1、第六章 微積分的創立 解析幾何是代數與幾何相結合的產物，它將變量引進了數學，使運動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創立搭起了舞臺 微積分的思想萌芽，特別是積分學，部分可以追溯到古代我們已經知道，面積和體積的計算自古以來一直是數學家們感興趣的課題在古代希臘、中國和印度數學家們的著述中，不乏用無窮小過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子前面已經介紹過阿基米德、劉徽和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實是人們建立一般積分學的漫長努力的先驅 與積分學相比而言，微分學的起源則要晚得多刺激微分學發展的主要科學問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數的極大極小值等問題古希臘學者曾進行過作曲線

2、切線的嘗試，如阿基米德論螺線中給出過確定螺線在給定點處的切線的方法；阿波羅尼奧斯圓錐曲線論中討論過圓錐曲線的切線，等等但所有這些都是基于靜態的觀點，把切線看作是與曲線只在一點接觸且不穿過曲線的“切觸線”而與動態變化無干古代與中世紀中國學者在天文歷法研究中曾涉及到天體運動的不均勻性及有關的極大、極小值問題，如郭守敬授時歷中求“月離遲疾”(月亮運行的最快點和最慢點)、求月亮白赤道交點與黃赤道交點距離的極值(郭守敬甚至稱之為“極數”)等問題，但東方學者以慣用的數值手段(“招差術”，即有限差分計算)來處理，從而回避了連續變化率總之，在17世紀以前，真正意義上的微分學研究的例子可以說是很罕見的 6.1

3、半個世紀的醞釀近代微積分的醞釀，主要是在17世紀上半葉這半個世紀為了理解這一醞釀的背景，我們首先來略微回顧一下這一時期自然科學的一般形勢和天文、力學等領域發生的重大事件首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發明了望遠鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠鏡對準星空而作出了令世人目不暇接、驚奇不已的天文發現望遠鏡的發明不僅引起了天文學的新高漲，而且推動了光學的研究 1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律開普勒行星運動三大定律要意是：I行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點； 由太陽到行星的矢徑在相等的時間內掃過的面積相等； 行星繞太陽公轉周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成

4、正比 開普勒主要是通過觀測歸納出這三條定律的從數學上推證開普勒的經驗定律，成為當時自然科學的中心課題之一 1638年，伽利略(Galileo Galilei，1564-1642)關于兩門新科學的對話出版伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學奠定了基礎；他認識到彈道的拋物線性質，并斷言炮彈的最大射程應在發射角為時達到，等等伽利略本人竭力倡導自然科學的數學化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學概念與定律作精確的數學表述的巨大熱情凡此一切，標志著自文藝復興以來在資本主義生產力刺激下蓬勃發展的自然科學開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數學困難，使微分學的基本問題空前地成為人們

5、關注的焦點：確定非勻速運動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成為當務之急；望遠鏡的光程設計需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠日點等涉及的函數極大值、極小值問題也亟待解決與此同時，行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使積分學的基本問題-面積、體積、曲線長、重心和引力計算的興趣被重新激發起來在17世紀上半葉，幾乎所有的科學大師都致力于尋求解決這些難題的新的數學工具，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當短的時期內，取得了迅速的進展以下介紹在微積分醞釀階段最有代表性的工作 (

6、一)開普勒與旋轉體體積德國天文學家、數學家開普勒(Johannes Kepler，1571-1630)在1615年發表測量酒桶的新立體幾何，論述了求圓錐曲線圍繞其所在平面上某直線旋轉而成的立體體積的積分法開普勒方法的要旨，是用無數個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉體的體積例如他認為球的體積是無數個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之().開普勒考慮的另一個例子是由半徑為的圓圍繞其所在平面上的與圓心距離為的垂直軸旋轉而形成的圓環，他證明這個圓環的體積等于該圓的

7、面積與圓心經過的路程之積：.他推導這一公式的辦法是：用通過旋轉軸的平面把圓環分成無窮多個內側較薄、外側較厚的垂直薄圓片(如圖)而把每一個薄圓片又分成無窮多個橫截面為梯形的水平薄片先推導出每個圓片的體積是,其中是圓片最小厚度與最大厚度的平均值，亦即圓片在其中心處的厚度他進一步推算出. (二)卡瓦列里不可分量原理 意大利數學家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri，1598-1647)在其著作用新方法促進的連續不可分量的幾何學(1635)中發展了系統的不可分量方法卡瓦列里認為線是由無限多個點組成；面是由無限多條平行線段組成；立體則是由無限多個平行平面組成他分別把這些元素叫做線、面和體

8、的“不可分量”(indivisible)他建立了一條關于這些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著稱： 兩個等高的立體，如果它們的平行于底面且離開底面有相等距離的截面面積之間總有給定的比，那么這兩個立體的體積之間也有同樣的比卡瓦列里利用這條原理計算出許多立體圖形的體積然而他對積分學創立最重要的貢獻還在于，他后來(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等價于下列積分的基本結果，使早期積分學突破了體積計算的現實原型而向一般算法過渡卡瓦列里考慮一平行四邊形內線段的冪和與組成它的三角形內線段的冪和之間的關系如圖，在平行四邊形中，其內任一平行于的截線被對角線分成兩部分先討論一次冪和的關系因，故（利

9、用對稱性），因此按卡瓦列里的不可分量觀點，應為的面積，則為平行四邊形的面積取正方形情形，就得到亦即卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括開普勒所使用的方法更接近于普遍的積分學算法，因而也具有更大的威力開普勒曾向他的同行們提出一個挑戰問題：求拋物線弓形繞弦旋轉而成的旋轉體體積卡瓦列里用自己的方法解決了開普勒的問題(三)笛卡兒“圓法” 以上介紹的微積分準備階段的工作，主要采用幾何方法并集中于積分問題解析幾何的誕生改變了這一狀況解析幾何的兩位創始人笛卡兒和費馬，都是將坐標方法引進微分學問題研究的前鋒笛卡兒在幾何學中提出了求切線的所謂“圓法”，本質上是一種代數方法 求曲線過點的切線，笛卡兒的方法是首先確

10、定曲線在點處的法線與軸的交點的位置，然后作該法線的過點的垂線，便可得到所求的切線如圖，過點作半徑為的圓，因是曲線在點處的法線，那么點應是該曲線與圓的“重交點”(在一般情況下所作圓與曲線還會相交于點附近的另一點).如果是多項式，有重交點就相當于方程 將以點的橫坐標為重根但具有重根的多項式的形式必須是，笛卡兒把上述方程有重根的條件寫成： ，然后用比較系數法求得與的關系代入，就得到用表示的，這樣過點的切線的斜率就是 . 笛卡兒的代數方法在推動微積分的早期發展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路的笛卡兒圓法在確定重根時會導致極繁復的代數計算，1658年荷蘭數學家胡德(J

11、.Hudde)提出了一套構造曲線切線的形式法則，稱為“胡德法則”胡德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機械的算法，可以完成求任何代數曲線的切線斜率時所要進行的計算 (四)費馬求極大值與極小值的方法 笛卡兒圓法記載于他1637年發表的幾何學中就在同一年，費馬在一份手稿中提出了求極大值與極小值的代數的方法 按費馬的方法，設函數在點處取極值，費馬用代替原來的未知量，并使與“逼近”(adequatio)，即消去公共項后，用除兩邊，再令消失，即 ，由此方程求得的就是的極值點例如，費馬用他的方法來確定怎樣把長度為的一個線段劃分為兩個線段和，使得它們的乘積最大(也就是作一個周長為的長方形，使其面積最大)首

12、先用代替，然后寫出 即消去相同項得兩邊除以，得 令，得，即有 費馬的方法幾乎相當于現今微分學中所用的方法，只是以符號 (他寫作)代替了增量 記載費馬求極大值與極小值方法的這份手稿，實際上是他寫給梅森(MMersenne)的一封信梅森是當時歐洲科學界領頭人物伽利略、費馬、笛卡兒、帕斯卡等人之間保持書信交往的中心他將費馬這封信轉給了笛卡兒，從而引起了關于切線問題的熱烈爭論因為費馬求極大極小值的方法也可以用來求曲線的切線，他在致梅森的信中就收入了怎樣用他的方法來求拋物線在給定點的切線的例子費馬在信中指出他求函數極大值、極小值的方法還“可以推廣應用于一些優美的問題”，并說他已經獲得了求平面與立體圖形的

13、重心等一些其他結果，“關于這些結果，如果時間允許，我將在另外的場合來論述.” (五)巴羅“微分三角形” 巴羅(Isaac Barrow，1630-1677)也給出了求曲線切線的方法，他的方法記載在1669年出版的幾何講義中，但他應該是在更早的時候就得到了這種方法與笛卡兒、費馬不同，巴羅使用了幾何法巴羅幾何法的關鍵概念后來變得很有名，就是“微分三角形”，也叫“特征三角形”如圖所示，設有曲線，欲求其上一點處的切線巴羅考慮一段“任意小的弧”，它是由增量引起的就是所謂的微分三角形巴羅認為當這個三角形越來越小時，它與應趨近于相似，故應有 即 因、在曲線上，故應有, 在上式中消去一切包含有的冪或二者乘積的

14、項，從所得方程中解出，即切線斜率，于是可得到值而作出切線巴羅的方法實質上是把切線看作是當和趨于零時割線的極限位置，并利用忽略高階無限小來取極限在這里，和分別相當于現在的和，而則相當于 巴羅是牛頓的老師，是英國劍橋大學第一任“盧卡斯數學教授”，也是英國皇家學會的首批會員當巴羅發現和認識到牛頓的杰出才能時，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學生當時才27歲的牛頓來擔任巴羅讓賢，已成為科學史上的佳話 (六)沃利斯“無窮算術” 沃利斯(J.Wallis，1616-1703)是在牛頓和萊布尼茨以前，將分析方法引入微積分貢獻最突出的數學家沃利斯最重要的著作是無窮算術(1655)，其書名就表明

15、了他用本質上是算術的也就是牛頓所說“分析”的途徑發展積分法 沃利斯利用他的算術不可分量方法獲得了許多重要結果，其中之一就是將卡瓦列里的冪函數積分公式 推廣到分數冪情形 沃利斯另一項重要的研究是計算四分之一單位圓的面積，并由此得到的無窮乘積表達式他計算由坐標軸，點的縱坐標和函數 的曲線圍成的面積，得到的結果分別為 但表示圓的函數是,沃利斯利用復雜的插值法算出了它的面積，并進而得到表達式 沃利斯的工作直接引導牛頓發現了有理數冪的二項式定理，牛頓二項式定理的推導記錄在他1664-1665年間的一本讀書筆記上，從中可以清楚地看出他是通過推廣沃利斯插值法而得到這項發現的 17世紀上半葉一系列前驅性的工作

16、，沿著不同的方向朝微積分的大門逼近但所有這些努力還不足以標志微積分作為一門獨立科學的誕生這些前驅者對于求解各類微積分問題確實作出了寶貴貢獻，但他們的方法仍然缺乏足夠的一般性求切線、求變化率、求極大極小值以及求面積、體積等基本問題，在當時是被作為不同的類型處理的雖然也有人注意到了某些聯系，如費馬就是用同樣的方法求函數的極值和曲線的切線；巴羅的求切線方法實際上是求變化率的幾何版本，等等然而并沒有人能將這些聯系作為一般規律明確提出，而作為微積分的主要特征的微分與積分的互逆關系，雖然在特殊場合已被某些學者邂逅，如巴羅在幾何學講義中有一條定理以幾何形式表達了切線問題是面積問題的逆問題，但他本人完全沒有認

17、識到這一事實的重要意義因此，就需要有人站在更高的高度將以往個別的貢獻和分散的努力綜合為統一的理論，這是17世紀中葉數學家們面臨的艱巨任務牛頓和萊布尼茨正是在這樣的時刻出場的時代的需要與個人的才識，使他們完成了微積分創立中最后也是最關鍵的一步6.2 牛頓的“流數術” 牛頓(1saac Newton，1642-1727)于伽利略去世那年-1642年的圣誕出生于英格蘭林肯郡伍爾索普村一個農民家庭，是遺腹子，且早產，生后勉強存活少年牛頓不是神童，成績并不突出，但酷愛讀書與制作玩具17歲時，牛頓被母親從他就讀的格蘭瑟姆中學召回田莊務農，但在牛頓的舅父W埃斯庫和格蘭瑟姆中學校長史托克斯的竭力勸說下，牛頓的

18、母親在九個月后又允許牛頓返校學習史托克斯校長的勸說辭中，有一句話可以說是科學史上最幸運的預言他對牛頓的母親說：“在繁雜的農務中埋沒這樣一位天才，對世界來說將是多么巨大的損失啊!” 牛頓于1661年入劍橋大學三一學院，受教于巴羅，同時鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作三一學院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數學思想的形成而言，笛卡兒的幾何學和沃利斯的無窮算術對他影響最深，正是這兩部著作引導牛頓走上了創立微積分之路 1665年8月，劍橋大學因瘟疫流行而關閉，牛頓離校返鄉，隨后在家鄉躲避瘟疫的兩年，竟成為牛頓科學生涯中的黃金歲月制定微積分，發現萬有引力和顏色理論，可以說牛

19、頓一生大多數科學創造的藍圖，都是在這兩年描繪的6.2.1 流數術的初建 牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當時他反復閱讀笛卡兒幾何學，對笛卡兒求切線的“圓法”發生興趣并試圖尋找更好的方法就在此時，牛頓首創了小記號表示的無限小且最終趨于零的增量 1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉躲避瘟疫期間，繼續探討微積分并取得了突破性進展據他自述，1665年11月發明“正流數術”(微分法)，次年5月又建立了“反流數術”(積分法)1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結性論文，此文現以流數簡論(Tract on Fluxions)著稱，當時雖未正式發表，但在同事中傳閱流數簡論(以下簡稱簡

20、論)是歷史上第一篇系統的微積分文獻 流數簡論反映了牛頓微積分的運動學背景該文事實上以速度形式引進了“流數”(即微商)概念，雖然沒有使用“流數”這一術語牛頓在簡論中提出微積分的基本問題如下： (a)設有兩個或更多個物體在同一時刻內描畫線段已知表示這些線段關系的方程，求它們的速度的關系 (b)已知表示線段和運動速度之比的關系方程式，求另一線段 牛頓對多項式情形給出(a)的解法以下舉例說明牛頓的解法 已知方程 牛頓分別以和代換方程中的和，然后利用二項式定理，展開得 消去和為零的項(),得 以除之，得 這時牛頓指出“其中含的那些項為無限小”，略去這些無窮小，得 即所求的速度和的關系對于問題(b)，牛頓

21、的解法實際上是問題(a)的解的逆運算，并且也是逐步列出了標準算法特別重要的是，簡論中討論了如何借助于這種逆運算來求面積，從而建立了所謂“微積分基本定理”牛頓在簡論中是這樣推導微積分基本定理的： 如圖，設，為已知曲線下的面積，作當垂線以單位速度向右移動時，掃出面積，變化率;掃出面積,變化率由此得，這就是說，面積在點處的變化率是曲線在該處的值這就是微積分基本定理利用問題(b)的解法可求出面積 當然，簡論中對微積分基本定理的論述并不能算是現代意義下的嚴格證明牛頓在后來的著作中對微積分基本定理又給出了不依賴于運動學的較為清楚的證明 在牛頓以前，面積總是被看成是無限小不可分量之和，牛頓則從確定面積的變化

22、率人手通過反微分計算面積前面講過，面積計算與求切線問題的互逆關系，以往雖然也曾被少數人在特殊場合模糊地指出，但牛頓卻能以足夠的敏銳與能力將這種互逆關系明確地作為一般規律揭示出來，并將其作為建立微積分普遍算法的基礎正如牛頓本人在流數簡論中所說：一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解這樣，牛頓就將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的算法-正、反流數術，亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關系，而將這兩類運算進一步統一成整體這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發明了微積分 在流數簡論的其余部分，牛頓將他建立的統一的算法應用于求曲線切線、曲率、拐點、曲線求長、求積、

23、求引力與引力中心等16類問題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統性6.2.2 流數術的發展 流數簡論標志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發現未作宣揚他在這一年10月當選為三一學院成員，次年又獲碩士學位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠鏡制作方面的貢獻但從那時起直到1693年大約四分之一世紀的時間里，牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是: (1)運用無限多項方程的分析(De Analysi per Aequationes Numero Terminorum lnfinitas，簡稱分析學

24、，完成于1669年)； (2)流數法與無窮級數(Methodus Fluxionum et Serierum lnfinitarum，簡稱流數法，完成于1671年)； (3)曲線求積術(Tractatus de Quadratura Curvarum，簡稱求積術，完成于1691年)這三篇論文，反映了牛頓微積分學說的發展過程，并且可以看到，牛頓對于微積分的基礎先后給出了不同的解釋第一篇論文分析學是牛頓為了維護自己在無窮級數方面的優先權而作1668年蘇格蘭學者麥卡托(N.Mercator)發表了對數級數的結果，這促使牛頓公布自己關于無窮級數的成果分析學利用這些無窮級數來計算流數、積分以及解方程等，

25、因此分析學體現了牛頓的微積分與無窮級數緊密結合的特點關于微積分本身，分析學有簡短的說明論文一開始就敘述了計算曲線下面積的法則設有表示的曲線，牛頓論證所求面積為牛頓在論證中取而不是時間的無限小增量“瞬”為，以+代，+代，則 用二項式定理展示后以除兩邊，略去的項，即得反過來就知曲線下的面積是牛頓接著給出了另一條法則：若值是若干項之和，那么所求面積就是由其中每一項得到的面積之和，這相當于逐項積分定理 由上述可知，牛頓分析學以無限小增量“瞬”為基本概念，但卻回避了流數簡論中的運動學背景而將“瞬”看成是靜止的無限小量，有時直截了當令其為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩 第二篇論文流數法可以看作是1666

26、年流數簡論的直接發展牛頓在其中又恢復了運動學觀點，但對以物體速度為原型的流數概念作了進一步提煉，并首次正式命名為“流數”(fluxion)牛頓后來對流數法中的流數概念作了如下解釋： “我把時間看作是連續的流動或增長，而其他量則隨著時間而連續增長我從時間的流動性出發，把所有其他量的增長速度稱之為流數又從時間的瞬息性出發，把任何其他量在瞬息時間內產生的部分稱之為瞬”流數法以清楚明白的流數語言表述微積分的基本問題為： “已知流量間的關系，求流數關系”以及反過來 “已知表示量的流數間的關系的方程，求流量間的關系” 流數語言的使用，使牛頓的微積分算法在應用方面獲得了更大的成功 無論是分析學還是流數法都是

27、以無限小量作為微積分算法的論證基礎，所不同的是：在流數法中變量的瞬×, ×隨時間瞬而連續變化；而在分析學中變量的瞬則是某種不依賴于時間的固定的無限小微元大約到17世紀80年代中，牛頓關于微積分的基礎在觀念上發生了新的變革，這就是“首末比方法”的提出首末比法最先以幾何形式在自然哲學的數學原理一書中發布，其詳盡的分析表述則是在其第三篇微積分論文曲線求積術中給出的 曲線求積術是牛頓最成熟的微積分著述牛頓在其中改變了對無限小量的依賴并批評自己過去那種隨意忽略無限小瞬的做法：“在數學中，最微小的誤差也不能忽略在這里，我認為數學的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續的運動來描述的”在

28、此基礎上定義了流數概念之后，牛頓寫道：“流數之比非常接近于在相等但卻很小的時間間隔內生成的流量的增量比確切地說，它們構成增量的最初比”牛頓接著借助于幾何解釋把流數理解為增量消逝時獲得的最終比他舉例說明自己的新方法如下： 為了求的流數，設變為+，則變為,構成兩變化的“最初比”：然后“設增量消逝，它們的最終比就是”，這也是的流數與的流數之比 這就是所謂“首末比方法”，它相當于求函數自變量與應變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導 牛頓在曲線求積術中還第一次引進了后來被普遍采用的流數記號 牛頓對于發表自己的科學著作態度謹慎除了兩篇光學著作，他的大多數著作都是經朋友再三催促才拿出來發表上述三篇論文

29、發表都很晚，其中最先發表的是最后一篇曲線求積術，1704年載于光學附錄；分析學發表于1711年；而流數法則遲至1736年才正式發表，當時牛頓已去世牛頓微積分學說最早的公開表述出現在1687年出版的力學名著自然哲學的數學原理(Philosophiae naturalis principia mathematica，以下簡稱原理)之中，因此原理也成為數學史上的劃時代著作6.2.3 原理與微積分 原理中并沒有明顯的分析形式的微積分整部著作是以綜合幾何的語言寫成的，但牛頓在第一卷第l章開頭部分通過一組引理(共11條)建立了“首末比法”，這正是他后來在曲線求積術中作為流數運算基礎而重新提出的方法不過在原

30、理中，首末比方法本身也強烈地訴諸幾何直觀 牛頓預見到首末比方法可能遭受的批評，并意識到爭論的焦點將在于“最終比”概念，于是在前述引理的評注中對什么是“最終比”作了進一步說明：“消逝量的最終比實際上并非最終量之比，而是無限減小的量之比所趨向的極限它們無限接近這個極限，其差可小于任意給定的數，但卻永遠不會超過它，并且在這些量無限減小之前也不會達到它” 盡管原理表現出以極限方法作為微積分基礎的強烈傾向，但并不意味著牛頓完全摒棄無限小觀點在第二卷第2章中，人們可以看到無限小瞬方法的陳述：“任何生成量(genitum)的瞬，等于生成它的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數及系數并逐項相加”此處所謂“生成量”，即函

31、數概念的雛形牛頓說明這類量的例子有“積、商、根”等，并把它們看成是“變化的和不定的”；生成量的瞬則是指函數的微分因此上述陳述實際上相當于一些微分運算法則原理在創導首末比方法的同時保留了無限小瞬，這種做法常常被認為自相矛盾而引起爭議實際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴格基礎的時機尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創造新算法的同時，堅持對微積分基礎給出不同解釋，說明了他對微積分基礎所存在的困難的深邃洞察和謹慎態度 原理被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”全書從三條基本的力學定律出發，運用微積分工具，嚴格地推導證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內的一系列結論，并且還將微積分應用于流

32、體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數學工具的威力 原理中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發現原理中的絕大多數命題是依靠使用了“新分析法”，然后再“綜合地證明”事實上，我們在前面已經看到，牛頓發明微積分主要是依靠了高度的歸納算法的能力，并沒有多少綜合幾何的背景他1664年參加巴羅主考的三一學院津貼生考試時，因歐氏幾何成績不佳差一點未能通過而幾乎是在同時，他開始研究微積分并在不到一年的時間里就做出了基本發現牛頓后來才重新鉆研了巴羅譯注的幾何原本，彌補了這方面的不足，其結果是原理中的力學綜合體系然而就數學而言，牛頓在原理中給微積分披上

33、的幾何外衣，使他的流數術顯得僵硬呆板固守牛頓的幾何形式，在18世紀阻礙了英國數學的發展 牛頓的科學貢獻是多方面的在數學上，除了微積分，他的代數名著普遍算術，包含了方程論的許多重要成果，如虛數根必成對出現、笛卡兒符號法則的推廣、根與系數的冪和公式等等；他的幾何杰作三次曲線枚舉，首創對三次曲線的整體分類研究，是解析幾何發展新的一頁；在數值分析領域，今天任何一本教程都不能不提到牛頓的名字：牛頓-格里高利公式、牛頓-拉弗森公式、牛頓-斯特林公式；牛頓還是幾何概率的最早研究者牛頓是一位科學巨人，對此，萊布尼茨有過高度的評價：“綜觀有史以來的全部數學，牛頓做了一多半的工作”拉格朗日對牛頓的作用和影響也有過

34、評語，說他是歷史上最有才能的人，也是最幸運的人因為宇宙體系只能被發現一次與這些頌揚相反，牛頓對他的工作有自己謙虛的評價：“我不知道世間把我看成什么樣的人；但是，對我來說，就像一個在海邊玩耍的孩子，有時找到一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到高興，在我面前是完全沒有被發現的真理的大海洋”在尊重他的前輩的成果方面，他曾作過這樣的解釋：“如果我看得更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上”還有一次，當別人問他是怎樣作出自己的科學發現時，他的回答是：“心里總是裝著研究的問題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明!”據他的助手回憶，牛頓往往一天伏案工作18小時左右，并且有超人的集中注意力的能力有幾個

35、有趣的故事，也許不足憑信，說的是他如何聚精會神忘記一切例如，有個故事說，一次他請一些朋友吃晚飯，他離席去拿一瓶酒，可是他跑回房間竟然把取酒這事忘了，而穿上白衣，進了祈禱室另一次，牛頓的朋友斯圖克利博士請他吃雞肉飯牛頓出去了一會兒，但是，桌子上已經放好蓋著的盆子，里面是烹調好的雞肉牛頓忘記吃飯這事，而超過了時間，斯圖克利把雞吃了，然后再把骨頭放在蓋著的盤子里牛頓回來后，發現只剩下骨頭了他說：“親愛的，我竟然忘了我們已經吃了飯”還有一次，他從格蘭瑟姆騎馬回家時，下了馬步行牽著它上城外的斯皮特門山牛頓不知道馬在上山時滑脫了，到了山頂，準備再上馬時，才發現手里只剩下個空韁繩關于牛頓的很多軼事多半是不真

36、實的，人們常把牛頓偶像化加以神話式的宣揚也是不切實際的最突出的例子：英國詩人浦普(Alexander Pope,1688-1747)的詩句：“宇宙和自然的規律隱藏在黑夜里，上帝說：讓牛頓降生吧！一切都變得光明”可能是由于早年經歷所致，牛頓性格沉郁內向，不善在公眾場合表述思想，但這卻并沒有影響他后來出任倫敦造幣局局長和皇家學會會長的任務作為皇家學會會長，他能贏得多數會員的擁護，從1703年起連選連任，領導這個最高學術機構長達四分之一世紀然而，牛頓在事業正處于顛峰的同時卻陷入了唯心主義的泥潭2003年2月在以色列發現的牛頓手稿表明，他曾經花費40多年的時間用來證明上帝的存在，并預言地球將在2060

37、年毀滅 牛頓終身未婚，晚年由外甥女凱瑟琳協助管家牛頓的許多言論、軼聞，就是靠凱瑟琳和她的丈夫康杜德的記錄留傳下來的家喻戶曉的蘋果落地與萬有引力的故事，就是凱瑟琳告訴法國哲學家伏爾泰并被后者寫進牛頓哲學原理一書中 牛頓1727年因患肺炎與痛風而逝世，葬于威斯特敏斯特大教堂當時參加了葬禮的伏爾泰親眼目睹英國的大人物爭抬牛頓的靈柩而無限感嘆劍橋三一學院教堂大廳內立有牛頓全身雕像牛頓去世后，外甥女凱瑟琳夫婦在親屬們圍繞遺產的糾紛中不惜代價保存了牛頓的手稿現存牛頓手稿中，僅數學部分就達5000多頁6.3 萊布尼茨的微積分 在微積分的創立上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽 萊布尼茨(Gottfried Wil

38、helm Leibniz，1646-1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學學習法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學思想1667年獲阿爾特多夫大學法學博士學位，次年開始為緬因茨選帝侯服務，不久被派往巴黎任大使萊布尼茨在巴黎居留了四年(16721676)，這四年對他整個科學生涯的意義，可以與牛頓在家鄉躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎6.3.1 特征三角形 萊布尼茨在巴黎與荷蘭數學家、物理學家惠更斯(C.Huygens)的結識、交往，激發了他對數學的興趣他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作了解并開

39、始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題 與牛頓流數論的運動學背景不同，萊布尼茨創立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經出現帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形據萊布尼茨后來在微積分的歷史和起源中自述，他這項發現正是受到了帕斯卡論文關于四分之一圓的正弦的啟發，他從這篇短文的一個例子中“突然看到一束光明”帕斯卡的“例子”是下述的命題： “圓的一個象限的任何弧的正弦之和，等于界于兩端的兩個正弦之間的底線段乘以半徑” 這里“正弦”是指縱坐標，而在所說的和中，每個縱坐標都要乘以相應的圓

40、的無限小弧而不是乘以底的小段如圖，帕斯卡為了證明他的命題，在四分之一圓上取一點，并過點作一個直角三角形，其斜邊與圓相切于易知與相似，于是： 故有： 令，,則= 帕斯卡將和看成是一些不可分量，將它們相加，便得到相當于下式的結果： 從而 左端可以看成是四分之一圓繞J軸旋轉所成的半球的面積 帕斯卡的論證僅限于這一特例，他本人并未察覺其中所使用的三角形的普遍意義萊布尼茨卻由此看到帕斯卡的方法可以推廣，對任意給定的曲線都可以作這樣的無限小三角形，只要用給定曲線的法線來替代圓半徑，而借助于這樣的無限小三角形，可以“迅速地、毫無困難地建立大量的定理”，這就是萊布尼茨從帕斯卡的工作中看到的“一束光明” 如圖，

41、在給定曲線上點處作特征三角形利用圖示的兩個三角形的相似性得到： 這里，是曲線在點的法線長由上式可得： 求和得： 萊布尼茨當時還沒有微積分的符號，他用語言陳述他的特征三角形導出的第一個重要結果： “由一條曲線的法線形成的圖形，即將這些法線(在圓的情形就是半徑)按縱坐標方向置于軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉而成的立體的面積成正比” 顯然，帕斯卡關于圓的命題只不過是萊布尼茨上述命題的特例萊布尼茨應用特征三角形確實很快發現了他后來才“在巴羅和格里高里的著作中見到的幾乎所有定理”但是如果萊布尼茨就此而止，那么他也不會成為微積分的創立者實際上，他在關于特征三角形的研究中認識到：求曲線的切線依賴于縱

42、坐標的差值與橫坐標的差值當這些差值變成無限小時之比；而求曲線下的面積則依賴于無限小區間上的縱坐標之和(縱坐標之和在這里是指縱坐標乘以無限小區間的長度再相加，因而也相當于寬度為無限小的矩形面積之和)萊布尼茨還看出了這兩類問題的互逆關系他的真正目標，就是要比巴羅等人“更上一層樓”，建立起一種更一般的算法，將以往解決這兩類問題的各種結果和技巧統一起來而他從自己早年關于數的序列的研究中找到了向這一目標挺進的道路6.3.2 分析微積分的建立 早在1666年，萊布尼茨在組合藝術一書中討論過數列問題并得到許多重要結論，例如他考察了平方數序列： 0,1,4,9,16,25,36， 及其一階差 1,3,5,7,

43、9,11, 與二階差 2,2,2,2,2,當時他注意到如果原來的序列是從0開始，那么一階差的和就是原序列的最后一項，并且這里序列的求和運算與求差運算存在著互逆的關系 大約從1672年開始，萊布尼茨將他對數列研究的結果與微積分運算聯系起來借助于笛卡兒解析幾何，萊布尼茨可以把曲線的縱坐標用數值表示出來，并想象一個由無窮多個縱坐標值組成的序列，以及對應的值的序列，而被看作是確定縱坐標序列的次序同時考慮任意兩相繼的值之差的序列萊布尼茨后來在致洛必達(LHospital)的一封信中總結說：這使他發現，“求切線不過是求差，求積不過是求和!” 萊布尼茨首先著眼于求和，并從簡單的情形開始因為表示相鄰兩項的次序

44、，萊布尼茨取序數差為1，設為兩相鄰項的實際差. 萊布尼茨用拉丁文omnia的縮寫omn表示和，則有：omn.= .在的條件下，如圖所示，對于無限小的來說，（矩形的面積）的和等于（三角形的面積）萊布尼茨在這里認為：“從0起增長的直線，每一個用與它相應的增長的元素相乘，組成一個三角形”所以可以寫出： omn. 萊布尼茨后來做了大量工作，艱難地前進，從一串離散值過渡到任意函數的增量在1675年10月29日的一份手稿中，他決定用符號代替omn.，顯然是“sum”的首字母的拉長稍后，在11月11日的手稿中，萊布尼茨又引進了記號表示兩相鄰的值的差，并探索運算與d運算的關系無論如何，到1676年11月，萊布

45、尼茨已經能夠給出冪函數的微分與積分公式： 和 其中不一定是正整數他還著重指出：“這種推理是一般的，而與的序列可能是什么沒有關系”也就是說，也可以是自變量的函數而不是自變量本身這相當于宣稱計算復合函數微分的鏈式法則 1677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理給定一條曲線，其縱坐標為，求該曲線下的面積萊布尼茨假設可以求出一條曲線(他稱之為“割圓曲線”)，其縱坐標為，使得： 即 于是原來曲線下的面積是： ，萊布尼茨通常假設曲線通過原點這就將求積問題化成了反切線問題，即：為了求出在縱坐標為的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標為的曲線，使其切線的斜率為，如果是在區間上，由0,上的面積減去0,

46、上的面積，便得到： 6.3.3 萊布尼茨微積分的發表 以上是根據萊布尼茨手稿中出現的內容來追溯萊布尼茨微積分的起源，這些手稿散亂且難懂大約到17世紀80年代初，萊布尼茨開始總結自己陸續獲得的結果，并將它們整理成文，公諸于眾 1684年萊布尼茨發表了他的第一篇微分學論文一種求極大與極小值和求切線的新方法(簡稱新方法)，刊登在教師學報(Acta Eruditorum)上，這也是數學史上第一篇正式發表的微積分文獻該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號 新方法中明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式. 我們知道，萊布

47、尼茨還得出了復合函數的鏈式微分法則，以及后來又將乘積微分的“萊布尼茨法則”推廣到了高階情形這些都表明萊布尼茨非常重視微積分的形式運算法則和公式系統相比之下，牛頓雖然也發現并運用了這些法則，但卻沒有費心去陳述一般公式，他更大的興趣是微積分方法的直接應用 新方法還包含了微分法在求極大、極小值、求拐點以及光學等方面的廣泛應用其中對光學折射定律的推證特別有意義，萊布尼茨在證完這條定律后，夸耀微分學方法的魔力說：“凡熟悉微分學的人都能像本文這樣魔術般做到的事情，卻曾使其他淵博的學者百思不解” 1686年，萊布尼茨又發表了他的第一篇積分學論文深奧的幾何與不可分量及無限的分析這篇論文初步論述了積分或求積問題

48、與微分或切線問題的互逆關系萊布尼茨分析道：“研究不定求積或其不可能性的方法，對我來說不過是我稱之為反切線方法的更廣泛的問題的特殊情形(并且事實上是比較容易的情形)，而這種反切線方法包括了整個超越幾何的絕大部分” 在這篇積分學論文中，萊布尼茨給出了擺線方程為：目的是要說明他的方法和符號，可以將一些被其他方法排斥的超越曲線表為方程而正是在這篇論文中，積分號第一次出現于印刷出版物上萊布尼茨在引入擺線方程以前還特別對他的微分符號作了一段說明：“我選用和類似的符號而不用特殊字母，因為是的某種變化，并可表示與另一變量之間的超越關系”這種對符號的精心選擇，是萊布尼茨微積分的又一特點他引進的符號d和體現了微分與積分的“差”與“和”的實質，后來獲得普遍接受并沿用至今相對而言，牛頓對符號不太講究，他用帶點字母表示流數，帶撇字表示流量(積分)雖然點記號今天在某些場合仍在使用，但牛頓的積分號則是完全被淘汰了6.3.4 其他數學貢獻 萊布尼茨的博學多才在科學史上罕有所比，其著作涉及數學、力學、機械、地質、邏輯、哲學、法律、外交、神學和語言學等在數學上，他的貢獻也遠不止微積分 萊布尼茨在1666年發表的組合藝術(De Arte Combinatoria)和一些相關的文稿中，提出了符號邏輯的思想，引導了布爾、羅素等人的