1、第第4.5節節 載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系 1.推導剪力、彎矩與載荷集度間的微分關系式推導剪力、彎矩與載荷集度間的微分關系式 圖示梁，從梁中截取長為圖示梁，從梁中截取長為dx的微的微段為自由體進行分析段為自由體進行分析 梁微段上作用有集度為梁微段上作用有集度為q(x)的分的分布載荷，由于布載荷，由于dx為一微量，可視為一微量，可視q(x)為常數為常數q。(1)(2)將式（將式（2）代入式（）代入式（1），得），得 (3)（2）微段有集中力和集中力偶矩的情況）微段有集中力和集中力偶矩的情況 有集中力的微段，用平衡條件有集中力的微段，用平衡條件 略去式中的高階微量后，

2、得：略去式中的高階微量后，得： |Q右右-Q左左|=P; M右右=M左左上式說明什么上式說明什么? 有集中力偶矩的微段有集中力偶矩的微段 Q左左=Q右右 ；|M右右-M左左|=M0 (a)(b)上式說明什么上式說明什么?2. 微分關系分析微分關系分析 （1）幾何意義）幾何意義 表示表示Q圖上某處的斜率等于該處載荷集度圖上某處的斜率等于該處載荷集度q之值之值 表示表示M圖上某處的斜率等于該處剪力圖上某處的斜率等于該處剪力Q之值之值表示表示M圖上某處的斜率的變化率等于該處載荷集度圖上某處的斜率的變化率等于該處載荷集度q之值。之值。 （2）線型判斷）線型判斷 q = 0 （無分布載荷）（無分布載荷）

3、 Q=常數，常數，Q圖為一水平線圖為一水平線 =正常數正常數M為變數，為變數，M圖為一上斜線圖為一上斜線 =負常數負常數M為變數，為變數，M圖為一下斜線圖為一下斜線 q = 常數常數 （即（即q向上）向上） Q為變數，為變數，Q圖為一上斜線，圖為一上斜線，M圖必為二次曲線。圖必為二次曲線。 （即（即q向下）向下）Q為變數，為變數，Q圖為一下斜線，圖為一下斜線，M圖必為二次曲線。圖必為二次曲線。 q 0 和和 q 0 M圖必為凹曲線。圖必為凹曲線。 M圖必為凸曲線。圖必為凸曲線。 例題一例題一 圖示簡支梁，在圖示簡支梁，在B處作用一集中力偶矩處作用一集中力偶矩M0，試用微分關系繪制試用微分關系繪

4、制Q、M圖。圖。 解：（解：（1）求支反力）求支反力(用二矩式）用二矩式） （2）計算梁兩端處的）計算梁兩端處的Q、M值。值。 心算出梁心算出梁A處和處和B處的處的Q、M值值 （3）畫）畫Q、M圖圖 梁的梁的q=0 ，Q圖為圖為 水平線水平線 斜線斜線 二次曲線二次曲線?梁的梁的Q為正，為正，M圖為圖為 水平線水平線 上斜線上斜線 下斜線下斜線 二次曲線二次曲線（4）Q和和M的最大值。的最大值。 Qmax=M0/L, Mmax=M0 例題二例題二 繪制圖示梁的繪制圖示梁的Q、M圖。圖。 解：（解：（1）求支反力（用二矩式）求支反力（用二矩式） mB=0, RA=3/2qa ；mA=0, RB=

5、1/2qa （2）用截面法計算梁各段的）用截面法計算梁各段的Q和和M端值端值 梁段梁段ACCB截面截面AC左左C右右BQ3qa/23qa/2qa/2-qa/2M03qa2/23qa2/23qa2/2（3）用微分關系連線）用微分關系連線 梁梁段段ACCBq值值0負常數負常數Q圖圖水平線（水平線（+）下斜線（下斜線（Q由正變負，經由正變負，經過零點過零點）M圖圖上斜線上斜線凸二次拋物線（凸二次拋物線（有極值有極值）（4）極值、突變、折角及）極值、突變、折角及 最大最大Q和和M值分析值分析 M極值極值?M極值用截面法求得：極值用截面法求得：M極極=13qa2/8。 突變和折角：突變和折角： Qmax

6、=3/2qa； Mmax=13qa2/8 例題三例題三 圖示梁，繪制圖示組合梁的圖示梁，繪制圖示組合梁的Q，M圖。圖。 （1） 求支反力：求支反力：必須在中間鉸鏈處拆開必須在中間鉸鏈處拆開 （2） 用截面計算梁各段的用截面計算梁各段的Q，M端值：端值： （3）用微分關系連線：）用微分關系連線：（4）突變值）突變值例題四例題四 已知已知Q，M圖，求梁的外力圖。圖，求梁的外力圖。 剛架的內力剛架的內力 1.概述概述 在工程實際中，常遇到由數在工程實際中，常遇到由數根直桿用堅實的接頭連接而根直桿用堅實的接頭連接而成的結構，這類接頭在受力成的結構，這類接頭在受力時變形很小，可視為時變形很小，可視為剛性

7、接剛性接頭頭。用剛性接頭連接直桿所。用剛性接頭連接直桿所組成的結構稱為剛架組成的結構稱為剛架 剛架受力時，剛性接頭處相剛架受力時，剛性接頭處相連桿件之間不能轉動，故其連桿件之間不能轉動，故其夾角不改變。顯然，夾角不改變。顯然，它與鉸它與鉸鏈不同，剛性接頭不僅可以鏈不同，剛性接頭不僅可以傳遞力，而且能傳遞力偶矩。傳遞力，而且能傳遞力偶矩。 2.剛架內力正負符號設定剛架內力正負符號設定 在剛架橫截面上，一般來說存在三個在剛架橫截面上，一般來說存在三個內力：剪力內力：剪力Q、彎矩、彎矩M和軸力和軸力N，對，對于水平桿于水平桿BC段來說，與梁的段來說，與梁的Q、M符符號設定完全相同，對于豎直桿號設定完

8、全相同，對于豎直桿AB段段來說，來說，N的正負符號設定與拉壓桿完的正負符號設定與拉壓桿完全相同；全相同；Q的正負符號設定與梁完全的正負符號設定與梁完全相同；相同；彎矩彎矩M正負符號的設定可將正負符號的設定可將AB段視為段視為BC段向左的延伸部分，這段向左的延伸部分，這樣就容易設出樣就容易設出M的正方向的正方向 剛架的剛架的N、Q圖均需注明正負符號，但圖均需注明正負符號，但M圖不注正負符號，只須將圖不注正負符號，只須將M圖畫在此段圖畫在此段受壓一側受壓一側,事實上梁的彎矩圖也是畫在梁事實上梁的彎矩圖也是畫在梁的受壓一側。的受壓一側。 例題一例題一 、圖示剛架，在接頭、圖示剛架，在接頭C處作用一水

9、平集中力處作用一水平集中力P,試寫出剛架各段的內力方程式，并畫內力圖。試寫出剛架各段的內力方程式，并畫內力圖。 解：求解剛架內力步驟如下：解：求解剛架內力步驟如下： （1）求支反力）求支反力 HB=P RA=RB=P 求得求得（2）寫出各段的內力方程）寫出各段的內力方程 AC段：段： CB段：段： （3）根據）根據Q、M、N方程繪制方程繪制 出出Q圖，圖，M圖和圖和N圖。圖。 第第4.6節節 平面曲桿的彎曲內力平面曲桿的彎曲內力1.工程實例工程實例 軸線為曲線的桿件稱為曲桿。軸線為曲線的桿件稱為曲桿。 2.曲桿內力正負符號設定曲桿內力正負符號設定 剪力和軸力的正負符號仍按以前剪力和軸力的正負符

10、號仍按以前設定，至于彎矩，通常設定為使設定，至于彎矩，通常設定為使軸線曲率增加者為正。軸線曲率增加者為正。按此設定，按此設定，圖（圖（b）中所有內力均為正。）中所有內力均為正。 (a)(b)由由AC段的平衡條件：段的平衡條件： mc=0 , M-PRsin=0 n=0 , N+Psin =0 得出：得出： Q=Pcos M=PRsin N=-Psin t=0 , Q-Pcos =0 根據上述方程，即可繪制內力圖，曲桿中，以曲線根據上述方程，即可繪制內力圖，曲桿中，以曲線軸線為基線，將曲桿每個橫截面上的內力值描在軸軸線為基線，將曲桿每個橫截面上的內力值描在軸線的法向。線的法向。和剛架一樣，將曲桿的和剛架一樣，將曲桿的M圖也畫在受壓圖也畫在受壓一側，就不必在注明彎矩的正負符號一側，就不必在注明彎矩的正負符號 (a)(b)例題一例題一 試寫出圖示曲桿的內力方程式。