抗力為 的函

34、數，即：當 ， ，可以簡化為：式中：符號意義同前。hi)coscoscoscos(2222hbibi 45b 90h)cos21 (2ihi)484( 彈性抗力引起的摩擦力，可由彈性抗力乘摩擦系數 求得，但通常可以忽略不計。 彈性抗力 (或 )為未知數，但可根據溫氏假定建立變形條件，增加一個 的方程式。 由上述可以看出，直墻式襯砌的拱圈計算原理與本章第二節拱圈計算及第三節曲墻式襯砌計算相同，可以參照相應的公式計算。ihkii 二、邊墻的計算 由于拱腳不是直接支承在直邊墻上，所以直墻式襯砌的拱圈計算中的拱腳位移，需要考慮邊墻變位的影響。直邊墻的變形和受力狀況與彈性地基梁相類似，可以作為彈性地基上

35、的直梁計算。墻頂(拱腳)變位與彈性地基梁(邊墻)的彈性標值及換算長度ah有關，可以分為三種情況： （1）邊墻為短梁(1ah2.75) 短梁的一端受力及變形對另一端有影響，計算墻頂變位時，要考慮到墻腳的受力和變形的影響。 設直墻(彈性地基梁)c端作用有拱腳傳來的力矩 、水平力 、垂直力 、以及作用于墻身的按梯形分布的主動側壓力。求墻頂所產生的轉角 及水平位移 ，然后即可按以前cMcHcV0cp0cpu方法求出拱圈的內力及位移。由于垂直力 對墻變位僅在有基底加寬時才產生影響，而且前直墻式襯砌的邊墻基底一般均不加款，所以不需要考慮。根據彈性地基上直梁的計算公式求得邊墻任一截面的位移y、轉角 、彎矩M

36、和剪力H，再結合墻底的彈性固定條件，得到墻底的位移和轉角。這樣就可求得墻頂的單位變位和荷載(包括圍巖壓力及抗力)變位。由于短梁一端荷載對另一端的變形有影響，墻腳的彈性固定狀況對墻頂變形必然有影響，所以計算公式的推導是復雜的。下面僅給出計算結果，參見圖4-24。cV圖4-24 墻頂在單位彎矩 單獨作用下，墻頂的轉角 、水平位移 為：1cM11u)(4121131Ac)(2111321Acu墻頂在單位水平力 單獨作用下，墻頂位移 、 為：在主動側壓力(梯形荷載)作用下，墻頂位移 、 為：1cH22u)(21113212Acu)(213102AcueeueAhhceAce)()()(10314434

37、eAhceAcue)22(1)(14121514式中：其中： k側向彈性抗力系數； k0 基底彈性抗力系數； 基底作用有單位力矩時所產生的轉角，33362nhkAkkn0Jk01 h 邊墻的側面高度； 與前述 同樣以為ax為變量的雙曲線三角函數； 邊墻軸線對墻底中心的偏心距，基底無限寬時 。)(109Akc1594100e0e 墻頂單位變位求出后，由基本結構傳來的拱部外荷載，包括主動荷載和被動荷載使墻頂產生的轉角及水平位移，即不難求出。當基礎無限寬時，墻頂位移為：ecpcpcpecpcpcpueuHuMueHM2010020100)494( 墻頂截面的彎矩Mc，水平力Hc，轉角 和水平位移 為

38、：ccu01221101221120210)()(cpccpccpccpcuufuXuXufXXXHHfXXMM)504( 以Mc、Hc、 及 為初參數，即可由初參數方程求得距墻頂為x的任一截面的內力和位移。若邊墻上無側壓作用，即e=0時，則：432213223141432221433222122222142kHkMuukHkMuHMkkuHHMkkuMccccccccccccccccccu)514( （2）邊墻為長梁(ah 2.75) 換算長度ah 2.75時，可將邊墻視為彈性地基上的半無限梁(簡稱長梁)或柔性梁，近似看作為ah= 。此時，邊墻具有柔性，可認為墻頂的受力(除垂直力外)和變形對

39、墻底沒有影響。 這種襯砌應用于較好的圍巖中，不考慮水平圍巖壓力作用。由于墻底的固定情況對墻頂的位移沒有影響，故墻頂單位位移可以簡化為：)(1)(224151434222131AcuAckukukee)524( 式中：符號意義同前。 式(4-52)中個單位位移和主動側壓產生的位移求出以后，即可按照與短梁相似步驟求解拱及邊墻的內力和位移：6527263587222421kHkMukHkMHMHHMMccccccscc)534( 8541式中： 意義同 ，可由附錄查得； 其余符號意義同前。 （3）邊墻為剛性梁(ah 1) 換算長度ah 1時，可近似作為彈性地基上的絕對剛性梁，近似認為ah=0(即EJ

40、= )。認為邊墻本身不產生彈性變形，在外力作用下只產生剛體位移，即只產生整體下沉和轉動。由于墻底摩擦力很大，所以不產生水平位移。當邊墻向圍巖方向 位移時，圍巖將對邊墻產生彈性抗力。墻底處為零，墻頂處為最大值 ，中間呈直線分布。墻底面的抗壓按梯形分布，見圖4-25。圖4-25 由靜力平衡條件，對墻底中點a取矩，可得：0212)(32212shhhMh)544( h12式中：s邊墻外緣由圍巖彈性抗力所 產生的摩擦力 ， 為襯 砌與圍巖間的摩擦系數，h為邊墻側 面高度。 及 邊墻兩邊沿的彈性抗 力。2hsh 由于邊墻為剛性，故底面和側面均有同一轉角 ，二者應相等，所以khhkh21)554( )56

41、4( hhnh21即：式中： ，對同一圍巖，因基底受壓面積小，壓縮得較密實， 可取為1.25。kkn 將式(4-56)代入式(4-57)得：12333412JhMhhnhhhMh)574( 式中： 稱為剛性墻的綜合轉動慣量，因而，側 墻面的轉角為：12342331hhnhhJ1kJMkhh)584( 由此可求出墻頂(拱腳)處的單位位移及荷載位移： Mc=1作用于c點時，則Ma=1，故11111111kJhhukJ21112112211112hkJhhuhkJh)604( )594( 式中： h1 自墻底至拱腳c點的垂直距離。 Hc=1作用于c點時，則Ma=h1，故 主動荷載作用于基本結構時，則 ，故0pMM11010001100kJhMhuMkJMpcpcpppcp)614( 由此不難進一步求出拱頂的多余未知力