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文檔簡介

1、積分學參變量積分討論的緣由 (定)積分：一種新運算，一種描述函數的新方式 研究函數的連續性、可微性和可積性實際上就是討論各種極限；研究用積分定義的函數就要研究所謂積分號下取極限參變量積分的定義 設f: E R, 其中 Rn, ERm，對于每個x , f(x,y)在E上可積,由定義的函數F: R 稱作由積分的函數或參變量積分. 為記號和理解上的方便起見，我們取和E為一維區間，而f為連續函數EdyyxfxF),()(參變量積分的性質 參變量函數的連續性 參變量函數的可微性 參變量函數的可積性參變量函數的連續性 設C(a,bc,d) (a,b,c,dR). 則FCa,b,其中dcdyyxfxF),(

2、)(參變量函數的可微性 設, x C(a,bc,d) (a,b,c,dR).則FC1a,b, 并且dcdyyxxfxdxdF),()(參變量函數的可積性 設C(a,bc,d) (a,b,c,dR),則 dcbabadxdyyxfdxxF),()(參變量積分例1 設C(a,bc,d),對于(x,y)a,bc,d,定義則G C(a,bc,d)xaduyufyxG),(),(參變量積分例2 設C(RR), , C1(R), 定義則GC(R),如果還有xC(RR),則GC1(R)并且)()(),()(xxdyyxfxG)()(,()()(,(),()()()(xaxxfxxxfdyyxfxGxxx參變

3、量積分例3 計算解解：由01| ,)cos1ln()(dxxJ201cos1cos)(dxxxJ參變量積分例3(續) 由得到21)( J2ln11ln)(2J參變量積分例4 計算極限10422)(sin1limdxxyyxxyy參變量積分例5 計算極限201limdxxmmm參變量積分例6 計算積分 解：解：取且1021)1ln(dxxxI21)1ln(),(xxyyxf)1)(1(),(2xxyxyxyf參變量積分例6(續1) 顯然, y C(0,10,1), 記則102101)1ln(),()(dxxxydxyxfyJ10210)1)(1 (),()(dxxxyxdxyxyfyJ參變量積分例6(續2) 因此)1ln(42ln21111111)(21022yyydxxyyxyxyyJ參變量積分例6(續3) 所以 于是IdxxxdyyJJJI2ln81)1ln(2ln8)()0()1 (102102ln16I參變量積分例7 設0. 計算 解：解：注意到10ln),(dxxxxI)0( lnxdyxxxxy參變量積分例7(

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