1、典型的混沌系統11.1一維混沌系統1格.1.1Logistic映射1格.1.2Chebyshev映射2格.1.3Logistic映射與Chebyshev映射3格.1.4概率密度函數PDF的作用31.2二維混沌系統（超混沌系統）3格.2.1Henon映射4典型的混沌系統類隨機的過程，這種過程既非周期又不混沌現象是在非線性動力系統中表現的確定性、收斂，并且對于初始值具有敏感的依賴性。按照動力學系統的性質，混沌可以分成四種類型:?時間混沌；?空間混沌；?時空混沌；?功能混沌；1.1一維混沌系統一個一維離散時間非線性動力學系統定義如下：Xk1（Xk）其中，XkV,k=0,1,2,3;我們稱之為狀態。而

2、：VV是一個映射，將當前狀態xk映射到下一個狀態xk+1。如果我們從一個初始值X0開始，反復應用，就得到一個序列xk;k=0,1,2,3。.撻一序列稱為該離散時間動力系統的一條軌跡。原始的蟲口模型方程是（37文）：Xk1axk體現了兩代蟲子的數量關系。將此方程推導一下，可以得到如下方程:XkakXo可以得到第n代蟲子和第0代蟲子的數量關系。但是，從中不能表現自然的蟲子變換關系，因為蟲子的增長變化不是恒定的（考慮到很多負面影響，如蟲子太多時，由于食物有限和生存空間有限，還由于疾病等多種原因，使得蟲口數量減少），所以這個線性模型完全不能反映蟲口的變化規律。§1.1.1Logistic映身

3、一類非常簡單卻被廣泛研究的動力系統是logistic映射，它起源于蟲口模型。其定義有多種形式。1.形式一xk1xk(1xk)其中，混沌域為(0,1),0當3.5699456<4時,映射的作用下所產生的序列的。4稱為分枝參數，xk(0,1)。混沌動力系統的研究工作指出，logistic映射工作于混沌態。也就是說，由初始條件x0在logisticxk;k=0,1,2,3是非周期的、不收斂的并對初始值非常敏感在=4的情況下，即Logistic-Map映射，其所生成序列的概率密度函數PDF(probabilitydensityfunction):一10x1.一x(1x)0else表明此系統產生的

4、混沌序列具有遍歷性，并且它產生序列的PDF與初始值無關，這為將混沌序列作為密鑰置換網絡的映射函數提供了理論支持。2.形式二xk11x：其中0,2,混沌域為-1,1。當(1.40115,2)時，Logistic映射工作處于混沌狀態。(34文)；當C(1.5437,2)時，Logistic映射工作處于混沌狀態。(35文)(具體看從拋物線談起)在=2的滿射情況下，其所生成序列的概率密度函數PDF:12、1x2elsexk1xk2xk當(3.5699,4)時，Logistic映射工作處于混沌狀態。隨機性比較好。(37文)在=4的滿射情況下，其所生成序列的概率密度函數接近4的范圍內生長的混沌序列的PDF

5、:(43文)else§1.1.2Chebyshev映射Chebyshev映射，以階數為參數。k階Chebyshev映射定義如下:xk1cos(n(cos1xk)0其中xk的定義區間是(-1,1)。§1.1.3Logistic映射與Chebyshev映射Chebyshev映射是拓撲共軸的，它們上述第二類Logistic映射在=2的滿射條件下，與生成序列的概率分布函數PDF也是相同的：else§1.1.4概率密度函數PDF的作用logistic映射所產生的混沌序列的一些很有意義通過（x）,我們可以很容易地計算得到的統計特性。例如，x的時間平均即混沌序列軌跡點的均值是:

6、N1xi1xlimNNi01ox(x)dx0例如，關于相關函數，獨立選取兩個初始值1N1lim（xiNNi/11c(l)X0和y0x)(y(ii),則序列的互相關函數為:y)00(x,y)(xx)(l(y)y)dxdy0ACF(auto-correlationfunctions)則等于delta函數(l)。這正是例如，序列的自相關函數我們所需要的。注意，聯合概率密度函數Logistic序列的以上特性表明，盡管混沌動力系統具有確定性，其遍歷統計特性等同于白噪聲，其具有形式簡單，初始條件的敏感性和具備白噪聲的統計特性等諸多特性。pdf:(x,y)=(x)(y)。1.2二維混沌系統（超混沌系統）一維

7、離散混沌系統，具有形式簡單、產生混沌序列時間短等優點，但其缺點是密鑰空間太小。用二維超混沌系統生成的混沌序列，變換成加密因子序列。Lyapunov指數（簡稱李氏指數），是刻畫非線性系統混沌特性的有效方法之一，李氏指數的個數與系統狀態空間的維數n相同。如果只有一個李氏指數大于零，則系統是混沌的；若至少有兩個李氏指數大于零，則系統是超混沌的。大于零的李氏指數越多，系統不穩定的程度越高。一般來說，系統的狀態量個數越多（如高維系統，對離散系統來說，n>2）,它可能出現不穩定的程度越高。不失一般性，二維混沌離散系統有如下形式：xn12asYnaexnYn2a1yna12xnynyn1f2(xn,y

8、n)2-其中f(xn,yn)a1a2xna3xna4ynf2(xn,yn)a7&8x”&9乂2ayn式中a(i=1,2，12)式均為待定常系數。采用高維系統產生超混沌，由于系統比低維情況復雜，產生超混沌時序的時間增長，將有可能直接影響保密通訊實時性的要求。因此，如何在系統狀態變量個數盡可能少而正性李氏指數又盡可能多的條件下，尋找到非線性形式簡單的系統，是十分實際而又有意義的工作。為了尋找簡單形式餓二維離散超混沌系統，需要進一步簡化：fl(Xn,Yn)f2(Xn,yn)2aia2Xna3Xna4Yn2a?asXnagXnaoYn2asYna6XnYn2aiiYnai2XnYn使部

9、分非線性項前面的系數為零，然后通過計算該系統的李氏指數，即有兩個或兩個以上大于零的李氏指數，可認為該系統是超混沌特性的二維離散系統。通過計算，得到一些形式簡單且具有超混沌特性的二維離散系統，如下表：系統序號二維離散方程參數值LYapunov指數12Xn1a4YnasYnYn1a8XnaoYna4=1.55a5=-1.3a8=-1.1a10=0.10,2380.16622Xn1asYnYn1a?a8XnaoYna5=1.3a7=-1.05a8=1.15a10=-0.20.2110.0463Xn1a2Xna4Yn2Yn1a7a9Xna10Yna2=-0.95a4=1.55a7=-0.45a9=2.4a10=1.050.3020.2404Xn1a4Yna6XnYnYn1a?a8Xna1oY