1、)2(T11n1n0)sincos()(ntnbtnaatf1n1n0)cos(ntnAa TttfTa001d)( TnttntfTa012dcos)( TnttntfTb012dsin)( )arctan(,2n2nnnnnabbaA0100 TttfTad)(02221 TTnttntfTadcos)( 2011201221442TTTTnntnTAttnATttntfTb cosdsindsin)(),(5314 nnA ),(6420 n)sinsin(sin)( tttAtf1115513314 （1） f(t)為奇函數為奇函數 tftf對稱于坐標原點對稱于坐標原點 0= )(1

2、220TTdttfTa0na2/2/1sin)(2TTntdtntfTb2010sin)(4TtdtntfT（2） f(t)為偶函數為偶函數對稱于坐標縱軸對稱于坐標縱軸 tftf 2010cos)(4TntdtntfTa0 nb )(2 200TdttfTa7 , 5 , 3 , 10sin)(40cos)(4201201ntdtntfTbtdtntfTaTnTn 2Ttftf 波形移動波形移動 T/2后后，與原波形與原波形橫軸對稱橫軸對稱。f(t)的傅氏級數的傅氏級數偶次偶次諧波為零諧波為零奇次奇次諧波：諧波：042420bbaaa即 2Ttftff(t)的傅氏級數的傅氏級數奇次奇次諧波為零

3、諧波為零（4）f(t)為偶諧函數為偶諧函數 波形移動波形移動 T/2后后，與原波形與原波形重合重合。0cos)(4201TntdtntfTa0sin)(4201TntdtntfTb偶次偶次諧波：諧波：0531531bbbaaa即8 , 6 , 4 , 2nTtjntjnTtjnndteedtetfF00)(周期信號周期信號f(t)=f(t+nT) ，滿足狄氏條件時，可展成：，滿足狄氏條件時，可展成：tjnnneFtf)(TtjndtetfT0)(1其中：其中：00AF njnnnneAjbaF22njnnnneAjbaF22(n0)(n0)其中：=1 =T210)cos()(nnntnAAtf

4、)0(ntjnnneFtf)()(n1 1）2 2）本節以周期矩形脈沖信號為例，討論頻譜的特點。本節以周期矩形脈沖信號為例，討論頻譜的特點。2/2/)(1TTtjnndtetfTF22sinnnT441nSFan4T1ExxxSadefsin)(取樣函數取樣函數22包絡線41xxxSasin)()1 (頻頻譜譜包包絡絡服服從從抽抽樣樣函函數數(3)(3) n=0n=0 mnmn22(5)(5)( (F=1/)F=1/)：(4)(4)F Fn n=0=0頻帶寬度：頻帶寬度：2241)( 2100 f對于一般信號，對于一般信號，頻帶寬度頻帶寬度定義為幅值下降為定義為幅值下降為max101nF例：語

5、音信號頻率約為例：語音信號頻率約為 300 3400Hz300 3400Hz 音樂信號頻率約為音樂信號頻率約為 50 15,000Hz50 15,000Hz 擴大器與揚聲器有效帶寬約為擴大器與揚聲器有效帶寬約為 1520,000Hz1520,000HzsTs41201) 1 (155nSEFansTs4181)2(1 22nSEFan結論：結論： 增大時：增大時： 不變，譜線間距相等；不變，譜線間距相等； 零分量頻率減小：零分量頻率減小：B 或或F變小；變小； 有效譜帶內諧波分量減少；有效譜帶內諧波分量減少； 譜線振幅較大，減小變化急速。譜線振幅較大，減小變化急速。2nSaTFnsT2015)

6、 1 (55nSEFan1010nSEFan2020nSEFan結論：結論：當周期當周期 變大時變大時 零分量頻率不變：零分量頻率不變：B 或或F不變；不變； 減小，譜線間距減小，譜線變密；減小，譜線間距減小，譜線變密； 有效譜帶內諧波分量增多；有效譜帶內諧波分量增多； 譜線振幅減小，變化緩慢。譜線振幅減小，變化緩慢。（2）設）設 f(t) 中的中的 E不變，不變， 不變，當周期不變，當周期 變化時，變化時，頻譜如何變化？頻譜如何變化？sT20110)2(sT20120) 3(0, 02)4(TETT，當周期函數周期函數 非周期函數非周期函數 （2）矩形脈沖信號的頻帶寬度：）矩形脈沖信號的頻帶

7、寬度：離散頻譜離散頻譜 連續頻譜連續頻譜TT2) 1 (譜線間隔幅度（3 3）矩形脈沖頻譜特點：離散性，諧波性，收斂性）矩形脈沖頻譜特點：離散性，諧波性，收斂性1F占有帶寬與脈寬成反比占有帶寬與脈寬成反比 )1()(ntjnneFtf)2()(122TTtjnndtetfTF周期信號周期信號 非周期信號非周期信號離散譜離散譜 連續譜，幅度無限小連續譜，幅度無限小TT 221TTtjnndtetfTF)(fnFTnF1dtetfTFtjTn)(22)(TTtjnndtetfTF)(FndeFtj)(21 dnTtjnnneTTFtf1)(2tjnnneTFTtjnnneTFtf2)()(jFTF

8、n ntjnneFtf)()()()(tfdtetfFtjF F)()(21)(1tfdeFtftjF F FtfF F1、F(j )反映單位頻率上幅值與相位分布情況，反映單位頻率上幅值與相位分布情況， 故稱故稱頻譜密度函數，是連續譜。頻譜密度函數，是連續譜。注意：注意：3 3、傅立葉變換與反變換是一種線性積分變換、傅立葉變換與反變換是一種線性積分變換2 2、付氏變換存在的、付氏變換存在的充分充分條件：條件： dttf 22112211FaFatfatfaF F)(| )(|)(jeFF|)(|jF：幅幅度度頻頻譜譜 )(：相相位位頻頻譜譜 4 4、 dtetfFtj)()( jba dttt

9、fjdtttf)sin()()cos()( a b )()()(22baF )()(arctan)( ab5*、f(t)的分解的分解 dtFjdtFsin21cos21 deeFtftjj)(21 tjxtrl 任意信號任意信號f(t)可分解為無窮多個幅度為無窮小的可分解為無窮多個幅度為無窮小的 連續指數信號之和。連續指數信號之和。l 任意信號任意信號f(t)可分解為無窮多個幅度為無窮小的可分解為無窮多個幅度為無窮小的 連續余弦信號之和。連續余弦信號之和。l 任意信號任意信號f(t)可分解為實函數和虛函數之和。可分解為實函數和虛函數之和。)2(Sa)2()2sin(de)(22-jtFt21t

10、20t)(tg 2 1 f1de )()(-jttFt1)(t)(21j1de)(0)j(tFt j1e )(tt)()(ttft ej1)()(F2121)sgn(t)0(1)0(1tt)sgn(tj2)(F2Sa j 1 0,tet1 2 *sgn t j2 j1 t t 1)(tgd)(21d)(22FttfW 0101ttt)sgn()()(),()(2211FtfFtf若)()()()(22112211FaFatfatfa則j212 )()sgn(tt )()( 2j12 F F)()(FtfF F若)(1)(aFaatfF F則)()(Ftf若0j0)()(teFttf則)(je)

11、()(FF)(jj00e)(e)(ttFF)()()()(TtgTtgtgtf)()()()(TtgTtgtgtf)ee1)(2Sa()(jjT-TF)cos)(T 212Sa( )2sin()23sin()2Sa(TT。的的頻頻譜譜求求圖圖示示信信號號)()(jFtf)1()1()(22tgtgtf解：解：)(2)(2SatgjjeSaeSaF)(2)(2)(sin)(4Saj)()(Ftf若)()(0j0Fetft則)(21)(21cos)(000FFttfttgtf0acos)()( 2Sa2Sa200a )()()( jF課堂練習：課堂練習：解：解：)4(232)4(21)(jejFj

12、Y).()23()()()(4jYetftyjFtftj的的頻頻譜譜，求求已已知知例：例：)(2)(:ftF則有，若)()(Ftf。和求)()(,2sin)(, 1)(2121jFjFtttftf)()()(2)(421gjFjF例：例：)(Sgnj的頻譜函數。求函數t1解：解：jtSgn2)()(22Sgnjt)()(3SgnjjF)()(),()(2211FtfFtf設)()()(*)(2121FFtftf則 dtedtfftftfFtj2121* ddtetfftj)(21 deFfj)(21defFj)(12)()(21FF證明：其其他他0)(tttf)2(Sa)2Sa()2Sa()(

13、22F)(*)()(tgtgtf)()()()(*)()(HFYthtfty-jde )()(tthHt 卷積定理揭示了信號時域與頻域的運算關系，卷積定理揭示了信號時域與頻域的運算關系，在通訊、信息傳輸等工程領域中具有重要理論意義在通訊、信息傳輸等工程領域中具有重要理論意義和應用價值和應用價值。)(*)(21)()(2121FFtftftjejFtttfttf0)()(*)()(00)()(2*)(21)(000jFjFetftj)()(Ftf若)(j)(Ftf則j)( t1j1)(j)()(tt)(j)(FddttfEg. 如圖所示梯形脈沖信號，試求其頻譜函數F(j)。bb-aaf(t)tA

14、abAk設設bbaat)(tf k-bb-aat)(tf )(btk)(atk)(atk)(btk)()()()()( jFjtfFjtfF22 )()( jbjajajbeeeektfF )cos(cos abk 2)()( jFj2)cos(cos abk 2)cos(cos)( bakjF 22由傅立葉變換的微分性質：由圖所以， )()(Ftf若d )(tf則0)(,j)(0FF0)(,j)()()0(0FFFttfFFd)()0()(0tje01 )(02 )(costjtjeet00210 )()(oo)()(ooj)(sintjtjeejt00210 ntnFtf1jne)(e )

15、(1jnntnFF F F)(21nnFn。求求圖圖示示信信號號)(),(jFtf ntjnneFtf)()(2 nSaTFn )(nFnn 2F F ntjnneFtf)()()()(nnSaTjFn 221)( )()(nnSan 2)()()(FHY)()()(FYHd)e(21)(j tHthtthHtde )()(j -相頻特性幅頻特性頻率特性)()()(HH)(je)()(HH0)()(tKH)()(0ttKfty0je )()(tKFY0je)()()(tKFYH)(Hcj0etc0)(Sade21)(0cc)(jcc0ttthttxxxtsttdsin121)()(00c)(*)()(ttGtpT )()()(tstftfs)2(Sa)(2)(ssnsnnTFnFPn)(*)()(ttGtpT )(jP nssSsnFnSaTPFF)()2(*21)( 1) 當當 s 2 m時，時，Fs( )是是F( )在不同在不同 s倍數上的倍數上的重復與再現，僅幅值有變化。重復與再現，僅幅值有變化。2) 當當 s2 m時，時，Fs( )中出現中出現F( ) 的疊加與混合的疊加與混合（混迭現象）（混迭現象） 。 )()2()(nssSsnjFnSaTFm21fT m2f1、實現連續信號離散化，、實現連續信號離散化，為信號的數字處理奠定基礎；為信