1、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 典型例題典型例題 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 小結(jié)和思考題小結(jié)和思考題可分離變量微可分離變量微分方程的識(shí)別分方程的識(shí)別與求解。與求解。可分離變量微可分離變量微分方程的求解分方程的求解。一、可分離變量微分方程一、可分離變量微分方程實(shí)例實(shí)例1 1 2yx 求微分方程求微分方程的通解。的通解。把方程兩端積分可得通解把方程兩端積分可得通解2yxC實(shí)例實(shí)例2 2 求微分方程求微分方程22yxy 的通解。的通解。因?yàn)橐驗(yàn)閥是未知的，所以積分是未知的，所以積分22xy dx方程兩端直接積分不能求出通解。方程兩端

2、直接積分不能求出通解。無法進(jìn)行，無法進(jìn)行，形如形如xdxfydyg)()(的一階微分方程叫做可分離變量的微分方程的一階微分方程叫做可分離變量的微分方程 . .例例 討論下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？討論下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)2yxy 2(2)350 xxy22(3)()0 xydxxydy22(4)1yxyxy 是是不是不是12y dyxdx2(35 )dyxx dx2(1)(1)dyxydx是是是是xxfyygd)(d)(設(shè)設(shè) y (x) 是方程的解是方程的解, ( ( )( )d( )dgxxxf xx 兩邊積分兩邊積分, 得得 ( )dg yy ( )df

3、xx ( )( )G yF xC則有恒等式則有恒等式 ( )G y( )F x則有則有分離變量方程的解法分離變量方程的解法: : 分離變量，兩端積分分離變量，兩端積分分離變量法分離變量法例例1. 求微分方程求微分方程d2dyxyx的通解的通解.解解: 分離變量得分離變量得d2 dyx xy兩邊積分兩邊積分d2 dyx xy得得21ln yxC即即21exCy 21e eCx 2exyC( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.二、典型例題二、典型例題因因 為任意非零常數(shù)，又為任意非零常數(shù)，又 也是方程的解；也是方程的解；1eC0y 故得

4、方程的通解為故得方程的通解為例例2. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰變過程中鈾含量衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始條件初始條件)對(duì)方程分離變量對(duì)方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始條件利用初始條件, 得得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.e0tMM然后積分然后積分:td)(已知已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)阎派湫栽剽櫟乃プ兯俣扰c當(dāng)時(shí)未衰變?cè)璏0MtOkv R mg P 解：解：設(shè)

5、降落傘下落速度為設(shè)降落傘下落速度為v(t)時(shí)傘時(shí)傘所受空氣阻力為所受空氣阻力為R(方向與方向與v相反相反)，且且另外，傘所受重力為另外，傘所受重力為P，方向與，方向與v一致。一致。.Rkv 例例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘成正比，并設(shè)降落傘 離開跳傘塔時(shí)（離開跳傘塔時(shí)（t=0）的速度為零）的速度為零求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。kv R mg P 0d,d|0.tvmmgkvtv 對(duì)上述方程分離變量得對(duì)上述方程分離變量得兩端積分兩端積分可得可得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件利用初始條件, 得得)(ln1gmkC代入上式后化簡代入上式后化簡, 得特解得特解(1 e)ktmmgvkt 足夠大時(shí)kgmv dvdtmgkvmdvdtmgkvm課堂練習(xí)課堂練習(xí):(1);xyd yed x0(2)cossincossin,.4xxydyyxdx y1.1.分離變量法步