1、洛陽師范學院本科畢業論文LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012屆 本科畢業論文正定矩陣的性質及推廣院（系）名稱數學科學學院專 業 名 稱數學與應用數學學生姓名李俊霞學號080414076指導教師黃盛 講師完 成 時 間2012.5正定矩陣的性質及推廣李俊霞數學科學學院 數學與應用數學專業 學號： 080414076指導教師：黃盛摘要：正定矩陣是一類比較重要且應用廣泛的矩陣，作為一種特殊的矩陣，當然有許多與其它矩陣不同的性質，本文首先給出了正定矩陣的若干性質. 其次，給出了正定矩陣在證明不等式、求函數的極值、多項式因式分解等方面的具體應用. 最后對正定矩陣作了進一步的推廣，

2、得到了廣義正定矩陣的一些性質，并給出了相應的證明.關鍵詞：正定矩陣；廣義正定矩陣；正對角矩陣；實對稱矩陣 關于正定矩陣的定義本科階段學習的正定矩陣局限于實對稱矩陣，它的常規定義為定義 階實對稱矩陣稱為正定的，如果對 ,都有.這種正定矩陣的全體記作.年，首先提出了較廣義的正定矩陣的定義，即定義 設，如果對 ，都有,則稱為正定矩陣,這種正定矩陣的全體記作.年，佟文廷把這種矩陣推廣為定義 設，如果對,都有正對角矩陣=，使得，則稱為廣義的正定矩陣，記為，若與無關，則記為.年，夏長富對這種正定矩陣作進一步推廣如下定義 設，如果對,都存在,使得,稱為廣義正定矩陣，這種廣義正定矩陣的集合記為，若與無關，則把

3、這樣的廣義正定矩陣的集合記作. 正定矩陣的判定定理定理 設是階實對稱矩陣，則下列命題等價 ； 對，都有； 的正慣性指數為，負慣性指數為0； 的各階順序主子式都大于0； 存在階可逆矩陣，使； 存在階可逆矩陣，使=； 的各階主子式都大于0； 存在正定矩陣，使； 所有與合同的矩陣是正定矩陣； 的特征值都大于0； 半正定且； 設，則和是正定矩陣. 存在對角元素全大于零的上三角矩陣，使.證明 等價于 因為是實對稱矩陣，所以可對角化，即存在正交矩陣，使，其中是的特征值，所以令=,則是正定矩陣且=. 反之，因為是正定矩陣，所以是正定矩陣，即是正定矩陣.等價于 設是與合同的矩陣，正定，下證正定，對，作非退化線

4、性替換，則，因為是正定矩陣，所以，即，所以是正定矩陣.反之，令是正定矩陣，則，因為是正定矩陣，與合同，由上面的證明可知，是正定矩陣.等價于 是正定矩陣等價于是正定矩陣，,，等價于和是正定矩陣.要證等價于，需先證明一個引理.引理 設為一個級實矩陣，且，則可以分解成，其中是正交矩陣，是一上三角矩陣.證明 設，其中是的列向量，因為，所以線性無關，可作為維線性空間的一組基，將其化為標準正交基，令，則=，將，,標準化，令，則，是一組標準正交基，令，則是正交矩陣，是一上三角矩陣，且對角元素大于零.下面證明等價于是正定矩陣等價于存在可逆矩陣，使，是上三角矩陣且對角元素大于0，同樣的方法可證明下三角矩陣的情況

5、. 其余等價命題參考文獻. 正定矩陣的性質性質 若是正定矩陣，則、也是正定矩陣.證明 因為是正定矩陣，所以存在階可逆矩陣，使，則所以是正定矩陣.另外，的特征值都大于，所以都大于，即的特征值都大于，所以也是正定矩陣.對于任意的，所以是正定矩陣.因為=，所以是正定矩陣.性質 設，是階正定實對稱矩陣，且滿足,則也是正定實對稱矩陣.證明 因為，所以是實對稱矩陣，設是的一個特征值，是對應于的特征向量，則,，因為,是正定矩陣，所以，所以，即的特征值都大于，所以也是正定實對稱矩陣. 由性質的證明過程可知，正定矩陣乘積的特征值大于. 性質 若、都是正定矩陣，則是正定矩陣.證明 顯然是實對稱矩陣，對于任意的，有

6、，所以是正定矩陣.推論 若、都是正定矩陣，則是正定矩陣.性質 若、都是正定矩陣，則.證明 因為是正定矩陣，所以存在可逆矩陣,使得 ，顯然是對稱矩陣，則可對角化，所以存在正交矩陣,使=因為是正定矩陣，所以，令，則 = 分別對上式兩邊求行列式得，所以，因為，所以.此性質說明了對任意一個正定矩陣和一個實對稱矩陣(不一定是正定的),存在可逆矩陣，使和都為對角矩陣.性質 為階正定矩陣，則的元素的絕對值最大者，一定在主對角元上.證明 因為正定，從而的一切二階主子式都大于，當時.移項后，開方即得，設的主對角元上最大元素為，再由上式，得， =，此即證.即的元素的絕對值最大者，一定在主對角元上.性質 為階正定矩

7、陣，則，其中為的主對角元素.證明 設，其中為的-1階順序主子式，因為正定，所以正定，存在，于是=，兩邊取行列式得，=，因為正定，所以正定，所以，.所以，同理，這樣繼續下去，可得.性質 若是正定矩陣，則也是正定矩陣.證明 因為是正定矩陣，所以的特征值，那么，即的特征值都大于0，所以是正定矩陣. 正定矩陣的應用 證明不等式實對稱矩陣稱為正定矩陣，是指如果實二次型正定，而二次型正定是指對任意 ，恒有，所以可用實對稱矩陣中的正定矩陣來證明不等式.例 求證.證明 設二次型=+，則的矩陣=，的各階順序主子式=-5，=26，=-80所以是負定矩陣，則，即. 求函數的極值定義 假定具有二階連續偏導數，并記,它

8、稱為在的黑賽矩陣.定理 設二元函數在點的某鄰域內具有二階連續偏導數，且是的穩定點.則當是正定矩陣時，在取得極小值；當是負定矩陣時，在取得極大值；當是不定矩陣時，在不取極值.例 求函數的極值點.解 由方程組得的穩定點為，=2，那么，是正定矩陣，所以是的極小值點，.多元函數的情形：定義 假設具有二階連續偏導數，并記，它稱為在的黑賽矩陣.定理 設多元函數在點的某鄰域內具有二階連續偏導數，且是的穩定點. 則當是正定矩陣時，在取得極小值；當是負定矩陣時，在取得極大值；當是不定矩陣時，在不取極值.例 求函數的極值.解 由方程組得的穩定點為，又的二階偏導數為，. 所以，其順序主子式分別為0，所以是不定矩陣，

9、在點處不取極值. ，其順序主子式分別為，所以是正定矩陣，由定理可知，在點處取極小值，極小值為. 多項式因式分解定理 一個實二次型可以分解為兩個實系數的一次齊次多項式乘積的充要條件是它的秩等于2且符號差為，或秩等于1.該定理為利用二次型進行二次多項式因式分解提供了理論依據，同時給出了判斷能否分解的方法，并且可以很快得到分解式.例 試判斷下列多項式在R上能否進行因式分解，若能，分解之. 解 令，則=，只需考慮的秩和符號差，所對應的矩陣為，所以的秩為3，故不能分解,所以不能分解. 令，則=，只需考慮的秩和符號差，作非退化線性替換即得，=,其秩為2，符號差為，所以能因式分解，=. 最小二乘法問題 最小

10、二乘法問題：線性方程組可能無解. 即任何一組數都可能使 不等于零. 我們設法找使其最小，這樣的稱為方程組的最小二乘解. 這種問題就叫做最小二乘法問題.定理 令，則方程組的最小二乘解滿足，或. 判斷二次曲線的形狀可通過非退化線性替換將二次型化為標準型，從而判斷二次曲線的形狀.例 判斷二次曲線的形狀.解 設，令，則，對作非退化線性替換，令即則，從而，即，所以曲線表示橢圓. 在的條件下求二次型的最值.定理 設元二次型，則在條件下的最大值恰為矩陣的最大特征值，其中.證明 令,則,作非退化線性替,其中是由的特征向量正交化得到的矩陣，故有，其中是的特征值. 所以記是中的最大值，是中的最小值，又,所以，即在

11、條件下的最大值恰為矩陣的最大特征值.例 已知實數滿足，求的最大值和最小值.解 的矩陣，解得的特征值為，由定理得，的最大值為，最小值為.5 正定矩陣的推廣定義 設，如果對, 都存在,使得,則稱為更廣義正定矩陣，這種更廣義正定矩陣的集合記為，若與無關，則把這樣的廣義正定矩陣的集合記作.定義 設，如果對，都存在,使得，則稱為更廣義正定矩陣，這種更廣義正定矩陣的集合記為，若與無關，則把這樣的廣義正定矩陣的集合記作.各種定義有如下關系： 證明 顯然； 對，有，即，為階單位矩陣，當然是正對角矩陣，所以，所以； 對，存在正對角矩陣，使，顯然，所以，所以； 對，存在,使得，當然，所以，所以； 對，存在,使得，

12、因為，所以，所以，所以. 廣義正定矩陣的一些性質 定理 若，則.證明 因為，則存在正對角矩陣，使，所以，所以，因為，所以.定理6.2 、都有.其證明方法都類似于定理，在這里就不再一一寫出.定理 ，.證明 必要性因為,所以,使 則，,令=,=,所以=，或者，將改寫為,令=,=,所以=.充分性不妨設,，使，則=，因為,所以對，有,即,因為,所以.定理說明，對稱正定矩陣和實正定矩陣之積為廣義實正定矩陣，這也可作為廣義正定矩陣的定義和判定定理.定理 設,則存在正交矩陣，使得.證明 因為，所以存在, 使得，因為，所以存在正交矩陣，使為正對角矩陣，又=，因為，所以對，有,即,因為為正對角矩陣，所以. 結束

13、語通過本文的寫作，使我對正定矩陣有了更加深入的認識，并且利用正定矩陣解決了代數中的一些問題. 在此基礎上，將正定矩陣作了進一步的推廣，得到了廣義正定矩陣. 致謝本論文在選題及寫作過程中得到黃盛老師的悉心指導，黃老師多次詢問寫作進程，并為我指點迷津，幫助我開拓研究思路，精心點撥、熱忱鼓勵. 黃老師一絲不茍的作風，嚴謹求實的態度，踏踏實實的精神，深深地感染和激勵著我. 正是由于他在百忙之中多次審閱全文，對細節進行修改，并為本文的撰寫提供了許多中肯而且寶貴的意見，本文才得以成型. 在此對黃老師表示由衷的感謝！同時，也感謝大學里各位老師的教導以及班級同學的幫助和支持！參考文獻1北京大學數學系幾何與代數

14、教研室前代數小組. 高等代數M. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003: 162-226. 2戴澤儉，凌燈榮，夏徐林. 關于正定矩陣的進一步推廣J. 安慶師范學院學報，2006,12（2）：23-24.3佟文廷. 廣義正定矩陣J. 數學學報, 1984(27): 810-810.4夏長富鉅陣正定性的進一步推廣J數學研究與評論, 1988, 8(4)：499-504.5吳亞敏. 正定矩陣的性質J. 數學學習與研究, 2011: 110-111.6錢吉林. 高等代數題解精粹M. 第二版. 北京：中央民族大學出版社，2010: 112-224.7岳貴鑫. 正定矩陣及其應用J. 遼寧省交通高等專科

15、學校學報,2008,10(5): 30-33.8華東師范大學數學系. 數學分析M. 第三版. 北京：高等教育出版社, 2008: 136-139.9薛蓉華. 二次型性質的若干應用J. 福建工程學院學報, 2011, 9(3): 273-275.10何春羚. 關于廣義正定矩陣性質的討論J. 重慶文理學院學報，2007, 26(4): 15-17.11沈光星. 廣義正定矩陣及其性質J. 高等學校計算數學學報, 2002（2）：186-192.12史秀英. 正定矩陣的等價命題及其應用J. 赤峰教育學院學報, 2000, 2: 44-46.The Properties of Positive Defi

16、nite Matrix and PromotionLI Jun-xiaCollege of Mathematics Science No：080414076Tutor: HUANG ShengAbstract: Positive definite matrices is a kind of more important and widespread matrix, as a kind of special matrix, of course, there are many different properties with other matrix, this paper gives some properties of positive definite matrix. Secondly, given the positive definite matrix inequalities in proof, let the function extreme value, polynomial of factoring decomposition specific application on the positi