1、編輯課件編輯課件1 三次樣條插值三次樣條插值鑒于高次插值不收斂又不穩(wěn)定的特點(diǎn)，低次插值既具有收斂鑒于高次插值不收斂又不穩(wěn)定的特點(diǎn)，低次插值既具有收斂性又具有穩(wěn)定性，因此低次值更具有實(shí)用價(jià)值，但是低次插性又具有穩(wěn)定性，因此低次值更具有實(shí)用價(jià)值，但是低次插值的光滑性較差，比如分段線性插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間中僅值的光滑性較差，比如分段線性插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間中僅具有連續(xù)性，在插值節(jié)點(diǎn)處有棱角，一階導(dǎo)數(shù)不存在；分段具有連續(xù)性，在插值節(jié)點(diǎn)處有棱角，一階導(dǎo)數(shù)不存在；分段三次三次Hermite插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間中僅具有一階導(dǎo)數(shù)即一插值多項(xiàng)式在插值區(qū)間中僅具有一階導(dǎo)數(shù)即一階光滑性但不具備二階光滑性，不能滿足某

2、些實(shí)際應(yīng)用比如階光滑性但不具備二階光滑性，不能滿足某些實(shí)際應(yīng)用比如汽車、輪船、飛機(jī)等的外形中流線形設(shè)計(jì)。樣條是在二十世汽車、輪船、飛機(jī)等的外形中流線形設(shè)計(jì)。樣條是在二十世紀(jì)初期經(jīng)常用于圖樣設(shè)計(jì)的一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)條，多個(gè)樣紀(jì)初期經(jīng)常用于圖樣設(shè)計(jì)的一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)條，多個(gè)樣條互相彎曲連接后沿其邊緣畫出的曲線就是三次樣條曲線。條互相彎曲連接后沿其邊緣畫出的曲線就是三次樣條曲線。后來(lái)數(shù)學(xué)上對(duì)其進(jìn)行了抽象，定義了后來(lái)數(shù)學(xué)上對(duì)其進(jìn)行了抽象，定義了m次樣條函數(shù)，并成為次樣條函數(shù)，并成為數(shù)值逼近的重要研究分枝，進(jìn)一步擴(kuò)大了樣條函數(shù)的應(yīng)用范數(shù)值逼近的重要研究分枝，進(jìn)一步擴(kuò)大了樣條函數(shù)的應(yīng)用范圍。圍。編輯課件

3、編輯課件2樣條函數(shù)的定義樣條函數(shù)的定義定義定義4.1設(shè)區(qū)間設(shè)區(qū)間a,b上給定一個(gè)節(jié)點(diǎn)劃分上給定一個(gè)節(jié)點(diǎn)劃分a=x0 x1xn-1xn=b如果存在正整數(shù)如果存在正整數(shù)k使得使得a,b上的分段函數(shù)上的分段函數(shù)s(x)滿足如滿足如下兩條：下兩條：(1)在在a,b上有直到上有直到k-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。(2)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間xi,xi+1上是次數(shù)不大于上是次數(shù)不大于k的多項(xiàng)式。的多項(xiàng)式。則稱則稱分段函數(shù)分段函數(shù)s(x)是以是以(2.6)為節(jié)點(diǎn)集的為節(jié)點(diǎn)集的k次樣條函數(shù)。次樣條函數(shù)。編輯課件編輯課件3處的函數(shù)值為在節(jié)點(diǎn)如果函數(shù)nxxxxf,)(10njyxfjj, 1 , 0,)(njyx

4、Sjj, 1 , 0,)(三次樣條插值函數(shù)的定義三次樣條插值函數(shù)的定義并且關(guān)于這個(gè)節(jié)點(diǎn)集的三次樣條函數(shù)并且關(guān)于這個(gè)節(jié)點(diǎn)集的三次樣條函數(shù)s(x)滿足滿足插值條插值條件：件：則稱這個(gè)三次樣條函數(shù)則稱這個(gè)三次樣條函數(shù)s(x)為為三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)。編輯課件編輯課件4則其必滿足的三次樣條插值函數(shù)是如果,)()(xfxSnjyxSjj, 1 , 0,)(1, 1,)()(limnjmxSxSjjxxj1, 1),()(lim njxSxSjxxj1, 1,)()(limnjyxSxSjjxxj三次樣條插值函數(shù)的邊界條件三次樣條插值函數(shù)的邊界條件插值條件：插值條件：連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：一

5、階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：編輯課件編輯課件5（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)閟(x)在每個(gè)小區(qū)間上是一個(gè)次小于三次的多在每個(gè)小區(qū)間上是一個(gè)次小于三次的多項(xiàng)式，故有四個(gè)未知系數(shù)；項(xiàng)式，故有四個(gè)未知系數(shù)；（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)閟(x)有有n分段，從而共有分段，從而共有4n個(gè)未知系數(shù)！個(gè)未知系數(shù)！（3）但）但插值條件與樣條條件插值條件與樣條條件僅給出僅給出4n-2個(gè)條件，無(wú)法個(gè)條件，無(wú)法定出定出4n個(gè)未知系數(shù)，還差個(gè)未知系數(shù)，還差2個(gè)條件！這個(gè)條件！這2個(gè)條件我們用個(gè)條件我們用邊界條件邊界條件給出！給出！ 編輯課件編輯課件6通常我們對(duì)插值多項(xiàng)式在兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求也就是所謂的

6、邊界條件:第一邊界條件：由區(qū)間端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)給出即第一邊界條件：由區(qū)間端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)給出即30003()(),()(),nnns xmfxs xmfx編輯課件編輯課件7第二邊界條件：由區(qū)間端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)給出即第二邊界條件：由區(qū)間端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)給出即30003()(),()(),nnns xMfxs xMfx 特殊情況為特殊情況為自然邊界條件自然邊界條件：由區(qū)間端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)恒為由區(qū)間端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)恒為0給出即給出即3003()0()0nns xMs xM 編輯課件編輯課件8這樣三次樣條插這樣三次樣條插值問(wèn)題就分成三值問(wèn)題就分成三類！其實(shí)不止這類！其實(shí)不止這三類三類!第三類又稱周期邊

7、界條件：第三類又稱周期邊界條件：由區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足周期條件給出由區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足周期條件給出 303303303(0)(0)(0)(0)(0)(0)nnns xs xs xs xs xs x 編輯課件編輯課件9樣條函數(shù)的例子樣條函數(shù)的例子容易驗(yàn)證：容易驗(yàn)證：3215)18218(2115)1427163(1015)152611()(232323xxxxxxxxxxxxxS是滿足如下數(shù)據(jù)的第一類邊界樣條插值問(wèn)題解：是滿足如下數(shù)據(jù)的第一類邊界樣條插值問(wèn)題解：x0123y0000y10編輯課件編輯課件10樣條函數(shù)的例子樣條函數(shù)的例子3215)18218(2115)1427

8、163(1015)152611()(232323xxxxxxxxxxxxxS編輯課件編輯課件11通常有通常有三轉(zhuǎn)角法、三彎矩法、三轉(zhuǎn)角法、三彎矩法、B樣條基函數(shù)法樣條基函數(shù)法。三次樣條插值函數(shù)的求法三次樣條插值函數(shù)的求法這三種方法的基本思想是類似的，都是這三種方法的基本思想是類似的，都是通通過(guò)待定某些參數(shù)過(guò)待定某些參數(shù)來(lái)確定插值函數(shù)，但肯定來(lái)確定插值函數(shù)，但肯定不是待定不是待定4n個(gè)參數(shù)。而是利用已知條件將個(gè)參數(shù)。而是利用已知條件將待定參數(shù)減小到最少。待定參數(shù)減小到最少。 比如：比如：待定一階導(dǎo)數(shù)、待定二階導(dǎo)數(shù)待定一階導(dǎo)數(shù)、待定二階導(dǎo)數(shù)、采采用基函數(shù)方法用基函數(shù)方法來(lái)確定插值函數(shù)。來(lái)確定插值函

9、數(shù)。編輯課件編輯課件12三轉(zhuǎn)角法三轉(zhuǎn)角法:待定一階數(shù)待定一階數(shù)為了確定三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式為了確定三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式 S(x)，我們采用待定系數(shù)法來(lái)求解，我們待定什么系數(shù)呢？我們采用待定系數(shù)法來(lái)求解，我們待定什么系數(shù)呢？考慮到帶一階導(dǎo)數(shù)的分段三次考慮到帶一階導(dǎo)數(shù)的分段三次Hermite插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式)()()()()(11111010)(3iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxiihmhmyyxH1, 1 , 0,1nixxhiiinnnxxxxHxxxxHxxxxHxH1)1(321)1(310)0(33)()()()(編輯課件編輯課件13njmxSjj, 1 ,

10、 0,)(我們采用待定一階導(dǎo)數(shù)的方法即設(shè)我們采用待定一階導(dǎo)數(shù)的方法即設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)榉侄稳畏侄稳蜨ermite插值多項(xiàng)式已經(jīng)至少是一階連續(xù)插值多項(xiàng)式已經(jīng)至少是一階連續(xù)可導(dǎo)可導(dǎo)了，為了讓它成為三次樣條函數(shù)只需確定節(jié)點(diǎn)處了，為了讓它成為三次樣條函數(shù)只需確定節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)使這些節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可！的一階導(dǎo)數(shù)使這些節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可！1, 1),0()0( nixSxSii)()()()()(11111010iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxihmhmyyxS1, 1 , 0,11nixxhxxxiiiii212) 1()(,) 1)(12()(xxxxxx編輯課件編輯課件

11、14并整理后得求二階導(dǎo)數(shù)對(duì),)(xSi)()2(6)(131iiiiiiyyhxxxxS 11122624642iiiiiiiixxxxxxmmhh112642lim( )(0)()iiiiiixxiiiSxSxyymmhhh112111624lim( )(0)()iiiiiixxiiiSxSxyymmhhh編輯課件編輯課件15(0)(0),1,2,1iiSxSxin由于在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：11111)11(21iiiiiiimhmhhmh)(321121iiiiiihyyhyy1, 1ni111112iiiiiiiiimhhhmmhhh)(3111111iiiiiiiiiiiihy

12、yhhhhyyhhh整理化簡(jiǎn)后得：整理化簡(jiǎn)后得：編輯課件編輯課件16112,1,1iiiiiimmmg in1iiiihhh111iiiiihhh 1113()iiiiiiiiiyyyyghh個(gè)未知量個(gè)方程共個(gè)1,1nn稱為三轉(zhuǎn)稱為三轉(zhuǎn)角法基本角法基本方程組方程組以上推導(dǎo)還沒(méi)有考慮邊界以上推導(dǎo)還沒(méi)有考慮邊界條件！針對(duì)不同類型的三條件！針對(duì)不同類型的三次樣條問(wèn)題，就可以導(dǎo)出次樣條問(wèn)題，就可以導(dǎo)出不同的方程組！不同的方程組！編輯課件編輯課件17第一類三次樣條插值問(wèn)題方程組第一類三次樣條插值問(wèn)題方程組00)(mxSnnmxS)(基本方程組化為基本方程組化為n-1階方程組階方程組0112112fgmm

13、kkkkkkgmmm1122, 3 ,2nknnnnnnfgmm111212由于已知：由于已知：化為矩陣形式化為矩陣形式編輯課件編輯課件181111022223333422221111222222nnnnnnnnnmgmmgmgmgmgm這是一個(gè)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組，這是一個(gè)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組，用追趕法可以求解！用追趕法可以求解！編輯課件編輯課件19第二類三次樣條插值問(wèn)題的方程組第二類三次樣條插值問(wèn)題的方程組00)(MxS nnMxS )(時(shí)，稱為自然邊界條件00nMM由于已知：由于已知：)(6)(01200yyhxS 004mh102mh0M)(6)(121 nnnnyyhxS

14、112nnmhnnmh14nM故得：故得：編輯課件編輯課件200000110232MhhyymmnnnnnnnMhhyymm23211110gng稍加整理得212222121132211nnnnmmmmm1210nnggggg1210聯(lián)合基本方程組得一個(gè)聯(lián)合基本方程組得一個(gè)n+1階三對(duì)角方程組，階三對(duì)角方程組，化成矩陣形式為：仍然是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)化成矩陣形式為：仍然是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)編輯課件編輯課件21第三類樣條插值問(wèn)題的方程組立即可得下式：nnmmxSxS00)0()0(由于：)0()0(0 nxSxS)2(2)(6)0(01001200mmhyyhxS )2(2)(6)0(11121nnnnnn

15、nmmhyyhxS 編輯課件編輯課件22nnnnngmmm211110013nnnnnnhyyhyygnnnnnnhhhhhh1,101100其中：聯(lián)合基本方程得一個(gè)廣義三對(duì)角或周期三對(duì)角方程組：聯(lián)合基本方程得一個(gè)廣義三對(duì)角或周期三對(duì)角方程組：1111112222311222222nnnnnnmgmgmg這個(gè)方程這個(gè)方程組的系數(shù)組的系數(shù)矩陣仍然矩陣仍然是嚴(yán)格對(duì)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣！角占優(yōu)陣！編輯課件編輯課件23求解這些不同類型的樣條插值問(wèn)題的方程組，我們可得求解這些不同類型的樣條插值問(wèn)題的方程組，我們可得所要待定的一階導(dǎo)數(shù)：所要待定的一階導(dǎo)數(shù)：稱為三次樣條插稱為三次樣條插值問(wèn)題三轉(zhuǎn)角公值問(wèn)題三轉(zhuǎn)角

16、公式！式！nmmmm,210再代入再代入S(x)的每一段表達(dá)式，就求得三次樣條函數(shù)的表達(dá)式的每一段表達(dá)式，就求得三次樣條函數(shù)的表達(dá)式!)()()()()(11111010iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxihmhmyyxS1,.,2 , 1 , 0ni編輯課件編輯課件24例1. 對(duì)于給定的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)值1 2 4 5() 1 3 4 2kkxf x的近似值并求插值函數(shù)的三次樣條求滿足自然邊界條件)3(),(0)()(0fxSxSxSn 解:這是自然邊界條件下的樣條問(wèn)題。3213123113221kkkkhhh11kkkkhhhk 1編輯課件編輯課件25291g272g60g63g

17、我們可以將上述計(jì)算列于表中：)(3111kkkkkkkkkhyyhyyg00001023MhhyygnnnnnnMhhyyg23111k0123xk1245yk1342mk?Mk0?0hk121*k*2/31/3*k*1/32/3*gk69/2-7/2-6編輯課件編輯課件26213/223/13/123/2123210mmmm3210gggg由些得如下方程組：819,45,47,8173210mmmm利用三轉(zhuǎn)角公式：)()()()()(11111010iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxihmhmyyxS編輯課件編輯課件27)()()()()(010001010110001000

18、0hxxhxxhxxhxxhmhmyyxS)2() 1()2(3) 1(147181700 xxxx21147838123xxxx)()()()()(1211121111211102011hxxhxxhxxhxxhmhmyyxS)()()(4)(32412522127240220 xxxx42147838123xxxx同樣可以求得第三段表達(dá)式！編輯課件編輯課件283232321371 12884137( )1 2488434510333 45884xxxxS xxxxxxxxx417)3()3( Sf編輯課件編輯課件29編輯課件編輯課件30三彎矩法三彎矩法:待定二階導(dǎo)數(shù)待定二階導(dǎo)數(shù)() (0,

19、1,2, )kkMSxkn選擇二階導(dǎo)數(shù)作為待定參數(shù)選擇二階導(dǎo)數(shù)作為待定參數(shù):(1)1111()( )() , ,()kkkkkkkkkkkkkkSxMMMSxxxMxxxSxMh由于三次樣條由于三次樣條S(x)是三次多項(xiàng)式是三次多項(xiàng)式,故它的二階導(dǎo)數(shù)是一次多項(xiàng)故它的二階導(dǎo)數(shù)是一次多項(xiàng)式式,從而從而1(0,1,1)kkkhxx kn思考思考:(1)的原因的原因?編輯課件編輯課件31(2)21( )()()2kkkkkkkkMMSxxxMxxph(3)321( )()()()62kkkkkkkkkkMMMSxxxxxpxxqh()kkkkkSxyqy111111112()(),6()=)kkkkk

20、kkkkkkkkkMMSxSxypf xxhSxy利用編輯課件編輯課件32321234( )()()() (2.7)kkkkkkkS xsxxsxxsxxs1121314622,6kkkkkkkkkkkkkkkkMMshMsMMspf xxhsqy從而推導(dǎo)出了三次樣條從而推導(dǎo)出了三次樣條S(x)在第在第k個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間xk,xk+1上的上的表達(dá)式為表達(dá)式為:0,1,2,1kn它的系數(shù)都是它的系數(shù)都是用二階導(dǎo)數(shù)與用二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值表示函數(shù)值表示!編輯課件編輯課件3311()() (1,2,1)()k-1k()kk+1kkkkkkkkSxS xknSxS x（是在區(qū)間， ；是在區(qū)間 ，）1126

21、 (2.16)kkkkkkMMMd對(duì)所有中間節(jié)點(diǎn)對(duì)所有中間節(jié)點(diǎn)xk,k=1,2,n-1,左邊小區(qū)間與右邊小區(qū)間上左邊小區(qū)間與右邊小區(qū)間上的三次多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)當(dāng)連續(xù)的三次多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)當(dāng)連續(xù)!確定二階導(dǎo)數(shù)確定二階導(dǎo)數(shù)kx1kx1kx1(0,1,1)kkkhxx kn編輯課件編輯課件34三彎矩法基本方程三彎矩法基本方程1126 (2.16)1,2, -1kkkkkkMMMdkn11(1) ,1,kkkkkkhhh 110011, (1,2,1)(2.17),(2.18), , ,kkkknnndf xxxkndf x xdf xx注意到這個(gè)基本方程只注意到這個(gè)基本方程只包括了包括了n-1個(gè)

22、方程個(gè)方程!但卻但卻有有n個(gè)二階導(dǎo)數(shù)需要待定個(gè)二階導(dǎo)數(shù)需要待定,這是一個(gè)欠定方程組這是一個(gè)欠定方程組,還還需要根據(jù)邊界條件再確定兩個(gè)方程需要根據(jù)邊界條件再確定兩個(gè)方程!編輯課件編輯課件35曲率調(diào)整樣條曲率調(diào)整樣條00(),()nnMfxMfx這種樣條的邊界條件是已知兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值這種樣條的邊界條件是已知兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值!這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它n-2個(gè)待定參數(shù)個(gè)待定參數(shù)的方程組的方程組:1111022222222111126262626nnnnnnnnnMdMMdMdMdM編輯課件編輯課件36自然樣條自然樣條00,0nMM這種樣條的邊界條件

23、是這種樣條的邊界條件是:已知兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值為已知兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值為0!這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它n-2個(gè)待定參數(shù)個(gè)待定參數(shù)的方程組的方程組:1112222222211126262626nnnnnnnMdMdMdMd編輯課件編輯課件37固支樣條固支樣條00(),()nnmfxmfx這種樣條的邊界條件是這種樣條的邊界條件是:已知兩端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值已知兩端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值!根據(jù)前面推導(dǎo)過(guò)程中得到的樣條函數(shù)根據(jù)前面推導(dǎo)過(guò)程中得到的樣條函數(shù)S(x)的一階導(dǎo)數(shù)的表的一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式達(dá)式(2.11),得方程得方程00001000111()26()/()26(

24、)/nnnnnnnnSxmMMdmhSxmMMmdh編輯課件編輯課件38固支樣條固支樣條這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定n個(gè)待定個(gè)待定參數(shù)的方程組參數(shù)的方程組:00001111111116()/2162 (2.20)626()/12nnnnnnnnMdmhMdMdMmdh編輯課件編輯課件39非扭結(jié)樣條非扭結(jié)樣條0121( )( ),( )( )nnSxS x SxSx這種樣條的邊界條件是這種樣條的邊界條件是:要求樣條要求樣條S(x)在開(kāi)始的兩個(gè)小在開(kāi)始的兩個(gè)小區(qū)間區(qū)間x0,x1,x1,x2上的三階導(dǎo)數(shù)相同上的三階導(dǎo)數(shù)相同,在最后兩個(gè)小區(qū)間在最后兩個(gè)小區(qū)間xn-2

25、,xn-1,xn-1,xn上的三階導(dǎo)數(shù)相同上的三階導(dǎo)數(shù)相同.對(duì)表達(dá)式對(duì)表達(dá)式(2.9)再求一次導(dǎo)數(shù)得方程再求一次導(dǎo)數(shù)得方程1( )() (2.9)kkkkkkMMSxxxMh0112111211() (2.21)1()nnnnnMMMMMM編輯課件編輯課件40非扭結(jié)樣條非扭結(jié)樣條再由三彎矩基本方程再由三彎矩基本方程,可得可得11222222221162162 (2.22)62612nnnnnnMdaaMdMdMdbb編輯課件編輯課件41周期樣條周期樣條01126nnnnnnMMMMMd這種樣條的邊界條件是這種樣條的邊界條件是:要求樣條要求樣條S(x)及其導(dǎo)數(shù)是以區(qū)及其導(dǎo)數(shù)是以區(qū)間長(zhǎng)度間長(zhǎng)度xn

26、-x0為周期的函數(shù)即為周期的函數(shù)即000()(),()(),()()nnnS xS xS xS xSxSx這些條件可以確定如下兩個(gè)方程這些條件可以確定如下兩個(gè)方程:編輯課件編輯課件42再由三彎矩基本方程再由三彎矩基本方程,可得可得1111222211116262 (2.23)6226nnnnnnnndMdMdMMd 周期樣條周期樣條編輯課件編輯課件43在在MatlabMatlab中數(shù)據(jù)點(diǎn)稱之為斷點(diǎn)。如果三次樣條插值沒(méi)有邊中數(shù)據(jù)點(diǎn)稱之為斷點(diǎn)。如果三次樣條插值沒(méi)有邊界條件，最常用的方法，就是采用非扭結(jié)（界條件，最常用的方法，就是采用非扭結(jié)（not-a-knotnot-a-knot）條件。這個(gè)條件強(qiáng)

27、迫條件。這個(gè)條件強(qiáng)迫第第1 1個(gè)和第個(gè)和第2 2個(gè)三次多項(xiàng)式的三階導(dǎo)數(shù)個(gè)三次多項(xiàng)式的三階導(dǎo)數(shù)相等，對(duì)最后一個(gè)和倒數(shù)第相等，對(duì)最后一個(gè)和倒數(shù)第2 2個(gè)三次多項(xiàng)式也做同樣地處理。個(gè)三次多項(xiàng)式也做同樣地處理。MatlabMatlab中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)：中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)：y=interp1(x0,y0,x,spline)y=interp1(x0,y0,x,spline)；y=spline(x0,y0,x)y=spline(x0,y0,x)；pp=csape(x0,y0,conds),pp=csape(x0,y0,conds),pp=csape(x0,y0,conds,valcon

28、ds)pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)y=ppval(pp,x)。其中其中x0,y0 x0,y0是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，x x是插值點(diǎn)，是插值點(diǎn)，y y是插值點(diǎn)的函是插值點(diǎn)的函數(shù)值。數(shù)值。對(duì)于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)對(duì)于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)csapecsape，csapecsape的返的返回值是回值是pppp形式，要求插值點(diǎn)的近似函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)形式，要求插值點(diǎn)的近似函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)ppvalppval。MATLAB中三次樣條函數(shù)法實(shí)現(xiàn)中三次樣條函數(shù)法實(shí)現(xiàn)編輯課件編輯課件44pp=csape(x0,y0,con

29、ds,valconds)pp=csape(x0,y0,conds,valconds)condsconds指定插值的邊界條件，其值可為：指定插值的邊界條件，其值可為：complete complete 邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在valcondsvalconds參數(shù)中給出。參數(shù)中給出。not-a-knot not-a-knot 非扭結(jié)條件非扭結(jié)條件periodic periodic 周期條件周期條件second second 邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在valcondsvalconds參數(shù)中給出，若忽略參數(shù)中給出，若忽略valcon

30、dsvalconds參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的缺省值為缺省值為0, 00, 0。MATLAB中三次樣條函數(shù)法實(shí)現(xiàn)中三次樣條函數(shù)法實(shí)現(xiàn)編輯課件編輯課件45例例2：第一邊界條件的例題：第一邊界條件的例題x1245y1342y17/8-19/8clear;x=1,2,4,5;y=1,3,4,2;pp=csape(x,y,complete,17/8,-19/8);pp.coefsMATLAB代碼代碼編輯課件編輯課件46第一邊界條件的例題第一邊界條件的例題pp = form: pp breaks: 1 2 4 5 coefs: 3x4 double pieces: 3 order: 4 dim:

31、1pp.coefs -0.1250 0 2.1250 1.0000 -0.1250 -0.3750 1.7500 3.0000 0.3750 -1.1250 -1.2500 4.00003323320.125(1)2.125(1) 1( )0.125(2)0.375(2)1,75(2)30.375(4)1.125(4)1.25(4)4xxs xxxxxxx 分段多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)與系數(shù)矩陣分段多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)與系數(shù)矩陣編輯課件編輯課件47如下代碼求解上述樣條問(wèn)題：如下代碼求解上述樣條問(wèn)題：x-4-3-2-101234y00.151.122.362.361.460.490.060y00例例3：自然邊界條件例題

32、：自然邊界條件例題編輯課件編輯課件48x=-4 -3-2-101234;y=00.151.122.362.361.460.490.060;pp=csape(x,y,second);xx=-4:0.01:4;yy=ppval(pp,xx);hold on;plot(x,y,ok);plot(xx,yy,k-);hold off;MATLAB程序程序編輯課件編輯課件49pp = form: pp breaks: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 coefs: 8x4 double pieces: 8 order: 4 dim: 1分段多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)：分段多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)：編輯課件編輯課件50 pp

33、.coefs= 0.161 0.000 -0.161 0 -0.803 0.54256811487482 0.51171207658321 0.000 -0.39373527245950 0.28972754050074 1.344 1.120 0.14922128129602 -0.896 0.74225699558174 2.360 0.540 -0.44381443298969 -0.593 2.360 0.236 -0.348 -1.888 1.460 -0.483 0.36687039764359 -0.73650773195876 0.490 -0.303 0.18578240058910 -0.607 0.000分段多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣：分段多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣：編輯課件編輯課件51圖像圖像編輯課件編輯課件5221 1,1125yxx 例例4：對(duì)如下：對(duì)如下Runge現(xiàn)象中的函數(shù)，求用現(xiàn)象中的函數(shù)，求用n分點(diǎn)作節(jié)分點(diǎn)作節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值多項(xiàng)式點(diǎn)的三次樣條插值多項(xiàng)式s3(x)的圖象。的圖象。取取n=5,10,15,20等，將區(qū)間等分成等，將區(qū)間等分成n份，取分點(diǎn)作為插值份，取分點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，利用