1、一道題目的十種解法 單國炎 紹興縣實驗中學 郵編：312030 一題多解，就是指對同一個題目，從不同的角度出發，運用不同的思維形式，采用不同的數學方法去分析探討，從而獲得多種解題途徑?！耙活}多解”，不僅能使我們掌握相應的幾種解題技巧，還可以幫助我們多角度多層次地深入分析問題，解決數學問題，從而提高靈活運用數學知識、數學方法解決問題的能力，使我們的思維靈活，解題思路開闊，應變能力增強，下面就對一道習題的十種解法進行剖析，供讀者欣賞?！玖曨}】如圖，已知A、P、B、C是O上的四點，APC=BPC=60°，AB與PC交于點Q。（1）判斷ABC的形狀，并證明你的結論。（2）直接寫出所有與APQ

2、相似的三角形： 。（3）若AP=6，求PB的長。解：（1）ABC是正三角形。理由如下：ABC=APC=60°, BAC=BPC=60°ACB=180°-ABC-BAC=60°ABC是正三角形.(2) BPC, BQC （3）分析：求線段長度常用方法有三類：利用相似三角形的性質、利用勾股定理建立方程、利用三角函數解直角三角形；對線段比值的利用常有設未知數表達線段、應用（構造）相似三角形、面積比等方法?！窘夥ㄒ弧吭OAQ=3x，則BQ=5x，由（1）得BC=AB=8x，（如圖1）ABC=APQ，AQP=CQBAPQBQC 又APC=BPC，PAQ=BCPAPQ

3、CPB， 【解法二】設AQ=3x，則BQ=5x，由（1）得BC=AB=8x，（如圖1）APC=BPC，PAQ=BCPAPQCPB 又BCQ=PCB，QBC=BPC=60°BCQPCB， 【解法三】設AQ=3x，則BQ=5x，由（1）得BC=AB=AC=8x，（如圖1）APQBQC 又PBQACQ， 解法點評：眾所周知，數學綜合題的幾個小題之間往往有聯系性或相關性，這三種解法順應了第（2）題找相似三角形的影響，利用兩次相似，中間過程常常需要借助某條線段的表示（或求值）來溝通兩對相似三角形，從而求解。另外，從這三種解法中我們還看到了未知數“設而不求”的解題技巧?！窘夥ㄋ摹孔鰽MPC于點M

4、，BNPC于點N，（如圖2）ABC=APC，AQP=CQBAPQBQC（相似三角形對應邊上的高之比等于相似比）又APQ=BPC，AMP=BNP=90°APMBPN，【解法五】作AMPC于點M，BNPC于點N，（如圖2）在RtAPM與RtBPN中AM=APsin60°, BN=BPsin60°，又APQBQC， 解法點評：這兩種解法不設未知數，通過作輔助線（高），運用相似三角形的性質巧妙地使用了條件，從而求解。從這兩種解法中我們可看到運用比值的技巧：構造相似三角形進行比值轉移?！窘夥孔鱍EPA于點E，QFPB于點F，（如圖3）APC=BPC=60°，又

5、（同高的三角形，面積比等于底之比），解法點評：此解法運用面積方法建立比例式求解，過程比較簡潔。從面積角度考慮問題的方法常有：同（等）高面積比等于底之比；同（等）底面積比等于高之比；相似三角形面積之等于相似比的平方?！窘夥ㄆ摺浚ㄈ鐖D1）APC=BPC=60°PC是APB的角平分線由角平分線性質定理得 解法點評：此解法相當靈活，簡練，運用角平分線的性質定理解決問題不失為一種好方法。此解法對知識的理解、運用能力比較高，一般學生很難想到，學有余力的優秀學生能探索到，撐握到。其實，角平分線性質定理借用面積法思想能很快得證?！窘夥ò恕窟^點B作BDPA，交PC于點D，（如圖4）BDP=APC=60

6、°APC=BPC=60°BDP=BPC=60°BP=BD又BDPAAPQBDQ，【解法九】在PC邊上截取PD，使PD=PB，（如圖4）BDP=BPC=60°，APC=BPC=60°BPD是正三角形，BDPC（以下步驟同解法八）解法點評：這兩種解法采用線段等量代換，間接求解的方法。通過添平行線或截取線段構造特殊三角形（等腰或等邊三角形），得BP=BD，根據條件，運用相似求出BD而得解。此解法展現了間接求解的魅力?！窘夥ㄊ窟^點Q作QDBC于點D，（如圖5）設AQ=3x，則BQ=5x，由（1）得AC=BC=AB=8x在RtBQD中，QBD=APC=

7、60°BD=BQ×cos60°=2.5x QD=BQ×sin60°=DC=BC-DB=5.5x 又APQBQC AC=BC=8x=14，又PBQACQ， 解法點評：此解法通過作高線QD，綜合運用解直角三角形，相似三角形性質，計算或表示解題過程中需要的一些線段，數據詳實，計算量較大。在此基礎上，我們還可進一步發現很多比較有價值的結論：如BCQPCB的相似比為CQ：BC=7：8等。由上可見，一題多解不僅讓我們獲得了更多的知識，而且開闊了視野，打開了解題思路，學到舉一反三，融匯貫通的方法，一題多解，雖解一題，但實際解了多題。因此，要想提高解題能力和學習效率，就要有意識地練