1、上海八中上海八中 許穎許穎 2009年年12月月10日日思考問題：思考問題：記甲、乙、丙三位同學的語文平時、期中、期末記甲、乙、丙三位同學的語文平時、期中、期末成績為矩陣成績為矩陣A，平時、期中、期末成績的所占比例為，平時、期中、期末成績的所占比例為矩陣矩陣B，這三位同學的語文總評成績用矩陣，這三位同學的語文總評成績用矩陣C表示。表示。 908060807090757080A 4 . 03 . 03 . 0B甲同學的語文總評成績為甲同學的語文總評成績為 80 0.3+70 0.3+75 0.4=75 乙同學的語文總評成績為乙同學的語文總評成績為 90 0.3+70 0.3+80 0.4=80

2、丙同學的語文總評成績為丙同學的語文總評成績為 60 0.3+80 0.3+90 0.4=78 解：解：我們還可以利用矩陣某種運算得到上述我們還可以利用矩陣某種運算得到上述總評成績，這就是我們今天要學習的主題?？傇u成績，這就是我們今天要學習的主題。 788075C 323122211211232221131211,bbbbbbBaaaaaaA 22211211ccccC如果如果 31132112111111bababac 32132212121112bababac 31232122112121bababac 32232222122122bababac 那么矩陣那么矩陣C叫做矩陣叫做矩陣A和和B的

3、乘積，記作的乘積，記作C=AB。矩陣矩陣A的第的第1行的行向行的行向量與矩陣量與矩陣B的第的第1列的列的列向量的數量積列向量的數量積 矩陣矩陣A的第的第2行的行向行的行向量與矩陣量與矩陣B的第的第1列的列的列向量的數量積列向量的數量積 1. 矩陣乘法的定義矩陣乘法的定義 一般地，設一般地，設A是是m k階矩陣，階矩陣，B是是k n階矩陣，階矩陣，設設C為為m n矩陣。矩陣。 如果矩陣如果矩陣C中第中第i行第行第j列元素列元素cij是矩陣是矩陣A第第i個行個行向量與矩陣向量與矩陣B的第的第j個列向量的數量積，那么個列向量的數量積，那么C矩矩陣叫做陣叫做A與與B的乘積的乘積.記作：記作：C=AB

4、mnmmnnknkknnmkmmkkcccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaaABC212222111211212222111211212222111211), 2 , 1;2 , 1(2211njmibababackjikjijiij ，2. 定義的推廣定義的推廣 908060807090757080A 4 . 03 . 03 . 0B 788075ABC思考問題的另解思考問題的另解例例1:設設 5251,3132,1212,1111DCBA求：求：(1)AB和和BA；(2)AC和和AD；(3)(BA)C和和B(AC) (4)A(C+D)和和AC+AD； 解：解：(1) 0000

5、AB 3333BA(2) 0303AC 0303AD(3) 090931323333)(CBA 090903031212)(ACB(4) 060623231111)(DCA 060603030303ADAC（1）兩矩陣可乘的條件：）兩矩陣可乘的條件： 矩陣矩陣A的列數與矩陣的列數與矩陣B的行數是相等的。的行數是相等的。 （2）在數乘中，）在數乘中，ab=0a=0或或b=0； 在矩陣中，在矩陣中，AB=0 A=0或或B=0 （3）在數乘中，）在數乘中，ab=ba；在矩陣中，在矩陣中， 一般情況下，一般情況下，AB BA （4）在數的乘法中，）在數的乘法中，ab=ac且且a 0b=c；在矩陣乘法中

6、，在矩陣乘法中，AB=AC且且A 0 B=C 分配律分配律 AB+AC=A(B+C) (A+B)C=AC+BC 結合律結合律 (AB)C=A(BC) 5. 進一步有進一步有1、 將二元一次方程組將二元一次方程組 用矩陣的乘法運算來表示。用矩陣的乘法運算來表示。 222111cybxacybxa解：用矩陣乘法運算來表示：解：用矩陣乘法運算來表示： 212211ccyxbaba2、 已知矩陣已知矩陣 ，矩陣，矩陣 ，求，求AB。 0110A 21B 12AB解：解： 21 12向量向量 經過矩陣經過矩陣A變換為向量變換為向量 。， 變換后的向量和原向量關于變換后的向量和原向量關于 對稱。對稱。 直

7、線直線y=x1 當矩陣當矩陣A 的列數與矩陣的列數與矩陣B的行數相同時，的行數相同時， 兩矩陣可以相乘。兩矩陣可以相乘。2 若若C=AB，則矩陣，則矩陣C中第中第i行第行第j列元素列元素cij 是矩陣是矩陣A第第i個行向量與矩陣個行向量與矩陣B的第的第j個個 列向量的數量積。列向量的數量積。3 矩陣的乘法滿足結合律和乘法對加法的分配律。矩陣的乘法滿足結合律和乘法對加法的分配律。4 一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律和消去律。一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律和消去律。1、必做題：練習冊、必做題：練習冊P47/3(2)(3)，P48/5(2)，P49/22、思考題：、思考題：(A)練習冊練習冊P50/4 (B)如