1、第十一章 期權定價模型【學習目標】本章是期權部分的重點內容之一。本章主要介紹了著名的Black-Scholes期權定價模型和由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹模型，并對其經濟理解和應用進行了進一步的講解。學習完本章，讀者應能掌握Black-Scholes期權定價公式及其基本運用，掌握運用二叉樹模型為期權進行定價的基本方法。自從期權交易產生以來，尤其是股票期權交易產生以來，學者們即一直致力于對期權定價問題的探討。1973年，美國芝加哥大學教授 Fischer Black和Myron Scholes發表期權定價與公司負債 Black, F., and Sch

2、oles (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, 81( May-June), p. 637-659一文，提出了著名的Black-Scholes期權定價模型，在學術界和實務界引起強烈的反響，Scholes并由此獲得2021年的諾貝爾經濟學獎。在他們之后，其他各種期權定價模型也紛紛被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹模型。在本章中，我們將介紹以上這兩個期權定價模型，并對其進行相應的分析和探討

3、 從本書難度的設定出發，本章只介紹期權定價模型的基本內容及其理解，而不具體推導模型，更深入的內容可參見鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 第六章。第一節 Black-Scholes期權定價模型一、Black-Scholes期權定價模型的假設條件Black-Scholes期權定價模型的七個假設條件如下：1. 期權標的資產為一風險資產（Black-Scholes期權定價模型中為股票），當前時刻市場價格為S。S遵循幾何布朗運動 有關股票價格及其衍生證券所遵循的隨機過程的詳細信息，可參見鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115頁-121頁，即 其中，為

4、股票價格瞬時變化值，為極短瞬間的時間變化值，為均值為零，方差為的無窮小的隨機變化值（，稱為標準布朗運動，代表從標準正態分布（即均值為0、標準差為1.0的正態分布）中取的一個隨機值），為股票價格在單位時間內的期望收益率（以連續復利表示），則是股票價格的波動率，即證券收益率在單位時間內的標準差。和都是已知的。簡單地分析幾何布朗運動，意味著股票價格在短時期內的變動（即收益）來源于兩個方面：一是單位時間內已知的一個收益率變化，被稱為漂移率，可以被看成一個總體的變化趨勢；二是隨機波動項，即，可以看作隨機波動使得股票價格變動偏離總體趨勢的部分。2在期權有效期內，標的資產沒有現金收益支付。綜合1和2，意味著

5、標的資產價格的變動是連續而均勻的，不存在突然的跳躍。3. 沒有交易費用和稅收，不考慮保證金問題，即不存在影響收益的任何外部因素。綜合2和3，意味著投資者的收益僅來源于價格的變動，而沒有其他影響因素。4. 該標的資產可以被自由地買賣，即允許賣空，且所有證券都是完全可分的。5. 在期權有效期內，無風險利率為常數，投資者可以此利率無限制地進行借貸。6期權為歐式看漲期權，其執行價格為，當前時刻為，到期時刻為。7不存在無風險套利機會。二、Black-Scholes期權定價模型（一）Black-Scholes期權定價公式在上述假設條件的基礎上，Black和Scholes得到了如下適用于無收益資產歐式看漲期

6、權的一個微分方程： （11.1）其中f為期權價格，其他參數符號的意義同前。通過解這個微分方程，Black和Scholes得到了如下適用于無收益資產歐式看漲期權的定價公式： （11.2）其中，c為無收益資產歐式看漲期權價格；N（x）為標準正態分布變量的累計概率分布函數（即這個變量小于x的概率），根據標準正態分布函數特性，我們有。（二）Black-Scholes期權定價公式的理解1.期權價格的影響因素首先，讓我們將Black-Scholes期權定價公式與第十章中分析的期權價格的影響因素聯系起來。在第十章中，我們已經得知期權價格的影響因素包括：標的資產市場價格、執行價格、波動率、無風險利率、到期時間

7、和現金收益。在式（11.2）中，除了由于我們假設標的資產無現金收益之外，其他幾個參數都包括在內，且影響方向與前文分析的一致。2.風險中性定價原理其次我們要談到一個對于衍生產品定價非常重要的原理：風險中性定價原理。觀察式（11.2），以及第十章中的期權價格影響因素分析，我們可以注意到期權價格是與標的資產的預期收益率無關的。即在第一節我們描述標的資產價格所遵循的幾何布朗運動時曾經出現過的預期收益率在期權定價公式中消失了。這對于尋求期權定價的人們來說無疑是一個很大的好消息。因為迄今為止，人們仍然沒有找到計算證券預期收益率的確定方法。期權價格與的無關性，顯然大大降低了期權定價的難度和不確定性。進一步考

8、慮，受制于主觀風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在期權的價值決定公式中，公式中出現的變量為標的證券當前市價（S）、執行價格（X）、時間（t）、證券價格的波動率（）和無風險利率，它們全都是客觀變量，獨立于主觀變量風險收益偏好。既然主觀風險偏好對期權價格沒有影響，這使得我們可以利用Black-Scholes期權定價模型所揭示的期權價格的這一特性，作出一個可以大大簡化我們工作的簡單假設：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。在所有投資者都是風險中性的條件下（有時我們稱之為進入了一個“風險中性世界”），所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率r，這是因為風險中性的投資者并不需要額外的收益

9、來吸引他們承擔風險。同樣，在風險中性條件下，所有現金流量都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。這就是風險中性定價原理。應該注意的是，風險中性假定僅僅是一個人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。為了更好地理解風險中性定價原理，我們可以舉一個簡單的例子來說明。假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。現在我們要找出一份3個月期協議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價值。由于歐式期權不會提前執行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權價值為0.5

10、元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權價值為0。為了找出該期權的價值，我們可構建一個由一單位看漲期權空頭和單位的標的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于（110.5）元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風險狀態，我們應選擇適當的值，使3個月后該組合的價值不變，這意味著：110.5=9=0.25因此，一個無風險組合應包括一份看漲期權空頭和0.25股標的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。在沒有套利機會情況下，無風險組合只能獲得無風險利率。假設現在的無風險年利率等于10%，則該組合

11、的現值應為：由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此：這就是說，該看漲期權的價值應為0.31元，否則就會存在無風險套利機會。從該例子可以看出，在確定期權價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風險中性世界中，無風險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：P=62.66%。又如，如果在現實世界中股票的預期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：P=69.11%。可見，投資者厭惡風險程度決定了股

12、票的預期收益率，而股票的預期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權的價值都等于0.31元。3. 對期權定價公式的經濟理解。首先，從Black-Scholes期權定價模型自身的求解過程來看 Black-Scholes期權定價模型的具體推導過程參見鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115頁-133頁，N(d2)實際上是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權被執行的概率，因此，e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現值，更樸素地說，可以看成期權可能帶來的收入現值。SN(d1)= e

13、-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現值，可以看成期權持有者將來可能支付的價格的現值。因此整個歐式看漲期權公式就可以被看作期權未來期望回報的現值。其次，顯然反映了標的資產變動一個很小的單位時，期權價格的變化量；或者說，如果要避免標的資產價格變化給期權價格帶來的影響，一個單位的看漲期權多頭，就需要單位的標的資產空頭加以保值。事實上，我們在第十二章中將看到，是復制交易策略中股票的數量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成資產或無價值看漲期權（Asset-or-noting ca

14、ll option）多頭和現金或無價值看漲期權（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產或無價值看漲期權的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現金或無價值看漲期權空頭的價值。這是因為，對于一個資產或無價值看漲期權來說，如果標的資產價格在到期時低于執行價格，該期權沒有價值；如果高于執行價格，則該期權支付一個等于資產價格本身的金額，根據前文對N(d2)和SN(d1)的分析，可以得出該期權的價值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)的結論；同樣，對于（標準）現金或無價值看漲期權，如果標的資產價格在到期時低于執行價格，該期權沒有價值；如果高于執行價格，則該

15、期權支付1元， 由于期權到期時價格超過執行價格的概率為N(d2)，則1份現金或無價值看漲期權的現值為-e-r(T-t) N(d2)。（三）Black-Scholes期權定價公式的拓展1.無收益資產歐式看跌期權的定價公式Black-Scholes期權定價模型給出的是無收益資產歐式看漲期權的定價公式，根據歐式看漲期權和看跌期權之間的平價關系，可以得到無收益資產歐式看跌期權的定價公式： （11.3）2. 無收益資產美式期權的定價公式在標的資產無收益情況下，由于C=c，因此式（11.2）也給出了無收益資產美式看漲期權的價值。由于美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的平價關系，因此美式看跌期權的定價還沒

16、有得到一個精確的解析公式，但可以用數值方法以及解析近似方法求出。3. 有收益資產期權的定價公式到現在為止，我們一直假設期權的標的資產沒有現金收益。那么，對于有收益資產，其期權定價公式是什么呢？實際上，如果收益可以準確地預測到，或者說是已知的，那么有收益資產的歐式期權定價并不復雜。在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權有效期內已知現金收益的現值部分和一個有風險部分。當期權到期時，這部分現值將由于標的資產支付現金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風險部分的證券價格。表示風險部分遵循隨機過程的波動率從理論上說,風險部分的波動率并不完全等于整個證券價格的的波動率,有風險部分的波動

17、率近似等于整個證券價格波動率乘以S/(SV)，這里V是紅利現值。但在本書中，為了方便起見，我們假設兩者是相等的。，就可直接套用公式（11.2）和（11.3）分別計算出有收益資產的歐式看漲期權和看跌期權的價值。當標的證券已知收益的現值為I時，我們只要用（SI）代替式（11.2）和（11.3）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。當標的證券的收益為按連續復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付連續復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格。在各種期權中，股票指數期權、外匯期權和期貨期權的標的資產可以看作支付連續紅利率，因而它們適

18、用于這一定價公式。具體的內容，我們將在第十三章深入闡述。另外，對于有收益資產的美式期權，由于有提前執行的可能，我們無法得到精確的解析解，仍然需要用數值方法以及解析近似方法求出。三、Black-Scholes期權定價公式的計算（一） Black-Scholes期權定價模型的參數我們已經知道，Black-Scholes期權定價模型中的期權價格取決于下列五個參數：標的資產市場價格、執行價格、到期期限、無風險利率和標的資產價格波動率（即標的資產收益率的標準差）。在這些參數當中，前三個都是很容易獲得的確定數值。但是無風險利率和標的資產價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。1. 估計無風險利率在發達的

19、金融市場上，很容易獲得對無風險利率的估計值。但是在實際應用的時候仍然需要注意幾個問題。首先，我們需要選擇正確的利率。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風險利率的估計值。由于美國國庫券所報出的利率通常為貼現率（即利息占票面價值的比例），因此需要轉化為通常的利率，并且用連續復利的方式表達出來，才可以在Black-Scholes公式中應用。其次，要小心地選擇國庫券的到期日。如果利率期限結構曲線傾斜嚴重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權到期日最近的那個國庫券的利率作為無風險利率。我們用一個例子來說明無風險利率的計算。假設一個還有84天到期的國庫券，其買入報價為8

20、.83，賣出報價為8.77。由于短期國庫券市場報價為貼現率，我們可以推算出其中間報價對應的現金價格（面值為100美元）為進一步應用連續復利利率的計算公式得到相應的利率：2. 估計標的資產價格的波動率估計標的資產價格的波動率要比估計無風險利率困難得多，也更為重要。正如第十章所述，估計標的資產價格波動率有兩種方法：歷史波動率和隱含波動率。（1） 歷史波動率所謂歷史波動率就是從標的資產價格的歷史數據中計算出價格收益率的標準差。以股票價格為例，表11-1列出了計算股票價格波動率的一個簡單說明。很顯然，計算波動率的時候，我們運用了統計學中計算樣本均值和標準差的簡單方法。其中，為股票價格百分比收益率，（或

21、者為）則為連續復利收益率（估計）均值，（或者）則是連續復利收益率（估計）方差，就是相應的（估計）標準差（波動率），即Black-Scholes公式計算時所用的參數。在表11-1中，共有11天的收盤價信息，因此得到10個收益率信息。表11-1 歷史波動率計算天數0100.001101.501.01500.01490.000154298.000.9655-0.03510.001410396.750.9872-0.01280.0002344100.501.03880.03800.0012645101.001.00500.00500.0000066103.251.02230.02200.0003827

22、105.001.01690.01680.0002058102.750.9786-0.02170.0005829103.001.00240.00240.00000010102.500.9951-0.00490.000053總計0.02470.004294樣本均值樣本方差樣本標準差在Black-Scholes公式所用的參數中，有三個參數與時間有關：到期期限、無風險利率和波動率。值得注意的是，這三個參數的時間單位必須相同，或者同為天、周，或者同為年。年是經常被用到的時間單位，因此，我們常常需要將諸如表11-1中得到的天波動率轉化為年波動率。在考慮年波動率時，有一個問題需要加以重視：一年的天數究竟按照

23、日歷天數還是按照交易天數計算。一般認為，證券價格的波動主要來自交易日。因此，在轉換年波動率時，應該按照一年252個交易日進行計算。這樣，表11-1中計算得到的天波動率相應的年波動率為。在我們的例子中，我們使用的是10天的歷史數據。在實際計算時，這個天數的選擇往往很不容易。從統計的角度來看，時間越長，數據越多，獲得的精確度一般越高。但是，資產價格收益率的波動率卻又常常隨時間而變化，太長的時間段反而可能降低波動率的精確度。因此，計算波動率時，要注意選取距離今天較近的時間，一般的經驗法則是設定度量波動率的時期等于期權的到期期限。因此，如果要為9個月的期權定價，可使用9個月的歷史數據。（2）隱含波動率

24、從Black-Scholes期權定價模型本身來說，公式中的波動率指的是未來的波動率數據，這使得歷史波動率始終存在著較大的缺陷。為了回避這一缺陷，一些學者將目光轉向隱含波動率的計算。所謂的隱含波動率，即根據Black-Scholes期權定價公式，將公式中除了波動率以外的參數和市場上的期權報價代入，計算得到的波動率數據。顯然，這里計算得到的波動率可以看作是市場對未來波動率的預期。當然，由于Black-Scholes期權定價公式比較復雜，隱含波動率的計算一般需要通過計算機完成。（二）Black-Scholes期權定價公式的計算：一個例子為了使讀者進一步理解Black-Scholes期權定價模型，我們

25、下面用一個簡單的例子，來說明這一模型的計算過程。例11.1假設某種不支付紅利股票的市價為50元，無風險利率為12%，該股票的年波動率為10%，求該股票協議價格為50元、期限1年的歐式看漲期權和看跌期權價格。在本題中，可以將相關參數表達如下：S50，X50，r=0.12,=0.1,T=1, 計算過程可分為三步：第一步，先算出和。 第二步，計算和。 第三步，上述結果及已知條件代入公式（11.2），這樣，歐式看漲期權和看跌期權價格分別為： 在本例中，標的資產執行價格和市場價格正好相等，但是看漲期權的價格卻與看跌期權的價格相差懸殊。其中的原因在于利率和到期期限對期權價格的影響。在本例中，利率高達12%

26、，到期期限長達一年。在這種情況下，執行價格的現值將大大降低。對于歐式看漲期權來說，這意味著內在價值的大幅上升；而對歐式看跌期權來說，卻意味著內在價值的大幅降低。因此，在計算了執行價格的現值以后，看漲期權是實值期權而看跌期權則是一個虛值期權。事實上，由于實際中的市場短期利率通常較低，期權到期期限一般不超過9個月，因此如果標的資產市場價格與執行價格相等，同樣條件下的看漲期權價格和看跌期權價格一般比較接近。四、Black-Scholes期權定價公式的精確度實證要求證Black-Scholes期權定價公式的精確度，我們可以運用Black-Scholes期權定價公式計算出期權價格的理論值，然后與市場上的

27、期權價格進行比較。如果兩者不存在顯著的差別，那么這個定價公式的精度應該是令人滿意的。從總的實證研究結果來看，Black-Scholes期權定價公式存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權價格動態的最佳模型之一。與CAPM解釋股票價格差異的能力相比，Black-Scholes期權定價公式可以較好地解釋期權的價格差異。這也正是Scholes得以獲得2021年諾貝爾經濟學獎的重要原因。一般認為，造成用Black-Scholes期權定價公式估計的期權價格與市場價格存在差異的原因主要有以下幾個：1. 計算錯誤；2. 期權市場價格偏離均衡；3. 使用的錯誤的參數；4. Black-Scholes期權定價公

28、式建立在眾多假定的基礎上。五、Black-Scholes期權定價公式的應用Black-Scholes期權定價公式除了可以用來估計期權價格，在其它一些方面也有重要的應用。主要包括評估組合保險成本、給可轉換債券定價和為認股權證估值。（一）評估組合保險成本證券組合保險是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關資產的同時買入看跌期權就是一種組合保險。假設你掌管著價值1億的股票投資組合，這個股票投資組合于市場組合十分類似。你擔心類似于1987年10月19日的股災會吞噬你的股票組合，這時購買一份看跌期權也許是合理的。顯然，期權的執行價格越低，組合保險的成本越小，不過也許我們需要一個確切的評估，市場

29、上可能根本就沒有對應的期權，要準確估算成本十分困難，此時Black-Scholes期權定價公式就十分有用。比如也許10的損失是可以接受的，那么執行價格就可以設為9000萬，然后再將利率、波動率和保值期限的數據代進公式，就可以合理估算保值成本。（二）給可轉換債券定價可轉換債券是一種可由債券持有者轉換成股票的債券，因此可轉換債券相當于一份普通的公司債券和一份看漲期權的組合。即其中表示可轉換債券的價值，代表從可轉換債券中剝離出來的債券的價值，代表從可轉換債券中剝離出來的期權的價值。在實際中的估計是十分復雜的，因為對利率非常敏感，而布萊克_舒爾斯期權定價公式假定無風險利率不變，對顯然不適用。其次，從可

30、轉換債券中隱含的期權的執行與否會因為股票股利和債券利息的問題復雜化。第三，許多可轉換債券的轉換比例會隨時間變化。還有就是絕大多數可轉換債券是可贖回的。可贖回債券的分解更加復雜。對債券持有者而言，它相當于一份普通的公司債券、一份看漲期權多頭（轉換權）和一份看漲期權空頭（贖回權）的組合。可贖回的可轉換債券對股票價格變動很敏感，而且對利率也非常敏感。當利率下降的時候，公司可能會選擇贖回債券。當然，利率上升的時候債券價值也會上升。（三）為認股權證估值認股權證通常是與債券或優先股一起發行的，它的持有人擁有在特定時間以特定價格認購一定數量的普通股，因此認股權證其實是一份看漲期權，不過兩者之間還是存在細微的

31、差別，看漲期權執行的時候，發行股票的公司并不會受到影響，而認股權證的執行將導致公司發行更多的股票，因此，認股權證的執行存在稀釋效應，在估值的時候必須考慮這一點。第二節 二叉樹模型Black-Scholes模型的提出，對期權定價的研究而言，是一個開創性的研究。然而，由于該模型涉及到比較復雜的數學問題，對大多數人而言較難理解和操作。1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人發表期權定價：一種被簡化的方法 J. Cox, J., Ross, S., and Rubinstein: Option Pricing (1979) “a Simplified Approach”

32、, Journal of Financial Economics, September, p.7一文，用一種比較淺顯的方法導出了期權定價模型，這一模型被稱為“二叉樹模型（the Binomial Model）”或“二叉樹模型”，是期權數值定價方法的一種。二叉樹模型的優點在于其比較簡單直觀，不需要太多的數學知識就可以加以應用。同時，它不僅可以為歐式期權定價，而且可以為美式期權定價；不僅可以為無收益資產定價，而且可以為有收益資產定價，應用相當廣泛，目前已經成為金融界最基本的期權定價方法之一。一、二叉樹模型的基本方法我們從簡單的無收益資產期權的定價開始講解二叉樹模型，之后再逐步加以擴展。二叉樹模型首

33、先把期權的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設在每一個時間間隔內證券價格只有兩種運動的可能：從開始的上升到原先的倍，即到達；下降到原先的倍，即。其中，如圖11.1所示。價格上升的概率假設為，下降的概率假設為。SSuSdq1-q圖11.1 時間內資產價格的變動相應地，期權價值也會有所不同，分別為和。注意，在較大的時間間隔內，這種二值運動的假設當然不符合實際，但是當時間間隔非常小的時候，比如在每個瞬間，資產價格只有這兩個運動方向的假設是可以接受的。因此，二叉樹模型實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續的資產價格運動。（一）單步二叉樹模型運用單步二叉樹為期權定價，可以有兩種方法：無套利方法和

34、風險中性定價方法。1.無套利定價法由于期權和標的資產的風險源是相同的，在如圖11.1的單步二叉樹中，我們可以構造一個證券組合，包括股資產多頭和一個看漲期權空頭。如果我們取適當的值，使則無論資產價格是上升還是下跌，這個組合的價值都是相等的。也就是說，當時，無論股票價格上升還是下跌，該組合的價值都相等。顯然，該組合為無風險組合，因此我們可以用無風險利率對貼現來求該組合的現值。在無套利機會的假設下，該組合的收益現值應等于構造該組合的成本，即將代入上式就可得到：（11.4）2.風險中性定價法在第一節中我們已經探討過，期權定價可以在風險中性世界中進行，同樣，我們也可以在二叉樹模型中應用風險中性定價原理，

35、確定參數、和，從而為期權定價。這是二叉樹定價的一般方法。在風險中性世界里：（1） 所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；（2） 未來現金流可以用其期望值按無風險利率貼現。在風險中性的條件下，標的證券的預期收益率應等于無風險利率，因此若期初的證券價格為，則在很短的時間間隔末的證券價格期望值應為。因此，參數、和的值必須滿足這個要求，即： (11.5)二叉樹模型也假設證券價格遵循幾何布朗運動，那么在一個小時間段內證券價格變化的方差是 遵循幾何布朗運動意味著股票價格符合對數正態分布，因而可以得到這一關于股票價格方差的結論。具體內容可參見鄭振龍. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 11

36、5頁-133頁。根據方差的定義，變量的方差等于，因此： (11.6)式（11.4）和(11.5)給出了計算、和的兩個條件。第三個條件的設定則可以有所不同， Cox、Ross和Rubinstein所用的條件 這是二叉樹模型中最常用的第三個條件，后文我們將會談到對第三個條件的其他設定方法。是： （11.7）從以上三個條件求得，當很小時： （11.8） （11.9） （11.10）從而 （11.11）比較以上兩種方法，我們可以看到，無套利定價法和風險中性定價法實際上具有內在一致性。在無套利定價過程中，我們并沒有考慮資產價格上升和下降的實際概率，由于資產預期收益率等于不同情況下收益率以概率為權重的加權

37、平均值，在無套利定價法下無需考慮概率就意味著資產預期收益具有無關性，這正好符合風險中性的概念。其次，如果將式（11.8）代入（11.4），最后的期權公式（11.4）和（11.11）實際上是完全相同的。那么要如何理解公式（11.11）中的概率呢？這里的概率實際上是風險中性世界中的概率而非實際的概率，因此資產的預期收益率仍然對期權定價是無關的。一般來說，在運用二叉樹方法時，風險中性定價是常用的方法，而無套利定價法則主要是提供了一種定價思想。（二）多步二叉樹模型：證券價格的樹型結構以上所述的單步二叉樹模型雖然比較簡單，但已包含著二叉樹定價模型的基本原理和方法。因此，可以進一步拓展到多步二叉樹模型。應

38、用多步二叉樹模型來表示證券價格變化的完整樹型結構如圖11.2所示。圖11.2 資產價格的樹型結構當時間為0時，證券價格為。時間為時，證券價格要么上漲到，要么下降到；時間為2時，證券價格就有三種可能：、（等于）和，以此類推。一般而言，在時刻，證券價格有種可能，它們可用符號表示為： 其中注意：由于，使得許多結點是重合的，從而大大簡化了樹圖。（三）倒推定價法得到每個結點的資產價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結構圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權定價。由于在到期時刻的預期期權價值是已知的，例如看漲期權價值為，看跌期權價值為，因此在風險中性條件下在求解時刻的每一結點上的期權價值時，都

39、可通過將時刻的期權價值的預期值在時間長度內以無風險利率貼現求出。同理，要求解時的每一結點的期權價值時，也可以將時的期權價值預期值在時間內以無風險利率r貼現求出。依此類推。采用這種倒推法，最終可以求出零時刻（當前時刻）的期權價值。以上是歐式期權的情況，如果是美式期權，就要在樹型結構的每一個結點上，比較在本時刻提前執行期權和繼續再持有時間，到下一個時刻再執行期權，選擇其中較大者作為本結點的期權價值。例11.2假設標的資產為不付紅利股票,其當前市場價為50元,波動率為每年40%，無風險連續復利年利率為10%，該股票5個月期的美式看跌期權協議價格為50元，求該期權的價值。為了構造二叉樹，我們把期權有效

40、期分為五段，每段一個月（等于0.0833年）。根據式（11.8）到（11.10），可以算出：據此我們可以畫出該股票在期權有效期內的樹型圖，如圖11.3所示。在每個結點處有兩個值，上面一個表示股票價格，下面一個表示期權價值。股價上漲概率總是等于0.5076，下降概率總是等于0.4924。在時刻，股票在第個結點（）的價格等于。例如，F結點（）的股價等于。在最后那些結點處，期權價值等于。例如，G結點（）的期權價格等于5035.36=14.64。圖11.3 不付紅利股票美式看跌期權二叉樹從最后一列結點處的期權價值可以計算出倒數第二列結點的期權價值。首先，我們假定在這些結點處期權沒被提前執行。這意味著所

41、計算的期權價值是時間內期權價值期望值的現值。例如，E結點（）處的期權價值等于：而F結點處的期權價值等于：然后，我們要檢查提前執行期權是否較有利。在E結點，提前執行將使期權價值為0，因為股票市價和協議價格都等于50，顯然不應提前執行。因此E結點的期權價值應為2.66元。而在F結點，如果提前執行，期權價值等于50.0039.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股價到達F結點，就應提前執行期權，從而F結點上的期權價值應為10.31元，而不是9.90元。用相同的方法我們可以算出各結點處的期權價值，并最終倒推算出初始結點處的期權價值為4.48元。如果我們把期權有效期分成更多小時段，結

42、點數會更多，計算會更復雜，但得出的期權價值會更精確。當非常小時，期權價值將等于4.29元。（四）二叉樹方法的一般定價過程下面我們給出用數學符號表示的二叉樹期權定價方法，仍然舉無收益證券的美式看跌期權為例。假設把該期權有效期劃分成N個長度為的小區間，令表示在時間時第j個結點處的美式看跌期權的價值，我們將稱為結點的期權價值。同時用表示結點處的證券價格。由于美式看跌期權在到期時的價值是，所以有：，其中當時間從變為時，從結點移動到結點的概率為，移動到的概率為。假定期權不被提前執行，則在風險中性條件下：其中。如果考慮提前執行的可能性的話，式中的必須與期權的內在價值比較，由此可得：按這種倒推法計算，當時間

43、區間的劃分趨于無窮大，或者說當每一區間趨于0時，就可以求出美式看跌期權的準確價值。根據實踐經驗，一般將時間區間分成30步就可得到較為理想的結果。二、基本二叉樹方法的擴展（一）有紅利資產期權的定價1.支付連續紅利率資產的期權定價當標的資產支付連續收益率為的紅利時，在風險中性條件下，證券價格的增長率應該為，因此式（11.5）就變為：同時，式（11.8）變為： （11.12）式（11.9）和（11.10）仍然適用。顯然，這一方法適用于支付連續紅利率的股價指數期權、外匯期權和期貨期權，第十三章將更具體地討論這些期權的定價方法。2.支付已知紅利率資產的期權定價若標的資產在未來某一確定時間將支付已知紅利率

44、（紅利與資產價格之比），我們只要調整在各個結點上的證券價格，就可算出期權價格。調整方法如下：如果時刻在除權日之前，則結點處證券價格仍為：如果時刻在除權日之后，則結點處證券價格相應調整為： 對在期權有效期內有多個已知紅利率的情況，也可進行同樣處理。若為0時刻到時刻之間所有除權日的總紅利支付率，則時刻結點的相應的證券價格為：3. 已知紅利額若標的資產在未來某一確定日期將支付一個確定數額的紅利而不是一個確定的比率，則除權后二叉樹的分支將不再重合，這意味著所要估算的結點的數量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數額紅利的情況將更為復雜（見圖11.4）。圖11.4 假設紅利數額已知且波動率為常數時的二叉

45、樹圖為了簡化這個問題，我們可以把證券價格分為兩個部分：一部分是不確定的，而另一部分是期權有效期內所有未來紅利的現值。假設在期權有效期內只有一次紅利，除息日在到之間，則在時刻不確定部分的價值為： 當時 當時 （11.13）其中表示紅利。設為的標準差，假設是常數，用代替式（11.8）到（11.10）中的就可計算出參數、和，這樣就可無需考慮紅利問題，而直接用通常的方法構造出的二叉樹了。通過應用式（11.13），把未來收益現值加在每個結點的證券價格上，就會使的二叉樹圖得以轉化。從而得到的二叉樹圖。假設零時刻的值為，則在時刻：當時，這個樹上每個結點對應的證券價格為： 當時，這個樹上每個結點對應的證券價格

46、為： 這種方法和我們曾經分析過的在已知紅利數額的情況下應用Black-Scholes公式中所用的方法一致，通過這種分離，我們可以重新得到重合的分支，減少結點數量，簡化了定價過程。同時，這種方法還可以直接推廣到處理多個紅利的情況。（二）構造樹圖的其他方法和思路1. 的二叉樹圖在式（11.5）到（11.7）中，前兩個式子是確定參數、和的固定條件，而第三個條件是人為給定的，也是最常用的條件，但它并不是唯一的。我們也可以放棄這個假設，轉而令，當的高階小量可以忽略時，我們得到：這種方法的優點在于無論和如何變化，概率總是不變的，缺點在于二叉樹圖中的中心線上的標的資產價格不會再和初始中心值相等。2. 三項式

47、樹圖（三叉樹圖）另一種替代二叉樹圖的方法是三叉樹圖法，該樹圖的形狀如圖11.5所示。在每一個時間間隔內證券價格有三種運動的可能：從開始的上升到原先的倍，即到達；保持不變，仍為；下降到原先的倍，即。、分別為每個結點價格上升、持平和下降的概率。當的高階小量可以忽略時，滿足資產價格變化均值和方差的參數分別為：三叉樹圖的計算過程與二叉樹圖的計算過程相似。圖11.5 資產價格的三叉樹圖3. 控制方差技術控制方差技術是數值方法的一個輔助技術，其基本原理為：期權A和期權B的性質相似（比如其他條件都相同的歐式期權和美式期權），我們可以得到期權B的解析定價公式，而只能得到期權A的數值方法解。用代表期權B的真實價

48、值（解析解），表示關于期權A的較優估計值，和表示用同一個二叉樹過程得到的估計值。這時，我們假設用數值方法計算出的期權B的誤差應等于用數值方法計算出的期權A的誤差： 進而得到期權A 的更優估計值為：可以證明，當和之間的協方差較大時，也就是說這個方法減少了對期權A的價值估計的方差，我們利用和的信息改進了對期權A的價值的估計。可以看出，控制方差技術實際上是利用數值方法計算兩個類似期權之間的價格差異而不是計算期權價格本身。雖然從計算工作量來看，我們需要計算兩個估計值和，但是由于兩個期權的性質相似或路徑相同，實際增加的工作量并不大。三、二叉樹定價模型的深入理解由上可見，二叉樹模型的基本出發點在于：假設資

49、產價格的運動是由大量的小幅度二值運動構成，用離散的隨機游走模型模擬資產價格的連續運動可能遵循的路徑。同時二叉樹模型與風險中性定價原理相一致，即模型中的收益率和貼現率均為無風險收益率，資產價格向上運動和向下運動的實際概率并沒有進入二叉樹模型，模型中隱含導出的概率是風險中性世界中的概率，從而為期權定價。實際上，當二叉樹模型相繼兩步之間的時間長度趨于零的時候，該模型將會收斂到連續的對數正態分布模型，即Black-Scholes偏微分方程。取當前時刻為（這是為了后面計算的方便，并不影響結論），在給定參數、和的條件下（注意這里并未限定求、和的第三個條件，而是一般適用的），當時，二叉樹公式：可以在進行泰勒

50、展開，最終可以化簡為：的高階小量可以忽略，從而說明離散二叉樹模型和連續Black-Scholes模型是十分相似的，在時，二叉樹模型收斂于Black-Scholes偏微分方程。最后，二叉樹模型和Black-Scholes模型的另一個相似點在于：它們都可以通過選取適當的值，構造一個由份的標的資產多頭和一份期權空頭組成的無套利組合。二叉樹模型中的值滿足；Black-Scholes模型中的則滿足，之后兩者都可以利用這個無套利組合為期權定價。這里我們可以看到的極限就是，又一次驗證了二叉樹模型和Black-Scholes模型的一致性。但是，三叉樹圖模型則無法實現這樣一個無套利組合，需要運用別的方法來構造。

51、【本章小結】1. 為了給期權定價，我們假設期權標的資產遵循幾何布朗運動，據此可以推導出著名的Black-Scholes微分方程：2. 根據Black-Scholes期權定價模型，無收益資產歐式看漲期權和看跌期權的定價公式為：其中，3. 在為衍生證券定價時，我們可以假設所有投資者都是風險中性的，這就是風險中性定價原理。它可大大簡化衍生證券的定價，然而得出的結論也適用于投資者厭惡風險的情況。4. Black-Scholes定價公式可用于為歐式期權和美式看漲期權定價。美式看跌期權定價只能用二叉樹模型等數值方法以及解析近似方法求出。5. 在運用Black-Scholes模型為期權定價時，無風險利率和標

52、的資產價格波動率是兩個需要估計的重要參數。6. Black-Scholes期權定價模型可以用來評估組合保險成本，為可轉債定價和為認股權證估值。7. 二叉樹樹圖方法用離散的隨機游走模型模擬資產價格的連續運動在風險中性世界中可能遵循的路徑，每個小的時間間隔中的上升下降概率和幅度均滿足風險中性原理。從二叉樹樹圖的末端開始倒推可以計算出期權價格。8. 二叉樹模型不僅可以為歐式期權定價，而且可以為美式期權定價；不僅可以為無收益資產定價，而且可以為有收益資產定價，應用相當廣泛，目前已經成為金融界最基本的期權定價方法之一。9. 當二叉樹模型相繼兩步之間的時間長度趨于零的時候，該模型將會收斂到連續的對數正態分布模型，即Black-Scholes偏微分方程。【參考閱讀】1 施兵超著. 金融期貨與選擇權. 臺北：五南圖書出版，2021 2 美約翰赫爾著