1、第一章線性規劃由圖可得：最優解為2、用圖解法求解線性規劃：Min z=2xi +X21、一洛 +4x2 蘭24% +x2 工85蘭捲10X2 一0解：由圖可得：最優解 x=1.6,y=6.43用圖解法求解線性規劃:Max z=5x1+6x22為一x2色2 -2x1 +3x2 蘭 2xi, x2 0解:2xi-x2=O-xi+3x2=2z=5x：+6x2由圖可得：最優解 Max z=5x 1+6x2, Max z= +:4用圖解法求解線性規劃：Maxz = 2x1 +X25x1 蘭 156xi + 2x2 2 24X+x2 0Xi + x2 = 5Xi = 3由圖可得：最大值12, 所以1a =

2、 3、x2=2max Z = 8.5. maxZ = 2 3x2% +2x2 蘭 84x 164x2 胡2Xj _0,j =1,22.6將線性規劃模型化成標準形式:Min z=xi -2x 2+3x3Xj +x2 +x3 蘭7Xi -X2 +X3 3 2_3片 +x2 +2x3 = -5x 0, X20, X3無約束,其中解：令 Z =-Z,引進松弛變量 X4 _ 0，弓I入剩余變量X5 _ 0,并令 X3=X3 -x 3X3_0,x 3- 0Max z =-x i+2x2-3x 3 +3x3捲 +x2 +x3x3 +& =7X1 _X2 +X3X3_Xs =2一3為 +X2 +2x3 = -

3、5* Z0,x2 0,x3它0,x3它0,x4 AO, x5 王07將線性規劃模型化為標準形式Min Z =x1 + 2X2+3X3-2% + x2 + x3 蘭 93為 +x2 +2x3 K44Xi 2x? 3X3 = 6Xi 0, X2 KO, X3無約束-解：令Z = -z，引進松弛變量X4亠0,引進剩余變量X5亠0,得到一下等價的標準形式。-2為 + x2 + x3 + & = 9一3為 + x2 + 2x3 - x5 = 44xi -2x2 -3x3 = -6Xi 0,-X 3X2 = -X 2X3=X3Z = -min Z = -x i-2x 2- 3x3-2片 _ x2 + x3

4、 _ x3 + & = 9 _3% -x2 +2（x3 _x3 ）-x5 =44% +2x2 3（x3 x； ）= 68.maxZ=3x 1 - 3x2 4x33X|4x2 5x3 x4 = 406x1 4x2 3x3 x5 =66Xj 蘭0,j =1,2,3,4,5Cj334000 iCBXBbx1x2x3x4x50X4403451080X5606430120cj334004x383/54/511/5040/30x54221/58/50-3/5160/7c j3/5-1/50-4/504x3204/714/35-1/73x11018/2101/75/21c j0-3/70-31/35-1/7

5、最優解為(10,0,2,0,0 )，目標函數maxZ=389用單純形法求解線性規劃問題:Max Z =70x i +120X29xi +4x2 蘭 360*4% +6x2 蘭 2003x1 +10x2 300解:Max Z =70xi+120x29xi +4x2 +X3 =3604x1 6x2 X4 二 2003x10x2 x5 = 300單純形表如下cjclc2cBkBbxlx2x3x4x50x3360941000k4300460100x5300310001Oj0701200x32407. 8010-0. 40202,2001-0. 6120x2300. 31000, 1Oj36003400

6、0-120x3169. 09001-1.60. 9970xl9. 091000. 45-0. 28120x227.27010-0,140. 18Oj2903. 7000-14.1-14Max Z =3908.lO.max Z = 4x1 3x22x, +2 x2 蘭 30005x| +2.5x2 蘭4000x1 0,j =1,2,3, 4,5Cj430000 iCBXBbx1x2x3x4x50X330002210015000X4400052.50108000X550010001500Cj-Zj43000G =c1 -z =4-(0 2 0 5 0 1)=4-2 =c2 Z2 =3(0 2+0

7、2.5+0 0) = 3 檢驗數0,max(；一，二2) =max(4,3) =4,.對應的x1為換入變量./ 漏=鋰0,4000,500=500x5為換出變量.V 251minCj430000 iCBXBbx1x2x3x4x50X320000210-20X4150002.501-50X150010001Cj-Zj0000-4-非基變量檢驗數 乞0,得到最優解：X1 =500,X2 =0,X3 = 2000,X4 =1500必=0,目標函數的 maxZ=41-乙=4-(0 2 0 5 0 1)=4 500 3 0 = 2000.11.解：（1）引入松弛變量 X4, X5, X6,將原問題標準化

8、，得max Z=10Xi+6X2+4X3X 計 +X3+X=100*10 X 計 4%+5X3+Xs=600一 2 X1+2+6X3+X5=300%,X 2,X3,X 4,X5,X6 0得到初始單純形表:C1064000CBXbbX1X2X3X4XsX600X41001111001000X56001045010600X6300226001150cz1064000(2)其中 p 1 =C1-Z1=10-( OX 1+0X 10+0 X 2) =10,同理求得其他根據p max =max10,6,4=10,對應的X1為換入變量，計算0得到,0 min =min100/1,600/10,300/2=

9、60,X5為換出變量，進行旋轉運算。（3）重復（2）過程得到如下迭代過程C1064000CBXbbX1X2X3X4XsX600X44003/51/21-1/100200/310X16012/51/201/1001500X618006/5501/51150C-乙02-10-106X2200/3015/65/3-1/60200/310X1100/3101/6-2/31/601500X6100004-201150C-Zj00-8/3-10/3-2/30p j w 0，迭代已得到最優解，X*= (100/3 , 200/3 , 0, 0, 0, 100)Z =10 X 100/3+6 X 200/3+

10、4 X 0 =2200/3。12解：(1)引入松弛變量 X3, X4, X5將原問題標準化，得max Z=2Xi+X2 5X2+Xb=15 0得到初始單純形表:C21000CBXbbX1X2X3X4X500X31505100-0X4246201040X55110015CZ21000(2) 其中 p 1 =Ci-Zi=2- (0X 1+0X 10+0X 2) =2,同理求得其他 根據p max =max2,1,0=2,對應的X為換入變量，計算B得到，0 min =min-,24/6,5/1=4, X4為換出變量，進行旋轉運算。(3) 重復(2)過程得到如下迭代過程C106400CBXbbX1X2

11、X3X4X500X3150510032X1411/301/60120X5102/30-1/613/2C-乙01/30-1/300X315/20015/4-15/22X117/21001/4-1/21X23/2010-1/43/2C-Zj000-1/4-1/2p j w 0，迭代已得到最優解，X*= (7/2 , 3/2 , 0, 0, 0)Z =2 X 7/2+3/2 =17/213解：引入松弛變量 X3、X4,約束條件化成等式，將原問題進行標準化，得：Max Z=2.5Xi+Xz3X1+5X2+X3 =155X 計2X2 +X 4=10X1,X2,Xs,X4 0(1 )確定初始可行基為單位矩

12、陣I = P 3,P4,基變量為X3,X4,X5,非基變量為X1,X2 ,則有:Max Z=2.5X 1+3X2X3=15-3X1-5X2s.t X4=10-5X1-2X2Xi 0, j=1 , 2, 3, 4Cj2.5100CBXBbX1x2x3x4a0x315351050x41052 012Cj _Zj2.5100將題求解過程列成單純形表格形式，表1由上述可得，將x1替換為&表2，單純形迭代過程Cj2.5100CBXbbxX2X3x4e0x39019/51-3/545/192.5x212/501/55Cj _Zj0000.5非基變量檢驗數C3 =0,二4 = -?得到該線性規劃另一最優解,

13、* 20x =( W45忌，0,0)，Z=5,由表2可得，將x,替換為X3Cj2.5100CBXbbX1X2X3X4Q45531X201219191920252.5x.101919191Cj-Zj000-2表3最終單純形表該線性規劃具有無窮多個解14.用單純形法求解線性規劃問題:max z = 2xi x， 5x2 蘭 156xi + 2x2 蘭 24 s.t.| x1 X2 _ 5xi _ 0, X2 _ 0解:(1)將原問題轉化為標準形式，得max z = 2xi X2 0x3 0x4 0x55X2 + X3=156xi+2x2+X4=24s.t.xiX2X5 = 5xi _ 0, X2

14、_ 0, X3 _ 0, X4 _ 0, X5 _ 0(2)建立單純性，并進行迭代運算G210000C8XbXX2X3X4X50X31505100一0X424101040X55110015C-Zj210000X3150510032X411/601/60240X5105/60-1/616/5C-乙02/30-1/300X390011-62X19/51001/5-1/51Xa6/5010-1/56/5Cj-Zj000-1/5-4/5(3)得到最優解 x*=(199 , 5 ,9 ,0 ,0)T，z*=4415.用單純形法求解線性規劃問題:maxz = xi X2xi -2X2 蘭 2,_ 2xi

15、+ X2 蘭 2 st.-xiX2 空 4xi _ 0, X2 _ 0解：(i)將原問題轉化為標準形式，得maxz = Xi X20x30x40x5xi 2x2 + X3=2,2xi ；：; x2x4=2st.-XiX2X5= 4Xi _ 0, X2_ 0, X3_ 0, X4_ 0, X5_ 0(2)建立單純性，并進行迭代運算C2i0000C8XbXiX2X3X4X50X2ii2i0020X42-2i0i0-0X54-ii00i-C-乙1i000iX2i-2i000X460-32i00X560-ii0iC-乙03-i00本例第二個單純形表中，非基變量 X對應的檢驗數d 一0,并且對應的變量系

16、數 ai,2 0(1)得到初始單純形表:C24000CBXbbX1X2XX4X500X381210040X4410010-0X53010013C-Zj24000(2)重復(1)過程得到如下迭代過程C106400CBXbbXX2XbX4X500X321010020X441001044X2301001-C-Zj2000-42X12101000X4200-1104X2301001Cj-Zj00-200P 5 = 0 , p 3 0Max z=3x1+5x2x1 w 4標準化并且引入松弛變量2x2 w12、3x1+2x2 w18x1 0 x2 0Cj35000CbXbbX1X2X3X4X500X341

17、0100/0X4120【2】01060X518320019d j350000X34101005X260101/200X56300-11d j000-5/20非基變量（T j w 0,得到最優解，其中 x仁0, x2=6, x3=4.x4=0 , x5=6最優解 Max Z=3*0+5*6=30其中，有非基變量d仁0,所以有無窮多個解18、解：化為標準形式：MaxZ =-5X1-2X2-4X33X1+X2+2X3-X4=46X1+3X2+5X3-X5=10X1,x2,x3,x4,x5=0增加人工變量x6,x7,得到：MaxZ =-5X1-2X2-4X3-MX6-MX73X1+X2+2X3-X4+

18、X6=46X1+3X2+5X3-X5+X7=10X1,x2,x3,x4,x5=0大M法求解過程如下：cj-5-2-400-M-M0 iCBXBbX1X2X3X4X5X6X7-MX64312-10104/3-MX7106350-1015/3cj-zj-5+9M-2+4M-4+7M-M-M00-5X14/311/32/3-1/301/30-MX720112-1-211cj-zj0-1/3+M-2/3+M-5/3+2M-M5/3-3M0-5X15/311/25/60-1/601/610/30X4101/21/21-1/2-11/22cj-zj01/21/60-5/6-M5/6-M-5X12/3101

19、/3-11/31-1/3-2X220112-1-21cj-zj00-1/3-1-1/31-M1/3-M最優解為 X1*=2/3,X2*=2,X3*=0最優目標函數值 min Z=22/319、解:化為標準形式：maxZ=-540x1-450x2-720x33x1+5x2+9x3-x4=709x1+5x2+3x3-x5=30X1,x2,x3,x4,x5=0增加人工變量x6,x7,得到：maxZ=-540x1-450x2-720x3-Mx6-Mx73x1+5x2+9x3-x4+x6=709x1+5x2+3x3-x5+x7=30X1,x2,x3,x4,x5=0大M法求解過程如下：cj-540-450

20、-72000-M-M0 iCBXBbX1X2X3X4X5X6X7-MX670359-101070/3-MX730(9)530-10130/9cj-zj12M-54010M-45012M-72-M-M000-MX660010/3(8)-11/31-1/32.5-540X110/315/91/30-1/901/910cj-zj0-150+10M/38M-540MM/3-600-M/3+60-720X315/205/121-1/81/241/8-1/2418-540Xi5/61(5/12)01/24-1/8-1/241/82cj-zj01250135/-475/12135/2-M75/2-M2-72

21、0X320/3-1011/61/61/6-1/6-450X2212/5101/10-3/10-1/103/10-360-450-7207515-75-155700-18000-75-1575-M15-M最優解為 X*=（0,2,20/3,0,0）最優目標函數值 min Z=570020解：先將其化成標準形式，有max z =- 3 x1+X3+OX4+OX5廣X1 + X2 + X3+X4 =4(a)-2x1+ x2 - x3-X5=1( b)3X2 +X3=9( c)X1，X2，X3，X4，X5 色 0這種情況可以添壬加兩列單位向量F6，H ,連同約束條件中的向量P4構成單位矩陣P4 P 6

22、 P 71 0 00 1 0J_r0 0 1P6, P7是人為添加上去的，它相當于在上述問題的約束條件（b）中添加變量x6，約束條件（c）中添加變量x7，這兩個變量相應稱為人工變量。由于約束條件（b）（ c）在添加人工變量前已是等式，為使這些等式得到滿足，因此在最優解中人工變量取值必須為零。為此，令目標函數 中人工變量的系數為任意大的負數，用“-M”代表。添加人工變量后數學模型變為max z = -3 Xi+X3+O X4+OX5 - M - Mx?X1+ x2 + x3 + x4=43-2X! + X2- X3X5+X6 =1X2+X3X7=9Xi ,X2 ,X3 , X4 ,X ,X6 ,

23、X7 _ 0得到初始可行解 X 0 =(0,0,0,4,0,1 ,9)，并列出初始單純形表。在單純形法迭代運算中,可當作一個數學符號一起參加運算。檢驗數中含 M符號的，當M的系數為正時，該檢驗數為正;當M的系數為負時，該檢驗數為負。求解過程見下表c j-30100-M-MCb基bXX2X3X4X 5X6X70X441111000-MX61-MX79-21-10-1100310001Cj -乙-2M-34M 10-M000X4330211-100X21-21-10-110-MX760403-31Cj-Zj6M-304M+103M-4M00X400001-1/2-1/2-1/20X23-3X110

24、11/30001/3102/301/2-1/21/6Cj -乙00303/2-M-3/2-M+1/20X400001-1/21/2-1/20X25/2-1/2100-1/41/41/41X33/23/20103/4-3/41/4Cj-Zj-9/2000-3/4-M+3/4 -M-1/4最優解為(0, 5/2，3/2)21、解：將原問題轉化為標準型Maxz=3x1+2x22x1+x2+x3=2s.t. 3x1+4x2-x4=12Xi0, i=1,2,3,4然后添加人工變量x5，將原線性規劃問題變為Maxz=3x1+2x2-Mx52xl+x2+x3=2s.t. %x1+4x2-x4+x5=12Xi

25、 0, i=1,2,3,4,5取基變量為x3,x5,建立單純形表，迭代過程如下:Cj3200-M0 iCbXbBX1X2X3X4X50X32211002-MX512340-113Cj-zj3+3M2+4M0-M0Cj3200-M0 iCbXbBX1X2X3X4X50X2221100-MX54-50-4-11Cj-zj3-5M0-4M-M0在單純形表中，非基變量的檢驗值都是小于0,而人工變量仍不為 0,則該線性規劃無最優解。22、解：假設甲、乙倆種產品產量分別為x1、x2，產品售后的最大利潤為 z,則根據題意可建立以下線性規劃模型:Max=70x1+120x29x1x2w 360s.t. ”x1

26、+6x2w 2003x1+10x2 w 300Xi0, i=1,223 .解：設甲、乙產品的生產數量應為x1、x2，則x1、x2 _0,設z是產品售后的總利潤，貝Vmax z =70%120x2s.t9xH4x2 3604x1 +6x2 2003) +10% 蘭300為，x2 Z 024.解：設甲、乙兩種產品的生產數量為x1, x2,設z為產品售后總利潤，則 max z=4x1 3x2s.t.2& +2x2 30005X1 +2.5X2 蘭4000|X1 蘭 500X1,X2 蘭025.設X1、X2、X3分別為產品 A、B、C的產量，則數學模型為max Z =10x1 14x2 12x31.5

27、x1 +1.2x2 + 4x3 蘭 25003X1 +1.6X2 +1.2X3 蘭 1400150 蘭 X1 蘭 250*260 蘭 X2 蘭 310120 蘭 X3 蘭 130X1, X2, X3 K 026設xi，x2分別為產品A B的產量，x3為副產品C的銷售量，X4為副產品C的銷毀量, 有X3+X4 = 2x2, Z為總利潤，則數學模型為maxZ =3xi 7x2 2X3-X4x1 +2x2 蘭112x3x2 蘭 17I-2X2 X3 X4 = 0X3 w 13Xj 0,j =123,427.設生產四種產品分別為X1,X2XX4,則應滿足的目標函數為max=2X+3X2+X+X4滿足的

28、約束條件為f 0.5X 1+3X2+Xb+0.5X4 18002X1+Xz+Xb+ X4 28000.5X1+0.5X2+Xb+X4 18003X計 Xa+2+3X4 1000匕2600X3 500X4 40028. 設X1=A出售的數量，X2=A在第二車間加工后的出售數量,X 3=B的出售數量，X4=B在第三車間加工后的出售數量，X 5=第一車間所用的原料數量目標函數為 maxZ=8X+9.5X2+7X+8Xi 2.75X5滿足的約束條件為 X 5 1000003X2+2X+1.5X5 029, 解：現在我們對本問題定義三種不同形式的決策變量，從而從不同的途徑來構建模型（1）設工廠第j季度生

29、產產品Xj噸首先，考慮約束條件：第一季度末工廠需交貨20噸，故應有x1=20;第一季度末交貨后積余（X1-20 ）噸；第二季度末工廠需交貨20噸，故應有 x1-20+x2=20 ;類似地，應有XX2-40，x3_30 ；第四季度末供貨后工廠不能積壓產品，故應有X! x2 x 70 x4 =10 ；又考慮到工廠每個季度的生產能力，故應有0 _ Xj _ aj 其次，考慮目標函數：第一季度工廠的生產費用為15.0為，第二季度工廠生產的費用包括生產費用14x2及積壓產品的存貯費 0.2（花-20）；類似地，第三季度費用為15.3x3 - 0.2（x1 x2 -40），第四季度費用為 14.8x4 0

30、.2（x1 x2 x 70）.工廠一年的費 用即為這四個季度費用之和.整理后，得下列線性規劃模型：minz = 15.6捲 14.4x2 15.5x3 14.8x4-26s.t.x1 x2- 40% +x2 +x370w % +x2 +x3 +x4 =80.20 蘭 蘭30, 0Wx2 蘭40, 0 蘭 x3W20, 0 蘭 x4 蘭 10.（2） 設第j季度工廠生產的產品為 xj噸，第j季度初存貯的產品為yj噸（顯然， = 0）.因為每季度初的存貯量為上季度存貯量、生產量之和與上季度的需求量之差，又考慮到第四季 度末存貯量為零，故有：X -20*2，y2 X2 -20 = y3，y3 X3

31、-30*4， y4 X4 二10 ；同時，每季度的生產量不能超過生產能力：xj aj ；而工廠四個季度的總費用由每季的生產費用與存貯費用組成，于是得線性規劃：min 15.0x1 0.2y2 14x2 0.2y3 15.3x3 0.2y4 14.8x4 s.t.Xjy2 = 20y2 +X2 - y3 =20丫3 十 X3 y4 = 30y4 *X4 =100蘭捲蘭300蘭X2蘭400蘭x3蘭200蘭X4蘭10 yj -0， j =2，3，4.(3) 設第i季度生產而用于第j季度末交貨的產品數量為 為j噸.根據合同要求，必須有：X11 =20，X13 X23 X33 = 30，X12 X22

32、二 20，X14X24X34X44 =1.又每季度生產而用于當季和以后各季交貨的產品數不可能超過該季工廠的生產能力, 故應有：x11 x12x13 Xg 空 30J X22 + X23 + X24 蘭 40，X33 + X34 蘭 20，X44 蘭 10 Cj = di 0.2(j - i)，于是，有線性規第i季度生產的用于第j季度交貨的每噸產品的費用 劃模型:min z =帖皿仆 +15.2x12 +15.4x13 +15.6x14+14x22 +14.2x23 +14.4x24+ 15.3x33+15.5x34+14.8x44s.t. i .30, 解 設Xjj為i#型飛機被派遣去j#工廠

33、執行任務的架數這相當于希望事件“不摧毀任何工甲方的目標是希望事件“至少摧毀一個工廠”的概率最大 廠”的概率f最小.我們有：f = (1 - 0.10)知(1 - O.2O)X12(1 _o.15)x13 (1 0.08)X21 (1 - 0.16)x22 (1 - 0.12)x23它不是線性的，為此將上式改寫為z = log f = x11 log 0.9 x12 Iog0.8 x13 log 0.85 x21 Iog0.92 x22 Iog0.84 x23 log 0.88于是，模型的目標函數為0.0457x110.0969x12 0.0704x130.0362x21 0.0656x22 0

34、.0554x23關于燃料的約束條件為：2 4502Xu2 48022 57022 450丁X212 480飛222 570323xij - 48000x23 100、i壬jA經過整理，即為550x11 580x12 670x13 400x21 420x22 480x23 - 48000.飛機數量約束：33 x1j 40 , x2j 三28 j壬j弓綜上所述，本問題的線性規劃模型為：max z =0.0457x11 0.0969x12 0.0704x13 0.0362x21 0.0656x22 0.0554x23s.t.f 550心 +580x12 +670x13 +400x21 +420x22

35、 +480x23 蘭 48000彳&+xj2+為3蘭40x21 +x22 +x23 蘭 28I Xj 啟0， i =1, 2； j =1, 2，3.第二章線性規劃1. 對偶問題和對偶變量的經濟意義是什么?從經濟學的角度來說，對偶變量反映的是對應的原變量的邊際效應，即每增加一單位的原變量使目標函數變化的值，當原變量在目標函數取得最優解時沒有用完的情況下，原變量的增加不會改變目標函數的值，此時原變量的邊際效應為0,即對偶變量為0,這就是強對偶理論。2. 簡述對偶單純形法的計算步驟。它與單純形法的異同之處是什么? 計算步驟見書P-42單純形法對偶單純形法保證原問題是可行解的情況下向保證對偶問題是可行

36、解的情況下向原問原理對偶問題可行的方向迭代題可行的方向迭代最優解看非基變量的檢驗數是否都小于看對偶單純形表的B-1b是否都大于等于判斷等于零零最大一最小比值原則最小一最小比值原則最大：檢驗數最大的那個非基變量最小：B-1b列數字最小（負數）的那個對迭代為換入變量；應的基變量為換出變量；原則最小：B-1b/aik最小的那個對應的最小：（cj-zi）/alj最小的那個對應的非基變基變量為換出變量量為換入變量3. 什么是資源的影子價格？他和相應的市場價格之間有什么區別？對偶變量yi的意義代表在資源最優利用條件下對第i種資源的估價，這是根據資源在生產作用中做出的貢獻而得到的估價，稱為影子價格。市場價格

37、是指實際發生的市場交易價格，它是計量財務支出和收入的直接依據；機會 成本或支付意愿就是經濟分析中的影子價格。4. 如何根據原問題和對偶問題之間的對應關系，找出兩個問題變量之間、解及檢驗數之間的 關系？（1）對偶（min型）變量的最優解等于原問題松弛變量檢驗數的絕對值（2 ）對偶問題最優解的剩余變量解值等于原問題對應變量的檢驗數的絕對值（3 ）由于原問題和對偶問題是相互對偶的，因此對偶問題的檢驗數與原問題的解也有類似 上述關系。（4）更一般地講，不管原問題是否標準，在最優解的單純型表中，都有原問題虛變量（松弛或剩余）的檢驗數對應其對偶問題實變量 （對偶變量）的最優解，原問題實變量（決策變量）的 檢驗數對應其對偶問題虛變量（松弛或剩余變量）的最優解。5.（1） min w=30y 什80y2（2） max w=30yi+80y2+50ysyi +4y2 23yi+2y223yi+4y2 二4yi,y2 0yi-y2+4y32-3yi+5y2+2y302無限制，y3 0,j=1,2,3,4,5Cj-4-2-600CBXbbXiX2X3X4X50X4-24-2-4-8i00X5-8-4-i-40iq-