1、振動和波振動和波振動與波無所不在振動與波無所不在振動與波是橫跨物理學各分支學科的振動與波是橫跨物理學各分支學科的最基本的運動形式。最基本的運動形式。盡管在各學科里振動與波的具體內容不同，盡管在各學科里振動與波的具體內容不同，但在形式上卻有很大的相似性。但在形式上卻有很大的相似性。力學力學機械振動，機械波機械振動，機械波 （聲波）（聲波）電學電學電磁振蕩，電磁波（光波）電磁振蕩，電磁波（光波） 量子力學量子力學（波動力學）（波動力學）廣義振動廣義振動：任一物理量：任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數值附近反復變化。數值附近反復變化。機械振動機械振動：物體在一定位置附

2、近作來回往復的運動。：物體在一定位置附近作來回往復的運動。彈簧振子彈簧振子(彈簧彈簧物體系統物體系統 )模型模型kxOm22dtxda 又又mk 2 令令簡諧振動簡諧振動微分方程微分方程0222 xdtxd 一、一、簡諧振動的基本特征簡諧振動的基本特征1 簡諧振動簡諧振動（simple harmonic motion)simple harmonic motion)xmkmFa 物體一定作簡諧振物體一定作簡諧振動動xa2 kxF 其通其通解為：解為：諧振動運動方程諧振動運動方程)cos( tAx運動學特征運動學特征簡諧振動定義（判據）：簡諧振動定義（判據）：描述運動的物理量遵從微分方程描述運動的

3、物理量遵從微分方程0222 xdtxd （或運動方程為（或運動方程為 ）)cos( tAx運動學特征運動學特征kxF 物體所受合外力物體所受合外力動力學特征動力學特征例：判斷下列運動是否為簡諧振動例：判斷下列運動是否為簡諧振動1.乒乓球在地面上的上下跳動乒乓球在地面上的上下跳動2.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動 mgO22dtdRRamamgtt sin切向運動切向運動 sin很很小小22dtdmRmg 022 RgdtdRg 2令令0222 dtd諧振動諧振動單擺單擺0222 dtd結論結論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。單擺的小角度擺動振

4、動是簡諧振動。角頻率角頻率, ,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glTlg 2200 當當 時時 sin sinmglM gmfTCO222dmlmgldt 擺球對擺球對C點的力矩點的力矩 mglM l/g 2 復擺復擺：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體0222 dtd結論結論：復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。 sin當當 時時gmhCO22dtdImgh Imgh 2 二、二、描述簡諧振動的特征量描述簡諧振動的特征量)cos( tAx1 1、振幅、振幅 A 簡諧振動物體離開平衡位置的最大位簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移

5、（或角位移）的絕對值。移（或角位移）的絕對值。)sin( tA00, 0 xxt初始條件初始條件 cos0Ax sin0A 2020)( xA頻率頻率 ：單位時間內振動的次數。單位時間內振動的次數。2、周期周期 、頻率、圓頻率頻率、圓頻率對彈簧振子對彈簧振子 21 T角頻率角頻率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有頻率、固有角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率周期周期T ：物體完成一次全振動所需時間。物體完成一次全振動所需時間。 )(cos)cos(TtAtA 2 T TtAcos單擺單擺glT 2 lg 21 lg 復擺復擺mghIT 2 Imgh 21 Imgh )sin

6、( tA 是是t =0時刻的位相時刻的位相初位相初位相 cos00Axt 時時 sin0A 00tanx 3、位相和初位相位相和初位相)cos( tAx位相，決定諧振動物體的運動狀態位相，決定諧振動物體的運動狀態 t三、簡諧振動的三、簡諧振動的旋轉矢量表示法旋轉矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX 超前和落后超前和落后)cos(111 tAx)cos(222 tAx兩個諧振動兩個諧振動位相差位相差 兩振動位相之差。兩振動位相之差。12 )()(12 tt對兩對兩同頻率同頻率的諧振動的諧振動 = = 2 2- - 1 1初相差初相差若若 = = 2 2- -

7、 1 10, 0, 稱稱x x2 2比比x x1 1超前超前 ( (或或x x1 1比比x x2 2后后) )。 0,取取為簡單起見為簡單起見當當=2k ,k=0,1,2,兩振動步調相同兩振動步調相同, ,稱稱同相同相當當 = (2k+1) , k=0,1,2.兩振動步調相反兩振動步調相反, ,稱稱反相反相用旋轉矢量表示相位關系用旋轉矢量表示相位關系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相xy1A2A212 即即x2比比x1超前超前2 )cos()cos(2 tatAam)cos( tAx)2cos()sin( ttAm諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系諧振動的位移、速度、加

8、速度之間的位相關系toTa vx.avxT/4T/4)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由圖可見：由圖可見：2 va超前超前2 xv超前超前x t+ o Amv ma 090090簡諧振動的復數表示簡諧振動的復數表示0()itxAe復數表示的優越之處：求導、積分很方便。0()00cos()sin()itxAeAtiAt復數的實部或虛部對應真實的振動量0()itdxvi Aei xdt2222()d xdvai vixxdtdt 例例:如圖如圖m=210-2kg, 彈簧的靜止形變為彈簧的靜止形變為 l=9.8cm t=0時時 x0=-9.8cm, v

9、0=0 取開始振動時為計時零點，取開始振動時為計時零點， 寫出振動方程；寫出振動方程；（2）若?。┤羧0=0，v00為計時零點，為計時零點， 寫出振動方程寫出振動方程,并計算振動頻率。并計算振動頻率。XOmx解：解： 確定平衡位置確定平衡位置 mg=k l 取為原點取為原點 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 則則 f=mg-k( l +x)=-kx作諧振動作諧振動 設振動方程為設振動方程為)tcos(Ax0 s/rad.lgmk10098089 由初條件得由初條件得 ,)xv(arctg0000 mvxA09802020.)( 由由x0=Acos 0= -0.0980 cos

10、00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m對同一諧振動取不同的計時起點對同一諧振動取不同的計時起點 不同，但不同，但 、A不變不變Hzlg6 . 1212 XOmx固有頻率固有頻率例例:如圖所示，振動系統由一倔強系數為如圖所示，振動系統由一倔強系數為k的的 輕彈簧、輕彈簧、一半徑為一半徑為R、轉動慣量為轉動慣量為I的的 定滑輪和一質量為定滑輪和一質量為m的的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振

11、動，試證物體作簡諧振動，并求其周期振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.（繩與定（繩與定滑輪無相對滑動）滑輪無相對滑動）TmTmga2F moxkJR解：取位移軸解：取位移軸ox，m在平在平衡位置時，設彈簧伸長量衡位置時，設彈簧伸長量為為 l，則則0 lkmg TmTmga2F moxkJR當當m有位移有位移x時時maTmg RaJRxlkT )(聯立得聯立得2JkxmaR 0222 xRJmkdtxd物體作簡諧振動物體作簡諧振動 22RJmk kRJmT222 已知某簡諧振動的已知某簡諧振動的 速度速度與時間的關系曲線如圖與時間的關系曲線如圖所示，試求其振動方程。所示，試求其振動方程。43

12、1.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1用解析法求解用解析法求解10715 cmsAv.sin )cos( tAx設振動方程為設振動方程為020 cosAa1431 cmsvAm. 214317150 .sinAv 656或 000 cos,則a6 )cos(2 tAa)sin( tAv17151 cmsvt.21)61sin( mvvAv )sin( tAv431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv 6116761或 0)1cos(,01 則則a 6761 1143 s. cmvAm10143431 . )cos(2 tAa故振動方

13、程為故振動方程為cmtx)cos(610 v的旋轉矢量與的旋轉矢量與v軸夾角表示軸夾角表示t 時刻相位時刻相位2 t由圖知由圖知 322 6 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 )cos( tAx)cos()sin(2 tvtAvm1431 cmsAvm. 方法方法2 2：用旋轉矢量法輔助求解。：用旋轉矢量法輔助求解。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv 0 tst1 2 vo15.715.7-15.7-15.7諧振動系統的能量諧振動系統的能量=系統的系統的動能動能Ek+系統的系統的勢能勢能Ep某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速

14、度為v，位移為位移為x)sin( tAv)cos( tAx221mvEk )(sin2122 tkA221kxEp )(cos2122 tkA諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數四四、 簡諧振動的能量簡諧振動的能量動動能能221mvEk )(sin2122 tkA勢勢能能221kxEp )(cos2122 tkA情況同動能。情況同動能。pppEEE,minmax0min kE20411kAdtETETkk 2max21kAEk 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振動系統機械能守恒簡諧振動系統機械能守恒xtTEEpokpEE EtEk(1/2)kA2一、同

15、方向、同頻率諧振動的合成一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, , 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA )cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx質點同時參與同方向同頻率質點同時參與同方向同頻率的諧振動的諧振動 : :合振動合振動 : :2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成2A1AA1 2 1x2xx如如 A1=A2 , , 則則 A=0, 2 , 1 , 0212 kk 兩分振動相互加強兩分振動相互加強21AAA , 2 , 1 , 0)12(

16、12 kk 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱21AAA 分析分析若兩分振動同相：若兩分振動同相：若兩分振動反相若兩分振動反相: :)cos(212212221 AAAAA合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動式中式中21( )2 cos()2A tAttt)2cos(cos12 隨隨t 緩變，視為合緩變，視為合振動的振幅振動的振幅隨隨t 快變快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二二. . 兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成 拍拍分振動分振動)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振動合振動)tcos(t )cos(Ax 222121

17、221xxx 當當 2 1時時, ,ttAx cos)( 則則：1212 拍拍 合振動忽強忽弱的現象合振動忽強忽弱的現象拍頻拍頻 : : 單位時間內強弱變化的次數單位時間內強弱變化的次數 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t21拍振幅變化的頻率即拍頻 122 T或或：三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動合振動)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振動分振動)cos(11 tAx)cos(22 tAyjtyitxtr)()()( 合合振動質點的軌跡方程振動質點的軌跡方程0(1)12 0221 )AyAx(xAA

18、y12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內的直線在第一、第三象限內的直線12AA斜斜率率質點離開平衡位置的位移質點離開平衡位置的位移討論討論yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 12(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內的直線在第二、第四象限內的直線12AA 斜斜率率質點離開平衡位置的位移質點離開平衡位置的位移yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx2(3)1

19、2 12212 AyAx合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸為軸軸為軸線的橢圓線的橢圓.質點沿橢圓的運動方質點沿橢圓的運動方向是順時針的。向是順時針的。yx)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx23(4)12 合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸為軸軸為軸線的橢圓線的橢圓.質點沿橢圓的運動方質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。向是逆時針的。12212 AyAx = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 時，逆時針方向轉動。時，逆時針方向轉動。 0時，順時針方向轉動。時，順時針方向轉動。四、四

20、、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成 軌跡稱為軌跡稱為李薩如圖形李薩如圖形yxA1A2o o- -A2- -A1:3:20,4xyyx兩振動的頻率成兩振動的頻率成整數比整數比xxyyxy達到最大的次數達到最大的次數李薩如圖形（周期比）李薩如圖形（周期比）2:13:13:2 x y五、簡諧振動的分解五、簡諧振動的分解 頻譜頻譜振動的分解振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : : 0則各

21、分振動的頻率為則各分振動的頻率為: : 0、2 0、3 0( (基頻基頻 , , 二次諧頻二次諧頻 , , 三次諧頻三次諧頻 , ) , )按傅里葉級數展開按傅里葉級數展開)()(tfTtf 10cos2)(iiitkAatf T 22 方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0 tsinAtsinAtsinAAx 55233222xo ot t鋸齒波鋸齒波A 0 03 3 0 05 5 0 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖 一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續變化的簡諧振動。變化的簡諧振動。xo ot t阻尼振動曲

22、線阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖阻尼振動頻譜圖o o A一、一、 阻尼振動阻尼振動阻阻尼尼振振動動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統的動能轉化為熱能。作用，系統的動能轉化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動以波的形式向外傳播，使振動能量振動以波的形式向外傳播，使振動能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動和共振受迫振動和共振彈簧振子彈簧振子動力學方程動力學方程22dtxdmdtdxkx Rd xFvd t 022022 xdtdxdtxd mk 0 系統固有角頻率系統固有角頻率m2 阻尼因子阻尼因子物體以不大的速率在粘性介質中運動時物體以不大的速率在粘性介質中運動時, ,介質對物體介質對物體的阻力僅與速度的一次方成正比的阻力僅與速度的一次方成正比 阻尼系數阻尼系數t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼0 cos()txAet微分方程的解220 阻尼振動的振幅按指數衰減阻尼振動的振幅按指數衰減過阻尼過阻尼t)(tx過阻尼過阻尼系統不作往復運動，而是非常緩系統不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 臨界阻尼臨界阻尼t)(t