1、第三章第三章 向量向量 線性關系線性關系 秩秩 向量是線性代數中研究的又一個重要概念, 本章主要討論n維向量之間的線性關系, 并建立向量組與矩陣秩的概念.1 1 向向 量量 定義定義3.13.1 所謂n維向量就是n1階矩陣12naa,a或1n階矩陣12na ,a ,a. n 維向量就是n 個有次序的數a1,a2, ,an組成的數組. ai稱為向量的第i個分量. 分量全是實數的向量稱為實向量. 如果兩個向量維數相等且對應分量都相等稱它們相等. 注意: 按定義行向量 和列向量 表示同一個向量,但在涉及到運算時,行向量 和列向量總看作兩個不同的向量, 而且都按矩陣的運算規則進行運算. 分量都是零的向

2、量稱為零向量, 記為0 0. 將向量 的分量都改變符號得到的向量, 稱為向量 的負向量, 記為- . 實際常用列向量, 為了便于書寫常用其轉置 T T表示. . 定義中兩種形式分別稱為列向量列向量和行向量行向量. . 常用的向量運算是向量的加法和乘數兩種運算, 統稱為向量的線性運算, 完全按矩陣運算處理, 所以滿足: ()交換律： + + = + + () 結合律: ( + + )+ + = + +( + + ) () +0+0= () +( )=0 0 () 1 = () 數的分配律： (k+l) =k +l () 矩陣的分配律： k( + + )=k +k . . () 結合律：(kl)

3、=k(l ) 所有n維列(行)向量的全體, 對其上所定義的加法和乘數兩種運算, 構成了一個n維線性空間, 或稱向量空間.2 2 線線 性性 關關 系系 若干個同維數的列向量(或行向量)組成的集合叫做向量組. 如:mn 矩陣A=A=(aij)對應n 個m 維列向量112111maaa122222,maaa12,nnnmnaaa向量組 1, 2, , n稱為A A的列向量組. 即A A=( 1, 2, , n). mn 矩陣A=A=(aij)也對應m 個n 維行向量111121naaa221222naaa 12mmmmnaaa向量組 1, 2, m, 稱為矩陣A A的行向量組.反之, 由有限個向量

4、組成的向量組也可構成一個矩陣. . 線性方程組Ax=bAx=b也可以用向量表示成: x1 1+x2 2+ +xn n= 定義定義3.2 3.2 給定向量組: 1, 2, , m, 若存在一組數k1,k2 , ,km , 使: =k1 1+k2 2+ +km m , 則稱向量 可由向量組可由向量組 1, 2, , m線性表示線性表示, , 也稱向量向量 是向量組是向量組 1, 2, , m的線性組合線性組合. . 12,mA即 例例1 1 設 T T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 問 能否由向量組 1, 2, 3線

5、性表示. 解 設 =k1 1+k2 2+k3 3 , 即 (2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)于是有解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 = 12 2 3 131223211kkkkkk 所以向量 可由向量組 , 2, 3線性表示. 表示式也可寫成 31)2112 = ( , ,10-121110-1 2=000010-111即 一般地, 對列向量, =k1 1+k2 2+ks s 可寫成 12sskkk12 = , ,對行向量, =k1 1+k2 2+ks s 可寫成 ssk kk1212 =, 定義定義3.3 3.3 若存在一組不全為零的數k1,k2

6、, ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0 0則稱向量組向量組 1, 2, , s線性相關線性相關, , 否則稱線性無關線性無關. .只有當k1,k2 , ,ks全為零時才成立. k1 1+k2 2+ +ks s=0 0 可見向量組 1, 2, , s線性無關的充分必要條件是: 例例2 2 討論向量組 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T= (1, 0, 0, 1)的線性相關性. 解 設 k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得: k1=k2=k3=0. 131223000kkkkk

7、k 所以 1, 2, 3線性無關. 例例3 3 討論向量組 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的線性相關性. 解 設 k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 則有2 1+ 2 3=0 0 13123123+20+3k02k30kkkkkk 所以 1, 2, 3線性相關. 顯然, 一個向量 組成的向量組線性相關 =0 0 向量組 1, 2, , s線性相關 x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解. (稱此向量組為n n

8、 維標準單位向量組維標準單位向量組)例例4 4 討論n 維向量組0011e201,.,0 e100ne的線性相關性. 解解 設k1e e1+k2e e2+ +kne en=0 0, 即所以, 向量組 e e1,e e2, ,e en線性無關. (k1, , k2, , ,kn)=0 0, 所以 k1=k2=kn=0 n 維標準單位向量組 e e1,e e2, ,e en是線性無關的, 而且對任意n維向量 T=(a1,a2,an), 都有 =a1e e1+a2e e2+ane en例例5 5 k1( 1+ 2)+k2( 2+ 3)+k3( 3+ 1)=0 0就是 (k1+k3) 1+(k1+k2

9、) 2+(k2+k3) 3=0 0所以所以向量組 1, 2, 3線性無關. 解得: k1=k2=k3=0 已知向量組 1, 2, 3線性無關, 1= 1+ 2, 2= 2+ 3, 3= 3+ 1, 討論向量組 1, 2, 3 的線性相關性. 解 設 k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即131223+0+00kkkkkk 定理定理3.1 3.1 若向量組有一個部分組線性相關, 則此向量組線性相關.所以有: k1 1+k2 2+ +kr r+0 r+1+ +0 s =0 0 推論推論1 1 含有零向量的向量組必線性相關. 證明 不妨設 1, 2, , r, , s中 1, 2, , r線性

10、相關,存在不全為零的數k1,k2 , ,kr, 使: k1 1+k2 2+ +kr r=0.0.而k1,k2 , ,kr,0,0不全為零, 所以 1, 2, , s線性相關. 推論推論2 2 線性無關向量組的任一部分組也線性無關.不妨設k10, 則有: 證明證明 必要性: 設 1, 2, , s線性相關, 則存在不全為零的數k1,k2 , ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0.0. 充分性:不妨設 1可由 2, , s線性表示, 即存在一組數k2,ks使: 1=k2 2+ +ks s , 于是有 定理定理3.23.2 向量組 1, 2, , s(s2)線性相關的充分必要條件是其

11、中至少有一個向量可被其余向量線性表示.32111skkkskkk 123 1+k2 2+ +ks s =0這里 1 1, k2 , ,ks不全為零, 所以 1, 2, , s線性相關.兩個向量線性相關的幾何意義是這兩向量共線;三個向量線性相關的幾何意義是這三向量共面;n個向量線性相關的幾何意義是它們在一個n-1維空間. 定理定理3.33.3 設向量組 1, 2, , r線性無關, 而向量組 1, 2, , r, 線性相關, 則 可由 1, 2, , r線性表示,且表示式唯一. 證明證明 由已知, , 存在不全為零的數k1,k2 , ,kr, l ,使 k1 1+k2 2+ +kr r+l =0

12、 0若l =0, 則k1 1+k2 2+ +kr r=0 0, 矛盾. 所以l 0, 于是若有: =k1 1+k2 2+ +kr r=l1 1+l2 2+ +lr r即, 表示式是唯一的.1212rkkkrlll 則有: (k1 l1) 1+(k2 l2) 2+ +(kr l1) r=0 0所以: k1 l1=k2 l2= =kr l1=0 設向量組 1, 2, s稱為向量組 1, 2, , s的加長向量組.11211122221212,sssnnsnaaaaaaaaa1112121222121212,ssssnnnsaaaaaaaaabbb 前面加長向量組的概念中只加了一個分量, 而且加在了

13、最后一個分量. 也可以加多個分量, 分量也可以加在任何位置, 都稱為原向量組的加長向量組. 定理定理3.4 3.4 線性無關向量組的加長向量組也線性無關. 證明 只證明在最后加一個分量的情況, 其它類似.所以有: k1 1+k2 2+ +ks s=0, 故 k1=k2= =kr=0 設 k1 1+k2 2+ks s=0 0 , 即11 1122121 122221 1221 1220000ssssnnnssssa ka ka ka ka ka ka ka ka kbkb kb k所以 1, 2, s 線性無關.作作 業業習題習題A A 第第7777頁頁111練習題練習題習題習題B B 第第79

14、79頁頁13 3 向量組的秩向量組的秩 向量組間的等價關系具有下列性質: 設有兩個向量組分別為: (): : 1, 2, , r ; (): : 1, 2, s. 定義定義3.4 3.4 若向量組()中的每個向量都可以由向量組 ()線性表示, 則稱向量組()可由向量組()線性表示; 若向量組()和向量組()可以互相線性表示, 則稱向量組()和向量組()等價. ()反身性: 任何向量組都與自身等價; ()傳遞性: 若()與()等價, ()與()等價, 則() 與()也等價. ()對稱性: 若()與()等價, 則()與()也等價; 求向量組 1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0

15、,0,1)T, 4=(1,1,1)T的一個極大線性無關組.例例6 6 所以 1, 2, 3就是向量組 1, 2, 3, 4的一個極大線性無關組. 解 由于 1, 2, 3線性無關, 而且 4= 1+ 2+ 3 () 1, 2, , r線性無關; () 1, 2, , r, 線性相關( 是向量組中任一向量). 顯然, 列向量組 1, 2, , r可由列向量組 1, 2, s線性表示的充分必要條件是: 存在sr矩陣C, 使 ( 1, 2, , r )=( 1, 2, s )C 定義定義3.5 3.5 若向量組中的某個部分組 1, 2, , r,滿足:則稱 1, 2, , r是此向量組的一個極大線性

16、無關組. 類似地, 1, 3, 4和 2, 3, 4都是向量組 1, 2, 3, 4的極大線性無關組. 定理定理3.5 3.5 向量組與它的任一極大線性無關組等價. 所以 1, 2, 4也是向量組 1, 2, 3, 4的一個極大線性無關組. 可見, 一個向量組的極大線性無關組是不唯一的. 由于 1, 2, 4也線性無關, 而且 3= 4 1 2則稱 1, 2, , r是此向量組的一個極大線性無關組. 推論推論 向量組中任意兩個極大線性無關組等價.時(其中A是矩陣), 有A A=0 0 證明 設A=(aij)rs , 則有 引理引理 若列向量組 1, 2, r線性無關, 則當由于 1, 2, r

17、線性無關, 所以aij=0, 即A A=0 0. ( 1, 2, r)A A=0 011121s21222s12r12rr1r2rsaaaaaa, A= ,aaa0rrrj1jj2jjsjj=1j=1j=1a ,a ,.,a 證明設向量組 1, 2, r和 1, 2, s 等價且都線性無關，則存在sr矩陣A和rs矩陣B, 使 ( 1, 2, r)=( 1, 2, s )A A 定理定理3.63.6 等價的線性無關向量組含有相同個數的向量由引理有： BABA=E Er , 同理有ABAB=E Es ( 1, 2, s )=( 1, 2, r)B于是有 ( 1, 2, r)= ( 1, 2, r)

18、BA A即 ( 1, 2, r)(EBA A)=0=0所以，A A, B B是方陣，即rs 推論推論 一向量組的極大線性無關組所含向量的個數是唯一的.易知，向量組 1, 2, s線性無關R 1, 2, s=s. 若一向量組的所有向量都是零向量，規定其秩為0. 向量組 1, 2, s的秩記為：R 1, 2, s 定義定義3.63.6 一向量組的極大線性無關組所含向量的個數，稱為向量組的秩. 或記為：rank 1, 2, s例6中向量組 1, 2, 3, 4的秩R 1, 2, 3, 4=3. 定理定理3.73.7 若向量組 1, 2, s可由向量組 1, 2, t 線性表示，則 推論推論2 2 向

19、量組 1, 2, p線性無關, 且可由向量組 1, 2, q 線性表示，則pq. 推論推論1 1 等價的向量組具有相等的秩R 1, 2, sR 1, 2, t 證明 記極大線性無關組為: 1, 2, p和 1, 2, q 則：向量組 1, 2, p可由 1, 2, q 線性表示，于是 1, 2, q是向量組 1, 2, p, 1, 2, q 的極大線性無關組. 再由 1, 2, p線性無關知pq. 推論推論3 3 向量組 1, 2, p可由向量組 1, 2, q 線性表示，且pq, 則向量組 1, 2, p線性相關. 推論推論4 4 任意n+1個n維向量線性相關.4 4 矩陣的秩矩陣的秩 證明

20、證明 對矩陣進行一次初等行變換，行向量組變成： 定義定義3.7 3.7 矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩; 矩陣列向量組的秩稱為矩陣的列秩.引理引理 初等變換不改變矩陣的行秩和列秩.11,ijijrrjimmA11,iiikrjjmmkA11ijiijrkrjjmmkaA所以，對矩陣進行一次初等行變換，矩陣的行秩不變.即 再看矩陣的列向量組，A=( 1, 2, , n), 令x1 1+x2 2+xn n=0 0 () 111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax可見，對A進行一次初等行變換，對方程組()來說，相當于進行方程之間的對應

21、變換，顯然方程組解不變. 就是說, 對A進行一次初等行變換, A A的列向量組的線性相關性不變，所以A A的列秩也不變.類似地, 對A進行一次初等列變換, 其行秩,列秩也不變. 定理定理3.83.8 矩陣的列秩等于矩陣的行秩.證明因為矩陣A可經過初等變換變成標準形，即rE0A00而 的行向量組和列向量組分別為：所以，A的行秩和列秩都等于r.10000100,00100000 1000010000100000 定義定義3.83.8 矩陣A的秩就是矩陣A的行(列)秩, 記為R(A), (或rank(A).顯然，對任意矩陣A有：R(A)=R(AT)由引理還可得： 定理定理3.93.9 初等變換不改變矩陣的秩. 定理定理3.93.9若矩陣A與矩陣B等價，則R(A)=R(B). 注：注：對分塊矩陣做分塊矩陣的初等變換秩也不變. 例例7 7 證明: R(AB)R(A), R(AB)R(B). 證明1: R(AB)R(AB A), 而12cc BAB A0 A所以， R(AB)R(AB A)R(0 A)=R(A) 證明2: 由ABAB知,AB的列向量可由A的列向量表示. 定義定義3.93.9 在矩陣Amn中任取k個行與l個列(kn, lm),位于這些行和列交叉點上的kl個