1、高等數(shù)學(xué)下復(fù)習(xí)題第7章微分方程dy形如上fxgy的方程稱為可別離變量的微分方程.其中f(x)僅是x的連續(xù)函數(shù),dxgy僅是y的連續(xù)函數(shù).一、在以下微分方程中,()是變量可別離的方程.(A)xtt(B)dtdxxo(C)xtt(D)dt解選 A 正確.dxx-dtdxdt例 2 微分方程yxyxy1的通解為1x12解yCe21.注事實上,方程可變形為y邊積分得_xtesintx1y1.別離變量得x1dx,兩dxy1rrI12一即Iny1-x1InC,整理得,x1y1Ce2.故所求方程的通解為C為任意常數(shù).、填空題1.求以下各微分方程的通解:yxsinx.12斛y(xsinx)dx一xcosxC1

2、,2z1213y(-xcosxC1)dx-xsinxC1xC2,2 613 一一故萬程的通斛為y-xsinxC1xC2.62八2、求被分方程yy0的通解.x2解令yp(x),那么yp,將原萬程變形為pp0.x三、解做題：二階常系數(shù)非方程的通解的特解.將x*(t)B0tB1代入原方程得3B0t(2B03B1)2t比擬等式兩端t的同次哥的系數(shù)得3B02,解之得B02,巳2B03B11.39這是可別離變量的微分方程,別離變量得生p2dx,兩端積分得pC,即dydxC12,x再積分一次得原方程的通解為C1yC2x3、求微分方程yyx滿足初始條件0,y00的特解.解令yp(x),那么yp,將原方程變形為

3、p這是一階非齊次線性方程,利用公式法,可求得通解為dxdxxx(xedxC1)e(xedxC1)C1e即yC1exx再積分一次得yC2,由條件y故所求的特解為yex1x23x1.21、d2x求微分方程d4dtdx23xdt2t1的通解.解齊次線性方程d2xdx2x2dx3x0的特征方程為r22rdtdt特征根為13,21.由于0不是特征方程的特征根,所以原方程有形如*x(t)BtB12特征萬程為r2r10,特征根為121,對應(yīng)齊次方程的通解為44Y(CiC2x)ex.再求所給方程的特解.1,Pm(x)X1.由于1是特征方程的二重根,所以設(shè)特解yx2(axb)ex.,、一11將它代入所給方程,得

4、6ax2bx1,比擬系數(shù)得a,b,622Zx1.xx()e.62x4、y2y5yesin2x.解對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為以對應(yīng)齊次方程的通解為Yex(C1cos2xC2sin2x).由于i12i是特征根,故可設(shè)特解的形式為yxex(Acos2xBsin2x).將yxex(Acos2xBsin2x),xye(2BxAxA)cos2x(2AxBxB)sin2x,yex(2A4B4Bx3Ax)cos2x(2B4A4Ax3Bx)sin2x起代入原方程得ex(4Bcos2x4Asin2x)exsin2x,比擬系數(shù)得4B0,4A1,1xcB0,于是萬程的一個特解為y-xecos2x,于是所求方程的

5、特解為所給方程的通解為八一12yYy(C1C2x-x2x)e443、y3y2yex于是對應(yīng)齊次方程的通解為YC1exC2e2x.2r2r50,特征根為r12i,所解對應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為2r3r20,特征根為r11,萬2,由于1是特征方程的單根,所以可以設(shè)特解形式為yAxex,代入原方程并化簡得A1,于是方程的一個特解為yxxe,從而所求萬程的通解為yGexC2xxC2exe.1V原萬程的通斛為ye(C1cos2xC2sin2x)-xecos2x.4第8章空間解析幾何、選擇題1、以下結(jié)論正確的選項是rrirr.、rrA.假設(shè)ab0,那么a0或b0.,rrrrrrB.右abac,貝Ub

6、c.rrrC.假設(shè)a,b,c均為非零向量,且abc,bca,cab,那么a,b,r相互垂直.uuuuuuuuD.假設(shè)a0,b0均為單位向量,那么a0b0亦為單位向量.2、以下命題是否正確？,rJ-abba；rrrrrrrrrrrrr假設(shè)ab0,那么a0或者b0,假設(shè)ab0,那么a0或者b0;rrrr一.rr.rrrr一.rr右abac,貝ubc,右abac,貝ubc.rrrrrrrrrr.rr右a0,且abac,abac,貝ubc.解不正確,由于向量積不滿足交換律,正確的選項是不正確,由于數(shù)量積、向量積都沒有零因子律:rrrrab0不能推出a0或者b0,rrrrrrrab0不能推出a0或者b0

7、;不正確,由于數(shù)量積一口工、rrrr八,八,rr向量積都沒有消去律：abac不能推出bc,rrrr八,rrabac不能推出bc.r.rrr正確,由于abacrrrrrra(bc)0a(bc),rrrra(bc)0rrra/(bc),、填空題空間曲線在坐標(biāo)面上的投影222z zV V2 2xyxy, ,在xoy面上的投影22zxy1、求空間曲線解由方程組zJ J2 2x x22zxyx3y2z=0.3、求過點4,1,3且垂直于直線？魂y-2122222/yJ2xy,解得xy1,2、2y22(舍去),投影柱面為1,22xy投影曲線為yz0.1,兩球面的方程為 x2y2z2x2(y1)2(z1)21

8、 求它們的交線C 在 xOy 面上的投影方程解先將方程x2(y1)2(z1)21 化為 x2y2z22y2z1 然后與方程x2y2z21 相減得得 x22y22y0 這就是交線 C 關(guān)于 xOy 面的投影柱面方22C 在 xOy 面上的投影方程為x2y2y0z0三、計算題：平面的點法式方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0.程；(2)平面的一般方程；(3)平面的截距式方程;解(1)所求平面的一個法向量為nab2,1,11,1,0又平面過點(1,0,1),于是平面的點法式方程為(3)將一般方程化簡得平面的截距式方程為 x41、注解由平面的點法式方程可得其法向量為nA,B,C.平面過點(1,0

9、,1)且平行于向量a2,1,1和b1,1,0,求：(1)平面的點法式方2、求過A(1,1,1)、B( 2,2,2)和C(1,1,2)三點的平面方程.uur解由題意ABuuir3,3,3,AC0,2,3,因此所求平面的一個法向量為uuruuurnABAC3, 3,30,2,33,9,6,又平面過點A(1,1,1),于是所求平面方程為3)(x1)9(y1)6(z1)=0,即1一的平面方程.5代入 x2y2z21程兩球面的交線1,1,3,03z+1=0;(2)將點法式方程化簡得平面的一般方程為 x3z0；第九章多元函數(shù)微分學(xué)xy220 x2y2y在點(0,0)處(C).0,x2y20(A)連續(xù),偏導(dǎo)

10、數(shù)存在(B)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在(D)不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在同樣有fy(0,0)limf(0,y)f(0,0)y0ylim0.所以函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)存在y0y2、函數(shù)f(x,y)在點(丸,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在是f(x,y)在該點連續(xù)的(D).(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既不是充分條件,也不是必要條件3.判斷題：(1)假設(shè)函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續(xù),那么fxd),fyE%)存在.解錯.函數(shù)在某一點連續(xù),不能推出函數(shù)在該點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,如選擇題(1)(2)假設(shè)fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在,那么f(x,y)在點P(x0,y

11、0)處連續(xù).解錯.函數(shù)在某一點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,不能推出函數(shù)在該點連續(xù),如選擇題(1)(3)假設(shè)f(x,y)在點P.處可微,那么f(x,y)在點P0處連續(xù).解又.由于f(x,y)在點P(x,y)處可微,由微分的定義zf(xx,yy)f(x,y)AxByo(),求極限有l(wèi)imz0,從而07lxm0f(xx,yy)limf(x,y)zf(x,y).y0因此函數(shù)zf(x,y)在點(x,y)處連續(xù).(4)假設(shè)fx(x,y),fy(x,y)在點F0處連續(xù),那么f(x,y)在點P0處也連續(xù).、選擇題limx0y0 xy不存在, 這是由于當(dāng)點P(x,y)沿著直線ykx趨于點(0,0)時,有.xylim2li

12、mfx0v、/x0rykx0 xyxkx2k2x21,顯然它是隨著k的值的不同而改變的,所以函數(shù)在點(0,0)不連續(xù).另一方面,函數(shù)在點(0,0)對x的偏導(dǎo)數(shù)為fx(0,0)lxm0yf(0,0)lxm01、二元函數(shù)f(x,y)解又假設(shè)fx(x,y),fy(x,y)在點P0處連續(xù),那么函數(shù)在該點可微分,所以由判斷題(3)可知,函數(shù)在該點連續(xù).(5)假設(shè)f(x,y)在點Po處可微,那么fx(x,y),fy(x,y)在點P0處連續(xù).解錯.函數(shù)f(x,y)在點Po處可微能夠推出函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)存在,數(shù)連續(xù).二、填空題1、求以下各函數(shù)在指定點的偏導(dǎo)數(shù):1ln2-21n21;2.設(shè)f(x,y)x(y1

13、)arcsinI,求fx(x,1).解由于fx(x,y)1(y1)-,一123yL所以fx(x,1)101.,1(xy).xy三、計算題：抽象函數(shù)求2階偏導(dǎo)數(shù)1.設(shè)zf(2xy,ysinx),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求-z斛一2flycosxf2;x2z2fnsinxf12cosxf2ycosxf21sinxfzzxy*2fli(2sinxycosx)f12ysinxcosxf22cosxf2.2.設(shè)zf(2xy)g(x,xy),其中f(x)二階可導(dǎo),g(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),但不能推出偏導(dǎo)f(x,y)ln(x),求fy(1,0);2x(2)(xxyy)求_z和1解(1)fy(x,y)2x

14、21一,fy(1,0)x_y2xyx2x(2)由于zexyln(xy),所以12x2y(1.0)xyln(xey)yln(xy)汽yln(xy)xyln(xy)xln(xy)言(xy)xyxln(xy)2z2f(2xy)giyg2；2f(2xy)xgi2xy2zf f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求xy四、條件極值3,1 .用薄鋼板制作一個容積為4m4m的無蓋長方體形箱子,如何選取長方體的長、寬、高的值,才能使得制作箱子所用的鋼板最省.一2,2_22 .在球面xyz9x0,y0,z0上求一點,使得函數(shù)f fx x,y,z zx2y2z2z到達最大,并求最大值.f(x,y)exy,x2y21解L(x,y

15、,)exy(x2y21)Lxyexy2x01iiIIIxy2Lyxe2y0 x,ym,m-e2(2)zxy,xy1下的極大值.解令F(x,y)xy(xy1),那么Fxy0,Fyx0,Fxy10,11解此萬程組得x-,y-,所以函數(shù)的極大值為22第10章重積分、選擇題：在RT系下,化三重積分為三次積分IIIx2y210g2xyg22z3.設(shè)f(2xx、y,), ,f fu,v具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求z4.設(shè)f(xy,-)x,3、用拉格朗日乘數(shù)法求以下函數(shù)f在附加條件下的最大值和最小值:所以最大值f、2,m m、2e2,最小值23x-220dxxf.xydy、一一九(4)D:0,tansec44(

16、xy)2dxdy,其中D是矩形閉區(qū)域：2sec3df(r)rdr;4rsecsecfrcos,rsinrdr.tansec1.化三重積分If(x,y,z)dxdydz為三次積分)其中積分區(qū)域.分別是:Q(1)由曲面zx2y2及平面z1所圍成的閉區(qū)域；(2)由曲面zx2*2y2及z2x2所圍成的閉區(qū)域;(3)由平面 x+2y+3z=6 與三個坐標(biāo)面所圍成的位于第一卦限的閉區(qū)域;解(1)在xOy平面上的投影區(qū)域D:x2y21,所以fx,y,zdxdydz11x21dxjVdyx2y2fx,y,zdz；2-2/c、4zx2y2(2)由2,得xyz2x1,22.在xOy平面上的投影區(qū)域D:xy1,所以

17、fx,y,zdxdydz11x22x2dx7Vdy/2V2fx,y,zdz；i-1xx2y、填空題：2次積分化為極坐標(biāo)系下的2次積分1.化以下各二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分:2-,3x221x2(1)0dxxf(Jxy)dy;0dx0f(x,y)dy./、f 兀兀一-(1)D:一,0r2sec432.把以下積分化為極坐標(biāo)形式,并計算積分值:三、計算題1、在RT系下計算2重積分222(1)xydxdy,其中D是由雙曲線xyD(1)(3)2adx02dx022axxoo0(x2y2)dy;4X222一0(xy)dy;(4)1x2、22x2-220dx.xydydxqxydy;11x222320d

18、xix(xy)dy.(3)必-dxdy,其中D是由直線x0,y1x0,yx1所圍成的閉區(qū)域;1及直線y0,y1所圍成的閉區(qū)域;0 x1,0y1;(4)yexdxdy,其中D是由頂點為(0,0),(2,4)和(6,0)所圍成的閉區(qū)域；D2、計算二重積分2xy2dxdy,其中D是由x2y21,x2y22及直線x0,Dxyyx所圍在第一象限的閉區(qū)域.3、計算二重積分xydxdy,其中D:x2y21,x0,y0.D第11章曲線與曲面積分一、填空1、L為連接(1,0)及(0,1)兩點的直線段,那么L(xy)ds.2.設(shè)L是圓周x2y24,那么？Jx2_y7ds.二、解答1、利用格林公式,計算以下曲線積分

19、：(1)?(xy)dy(xy)dx,其中L為三頂點分別是邊界.于是由格林公式有xQ2xsinx2yex_/22x2x、1?L(xycosx2xysinxye)dx(xsinx2ye)dyQP()dxdy0dxdy0.DxyD1,1 ,3,1,3,5的三角形正向解設(shè)D為L圍成的三角形區(qū)域,令P(xy),Q(xQ1,1,x2(xy)dy(xy)dxDP、,)dxdyy1)dxdy2dxdyD8.22?L(xycosx2xysinxx)d,2.-x、.x(xsinx2ye)dy,其中L為正向星形線2x32y32a3(a0).設(shè)D為L圍成的閉區(qū)域,令P2cxycosx2xysinx2xxsinx2ye

20、,2xcosx,于是由格林公式有2、?L(1y2)dxydy,其中L為正弦曲線ysinx與y2sinx(0 x9所圍區(qū)域的正向邊界.3、利用高斯公式計算以下曲面積分:ya,za所圍成的立體的外表的外側(cè).解設(shè)圍成的閉區(qū)域為,令Px5,Qy2,Rz2,那么2x,2y,2z,于是由高斯公式有xyz222,0 xdydzydzdxzdxdy2(xyz)dxdydzaaa,420dx0dy0(xyz)dz3a.(2)0 xz2dydz(x2yz6)dzdx(2xyy2z)dxdy,其中為上半球體222c-222,r一一一xya,0z,axy的外表外側(cè).解設(shè)圍成的閉區(qū)域為,令Pxz2,Qx2yz3,R2x

21、yy2z,那么z2,x2,y2,于是由高斯公式有xyz2.,232、.0 xzdydz(xyz)dzdx(2xyyz)dxdy2it-a2c.24.55ddrsindr一始.00055222,xyza(a0)的內(nèi)側(cè).解設(shè)L圍成的閉區(qū)域為D,令P林公式有,/2、,?L(1y)dxydy2八iPy,Qy,那么y2y,_Q0,于是由格,X()dxdy(2y)dxdyDXyD兀dx02sinxsinxydy23sinxdx02.2.2.0 xdydzydzdxzdxdy,其中為平面x0,y0,z0,xa,(z2x2y2)dxdydz(3)計算曲面積分xz2dydz(x2yz3)dzdx(2xyy2z)

22、dxdy,其中為上半球面zx2y2與平面z0所圍立體外表的外側(cè)面外側(cè).(5)yxzdydzydzdxz2dxdy,其中是由曲面zJx2y2和z2所圍立體表(4)計算曲面積分 I0(x31)dydz(y32)dzdx(z33)dxdy,其中為球面、選擇題第12章無窮級數(shù)1、 以下說法正確的選項是.A假設(shè)un和vn都發(fā)散,那么n1n1unn1Vn發(fā)散;(B)假設(shè)un發(fā)散,n1n1Un收斂;C假設(shè)un收斂,那么n1n1,發(fā)散；(D)1unun和1vn都發(fā)散,那么級數(shù)n1unvn發(fā)散.2、右unn1收斂,vn發(fā)散,那么對unvn來說n1必成立.3、4.A級數(shù)收斂；B卜列級數(shù)中收斂的是nA.5n12B.

23、級數(shù)發(fā)散；C其斂散性不定;nn12n1C.卜列級數(shù)中條件收斂的級數(shù)是A.(1)TB.(n1n1n11GC.(1)nn1un1Vn.n1D.5.假設(shè)幕級數(shù)an(xn11)nftx1處條件收斂,A.發(fā)散B.條件收斂6.假設(shè)anxn在xn1A.條件收斂、解答1n(n1)那么數(shù)項級數(shù)C.絕對收斂2處收斂,那么此級數(shù)在x1處B.絕對收斂C.發(fā)散D.1)n二nD.D.an為1斂散性不定收斂性不確定n1.求幕級數(shù)n2n1的收斂區(qū)間及和函數(shù).2、求以下哥級數(shù)的和函數(shù)2n1nx;(2)n1nXn2nn-1分析此兩題都不是能夠直接求出和函數(shù)的哥級數(shù),所以先得對其進行四那么運算或是逐項求導(dǎo)以及逐項積分運算,使之化成