1、桿件的強度、剛度和穩定性桿件的強度、剛度和穩定性介紹介紹第第3 3章桿件的強度、剛度和穩定性章桿件的強度、剛度和穩定性 3.1應力與強度應力與強度 問題引入問題引入細桿細桿粗桿粗桿（有關）（有關）桿之截面桿之截面形狀大小形狀大小（軸力（軸力 N （軸力（軸力 N 鋼桿鋼桿（材料相同）（材料相同）（粗細一致）（粗細一致）細桿易斷細桿易斷粗桿難斷粗桿難斷鋼桿鋼桿 難斷難斷木桿木桿 易斷易斷桿之材料桿之材料（有關）（有關）桿之截面桿之截面形狀大小形狀大小桿之桿之材料材料截面截面材料材料3.1.1 應力的概念應力的概念 NNVmax截面分成同樣大小（共截面分成同樣大小（共25個）的單位正方形個）的單位

2、正方形內力在各正方形的分布內力在各正方形的分布應力應力（如、（2）若內力）若內力 N 垂直于截面但偏于一邊，則垂直于截面但偏于一邊，則 靠近靠近 N 的的 （如（如 、 ）為大，）為大， 遠離遠離 N 的的 （如（如 、 ）為小，且呈三角形變化。）為小，且呈三角形變化。212515（1）若內力）若內力 N 垂直于截面且過形心，則從垂直于截面且過形心，則從 到到 皆相等，即皆相等，即 25 個單位面積力是個單位面積力是 均勻分布的。均勻分布的。 125（3）若內力）若內力 V 平行于截面，則平行于截面，則 便便“帖帖”在截面上，在截面上， 的大小還可能出現呈拋物線形的大小還可能出現呈拋物線形 變

3、化，即在截面中間的變化，即在截面中間的 5 個方格內的個方格內的 （如（如 、 ）為最大值，而在截面的）為最大值，而在截面的 兩對邊的方格內的兩對邊的方格內的 （如（如 、 、 或或 、 ）為小，在邊緣上）為小，在邊緣上 。3231215250討論：討論： NNVmax（如 應力是單位面積上的力，單位面積力的數值之和應力是單位面積上的力，單位面積力的數值之和截面上的合力。截面上的合力。如均勻分布的如均勻分布的 應力應力 （ ），截面面積為），截面面積為 A，軸向內力為，軸向內力為 N，則則 ，或，或 。2512ANAN 當當 A 越小，在越小，在 N 不變之下，不變之下， 分布的密集程度就越高

4、，即數值越大，反之亦然。分布的密集程度就越高，即數值越大，反之亦然。 故應力為內力在一點處的集度。故應力為內力在一點處的集度。 應力應力 垂直于截面的應力垂直于截面的應力平行于截面的應力平行于截面的應力正應力，與正應力，與 N 相同正負號相同正負號 。剪應力，與剪應力，與 V 相同正負號相同正負號 。 應力單位：牛頓應力單位：牛頓/ /米米2（N/ /m2），用），用“帕（帕（Pa）”示之，即示之，即1Pa1N/ /m2。1KPa103Pa103N/ /mm2；1MPa106Pa1N/ /mm2；1GPa109Pa103N/ /mm2。如何通過改變幾何形狀或尺寸，來改變應力的大小？如何通過改變

5、幾何形狀或尺寸，來改變應力的大小？體重體重 W 不變，腳下的應力可隨鞋與地面的接觸面積不同而改變。不變，腳下的應力可隨鞋與地面的接觸面積不同而改變。 雪橇鞋雪橇鞋 高背軟椅的低應力使人感到舒適，而硬板凳的高應力卻使人不爽。高背軟椅的低應力使人感到舒適，而硬板凳的高應力卻使人不爽。 大頭蓋使拇指產生舒適應力，針尖產生非常高的應力大頭蓋使拇指產生舒適應力，針尖產生非常高的應力圖釘一按即圖釘一按即硬板凳硬板凳abcd3.1.2 軸向拉（壓）桿的應力及強度計算軸向拉（壓）桿的應力及強度計算 1) )軸向拉（壓）桿的應力軸向拉（壓）桿的應力N拉伸前拉伸前畫兩線段畫兩線段 、abcd 和和 仍然保持直線仍

6、然保持直線 縱向伸長量縱向伸長量 都相同都相同ba dcl平面假設：平面假設：變形前橫截面為平面，變形后仍保持為平面，且垂直于桿軸線變形前橫截面為平面，變形后仍保持為平面，且垂直于桿軸線平面平面假設假設縱向伸長縱向伸長 l 相同相同abcd拉伸后拉伸后，ba abdccdlN 軸力；軸力；A 橫截面積；橫截面積； 正應力正應力(拉為拉為正正，壓為，壓為負負)各點各點內力相等內力相等應力應力均勻分布均勻分布AN討論：討論： 對于變截面桿（對于變截面桿（ A 非常量），非常量）， 所在截面的應力不一定為最大，因還需所在截面的應力不一定為最大，因還需 考慮考慮 A 是否為最小。是否為最小。 maxN

7、 對于等直桿，當對于等直桿，當 N 不變時，若桿截面（不變時，若桿截面（A）細小，則就大，細桿易斷；）細小，則就大，細桿易斷； 當軸向外力較多時，應求得最大軸力當軸向外力較多時，應求得最大軸力 ，此時，此時 。maxNANmaxmax3m4m 【例例3. .1】在例在例2.2.2中，磚柱上段截面尺寸為中，磚柱上段截面尺寸為 240mm 240mm，承受荷，承受荷 P1 1=50kN；下段下段 370mm 370mm，承受荷載，承受荷載 P2100kN，現試求各段之應力。，現試求各段之應力。【解解】 （1）作軸力圖）作軸力圖 AB段段：A1240 240mm57600mm2（2）求應力）求應力M

8、Pa87. 0N/mm87. 057600105023111ANMPa1 . 1N/mm1 . 11369001015023222AN注意：計算時，將軸力注意：計算時，將軸力 N 的正負號代入，結果為正則為拉應力，負即為壓應力。的正負號代入，結果為正則為拉應力，負即為壓應力。AB段：段：kN501NBC段：段：kN1502NBC段：段：A2370 370mm136900mm2N 圖圖【例例3. .2】圖圖 (a) 為一斗式提升機。斗與斗之間用鏈條連接，鏈條的計算簡圖如圖為一斗式提升機。斗與斗之間用鏈條連接，鏈條的計算簡圖如圖(b)所示，每個料斗連同物料的總重量所示，每個料斗連同物料的總重量 P

9、=2000N。鋼鏈由兩層鋼板構成，如圖。鋼鏈由兩層鋼板構成，如圖(c)所示。所示。每個鏈板厚每個鏈板厚 t =4.5mm，寬，寬 h = 40mm，高，高H =65mm，釘孔直徑，釘孔直徑 d=30mm。試求鏈板的。試求鏈板的最大應力。最大應力。 【解解】（1）求軸力并畫軸力圖）求軸力并畫軸力圖 （2）求應力）求應力: : 腰部：腰部：A12ht =2 40mm 4.5mm 360mm2孔處：孔處：A22(H- -d) t =2 （65- -30）mm 4.5mm =315mm2MPa1 .38N/mm1 .383152000622maxmaxANN 圖圖(a)(b)(c)最大軸力最大軸力 N

10、max= 6 P最大應力在鏈最大應力在鏈條的釘孔之處條的釘孔之處材料名稱材料名稱牌號牌號容許應力容許應力低低 碳碳 鋼鋼Q235170170100低合金鋼低合金鋼Q345230230140灰口鑄鐵灰口鑄鐵3454160200混凝土混凝土C200.447混凝土混凝土C300.610.3松、杉（順紋）松、杉（順紋）578121櫟木、樺木等（順紋）櫟木、樺木等（順紋）810121622) )強度條件強度條件最大應力與材料強度最大應力與材料強度 比較比較桿是否會因強度不足而破壞桿是否會因強度不足而破壞 判斷判斷等截面軸向拉（壓）桿的強度條件：等截面軸向拉（壓）桿的強度條件： 注：maxmaxAN 材料

11、在拉伸（壓縮）時的容許應力。材料在拉伸（壓縮）時的容許應力。 為容許壓應力；表表3. .1常用材料的容許應力值（常用材料的容許應力值（MPa）（適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的桿）（適用于常溫、靜荷載和一般工作條件下的桿）軸向拉伸軸向拉伸為容許拉應力； 為容許剪應力。軸向壓縮軸向壓縮受剪受剪已知內力、材料（已知內力、材料（ 、 ），根據強度條件選），根據強度條件選 。 maxNA ANmaxmax（1）強度校核：）強度校核： 已知材料、尺寸（、）和所受之荷載（），校核桿已知材料、尺寸（、）和所受之荷載（），校核桿之強度是否滿足要求。之強度是否滿足要求。 AmaxN ANmaxmax若若 ，

12、則桿滿足強度要求，則桿滿足強度要求 max若若 ，則桿之強度就不夠，則桿之強度就不夠 max問題：問題：欲使欲使 ，可，可 ，但不經濟；有時可稍大于，但不能超過，但不經濟；有時可稍大于，但不能超過5%。 maxAmax maxNA （2）截面選擇：）截面選擇：（3）容許荷載：）容許荷載：已知材料、尺寸（、），根據強度條件確定已知材料、尺寸（、），根據強度條件確定 。 AmaxN ANmax3) )強度計算強度計算之截面為危險截面之截面為危險截面maxN 為材料的容許應力為材料的容許應力強度計算強度計算三種類型三種類型強度條件強度條件安全安全不安全不安全由可選型鋼（工字鋼、槽鋼、角鋼）之型號由可

13、選型鋼（工字鋼、槽鋼、角鋼）之型號A（內力與荷載關系）（內力與荷載關系）結構的最大容許荷載結構的最大容許荷載?？ 【例例3. .3】現有一高度為現有一高度為 24m 的正方形截面花崗巖石柱，在其頂部作用一軸向荷載的正方形截面花崗巖石柱，在其頂部作用一軸向荷載P1000 kN。已知石材容重。已知石材容重 ，容許壓應力，容許壓應力 1 MPa，現要設計石柱，現要設計石柱所需的截面尺寸，分兩種情況：（所需的截面尺寸，分兩種情況：（1）柱為等值桿；（）柱為等值桿；（2）柱分為三段的階梯形桿。）柱分為三段的階梯形桿。3kN/m28l = 24 m自自重重【解解】 1.計算軸力計算軸力 用橫截面用橫截面

14、nn ，在距頂端為，在距頂端為 x 處截桿，并取處截桿，并取上部分為對象。上部分為對象。 nnx由平衡方程：由平衡方程：由由（A）式可得軸力圖。式可得軸力圖。)()()(xAPxWPxN（A） 2. .設計橫截面設計橫截面（1）等直桿的柱）等直桿的柱)(maxlAPN由由（A）式知，當式知，當 xl 時，時， 。 根據強度條件有根據強度條件有maxmaxlAPANlPA（B） 2363m324102810101000lPA取取 a =1.8 m，則，則 。2m24. 3A正方形截面的邊長正方形截面的邊長 ，m73. 13 Aa（2）階梯形的柱）階梯形的柱比較：比較： 與與 ，對于受拉（壓）的等

15、直桿，對于受拉（壓）的等直桿，當考慮自重作用時，相當于從材料的容許應力當考慮自重作用時，相當于從材料的容許應力 里減去里減去 。若為變截面桿（如若為變截面桿（如 階梯形），則柱頂的力應分段計算。階梯形），則柱頂的力應分段計算。maxNAllPA第第 1 柱段：柱段：236311m29. 18102810101000lPA取，則。取，則。 m2 . 11a21m44. 1A正方形截面邊長正方形截面邊長 ：m14. 129. 111Aa第第 2 段柱：段柱：作用在第作用在第 2 段柱面上的力為段柱面上的力為 ，則，則11lAP 236332112m7 . 11028101

16、000llAPA取取 ，則，則 。 m4 . 12a22m96.1A正方形截面邊長正方形截面邊長 ：m3 . 17 . 122Aa第第 3 段柱：段柱：23633322113m27. 281028108)96. 144. 1 (1028101000llAlAPA正方形截面邊長正方形截面邊長 ： ，取，取 ，則，則 。m51. 127. 233Aam6 . 13a23m56. 2A3. .等直柱與階梯柱用材比較等直柱與階梯柱用材比較設等直柱和梯形柱體積為設等直柱和梯形柱體積為 、 1V2V31m76.772424. 3lAV33212m68.478)56. 296. 144. 1 (3)(lAA

17、AV階梯柱省材階梯柱省材 3.1.3 梁的正應力及強度計算梁的正應力及強度計算 1) )分析梁的變形分析梁的變形mmnnaabbmmnnaabbO1O2中性層中性層中性軸中性軸zy（1）在加）在加 M 前，畫兩橫向線前，畫兩橫向線 和和 ， 代代 表兩橫截面；在兩橫向線間，又畫兩條表兩橫截面；在兩橫向線間，又畫兩條 縱向線縱向線 和和 。mmnnaabb（2）在加）在加 M 后，梁發生彎曲變形后，梁發生彎曲變形 。 兩橫向線兩橫向線 、 ，仍保持直線，只是傾，仍保持直線，只是傾 斜了微小角度，即橫截面仍然保持平面。斜了微小角度，即橫截面仍然保持平面。mmnn 兩縱向線兩縱向線 和和 都變成了弧

18、線，都變成了弧線， 縮短縮短 伸長。伸長。aabbaabb 在在 與與 之間，有一弧線之間，有一弧線 ，它既沒，它既沒 縮短也不伸長。縮短也不伸長。aabb21oo（3）與）與 為同一縱向纖維層，即為中性層，其為同一縱向纖維層，即為中性層，其 橫截面上的軸為中性軸。此處的中性層之上橫截面上的軸為中性軸。此處的中性層之上 為受壓區，之下為受拉區。為受壓區，之下為受拉區。21oo受壓區受壓區受拉區受拉區2) )純彎曲的正應力公式純彎曲的正應力公式(- -)(+)y中性層中性層中性層中性層中性層之上（中性層之上（下下）的各）的各纖維層纖維層 縮短縮短 （伸長伸長 ），），離離 越遠，其越遠，其 縮短

19、縮短（伸長伸長 ）量就越大。）量就越大。 21oo應力和變形成正比，在應力和變形成正比，在梁的梁的上上（下下）邊緣，其）邊緣，其壓壓（ 拉拉 ）應力為）應力為最大最大；在中性層處，應力為在中性層處，應力為零零。 設橫截面上的中性軸設橫截面上的中性軸為為 z ，在與，在與 z 的距離的距離為為 y 處的任一點的應處的任一點的應力為力為 。 zIyM中性軸中性軸zI 截面的慣性矩。截面的慣性矩。 梁在純彎曲段內，梁的橫截面上的彎矩梁在純彎曲段內，梁的橫截面上的彎矩 M 為一常數。為一常數。 b 沿梁寬沿梁寬 b 的各點正應力的各點正應力 ，其，其 y 值若相同，則值若相同，則 值就不變。值就不變。

20、 當當 y0 時，即在中性軸上，時，即在中性軸上， ；當；當 時，即在梁的上下時，即在梁的上下 邊緣，邊緣， 壓（拉）應力的絕對值皆為最大。壓（拉）應力的絕對值皆為最大。 0maxyy討論討論3) )慣性矩慣性矩 Iz截面幾何性質截面幾何性質 慣性矩慣性矩 Iz截面的形狀和尺寸截面的形狀和尺寸取決于取決于梁的承載能力將不同梁的承載能力將不同不同不同 Izbhzzbh立立放放平平放放矩形截面對矩形截面對 z 軸軸慣性矩慣性矩 Iz = b h3 / /12矩形截面對矩形截面對 z 軸軸慣性矩慣性矩 Iz = h b3 / /12結論：結論：同樣一根梁，在同樣的荷載作用下，立放時其承載能力比平放時

21、要強。同樣一根梁，在同樣的荷載作用下，立放時其承載能力比平放時要強。hb大大小小123zbhI 123yhbI 644yzdII等截面梁（等截面梁（Iz 不變）不變）梁又是純彎曲（梁又是純彎曲（M 不變）不變）ymax 和和 Iz 同屬于截面幾何性質，把兩者歸類，即令，則同屬于截面幾何性質，把兩者歸類，即令，則maxzzyIW 最大正應力最大正應力 發生發生 在離中性軸最遠（在離中性軸最遠（ y ymax ）的邊緣處）的邊緣處 maxzmaxmaxIyMzmaxWMWz 為抗彎截面模量。若為抗彎截面模量。若Wz 愈大，則愈大，則 就愈小，梁的抗彎性能就愈好，反之亦然，就愈小，梁的抗彎性能就愈好

22、，反之亦然，故故 Wz 又稱為截面抵抗矩，單位為又稱為截面抵抗矩，單位為 m3。max對于矩形截面，若對于矩形截面，若 ，且，且 ，則，則123zbhI 2maxhy621223maxzzbhhbhyIW對于圓形截面，若對于圓形截面，若 ，且，且 ，則，則644zdI2maxdy3226434maxzzdddyIW4) )橫力彎曲的正應力公式橫力彎曲的正應力公式彎矩彎矩 M 沿梁的軸線沿梁的軸線 x 是變化的是變化的 Mmax最大彎矩最大彎矩 Mmax 所在的橫截面，其應力比其它截面的應力都要大，屬于所在的橫截面，其應力比其它截面的應力都要大，屬于危險截面危險截面。 zmaxmaxWMMmax

23、=M=0M=000max)(max橫力彎曲的正應力公式：橫力彎曲的正應力公式：且離中性軸最遠（且離中性軸最遠（yymax）的邊緣處。）的邊緣處。 結論：結論：中性軸中性軸max在危險截面（即在危險截面（即Mmax 所在橫截面）上，所在橫截面）上，梁的梁的)(max ZWMmaxmaxymax（1）強度條件強度條件)()(材料抗彎容許應力材料抗彎容許應力強度條件變成：強度條件變成：脆性材料：脆性材料： ，為達到材盡其用，常用上下不對稱之截面。，為達到材盡其用，常用上下不對稱之截面。)(1max1max)max(ZZWMIyM)(2max2max)max(ZZWMIyM此時，同一截面則有兩個抗彎截

24、面模量，此時，同一截面則有兩個抗彎截面模量， 且較小者，其應力較大。且較小者，其應力較大。（2）強度計算）強度計算 強度校核強度校核 截面選擇截面選擇 許可荷載許可荷載5) )強度條件及計算強度條件及計算)(maxzyCy1)(max maxMWZMmaxy2三類問題三類問題)()( ZWM max滿足者，則安全，否則不安全。滿足者，則安全，否則不安全。截面形狀及尺寸。截面形狀及尺寸。荷載最大值。荷載最大值。 【例例3. .4】如圖所示樓板主梁為工字型鋼。已知集中荷載如圖所示樓板主梁為工字型鋼。已知集中荷載 P75kN，跨度，跨度 l10m，鋼的材料抗彎容許應力鋼的材料抗彎容許應力 152MP

25、a，試選擇工字鋼截面的型號。，試選擇工字鋼截面的型號。lmkN375maxM【解解】梁的兩端具有稍為轉動及伸縮的可能，梁的兩端具有稍為轉動及伸縮的可能，故梁計算簡圖可視為簡支梁，故梁計算簡圖可視為簡支梁， maxM33663maxZcm2467m1024671015210375 MW1. .求求先求出先求出 A、B 兩處的支座反力：兩處的支座反力：YAYB（375）/ /2112.5 kN再畫出梁的彎矩圖，最大彎矩在為再畫出梁的彎矩圖，最大彎矩在為ZW2. .求求3. .選型號選型號查查 附錄附錄3 型鋼表，選型鋼表，選 56b 號工字鋼，得號工字鋼，得 Wx2447cm3 Wz=2467cm

26、3但相差不到但相差不到1%，故可用。故可用。 【例例3.53.5】矩形截面的簡支木梁，已知矩形截面的簡支木梁，已知 l = =4m，b= =120mm，h= =180mm，q= =5.1kN/m， 木材的容許應力木材的容許應力=10MPa。試校核梁的強度。試校核梁的強度。 4633mm1032. 581218012012bhIZ4633mm1032. 581218012012bhIZ【解解】1.計算截面幾何特征量計算截面幾何特征量366mm10648. 0901032.582hIWZZmaxM2.求求mmN1010.2mkN2 . 104 1 . 58181622max l qMMPa8.15

27、mmmmN10648.0102.10366maxmaxZWM3.強度校核強度校核MPa10 36maxmm1002. 1102 .10MWZ故不安全，應重新設計截面。故不安全，應重新設計截面。4.截面重設截面重設23bh取取322916) 32 (6hhhbhWZ（為什么？）（為什么？）北宋李誡北宋李誡營造法式營造法式：“凡梁之大小，隨其廣高為三分，以二分為厚凡梁之大小，隨其廣高為三分，以二分為厚”61002. 1q l 2/ /8h = = 300mmb = = 200mm3.1.4 梁的剪應力及強度計算梁的剪應力及強度計算橫力彎曲橫力彎曲 正應力正應力 剪應力剪應力 彎矩彎矩 M + 剪力

28、剪力V （內力）（內力）？1) )矩形截面梁的剪應力矩形截面梁的剪應力max立立體體圖圖平平面面圖圖y0拋物線拋物線橫截面，當橫截面，當 y0，；當，；當 ，或，或 。2hy )(max)(maxbhV23max橫截面，當橫截面，當 y = =0， ，當，當， 。 2 hy 0zmaxmaxWM比比較較危險截面危險截面bhVmaxmax23危險截面危險截面任意荷載任意荷載任一橫截面任一橫截面【例例3. .6】圖為一矩形截面懸臂梁，試比較橫截面內發生的最大剪應力和最大正應力。圖為一矩形截面懸臂梁，試比較橫截面內發生的最大剪應力和最大正應力。bhPbhV2323maxmaxV 圖圖62zbhWM

29、圖圖Mmax=P l【解解】1. .作作 V 圖和圖和 M 圖圖最大負彎矩發生在梁的根部，最大負彎矩發生在梁的根部，MmaxPl 。所有橫截面上，剪力值恒定，所有橫截面上，剪力值恒定，VmaxP，2. .求最大剪應力求最大剪應力2zmaxmax6bhplWM3. .求最大正應力求最大正應力因矩形截面的抵抗矩因矩形截面的抵抗矩 ，故有，故有 )(41maxmaxlhmax4. .比較比較max 和和 之比為之比為梁高跨比的四分之一梁高跨比的四分之一 一般一般情況情況細長梁的細長梁的 h/ /l 1/ /5 ，則，則 不會超不會超過過 之值的之值的 1 / /20 。 故對一般梁故對一般梁（非短粗

30、梁或非薄壁梁），其強度（非短粗梁或非薄壁梁），其強度只按正應力計算，不必考慮剪應力只按正應力計算，不必考慮剪應力max2) )薄壁截面梁的剪應力薄壁截面梁的剪應力薄壁薄壁h1上翼緣上翼緣下翼緣下翼緣腹板腹板maxmax壁厚比寬和高要小得多壁厚比寬和高要小得多工字形、工字形、T形和圓環形等薄壁截面梁形和圓環形等薄壁截面梁工字形截面：上、下翼緣工字形截面：上、下翼緣 很小，不計。腹板為矩形，在中性軸（很小，不計。腹板為矩形，在中性軸（z 軸）有軸）有 ，且，且 與與 相差相差 很小很小 ，故視為均勻分布：，故視為均勻分布： minmin1max11maxmaxAVhbVmaxminmax（A1為腹

31、板的面積）為腹板的面積）腹板腹板T形截面：其腹板與工字形的腹板類似，形截面：其腹板與工字形的腹板類似， 在截面的中性軸（在截面的中性軸（z 軸）之上。軸）之上。 23maxmaxbhV圓環形截面圓環形截面 ： 還是發生在中性軸（還是發生在中性軸（z 軸）之上。軸）之上。 23maxmaxbhVMPa11 MPa11 3) )強度條件及計算強度條件及計算MPa2 . 1 材料在純剪切時的容許剪應力材料在純剪切時的容許剪應力 梁的剪應力強度條件：梁的剪應力強度條件： 對于矩形截面的等直梁，其強度條件：對于矩形截面的等直梁，其強度條件： 【例例3.7】一矩形截面簡支木梁，梁上作用有均布荷載一矩形截面

32、簡支木梁，梁上作用有均布荷載 q。已知：。已知：l4m，q4kN/m，彎曲時材料的容許拉應力彎曲時材料的容許拉應力 ，容許剪應力，容許剪應力 ；若取截面的高寬比為；若取截面的高寬比為 3/2，試確定矩形截面的高和寬。，試確定矩形截面的高和寬。3363maxzm10727. 01011108MW332210727. 0836)23(6bbbbhWzm125. 0bV 圖圖m187. 0hM 圖圖【解解】 1. .畫出畫出V 圖、圖、M 圖圖 2. .由正應力強度條件確定由正應力強度條件確定 b、h 梁所需的抗彎截面模量：梁所需的抗彎截面模量：23bh1.2MPa MPa486. 019. 013

33、. 010823233maxmaxbhV而而lll1aaa1又又，取，取b13 cm，h19 cm3. .驗算剪應力強度條件：驗算剪應力強度條件：滿足滿足 3.2桿件的變形與剛度桿件的變形與剛度 問題引入問題引入桿桿件件變形是否過大？變形是否過大？桿件是否破壞？桿件是否破壞？剛度條件剛度條件取決于取決于強度條件強度條件取決于取決于？問題：問題：桿件的變形應如何確定？其量值怎樣計算？何謂剛度條件？桿件的變形應如何確定？其量值怎樣計算？何謂剛度條件？ 3.2.1 拉（壓）桿的軸向變形拉（壓）桿的軸向變形虎克定律虎克定律 llaallaa1) )縱向變形縱向變形桿原桿原長長 l桿的縱向變形（伸長或縮

34、短）為桿的縱向變形（伸長或縮短）為軸向軸向力力P伸長伸長縮短縮短內力內力變形變形外力外力作用作用桿長桿長為為 l101aaa拉伸：拉伸：l 0 壓縮：壓縮：l 0 2) )橫向變形橫向變形設原橫向尺寸為設原橫向尺寸為 a，變形后為，變形后為 a1，則桿橫向總變形為：，則桿橫向總變形為： 01aaa拉伸：拉伸：a 0 壓縮：壓縮：a0 00較粗較粗較細較細3) )線應變線應變 問題：問題：縱向伸長縱向伸長 l 為桿的總變形量，反映不了桿的變形程度。為桿的總變形量，反映不了桿的變形程度。 試試驗驗拉伸拉伸橡皮筋橡皮筋長長 度度 l 長度長度 l/ /2伸長伸長l相同相同變細程度小（變細程度小（較粗

35、較粗）變細程度大（變細程度大（較細較細）變形程度變形程度與與 l 有關有關 縱向縱向應變應變l / / l 是相對變形，稱是相對變形，稱線應變線應變，是一無量綱的量。，是一無量綱的量。 l 是絕對變形，量綱為是絕對變形，量綱為長度長度，單位為，單位為m 或或 mm； llaa拉伸時拉伸時a 1 a壓縮時壓縮時a1 a 橫向橫向應變應變 拉伸：拉伸：壓縮：壓縮：AlNl 拉（壓）桿的與拉（壓）桿的與 的正負號總是相反的！的正負號總是相反的！ANEll1或或（為泊松比）（為泊松比） EAl Nl應力不超過應力不超過 材料比例極限材料比例極限4) )應力和應變關系應力和應變關系虎克定律虎克定律 桿伸

36、長或壓縮桿伸長或壓縮 的變形量的變形量 l 與軸力與軸力 N 和桿長和桿長 l 成正比成正比與桿截面的面積與桿截面的面積 A 成反比成反比E引人比例常數引人比例常數 E拉（壓）桿虎克定律拉（壓）桿虎克定律 討論：討論：（1）比例常數比例常數 E彈性模量彈性模量隨材料而異隨材料而異實驗測定實驗測定桿抗拉（壓）的桿抗拉（壓）的截面剛度截面剛度EA（2） A為桿的截面面積，故為桿的截面面積，故EA代表截面的剛度代表截面的剛度 兩層兩層含義含義若若EA 大，則大，則 l 小，小， EA為拉（壓）剛度為拉（壓）剛度 與與 之關系之關系) m( 0005. 0101020101002105062931 1

37、ABABAB A El Nl) m( 0001. 0101020101001 102062931 1BCBCBC A El Nl（3）) m( 0001. 0101020101001 102062931 1BCBCBC A El Nl) m( 000075. 0101020102001 103062931 2CDCDCD A El Nl) m(000375. 0101010102005 . 21030629322DEDEDEAEl NlDECDBCABlllll虎克定律虎克定律 結論：結論：在應力不超過比例極限時，應力和應變成正比，其比例常數為彈性模量在應力不超過比例極限時，應力和應變成正比，

38、其比例常數為彈性模量E。 （4）彈性彈性模量模量E 比例常數比例常數 E 是具有單位的量，故又稱之為模量是具有單位的量，故又稱之為模量 彈性是指外力撤消后，變形消失而恢復其原狀彈性是指外力撤消后，變形消失而恢復其原狀 單位單位GPa 【例例3. .8】由銅和鋼組成的變截面桿，由銅和鋼組成的變截面桿，AB段橫截面面積段橫截面面積A120102 mm2，DE段橫段橫截面面積截面面積A210102 mm2；銅的彈性模量；銅的彈性模量E1100 GPa，鋼的彈性模量，鋼的彈性模量E2200GPa。試求桿縱向總變形量試求桿縱向總變形量l。【解解】按按N、E、A 變化情況，分別計算每段長度的變化情況，分別

39、計算每段長度的 改變量，最后的代數和即為桿縱向總變形量改變量，最后的代數和即為桿縱向總變形量 l。 2. .求求各段的縱向伸長量或縮短量各段的縱向伸長量或縮短量1. . 畫桿之軸力圖畫桿之軸力圖000375. 0000075. 00001. 00005. 0)mm(15. 0)m(00015. 0BA（正值正值表示該段表示該段伸長伸長，負值負值表示該段表示該段縮短縮短） C3. .求求lCy故整根桿縮短了故整根桿縮短了0.15mm。CN 圖圖3.2.2 梁的彎曲變形及剛度校核梁的彎曲變形及剛度校核以懸以懸臂梁臂梁為例為例橫看梁橫看梁的截面的截面AB 軸線軸線為直線為直線變形前變形前撓曲線撓曲線

40、 連續連續光滑曲線光滑曲線變形后變形后橫截面橫截面形心形心 C變形前變形前橫截面橫截面形心形心A變形后變形后A x y平面內平面內轉角轉角 B撓度撓度 yC位移位移縱觀梁縱觀梁的軸線的軸線因設因設 y 軸軸向下為正向下為正規規定定討論：討論：（1）撓度的正負與單位）撓度的正負與單位（2）轉角的正負與單位）轉角的正負與單位單位常用單位常用 弧度弧度（rad）單位常取單位常取mm或或cm 轉角轉角順順時針為時針為正正逆逆時針為時針為負負B 撓度撓度向下向下為為正正向上向上為為負負過過 點作撓曲線的切線，則該切線點作撓曲線的切線，則該切線與與 x 軸的夾角恰好也是軸的夾角恰好也是 。 Bz2BA16

41、 EIPl1) )梁的轉角、撓度和撓曲線方程梁的轉角、撓度和撓曲線方程ymax20lxymax) 43 (4823zxlEIPxyz3max48 EIPly ) 43 (4823zxlEIPxyz3max48 EIPly )2(2433zxlxlEIqxyz3BA24 EIqlymaxz3max48 EIPly ymaxz3max48 EIPly z4max3845EIqly最大轉角：最大轉角：撓曲線方程：撓曲線方程：（ ）)3(6z2xlEIPxyz2B2 EIPl最大最大撓度：撓度：z3max3EIPly撓曲線方程：撓曲線方程：)46(2422z2lxlxEIqxyz3B6 EIql最大轉

42、角：最大轉角：最大撓度：最大撓度：z4max8 EIqly撓曲線方程：撓曲線方程：最大轉角：最大轉角：最大撓度：最大撓度：撓曲線方程：撓曲線方程：最大轉角：最大轉角：最大撓度：最大撓度：lx 0B4z3A124EIql（ ）z413845EIqlyC（ ）z413845EIqlyC（ ）z413845EIqlyCz2A216 EIPl2) )用疊加法計算梁的變形用疊加法計算梁的變形 【例例3. .9】一等截面簡支梁，其上作用有集中荷載一等截面簡支梁，其上作用有集中荷載 P 和均布荷載和均布荷載 q，求跨中，求跨中 C 點點的撓度和截面的撓度和截面 A 的轉角。的轉角。z32C48EIPlyz2

43、z3A2A1A1624 EIPlEIqlz3z4C2C1483845EIPlEIqlyyyCB【解解】 lflymaxf1000250 lllf受有多個受有多個荷載的梁荷載的梁疊加疊加轉角轉角撓度撓度荷載單獨荷載單獨作用的梁作用的梁轉角轉角撓度撓度0.01mmm10101034061020038464538456894z4maxEIqly0025. 0400100166. 0600001. 0maxlfly3) )梁的剛度校核梁的剛度校核梁的變形是否超過容許值梁的變形是否超過容許值 梁的剛度條件：梁的剛度條件： 剛度條件剛度條件梁的容許撓度梁的容許撓度 限值在限值在 范圍內，規范對范圍內，規范

44、對 值有具體規定。值有具體規定。MPa40mm5mm30梁應滿足梁應滿足強度條件強度條件一般一般情況情況控制作用控制作用從屬地位從屬地位先選擇梁的截面先選擇梁的截面再校核梁的剛度再校核梁的剛度 【例例3.10】現有一簡支梁，已知：現有一簡支梁，已知：l6m ，q4kN/ / m，f/ /l 1/400，由強度，由強度條件梁已選用條件梁已選用 22a 號工字鋼，其彈性模量號工字鋼，其彈性模量 E200GPa；試校核梁的剛度。；試校核梁的剛度。 【解解】查查附錄附錄3知，知，22a號工字鋼的慣性矩號工字鋼的慣性矩 IzIx3406cm4340610-8m4，在均布荷載在均布荷載 q 作用下的簡支梁

45、，其最大撓度發生于跨中，且為作用下的簡支梁，其最大撓度發生于跨中，且為mm2001lmm10002l故滿足剛度要求。故滿足剛度要求。3.3 壓桿的穩定性分析壓桿的穩定性分析問題引入問題引入N60005 3040 AP兩根粗細一樣，但長短不同之木桿，兩根粗細一樣，但長短不同之木桿，為什么長桿容易被折斷？為什么長桿容易被折斷？試驗比較試驗比較不同長細之桿的抗壓能力不同長細之桿的抗壓能力材料材料： 松木松木截面尺寸：截面尺寸：桿之長度：桿之長度：若按材料強度計算，則桿之抗壓承載力為若按材料強度計算，則桿之抗壓承載力為故桿之壓力故桿之壓力 6000N 時才會發生強度破壞時才會發生強度破壞問題：問題：強

46、度計算時，并沒有考慮桿之長度，強度計算時，并沒有考慮桿之長度，而而 l 對壓桿承載力有無影響呢？對壓桿承載力有無影響呢？rcN試驗表明試驗表明rcN22r c)( lEIN22r c)( lEIN結論：結論：壓桿承載力為壓桿承載力為 P2=30N3.3.1 壓桿穩定性的概念壓桿穩定性的概念 把壓桿保持原有直線平衡狀態的能力，稱為壓桿的穩定性，其破壞簡稱為把壓桿保持原有直線平衡狀態的能力，稱為壓桿的穩定性，其破壞簡稱為壓桿失穩壓桿失穩。壓桿強度不足的破壞壓桿強度不足的破壞壓桿失穩的破壞壓桿失穩的破壞有明顯的先兆（比如變形過大，肉眼可見）有明顯的先兆（比如變形過大，肉眼可見）無明顯預兆的突然性破壞，其危害性更大無明顯預兆的突然性破壞，其危害性更大加拿大魁北克大橋加拿大魁北克大橋下弦桿失穩下弦桿失穩 E突然倒塌突然倒塌 I腳手架失穩腳手架失穩l腳手架腳手架3.3.2 壓桿的臨界力及公式壓桿的臨界力及公式1) )壓桿的臨界力壓桿的臨界力臨界力臨界力N桿件材料桿件材料桿件尺