1、4.1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合n 定義定義1: n 個有次序的數個有次序的數a1, a2, , an所組成的數組所組成的數組稱為稱為n維向量維向量, 這這n個數稱為該向量的個數稱為該向量的n個個分量分量, 第第 i 個個數數ai 稱為第稱為第 i 個分量個分量. 分量全為實數的向量稱為分量全為實數的向量稱為實向量實向量, 分量為復數的分量為復數的向量稱為向量稱為復向量復向量.例如例如: (1, 2, , n)為為 n 維實向量維實向量.(1+2i, 2+3i, , n+(n+1)i )為為 n 維復向量維復向量.第第2個分量個分量第第n個分量個分量第第1個分量個分量).,(21n

2、Taaa . 21 naaa 寫成一行的寫成一行的 n 維向量維向量, 稱為稱為行向量行向量, 也就是行矩陣也就是行矩陣,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示, 如如: 寫成一列的寫成一列的 n 維向量維向量, 稱為稱為列向量列向量, 也就是列矩陣也就是列矩陣,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:注意注意: 1. 行向量和列向量總被看作是行向量和列向量總被看作是不同的向量不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩陣運算法則矩陣運算法則進行運算進行運算; 3. 當沒有明確說明是行向量還是列向量時當沒有明確說明是行向量還是列向量時, 都當都當作作列向

3、量列向量. 向量向量 解析幾何解析幾何線性代數線性代數既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實數組成的數組有次序的實數組成的數組幾何形象幾何形象:可隨意平可隨意平行移動的有向線段行移動的有向線段代數形象代數形象:向量向量的坐標表示式的坐標表示式當當 n 3 時時,Tzyxr),( 若干個同維數的列向量若干個同維數的列向量(或同維數的行向量或同維數的行向量)所組所組成的集合叫做成的集合叫做向量組向量組.例如例如: 矩陣矩陣A=(aij)m n有有n個個m維列向量維列向量: aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量組向量組a1, a2

4、, an稱為矩陣稱為矩陣A的的列向量組列向量組. 在日常工作在日常工作, 學習和生活中學習和生活中, 有許多問題都需要用有許多問題都需要用向量來進行描述向量來進行描述. aaaaaaaaaaaamnmminiinnA21212222111211T1 T2 Ti Tm 向量組向量組 1T, 2T, mT 稱為矩陣稱為矩陣A的的行向量組行向量組. 反之反之, 由有限個向量所組成的向量組可以構成一由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣個矩陣. n個個m維列向量所組成的向量組維列向量所組成的向量組a1, a2, an構成一構成一個個m n矩陣矩陣),( 21naaaA 類似地類似地, 矩陣矩陣A=

5、(aij)m n有有m個個n 維行向量維行向量: TmTTA 21線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應一一對應. mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bxaxaxann 2211 m個個n維行向量所組成的向量組維行向量所組成的向量組 1T, 2T, mT 構構成一個成一個m n矩陣矩陣 定義定義: 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m, 對于任何一組對于任何一組實數實數k1, k2, ,km, 向量向量k1 1 + k2 2 + + km m稱為稱為

6、向量組向量組A: 1, 2, m的一個的一個線性組合線性組合, k1, k2, , km稱為這個稱為這個線性組合的線性組合的系數系數. 給定向量組給定向量組A: 1, 2, , m和和向量向量b, 如果存在一如果存在一組數組數 1, 2, , m, 使使b = 1 1 + 2 2 + + m m則向量則向量b是向量組是向量組A的線性組合的線性組合, 這時稱這時稱向量向量b能由向能由向量組量組A線性表示線性表示. 即線性方程組即線性方程組 1 1 + 2 2 + + m m = b有解有解. 定理定理1: 向量向量b能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表線性表示的充分必要條件是矩陣示

7、的充分必要條件是矩陣A=( 1, 2, , m)與矩陣與矩陣B=( 1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等. 定義定義: 設有兩設有兩向量組向量組A: 1, 2, , m 與與 B: 1, 2, , s .若若B組中的每一個向量都能由組中的每一個向量都能由A組線性表示組線性表示, 則稱則稱向量向量組組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示; 若向量組若向量組B與向量組與向量組A可可以相互線性表示以相互線性表示, 則稱這則稱這兩個向量組等價兩個向量組等價. 若若記記A=( 1, 2, , m)和和B=( 1, 2, , s), 向量組向量組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示, 即對每

8、一個向量即對每一個向量 j ( j =1, 2, s ), 存在數存在數k1j, k2j, , kmj , 使使 j = k1j 1+ k2j 2 + + kmj m,),2121 mjjjmjkkk （即即 ),(21s 從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （矩陣矩陣K=(kij)m s稱為這一稱為這一線性表示的線性表示的系數矩陣系數矩陣. 若若Cm n=Am sBs n , 則矩陣則矩陣C的列向量組能由矩陣的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示的列向量組線性表示, B為這一表示的系數矩陣為這一表示的系數矩陣: snssnnsnkkbbbbbbbaaa

9、ccc2122221112112121),(),( 同時同時, C的行向量組能由的行向量組能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示, A為這一表示的系數矩陣為這一表示的系數矩陣: TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121 設矩陣設矩陣A經初等行變換變成經初等行變換變成B, 則則B的每個行向量的每個行向量都是都是A的行向量組的線性組合的行向量組的線性組合, 即即B的行向量組能由的行向量組能由A的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 由初等變換可逆性可知由初等變換可逆性可知: A的行的行向量組也能由向量組也能由B的行向量組線性表示的行向量組線性表示. 于是

10、于是, A的行向的行向量組與量組與B的行向量組等價的行向量組等價. 類似地類似地, 若矩陣若矩陣A經初等列變換變成經初等列變換變成B, 則則A的列向的列向量組與量組與B的列向量組等價的列向量組等價. 若若向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示, 即存在矩陣即存在矩陣K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K也就是說矩陣方程也就是說矩陣方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解. 則由上一章的結論可得則由上一章的結論可得: 定理定理2: 向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A:

11、 1, 2, m線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是矩陣矩陣A=( 1, 2, , m)的秩與矩陣的秩與矩陣(A|B)=( 1, 2, , m, 1, , s)的秩相的秩相等等, 即即R(A)=R(A|B). 推論推論: 向量組向量組A: 1, 2, m與與向量組向量組B: 1, 2, , s等價的等價的充分必要條件是充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A|B),其中其中A和和B是由向量組是由向量組A和和B所構成的矩陣所構成的矩陣.R(A)=R(A|B)事實上事實上,=R(B|A)=R(B) 定理定理3: 若若向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2

12、, , m線性表示線性表示, 則則R( 1, 2, , s) R( 1, 2, , m),即即R(B) R(A). 以上所討論的內容建立在有限個向量的向量組與以上所討論的內容建立在有限個向量的向量組與矩陣之間有對應關系矩陣之間有對應關系, 從而以上結論之間有如下結果從而以上結論之間有如下結果: 若若向量組向量組B: 1, 2, , s能由向量組能由向量組A: 1, 2, , m線性表示線性表示 有矩陣有矩陣K, 使使( 1, 2, , s)=( 1, 2, , m)K 矩陣方程矩陣方程( 1, 2, , m)X=( 1, 2, , s)有解有解.一般地一般地, R(B) R(A|B), R(A

13、) R(A|B),則有則有 1. 對方程組對方程組A的各個方程作線性運算所得到的一的各個方程作線性運算所得到的一個方程稱為個方程稱為方程組方程組A的一個線性組合的一個線性組合; 2. 若方程組若方程組B的每一個方程都是方程組的每一個方程都是方程組A的線性的線性組合組合, 則稱則稱方程組方程組B能由方程組能由方程組A線性表示線性表示, 此時方程此時方程組組A的解一定是方程組的解一定是方程組B的解的解; 3. 若方程組若方程組A與方程組與方程組B能相互能相互線性表示線性表示, 則稱則稱方方程組程組A與方程組與方程組B等價等價, 等價方程組是同解的等價方程組是同解的. 向量組的向量組的線性組合線性組

14、合, 線性表示線性表示, 等價等價等概念也可以等概念也可以用來描述用來描述線性方程組線性方程組:例例1: 設設證明向量證明向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示, 并求表示式并求表示式.,1301,0411,3121,2211321 baaa 證明證明: 要證向量要證向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示, 需需要證明要證明: 矩陣矩陣A=(a1, a2, a3)與與B=(a1, a2, a3, b)的秩相等的秩相等. B = 1032341201211111 0000000012102301行變換行變換可知可知, R(A)=R(B),因此因此,

15、 向量向量b能由向量組能由向量組a1, a2, a3線性表示線性表示.由由B的行最簡形可得方程組的行最簡形可得方程組Ax=b通解為通解為: ccccx1223012123故表示式為故表示式為: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c為任意常數為任意常數. b=2a1a2.為此將為此將B化為行最簡形化為行最簡形:特別地特別地, 取取c =0, 得表示式為得表示式為:例例2: 設設證明向量組證明向量組a1, a2與向量組與向量組b1, b2, b3等價等價.,0213,2011,1102,3113,111132121 bbbaa證明證明: 記記A=(a

16、1, a2), B=(b1, b2, b3). 論論, 只需證只需證R(A)=R(B)=R(A|B). 將將(A|B)化為行階梯形化為行階梯形:根據定理根據定理2的推的推行變換行變換(A|B) = 02131201111101131231 00000000001112031231得得R(A) =R(A|B)=2.又容易看出又容易看出B中有中有2階非零子式階非零子式,則則 2 R(B)R(A)=R(B)=R(A|B).因此因此故故 R(B)=2. R(A|B)=2. 例例3: n 階單位矩陣階單位矩陣E=(e1, e2, , en)的列向量稱為的列向量稱為n維單位坐標向量維單位坐標向量. 證明證

17、明: n維單位坐標向量組維單位坐標向量組E: e1, e2, , en能由能由n m矩陣矩陣A=(a1, a2, , am)的列向量組的列向量組A: a1, a2, , am線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=n. 證明證明: 根據定理根據定理2, 向量組向量組E: e1, e2, , en能由向量能由向量組組A線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A)=R(A|E).因此因此R(A)=R(A|E)=n.故故R(A|E) n,而而 R(A|E) R(E)=n,又因矩陣又因矩陣(A|E)僅有僅有n行行,本例的結論本例的結論用矩陣方程的方式可描述為用矩陣方程的方式可描述為:矩陣方程矩陣方程An mX=E有解的充分必要條件是有解的充分必要條件是R(A)=n. 1. n維向量的概念維向量的概念, 實向量實向量, 復向量復向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量與列向量行向量與列向量; 3. 向量向量, 向量組及線性組合與線性表示的概念向量組及線性組合與線性表示的概念, 由矩陣的秩給出判定的結論由矩陣的秩給出判定的結論; 4. 有限個向量的向量組與矩陣和線性方程組之有限個向量的向量組與矩陣和線性方程組之間的聯系間的聯系.用矩陣的方式可描述為用矩陣的方式可描述為: 對矩陣對矩陣Am n, 存在存在Qn m使使AQ=Em的