1、九年級數學數學專題 04根與系數關系閱讀與思考根與系數的關系稱為韋達定理，其逆定理也成立，是由16世紀的法國數學家韋達所發現的.韋達定理形式簡單而內涵豐富，在數學解題中有著廣泛的應用，主要體現在：1 .求方程中字母系數的值或取值范圍；2 .求代數式的值；3 .結合根的判別式，判斷根的符號特征；4 .構造一元二次方程；5 .證明代數等式、不等式.當所要求的或所要證明的代數式中的字母是某個一元二次方程的根時，可先利用根與系數的關系找到這些字母間的關系，然后再結合已知條件進行求解或求證，這是利用根與系數的關系解題的基本思路，需要注意的是，應用根與系數的關系的前提條件是一元二次方程有兩個實數根，所以，

2、應用根與系數的 關系解題時，必須滿足判別式4 >0.例題與求解【例1】設關于x的二次方程(m2 4)x2 (2m 1)x 1 0(其中m為實數)的兩個實數根的倒數和為 s ,則s的取值范圍是.2【例2】如果方程(x 1)(x2x m)0的三個根可以作為一個三角形的三邊長，那么，實數m的取值范圍是A. 0 m 1B. mC.D.2【例3】已知， 是萬程x 7x 8 0的兩根，且2 c 2.不解方程，求一3 的值.【例4】 設實數S,t分別?t足19s299s 1 0,t2 99t 19 0 并且 st【例5】(1)若實數a,b滿足a2 5 8a , b2 5 8b,求代數式二的值；a 1

3、b 1 3x 2y z a (2)關于x,y,z的萬程組有頭數解(x,y,z),求正頭數a的取小值;xy 2yz 3zx 6(3)已知 x, y均為實數，且滿足 xy x y 17 , x2y xy2 66,求 x4 x3y x2y2 xy3 y4 的值.【例6】a,b,c為實數,ac 0,且 J2a 同 75c0 ,證明一元二次方程ax2 bx c0有大于3而小于1的根.能力訓練A級1 .已知m , n為有理數，且方程 x2 mx n 0有一個根是 J5 2 ,那么m n=2 .已知關于x的方程x2 3x m 0的一個根是另一個根的 2倍，則m的值為3 .當m=時，關于x的方程8x2 (2m

4、2 m 6)x 2m 1 0的兩根互為相反數；2 一2當 時，關于x的方程x 2mx m 4 0的兩根都是正數； 當 時，關于m的方程3x2 2x m 8 0有兩個大于 2的根.2_、_2.4.對于一切不小于 2的自然數n .關于x的一兀二次方程 x (n 2)x 2n0的兩根記為an,bn (n 2)則(a2 2)( b22)2)(b3 2)L (a20072)(b20072)5.設xi,x2是方程x2 2(k(k22)0的兩個實根，且(xi 1)(x21) 8,則k的值為()B.C.D. k1 ,，一 一的一切實數 26.設x1，x2是關于次方程2 mx的兩個實數根，且0, x2 3x10

5、 ,則B.7.設Xi,X2是方程2x kA.正數8 .如圖，菱形ABCD的邊長是C.D.0的兩個不等的實數根，則C.負數5,兩對角線交于。點，且2XiAO,2_2x (2 m 1)x m 3 0的根，那么 m的值是()A.3B. 5C. 5或 32,、一一 2, m -9.已知關于x的萬程：x (m 2)x 0 .4(1)求證：無論 m取什么實數值，方程總有兩個不相等的實數根;2X22是(BO的長分別是關于x的方程D.5四(2)若這個方程的兩個根是x1,x2,且滿足x2|x1 2,求m的值及相應的x1,x2.10 .已知Xi,X2是關于X的一元二次方程 kx2 4x 3 0的兩個不相等的實數根

6、.(1)求k的取值范圍；3(2)是否存在這樣的實數 k,使2x1 2x2 2成立？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.X1gX211 .如圖，已知在 ABC 中，/ ACB=90°,過 C 點作 CDLAB 于 D,設 AD=m, BD = n,且 AC2： BC20兩實數根的差的平方小于192,求整數m、n的值.1 .=2： 1;又關于x的萬程x 2(n 1)x m 12 40有正整數解，求 m,n的值.2、12 .已知 m, n是正整數，關于 x的萬程x mnx (m n)B級一一 .、一23.21 .設x1，x2是二次萬程 x x 3 0的兩根，則 x14x2 19=.2 2

7、 一一 .a2 .已知 ab 1 ,且有 5a 1995a 8 0及 8b 1995b 5 0 貝U a b.一一、2_ 223 .已知關于 x的一兀二次方程x 6x k 1 0的兩個實數根是x1，x2,且xx224 ,則24 .已知Xi,X2是關于x的一兀二次萬程 x ax a2的兩個實數根，則(x 2x2)d2xi）的最大值25 .如果萬程x pxp>0）的兩根之差為1,那么p等于（A. 2B. 4C.向6.已知關于x的一元二次方程 x2mx 2m 1 0的兩個實數根分別是xi, x2,且 xi2x227 ,則,.2 . 一國 x2)的值是()A. 1B. 12C. 13D. 257

8、.在 RtAABC 中，/ C = 90° , a、 的方程x2 7x c 7 0的兩根，那么b、c分別是/ A、/ B、/C的對邊,AB邊上的中線長是 （）b是關于xB.C. 58.設 a2b2 13b且aB. 7C. 91 b2的值為(D. 119 .已知a, b為整數，a2b ,且萬程3x 3(ab）x 4ab 0的兩個根滿足關系式(1)(1) (1)(1）.試求所有整數點對（a, b）.10.若方程x2 3x 1 0的兩根 ，也是方程x6 px2 q 0的兩根，其中p,q均為整數，求p,q的值.11.設a,b是方程x2 3x 10的兩根，c, d是方程x2 4x 2 0兩根，已知bc dcdadababc(1)3b c d12 .設m是不小于b2c d ab3c d a2cdab3cdabd2a b cd3a b c7M7；49 M1的實數，使得關于x的一元二次方程