1、2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo) n、選擇題：此題共 12 小題,每題 5 分,共 60 分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1+211-212.5 分集合 A=x,y|x2+y2W3,xCZ,yCZ,那么 A 中元素的個(gè)數(shù)為4.5 分向量 3,匕滿足|可=1,：3Fb=-1,貝 U3?23-b=A.4B.3C.2D.01.5 分A.9B.8C.5D.45.5 分 雙曲線A.y=二 xB,22為上工=1a0,b0的離心率為 V3,那么其漸近線方程為6.5 分在ABC 中,co 畸=,BC=1,AC=5,貝 UAB=12:|5A.4.：?B.IC.一 JD.2.

2、三8. 5 分我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是每個(gè)大于 2 的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,如 30=7+23.在不超過 30 的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于 30 的概率是9. 5 分在長方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AAI=/3,那么異面直線 ADI與 DBI所成角的余弦值為C.=cosx-sinx 在-a,a是減函數(shù),那么 a 的最大值是11.5 分fx是定義域?yàn)?巴+oo的奇函數(shù),滿足 f1-x=f1+x,假設(shè) f(1)=2,貝 Uf(1)+f(2)+f(3)+-+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50=1

3、ab0的左、右焦點(diǎn),A 是 C 的左頂點(diǎn),7.5 分為計(jì)算 S=199100,設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖,那么在空白框中應(yīng)AJ-12B.C.10.(5 分)假設(shè) f(x)A.4B.C.D.兀12.5 分Fi,F2是橢圓C:A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4填入點(diǎn) P 在過 A 且斜率為胃的直線上,PF1F2為等腰三角形,/FiF2P=120,那么 C 的離心率為A.B.工 C.D.上3234、填空題：此題共 4 小題,每題 5 分,共 20 分.曲線 y=2lnx+1在點(diǎn)0,0處的切線方程為“2 廠 5.假設(shè) x,y 滿足約束條件,乳-2y+3,0,那么 z=x+y 的最大值為

4、*-5 式 0sin+cos3=lcos+sin3=0 貝 Usina+0=.為 45,假設(shè)SAB 的面積為寸氐那么該圓錐的側(cè)面積為三、解做題：共 70 分.解容許寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟.第 1721 題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題,考生根要求作答.一必考題：共 60分.17.12 分記 S 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,a1二-7,S3=-15.1求an的通項(xiàng)公式；2求 S,并求&的最小值.18.12 分如圖是某地區(qū) 2000 年至 2021 年環(huán)境根底設(shè)施投資額 y單位：億元的折線圖.13.5 分14.5 分15.5 分16.5 分 圓錐的

5、頂點(diǎn)為 S,母線 SA,SB 所成角的余弦值為,SA 與圓錐底面所成角籌資額*240200020012002200200420032006200720212021202120212Q12202120212Q15201年份為了預(yù)測該地區(qū) 2021 年的環(huán)境根底設(shè)施投資額,建立了 y 與時(shí)間變量 t 的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù) 2000 年至 2021年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量 t 的值依次為 1,2,117)建立模型：；=-30.4+13.5t;根據(jù) 2021 年至 2021 年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量 t 的值依次為 1,2,7)建立模型：y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū) 2021 年的

6、環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.19.(12 分)設(shè)拋物線 C:y2=4x 的焦點(diǎn)為 F,過 F 且斜率為 k(k0)的直線 l 與 C 交于 A,B 兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求 l 的方程;(2)求過點(diǎn) A,B 且與 C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程.20.12 分如圖,在三棱錐 P-ABC 中,AB=BC=2/2,PA=PB=PC=AC=,4O 為 AC 的中點(diǎn).(1)證實(shí)：POL 平面 ABC;(2)假設(shè)點(diǎn) M 在BC 上,且二面角 M-PA-C 為 30,求 PC 與平面 PAM 所成角的正弦值.21.(12 分)函數(shù) f(x)=ex-ax2

7、.(1)假設(shè) a=1,證實(shí)：當(dāng) x0 時(shí),f(x)1;(2)假設(shè) f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn),求 a.(二)選考題：共 10 分.請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計(jì)分.選彳 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(直二2rtg022.(10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中,曲線 C 的參數(shù)方程為,(.為參數(shù)),直線 ly=4sin6的參數(shù)方程為產(chǎn) n,(t 為參數(shù)).(1)求 C 和 l 的直角坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)曲線 C 截直線 l 所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求 l 的斜率.選彳 4-5:不等式選講23.設(shè)函數(shù) f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)

8、當(dāng) a=1 時(shí),求不等式 f(x)0 的解集；(2)假設(shè) f(x)w1,求 a 的取值范圍.2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo) n參考答案與試題解析一、選擇題：此題共 12 小題,每題 5 分,共 60 分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.-iB【分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法那么化簡求解即可.解答解：=Q+2i)(LMi)=一良.1-21(1-20(1421)551應(yīng)選：D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是根本知識(shí)的考查.2.(5 分)集合 A=(x,y)|x2+y2W3,xCZ,yCZ),那么 A 中元素的個(gè)數(shù)為()A.9B.8C.5D.4【

9、分析】分別令 x=-1,0,1,進(jìn)行求解即可.【解答】解：當(dāng) x=-1 時(shí),y22,得 y=T,0,1,當(dāng) x=0 時(shí),y23,得 y=-1,0,1,當(dāng) x=1 時(shí),y20,排除 D.ef(x)一+8,排除C,【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)的圖象的識(shí)別和判斷,利用函數(shù)圖象的特點(diǎn)分別進(jìn)行排除是解決判斷函數(shù)的奇偶性,函數(shù) f(-x)A,225.5 分雙曲線工二 1a0,b0的離心率為 V3,那么其漸近線方程為a2b2A.y=f2xB.y=/3xC.y=亞 xD.y=x122【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出 a,c 的關(guān)系,結(jié)合雙曲線 a,b,c 的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【解答】解：二雙曲線的離心率為e=j

10、3,a【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查雙曲線漸近線的求解,結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決此題的關(guān)鍵.A.4V2B.k/30C.D.2Vl【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函數(shù)值,利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：在ABC 中,co3 二；,cosC=2X假設(shè)2.1二一卷,BC=1,AC=5,貝 UAB=7Bc2+AC2-2BC-ACcosC=jl+25+2x1x5X-1=2=4.應(yīng)選：A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的解法以及計(jì)算水平.75 分為計(jì)算 S,3+宗%.得盍,設(shè)計(jì)了如圖的程序框缸那么在空白框中應(yīng)填入6.5 分在ABC 中,cosBC=1,AC=5,貝 UAB

11、=應(yīng)選：A.累加步長是 2,那么在空白處應(yīng)填入 i=i+2.應(yīng)選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了循環(huán)程序的應(yīng)用問題,是根底題.8. 5 分我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是每個(gè)大于 2 的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,如 30=7+23.在不超過 30 的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于 30 的概率是從中選 2 個(gè)不同的數(shù)有 C；45 種,【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后輸出的S=NI-T,由此知空白處應(yīng)填入的條件.【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程知,該程序運(yùn)行后輸出的是S=NI-T=1二219g100；B.14C.115D.18利用列舉法先

12、求出不超過 30 的所有素?cái)?shù),利用古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.解：在不超過 30 的素?cái)?shù)中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 共 10 個(gè),A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4和等于 30 的有(7,23),(11,19),(13,17),共 3 種,那么對(duì)應(yīng)的概率 P=L=_!一,45應(yīng)選：C.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查古典概型的概率的計(jì)算,求出不超過 30 的素?cái)?shù)是解決此題的關(guān)鍵.9.5分在長方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=/3,那么異面直線 AD1與 DB1所成角的余弦值為A.jB.再 C.宰D.亨【分析】以 D 為原點(diǎn),

13、DA 為 x 軸,DC 為 y 軸,DD1為 z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線 AD1與 DB1所成角的余弦值.【解答】解：以 D 為原點(diǎn),DA 為 x 軸,DC 為 y 軸,DD1為 z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系, .在長方體 ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1二一, A1,0,0,D10,0,V3,D0,0,0,B11,1,心,7C4=-1,0,近,EIB=1,1,正,設(shè)異面直線 AD1與 DB1所成角為0, 異面直線 AD1與 DB1所成角的余弦值為應(yīng)選：C.那么 cos0IADRDBJIAD【點(diǎn)評(píng)】此題考查異面直線所成角的余弦值的求法,考查空間中線線、

14、線面、面面間的位置關(guān)系等根底知識(shí),考查運(yùn)算求解水平,考查函數(shù)與方程思想,是根底題.10.(5 分)假設(shè) f(x)=cosx-sinx 在-a,a是減函數(shù),貝 Ua 的最大值是(B.D.兀【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡 f(x),由與_+2 卜冗工一_b0)的左、右焦點(diǎn),A 是 C 的左頂點(diǎn),12.(5 分)F1,F2是橢圓C:心率.【解答】解：由題意可知：A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),直線 AP 的方程為：y=,(x+a),6由/FiF2P=120,|PF2|=|F1F2I=2c,那么 P(2c,Jc),代入直線 AP:/c=3(2c+a),整理得：a=4c,6,題意的

15、離心率 e=L.a4應(yīng)選：D.【點(diǎn)評(píng)】此題考查橢圓的性質(zhì),直線方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.二、填空題：此題共 4 小題,每題 5 分,共 20 分.13. (5 分)曲線 y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為 y=2x.【分析】欲求出切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在 x=0 處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.【解答】解：y=2ln(x+1),當(dāng) x=0 時(shí),v=2點(diǎn) P 在過 A 且斜率為B.C.的直線上,PF1F2為等腰三角形,/F1F2P=120,那么 C 的離心率為D-7求得直線 AP 的方程：根據(jù)題意求得P 點(diǎn)坐標(biāo)

16、,代入直線方程,即可求得橢圓的離曲線 y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為 y=2x.故答案為：y=2x.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等根底知識(shí),考查運(yùn)算求解水平.屬于根底題.甜 2yL-5Qx-2y+30,那么 z=x+y 的最大值為 9.算-5 式 0【分析】由約束條件作出可行域,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【解答】解：由 x,y 滿足約束條件,作出可行域如圖,TK-5C0化目標(biāo)函數(shù) z=x+y 為 y=-x+z,由圖可知,當(dāng)直線 y=-x+z 過 A 時(shí),z 取得最大值,由卜一 5,解得A(5,

17、4),目標(biāo)函數(shù)有最大值,為 z=9.【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法是中檔題.15.(5 分)sin+cos3=lcos+sin3=0 貝 Usin(a+3)=一【分析】把等式兩邊平方化簡可得 2+2(sinaco*cosasin)3=1,再利用兩角和差的正弦公式化簡為 2sin(a+3)=-1,可得結(jié)果.【解答】解：sin+cos3=l兩邊平方可得：sin2a+2sinaco+cOs23=1,cos+sin3=0兩邊平方可得：cos2a+2cosasin+sin23=0,由+得：2+2(sinaco 阱 cosasin)3=1,即 2+2sin(a+3)=1,

18、(故答案為：9.故答案為：4067t.【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征,母線與底面所成角,圓錐的截面面積的求法,想象水平以及計(jì)算水平.三、解做題：共 70 分.解容許寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟.第 1721 題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題,考生根要求作答.一必考題：共 60分.17. 12 分記 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,ai=-7,S3=-15.1求an的通項(xiàng)公式;2求 S,并求&的最小值.【分析】1根據(jù) a1二-7,S3=-15,可得 a1=-7,3a1+3d=-15,求出等差數(shù)列an的公差,然后求出 an即可；2sin(a+3)=1.s

19、in(a+3)=-2故答案為:【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,屬于根本知識(shí)的考查,是根底題.16.5 分圓錐的頂點(diǎn)為 S,母線 SA,SB 所成角的余弦值為,SA 與圓錐底面所成角為 45,假設(shè)SAB 的面積為5/15,那么該圓錐的側(cè)面積為 404 三兀.【分析】利用條件求出圓錐的母線長,利用直線與平面所成角求解底面半徑,然后求解圓錐的側(cè)面積.【解答】解：圓錐的頂點(diǎn)為 S,母線SA,SB 所成角的余弦值可得 sin/AMB=SAB 的面積為 5715,可得;Sa2sin/AMB=5、序,即 9SA20)的直線 l 與 C 交于 A,B 兩點(diǎn),|AB|=8.(1

20、)求 l 的方程；(2)求過點(diǎn) A,B 且與 C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【分析】(1)方法一：設(shè)直線 AB 的方程,代入拋物線方程,根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得 k 的值,即可求得直線 l 的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式|AB|二一,求得直線 AB 的傾斜角,即可求得直線l 的斜率,求得直線 l 的方程；(2)根據(jù)過A,B分別向準(zhǔn)線l作垂線,根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可求得圓心,求得圓的方程.【解答】解：(1)方法一：拋物線 C:y2=4x 的焦點(diǎn)為 F(1,0),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),|AB|=4,不滿足；設(shè)直線 AB 的方程為：y=k(x-1),設(shè) A(x

21、i,yi),B(X2,y2),那么|三卜式,整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=o,那么 x+X2-2廣？)-xix2=1,yk由|AB|=xi+x2+p-2(+2=8,解得：k2=1,貝 Uk=1,k2直線 I 的方程 y=x-1;方法二：拋物線 C:y2=4x 的焦點(diǎn)為 F(1,0),設(shè)直線 AB 的傾斜角為 6,由拋物線的弦長公式|AB|=8,解得：sin2gisin26sin2?.?,那么直線的斜率 k=1,直線 I 的方程 y=x-1;(2)過 A,B 分別向準(zhǔn)線 x=-1 作垂線,垂足分別為 Ai,B1,設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D,過 D 作DD準(zhǔn)線 I,垂足為 D,那么|DDI

22、|二L(|AAi|+|BBI|)由拋物線的定義可知:|AAi|=|AF|,|BB|=|BF|,那么 r=|DDi|=4,以 AB 為直徑的圓與 x=-1 相切,且該圓的圓心為 AB 的中點(diǎn) D,由(1)可知：XI+X2=6,yi+y2=xi+)Q-2=4,那么 D(3,2),過點(diǎn) A,B 且與 C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.【點(diǎn)評(píng)】此題考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查轉(zhuǎn)換思想思想,屬于中檔題.20. (12 分)如圖,在三棱錐 P-ABC 中,AB=BC=2/2,PA=PB=PC=AC=,4O 為 AC 的中點(diǎn).(1)證實(shí)：POL 平面 A

23、BC;(2)假設(shè)點(diǎn) M 在BC 上,且二面角 M-PA-C 為 30,求 PC 與平面 PAM 所成角的正弦值.拋物線的焦點(diǎn)弦公式,考查圓【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證實(shí) POXAC,POLOB 即可；(2)根據(jù)二面角的大小求出平面 PAM 的法向量,利用向量法即可得到結(jié)論.【解答】解：(1)證實(shí)：AB=BC=2/2,.是 AC 的中點(diǎn),BOXAC,且 BO=2,又 PA=PC=PB=AC=2POXAC,PO=2s/3,那么 PB2=PO2+BO2,那么 P0OB,.OBnAC=O,.POL 平面 ABC;(2)建立以 O 坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OP 分另 1J 為 x,v,z 軸的空

24、間直角坐標(biāo)系如圖:A(0,-2,0),P(0,0,2%),C(0,2,0),B(2,0,0),設(shè)窗=標(biāo)=(2 入,2%0),0VK1那么媼=BBA|=(2 入,2 入,0)(2,-2,0)=(22%2H2,0),那么平面 PAC 的法向量為 IT=(1,0,0),【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的應(yīng)用以及二面角,坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量法是解決此題的關(guān)鍵.21. (12 分)函數(shù) f(x)=ex-ax2.(1)假設(shè) a=1,證實(shí)：當(dāng) x0 時(shí),f(x)1;設(shè)平面 MPA 的法向量為n=(x,y,z),那么而=(0,-2,-2 次),那么花通二-2y-為&=0,而?箴=(

25、2-2X)x+(2H2)y=0令 z=1,貝 Uy=-Vs,x=(X,i-k即*(d.3,一有,1),1-A.二面角 M-PA-C 為 30,那么平面 MPA 的法向量 7=28,-心,1,PC=(0,2,-2-73),sin0|=cos|=|VTF7TT線面角的求解,建立解得入上或入=3舍,3PC 與平面 PAM 所成角的正弦值22.(10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中,曲線 C 的參數(shù)方程為K-2COS8y=4sin8,(0 為參數(shù)),直線 l(2)假設(shè) f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn),求 a.【分析】(1)通過兩次求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證實(shí),(2)別離參數(shù)可得

26、a=-在(0,+)只有一個(gè)根,即函數(shù) y=a 與 G(x)=.一的圖象在(0,22XI+8)只有一個(gè)交點(diǎn).結(jié)合圖象即可求得 a.【解答】證實(shí)：(1)當(dāng) a=1 時(shí),函數(shù) f(x)=ex-x2.那么 f(x)=ex-2x,令 g(x)=ex-2x,那么 g(x)=ex-2,令 g(x)=0,得 x=ln2.當(dāng) e(0,ln2)時(shí),h(x)v0,當(dāng) C(ln2,+8)時(shí),h,(x)0,1 .h(x)h(ln2)=eln22?ln2=22ln20,.f(x)在0,+8)單調(diào)遞增,f(x)f(0)=1,解：(2),f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)？方程 ex-ax2=0 在(0,+oo)只有一個(gè)根,

27、?a=孑在(0,+00)只有一個(gè)根,XZ即函數(shù) y=a 與 G(x)今的圖象在(0,+oo)只有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng) xC(0,2)時(shí),G(x)0,2 .G(x)在(0,2)遞減,在(2,+8)遞增,當(dāng)一 0 時(shí),G(x)一+8,當(dāng)一+OO 時(shí),G(x)一+8,3 .f(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),a=G(2)【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)單調(diào)性,以及函數(shù)零點(diǎn)問題,考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.(二)選考題：共 10 分.請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計(jì)分.選彳 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程的參數(shù)方程為產(chǎn) 1+t 皿門,(t 為參數(shù)).(y=2+tsln虱(1)求 C 和 l 的直角坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)曲線 C