1、1常見的連續(xù)型隨機變量常見的連續(xù)型隨機變量第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布第三次課第三次課一、均勻分布一、均勻分布1.定義：定義：設(shè)連續(xù)型隨機變量X 具有概率密度21,( )0,aXbf xba其它( , ).( , ).Xa bXU a b則稱 在區(qū)間上服從均勻分布記為0,( ),1,xaxaXF xaxbbaxb的分布函數(shù)32.概率的計算概率的計算( , )( , ),dcP cXdcbada b對于證明：證明：1( )ddccdcP cXdf x dxdxbaba3.常用的模型常用的模型( , )( , )a bXU a b向區(qū)間內(nèi)任意投點，則落點的坐標(biāo)4例：例：X在區(qū)間(

2、0,1)內(nèi)任取一點，設(shè)其坐標(biāo)為隨機變量( )0.40.8Xf xPX求 的概率密度和解：解：1, 01( )0,Xf x其它0.80.40.40.80.41PX思考：思考： 10.6?PX 0.5?P X 5二、指數(shù)分布二、指數(shù)分布1.定義：定義：設(shè)隨機變量X 的概率密度為/1,0( )0,xexf x其它0.X其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為 的指數(shù)分布/1,0( )0,xexF xX 的分布其它函數(shù)為1/有時也用表示62.指數(shù)分布的無記憶性指數(shù)分布的無記憶性0,0,|stP Xst XsP Xt證明：證明：,|P Xst XsP Xst XsP Xs()/1()1( )s ttsP XstF s

3、teeP XsF seP Xt元器件的壽命，服務(wù)等待的時間通常服從指數(shù)分布.7例：例：設(shè)X 服從參數(shù)1的指數(shù)分布，求方程280(.xXxXx關(guān)于 的方程）無實根的概率解：解：,( )0,0 xXexf xx的概率密度為：0224(8)432XXXX 方程的判別式448040 84( )10.98xPPXf x dxe dxe 三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布1.定義：定義：如果連續(xù)型隨機變量X 的概率密度為822()21( )2xf xex 其中,(0)為常數(shù)，則稱 服從參數(shù)為, 的正態(tài)分布或高斯分布，記為2( ,)XN 01(0,1)XXN當(dāng) ， 時，稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為9標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度、

4、分布函數(shù)分布記為( )( )xx、221( )2xxe2121( )2xxxedx(0)0.5()1( )xx 顯然有；22221122112211()22111( )22xtuxxuuxedttuedueduedux 令10 x( )f xo1.00.5( )f x 的圖形( )f x 的圖形特點：xxx關(guān)于對稱，在周圍是“鐘形”，兩端以 軸為漸近線， 越小，圖形越尖.x( ) xo( )x的圖形112.一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理：定理：2( ,),(0,1)XXNZN 若則證：Z的分布函數(shù)為22()212txXP ZxPxP Xxedt ,tu令得

5、221( )2uxP Zxedux 122( )( ,)F xXN 若記為的分布函數(shù)，則有( )()XxxF xP XxP baP aXb 0( )xx當(dāng)時，的值可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表利用上述關(guān)系，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得所有正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而可算正態(tài)隨機變量落在任意區(qū)間內(nèi)的概率。13例：例：設(shè) ，求(1,4)XN01.62.3PXP X解：解：1.6 10 101.622(0.3)( 0.5)0.6179(1(0.5)0.61790.30850.3094PX 2.3 111(0.65)0.25782P X 2.314例：例：2( ,),1,2,3XNPkXkk 設(shè)求 解：解：|( )(

6、)2 ( ) 1PkXkPXkkkk |2 (1) 10.6826|2 2 (2) 10.9544|3 2 (3) 10.9973PXPXPX 以上結(jié)果說明：盡管正態(tài)變量可在（，）內(nèi)取值，但它的值落在（3，3）內(nèi)幾乎是肯定的事，這就是所謂的“3”法則.15例：例：2(2,),240.3,0XNPXP X設(shè)且求解：解：4222242(0)0.3PX 2(0)0.30.8 022010.2P X 163.分位點分位點(0,1),XNz設(shè)若點滿足,01P Xz.z則稱點 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點z1( )xzz 由的對稱性，知()1z 給定，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可查得z17例：查表可知0.0250.051.9601.645zz21( ,),2XNP XCC 設(shè)若則自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要、最常見的分布。18均勻分布：1,( )0,axbf xba其它指數(shù)分布：1,0( )0,xexf x其它22()21( )2xf xe正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：2121( )2xxe小結(jié)小結(jié)baP aXb 2( ,)XN 19思考題思考題2211( )xxXf xeX1.已知隨機變量 的概率密度為判斷 是否服從正態(tài)分布？如果是，參數(shù)是多少？分