1、平面向量中三點共線定理的應用知識梳理（一）、對平面內(nèi)任意的兩個向量 a,b（b O）,a/b 的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使a b由該定理可以得到平面內(nèi)三點共線定理：（二）、三點共線定理：在平面中 A B P 三點共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)特別地有：當點 P 在線段 AB 上時，x 0, y 0當點 P 在線段 AB 之外時，xy 0典例剖析例 1、已知P是 ABC 的邊 BC 上的任一點，且滿足 AP xAB yAC,x.y R， 則14的最小值是_x y分析：Q 點 P 落在VABC的邊 BC 上 B，P,C 三點共線UUU UJUxAB yACx y 1且x0,y0任意一點的 0,

2、存在唯一的一對實數(shù) x,y 使得：UJV uv uuv OP xOA yOB 且uuvOPuvxOAUJVyOB。UUJQ AP1 4（!4）1xyx ypx yy）My 4x2，y 4x4，取等號x y , x yQ x0,y0y0,4x0由基本不等式可知:x y時y 4xx yy24x2y2xQ x 0, y 0 y 2xQ x y 1 x】,y32-符3，符合所以1- 的最小值為 9x y點評：本題把平面三點共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一 起，較綜合考查了學生基本功例 3、 在厶 ABC 中,點 0 是 BC的中點，過點 0 的直線分別交直線 AB AC 于不同uuu

3、的兩點 M N,若AB=值為_ .例 2、在厶 ABC中,uuirAN1 uuur-NC,3uuu uuu 2 uuur點 P 是 BC 上的一點，若AP mAB -AC，則實數(shù) m 的值為(A.9B.11511C.-D.11_21分析：Q B,P, N三占-八、:共uuuuuu2 uuiruuu 2uuiruuu8uuirAPmABACmAB 4 ANmABAN1111118m -11mAM，AC= nAN，貝U m+n 的NM:Q 因為 0 是 BC 的中點，故連接 AQ 如圖 4,由向量加法的平行四邊形法則可uur i uuu uuur知：AO (AB AC)2uuu uuuuUULT

4、uuurQ AB= mAM,AC nANuuu 1 uuuu uur AO (mAM nAN)uuurmuuuunuuurAO AM - AN2 2又QM,O,N三點共線，圖 4由平面內(nèi)三點共線定理可得：m- 1m n 22 2變式、直線 I 過YABCD 的兩條對角線 AC 與 BD 的交點 O,與 AD 邊交于點 N,與 ABuuu uuur的延長線交于點 M 又知AB= mAM,AD=nAN，貝 U m+ n=分析：因為點 0 兩條對角線 AC 與 BD 的交點，所以點 0 為 AC 的中點又Q P,G,Q三點共線，丄丄13x 3yuuu 1 uuu例 5、如圖所示,在平行四邊形 ABC

5、D 中,AE-AB 3uuu r uuur ruiur于 G 點，記AB a，AD b，則AG _uuur i uuu uurAO (AB AD)2uuu _.QAB= mAM,uuur一AD= nANuuur i uuuu uuur AO (mAM nAN ) 2muuuunuuirAM AN又Q M ,O,N三點共線,由平面內(nèi)三點共線的向量式定理可得：2 21m n 2例 4、點G是線設OPxOA,OQyOB，證明：-是定值;xuuu uuuQOP xOAuuu 1 uuu uuur uuuOA OPQOQ yOBxuuu 1 uuuOB -OQyuuir 1 uuu uuuOG3(OAO

6、B)1 1 uuu 1 unr_(_OP -OQ)3 x yuuur 1 uuu 1 uuuOGOP OQ3x 3yuuur 1 uiurAF AD,CE 與 BF 相交4解：Q N,P,B三點共線，由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問題，所以我們很容易聯(lián)想到點 F、G B 以及 E,G,C 三點在一條直線上，可用平面內(nèi)三點共線定理求解使得uuiruuruuirUJlffuiu1ra,3uuur r rAGxAE(1 x)AC,QAE3ABAC a buuir1 rrr2xrrAGx a(1 x)(ab)(1仝)a(1x)b33變式 2、

7、在三角形 ABC 中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1：4,BN 與CM 相交于點P,且AB a，AC b，試用a、b表示AP解：QE,G,C三點共線,由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù) x由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)得HITAGuuuAB (1uur)AFuuu QAFuuirr1 rAGa (1);b2x1由兩式可得:311 x46x -7uuur3r1 rAGab377點評：本題的解法中由兩組三點共線F、G B 以及 E,G,C 三點在一條直線上）又Q F,G,B三點共線,1 uuur i r AD -b ,，4474,uur uuuUULTx,y

8、 使得AP xAB yAN ,x y 1QANAC=1AN1 AC1 bUUUAPUUUxABV UULTACrV, xarr1 xrbxa - b.44444又QC, P,M三點共線， 由平面內(nèi)三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù) 使得UUUTAPa3C.32、平面直角坐標系中，0 為坐標原點，已知兩點 A(3,1),B(-1,3),若點 C(x, y)滿足UULTUUUUUU,亠OC=aOA+BOB，其中a,沃 R 且a+ 3=1，則 x, y 所滿足的關(guān)系式為()1/ AM : AB=1 : 3AM -1AB -a33UUUUUUUUULT13xx由兩式可得：3111 x2411UUU3

9、r2rAPab1111練習：1.OAB，點P在邊AB上,UUU則OP()1T2rA. a bB33UUUABUUU3AP，UUU設OATUULTa,OB2r1rab33B3已知P是 ABC 的邊 BC 上的任一點，且滿足 AP xAB yAC,x.y R，則14的最小值是_x y?于點 F。已知AB = a, AD = b,則OF二()是 BC、CD 的中點，DE 交 AF 于 H，記 AB、BC 分別為 a、b，則 AH =（）24242424A. 5a- 4b B.5a+ 5bC. - 5a+ 5bD.-5a56（ 2008 年廣東卷）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O,E是線段O

10、D的中點,uuurF若ACUULTUUUa，BD b，貝y AFA11 ,21 ,11 ,12,A. abB.abC. - abD. - ab42332433AE的延長線與CD交于點()4、在平行四邊形 ABCD 中, O 是對角線 AC 與 BD 的交點,E 是 BC 邊的中點，連接DE 交 AC1 1 1A.3a+6bB-4(a+ b)C.1(a+ b)6D.-a+-b645、 （2014 屆東江中學高三年級理科第三次段考）在平行四邊形 ABCD 中，E、F 分別uur7、在平行四邊形 ABCD 中，AE2 2A . 3x+2y-1 仁 0B . (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0D . x+2y-5=01 UUU UUU 1 UULT3AB，AF1AD，CE與BF相交于點G記AB aUULT則U